第07讲 直线与圆的位置关系（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第07讲 直线与圆的位置关系 【苏教版2019】 模块一 直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【变式1.1】（24-25高二上·广东·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法判断 【变式1.2】（24-25高二下·陕西西安·开学考试）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1.3】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·北京延庆·期末）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2.1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2.2】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【变式2.3】（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 模块二 圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【题型3 圆的切线长问题】 【例3】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【变式3.1】（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A．6 B． C． D．3 【变式3.2】（24-25高二上·北京·阶段练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为(   ) A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·河南许昌·期中）直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D．或 【变式4.3】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 模块三 圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 【例5】（24-25高二上·河南新乡·期末）已知直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D．2 【变式5.1】（24-25高二上·贵州黔西·期末）求直线被圆截得的弦的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高三上·河北·期末）已知圆被直线所截，则截得的弦长为（   ） A．2 B． C． D．4 【变式5.3】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 【例6】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【变式6.1】（24-25高二上·山东·阶段练习）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二下·四川达州·期中）已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 【例7】（24-25高二上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·江西吉安·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式7.2】（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高二上·福建泉州·期中）若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8 直线与圆有关的最值问题】 【例8】（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·北京·阶段练习）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型9 直线与圆的实际应用】 【例9】（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【变式9.1】（24-25高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【变式9.3】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 4．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·浙江宁波·期末）若存在实数a，使得直线与圆相切，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 9．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知直线，圆，则下列说法正确的有（    ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 10．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知圆的方程为，过点的直线交该圆于，两点，则弦长的值可能为（   ） A．6 B．3 C．9 D．11 11．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知，圆，直线，，且与相交于点，则（    ） A． B．直线与圆相切 C．被圆截得的弦长为 D．若，则 三、填空题 12．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 13．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 14．（24-25高二上·贵州毕节·期末）一座圆拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为 m． 四、解答题 15．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 16．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 17．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 18．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 19．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知直线与圆交于两点，且． (1)求实数的值； (2)设为坐标原点，求的面积． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 直线与圆的位置关系 【苏教版2019】 模块一 直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【解题思路】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论. 【解答过程】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高二上·广东·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法判断 【解题思路】求出圆心到直线距离，和半径比较后得到答案. 【解答过程】的圆心为，半径为25， 到的距离为， 故直线与圆相交，公共点个数为2. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二下·陕西西安·开学考试）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【解题思路】利用几何法判断.由圆心到直线的距离与半径的大小关系，则可判断直线与圆的位置关系. 【解答过程】已知圆的圆心为，半径为， 由是圆内异于圆心的一点，得， 则有， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆相离. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【解题思路】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系判断即可. 【解答过程】圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 因为，故点在圆上. 故选：A. 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·北京延庆·期末）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据点到直线的距离等于半径，列出方程即可得答案； 【解答过程】圆的标准方程为，有，解得或3． 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【解题思路】分析直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式可求的值. 【解答过程】因为直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切. 又 ，所以圆心为，半径为1. 由 . 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【解答过程】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【解题思路】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可. 【解答过程】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交， 当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离， 化简得，显然恒成立，故不能推出. 所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件. 故选：A. 模块二 圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【题型3 圆的切线长问题】 【例3】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【解题思路】求出圆的圆心坐标和半径，求出，根据勾股定理求出. 【解答过程】圆心，半径， ， 由勾股定理得. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A．6 B． C． D．3 【解题思路】根据圆的方程，结合圆的切线的性质进行求解即可. 【解答过程】，圆的半径为， 所以， 故选：B. 【变式3.2】（24-25高二上·北京·阶段练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为(   ) A． B． C． D． 【解题思路】由勾股定理可知当直线的点到圆的圆心距离最小时，此时切线长最小，然后计算即可. 【解答过程】由题可知圆的圆心，半径 ， 设直线的动点为，切点为 则切线长 所以要使切线长最小，则最小； 显然的最小值为到直线的距离为 所以此时切线长. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【解题思路】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【解答过程】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】经分析知点在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜率为，结合直线点斜式方程即可求解. 【解答过程】圆的标准方程为：，故圆心， 点在圆上， 过点P的切线与CP垂直，且 ， 过点的切线斜率为， 故所求直线方程为： ， 整理，得： 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【解答过程】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二上·河南许昌·期中）直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D．或 【解题思路】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式计算即得. 【解答过程】当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时与圆不相切， 则直线的斜率一定存在，设直线方程为，化简得， 依题意，圆心到直线的距离为1，即，解得或， 所以直线的方程为或. 故选：D. 【变式4.3】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【解答过程】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 模块三 圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 【例5】（24-25高二上·河南新乡·期末）已知直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】由圆方程求圆心的坐标，圆的半径，再求圆心到直线的距离，利用弦长公式求结论. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 则. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二上·贵州黔西·期末）求直线被圆截得的弦的长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【解答过程】将圆的方程化为标准式，可得， 所以圆心坐标为，半径为， 所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为． 故选：A. 【变式5.2】（24-25高三上·河北·期末）已知圆被直线所截，则截得的弦长为（   ） A．2 B． C． D．4 【解题思路】由已知圆方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出弦长. 【解答过程】根据题意，圆，可变形为， 所以圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 故选：D． 【变式5.3】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【解题思路】由圆的方程求得圆心和半径，由直线过定点，易得弦心距的最大值，可得的最小值. 【解答过程】由圆，可得圆心、半径为， 直线过定点，要使弦长最小，只有弦心距最大， 弦心距的最大值为， 所以弦的的最小值为. 故选：C. 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 【例6】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【解题思路】由题可得到圆心距离，由点到直线距离公式可得答案. 【解答过程】， 则圆心坐标为：，半径为4.又因弦长为， 则圆心到弦距离满足. 则由点到直线距离公式可得：或. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高二上·山东·阶段练习）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式的逆运用计算半径即可. 【解答过程】点到直线的距离为， 所以圆C的半径为， 则圆C的方程为. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高二下·四川达州·期中）已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用弦长公式得圆心到直线的距离为1，再利用点到直线的距离公式得到方程，解出即可. 【解答过程】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】根据弦长，利用垂径定理求出圆心到直线的距离.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线的方程. 【解答过程】已知弦长，半径.根据垂径定理知圆心到直线的距离为. 把，代入可得.   当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 所以直线斜率不存在时不满足条件.   当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线距离公式，由圆心到直线的距离， 可得.对进行求解. 两边平方得，展开得. 解得或.   当时，直线的方程为，即. 当时，直线的方程为，即.   故选：A. 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 【例7】（24-25高二上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【解答过程】由知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数的取值范围为. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二上·江西吉安·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【解题思路】由曲线，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），然后根据直线与半圆的位置关系，利用数形结合法求解. 【解答过程】曲线，即 ， 表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）， 如图， 设、、， 当直线经过点A时，， 当直线经过点、点时，，此时有2个公共点，不符合题意； 所以当时，直线与曲线有一个公共点； 当直线和半圆相切时， 则圆心到直线的距离等于半径， 即，求得或（舍去）， 即时，只有一个公共点，符合题意， 综上得，实数的取值范围为或， 故选：D． 【变式7.2】（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围. 【解答过程】曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过点定点，如下图， 由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得， 结合图知. 故选：B. 【变式7.3】（24-25高二上·福建泉州·期中）若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出曲线的图象，数形结合可得解. 【解答过程】直线恒过定点， 由，得到（）， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示：    当直线经过点时，与曲线有一个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线至少有一个公共点， 故选：B. 【题型8 直线与圆有关的最值问题】 【例8】（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， ,所以由垂径定理可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：B. 【变式8.1】（24-25高二上·北京·阶段练习）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解. 【解答过程】因为圆，所以其圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则所求距离的最小值为. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积最小值. 【解答过程】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A. 【变式8.3】（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】判定直线与的位置关系，利用圆的切线长定理，结合三角函数求出最小值. 【解答过程】依题意，：的圆心，半径为2， 圆心到直线的距离为，即直线与相离， 则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大， 又，则最大，即最大，此时最小， 而，则， 所以的最小值为. 故选：D. 【题型9 直线与圆的实际应用】 【例9】（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【解题思路】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【解答过程】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 【变式9.1】（24-25高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果. 【解答过程】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，    则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 【变式9.2】（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【解题思路】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【解答过程】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C. 【变式9.3】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【解题思路】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【解答过程】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【解题思路】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论. 【解答过程】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【解答过程】圆圆心坐标为，半径为， 所以点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为． 故选：B. 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【解题思路】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系判断即可. 【解答过程】圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 因为，故点在圆上. 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围即可． 【解答过程】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D. 5．（24-25高三上·浙江宁波·期末）若存在实数a，使得直线与圆相切，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用圆的切线性质列式计算得解. 【解答过程】圆的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，得对于实数a有解， 由，解得：或， 所以实数b的取值范围是. 故选：D. 6．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】可知圆的圆心为原点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值. 【解答过程】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有， 由圆的几何性质可得， 又由， 所以当时，取得最小值． 故选：C. 7．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由方程表示圆及点在圆外构造不等式求解即可； 【解答过程】由题意可知：表示圆， 可得：， 解得：， 又在圆外，所以，得：， 所以k的取值范围为， 故选：C. 8．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解题思路】将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，根据圆心到直线的距离得到圆与直线的位置关系，进而求解. 【解答过程】因为圆可化为， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以点到直线距离的最小值是. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知直线，圆，则下列说法正确的有（    ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 【解题思路】利用点到直线距离公式计算判断直线与圆的位置关系判断A，B，结合圆心能否在直线上判断C，应用几何法求弦长判断D选项． 【解答过程】直线l过定点，圆C：，所以圆心为，半径为 对于A，若，则圆心到直线的距离，所以l与圆C相切，故A正确； 对于B，依题意，由圆心到直线的距离，解得或，故B错误； 对于C，将到代入l的方程，得不成立，故l不能经过圆心C，则圆C不可能关于l对称，故C 错误； 对于D，若，圆心到直线的距离为，则弦长为，故D正确． 故选：AD. 10．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知圆的方程为，过点的直线交该圆于，两点，则弦长的值可能为（   ） A．6 B．3 C．9 D．11 【解题思路】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，判断点在圆内，即可求出，，即可判断. 【解答过程】圆，即， 则圆心为，半径，又， 所以点在圆内，所以，，即， 又，即， 所以符合题意的有A、C. 故选：AC. 11．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知，圆，直线，，且与相交于点，则（    ） A． B．直线与圆相切 C．被圆截得的弦长为 D．若，则 【解题思路】利用斜率之积即可判断选项A，根据圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断选项B，利用几何法直接求出弦长，即可判断选项C，联立两直线方程，求出点坐标，根据两点之间距离公式，即可求出的值. 【解答过程】由题知，令直线的斜率为， 则，，，A正确； 圆圆心为，半径， 则到直线的距离， 所以直线与圆相切，B正确； 又到直线的距离， 所以被圆截得的弦长为，C错； 联立方程，解得， 即， 则，解得，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【解题思路】根据题给条件写出圆的圆心和方程，求得圆心到直线得距离，再根据圆截直线的弦长公式即可计算的值. 【解答过程】根据圆的方程可得圆心为，半径. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长公式为，解得 因为，所以. 故答案为：. 13．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 或（写出一条即可） .（写出一条方程即可） 【解题思路】设出直线方程，根据点到直线的距离等于半径即可求解. 【解答过程】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或， 故答案为：或. 14．（24-25高二上·贵州毕节·期末）一座圆拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为 m． 【解题思路】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系，根据题意求出圆的方程，然后再根据题意设点代入圆方程求解即可. 【解答过程】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系， 设圆心为，半径为，则圆的方程为：， 拱顶距离水面时，水面宽为，可知点在圆上， 把点的坐标代入圆方程中得：，解得， 所以圆的方程为：， 当水面下降时，设， 代入圆方程得：，解得，即， 该点关于纵轴的对称点的坐标为，因此此时水面宽为m. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 【解题思路】（1）利用点到直线距离，即可判断圆心到直线的距离，与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系； （2）已知直线与圆相交的弦长，即可得到圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率. 【解答过程】（1）圆， 圆心，半径，又直线， 圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相交； （2）圆心到直线的距离， 又， 所以，解得    16．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【解题思路】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【解答过程】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 17．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 【解题思路】根据圆心在弦的中垂线上，也在直线上求解可得圆心，进而求得半径即可得圆的方程； 先讨论直线l斜率不存在时，再设直线l的点斜式，根据垂径定理求解即可. 【解答过程】（1）由题意圆心在弦的中垂线上， 又中点，， 则弦的中垂线斜率，故中垂线方程：，即， 联立可得，，即， 故圆的半径. 故圆的方程： （2）当直线斜率不存在时，直线l与圆不相交； 当直线斜率存在时，设方程， 因为直线l截圆C所得的弦长为2，故圆心到的距离. 则到的距离， 则，即，解得或. 故方程，即或. 18．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 【解题思路】（1）将圆的一般式化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径； （2）先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得. 【解答过程】（1）由可得， 则圆的圆心坐标为,半径，面积； （2）依题意直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离， 所以； 19．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知直线与圆交于两点，且． (1)求实数的值； (2)设为坐标原点，求的面积． 【解题思路】（1）先把圆转化为标准方程，再应用点到直线距离列式计算求参； （2）应用点到直线的距离及弦长计算面积即可. 【解答过程】（1）圆的方程可化为   ∴圆心,半径 ∵  ∴ ∴圆心到直线的距离， 即，解得. （2）由（1）， 到的距离，     ∴，     ∴的面积为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$