精品解析： 湖北省武汉市东湖高新区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2024－2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 二次根式在实数范围内有意义，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 两人从同一地点同时出发，一人以30米/分的速度向北直行，另一人以40米/分的速度向东直行．1分钟后，他们相距（ ）米． A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 3. 如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 4. 某中学八（2）班甲乙两同学参加同一学期四次数学测试，两人平均分均为92分，方差分别为，，那么成绩较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲乙一样 D. 无法确定 5. 以下条件不能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ，， D. ，， 6. 某市出租车单程收费价格与行驶路程之间的函数关系如图所示，行驶2千米之后，每行驶1千米增加的钱数为（ ）元． A. B. C. D. 7. 已知一次函数，下面结论不正确的是（ ） A. 图像经过第一、三、四象限 B. 当时， C. 图像必经过点 D. 其图像可以由直线向右平移15个单位长度得到 8. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽为尺．七张桌面分开可组合成不同的图形．图中给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，则全套“燕几”的面积为（ ）平方尺． A. B. C. D. 10. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点、，使，与交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共小题，每小题分，共分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置． 11. 计算：______；______；______． 12. 经专家调研发现，“稻鱼共生”种养方式因稻鱼双收、互惠共生而受到农户青睐，一农户在块面积相等稻田养殖田鱼，产量分别是（单位：）：，，，，，则这块稻田的田鱼平均产量是______． 13. 请写出直线关于轴对称的直线解析式为______． 14. 如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______． 15. 函数的图象经过、、点在该函数的图象上，下列说法中正确的结论有___________．（填序号） ①该函数自变量的取值范围；②；③此函数无最小值；④，两点在此函数的图象上，若，则． 16. 如图，在矩形中，连接、交于点，已知，，若将绕点旋转度，得到，当时，延长交直线于点，则的长度为______ 三、解答题（共8大题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，，点在边上，_______________．请从①，②这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形平行四边形； （2）在（1）的条件下，若，，，求线段的长． 19. 已知直线和的图象交于点． （1）求出的值； （2）若直线、与x轴分别交于点、，求的面积． 20. 武汉是一座以“红色信仰”铸魂、“绿色生态”为脉、“蓝色科技”赋能的城市．某校为促进学生了解武汉历史文化，从七、八年级学生中各随机抽取名学生参加知识竞赛，并对数据(百分制)进行整理、描述(成绩均大于分，用表示，共分三组：．，．，．，下面给出部分信息： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 a 八年级 86 b 90 七年级名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，97． 八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据有：，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：，，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生武汉文化知识掌握较好？请说明理由(写出一条理由即可)； （3）该校七年级学生有人，八年级学生有人．估计该校七、八年级学生武汉文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 21. 如图是由小正方形组成网格，每个小正方形的顶点叫作格点，，，，是格点，是网格线上一点，每个小正方形面积记为1．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示），每问的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，四边形的周长是____________； （2）在图（1）中，连接，在上画点，使； （3）在图（2）中，连接，在上画点，使； （4）在图（2）中，在上画点，使． 22. 某超市为了满足人们的需求，计划购进甲、乙两种水产品销售，经了解，这两种水产品的进价和售价如下表所示： 水产品种类 进价(元/千克) 售价(元/千克) 甲 a 20 乙 b 23 该超市购进甲种水产品15千克和乙种水产品5千克需要305元；购进甲种水产品20千克和乙种水产品10千克需要470元． （1）________，________； （2）该超市决定每天购进两种水产品共千克进行销售，其中甲种水产品的数量不少于千克，且不大于千克．实际销售时，若甲种水产品超过千克，则超过部分按每千克降价元销售． ①求超市当天售完这两种水产品获得的利润y(元)与购进甲种水产品的数量x(千克)之间的函数关系式，并写出x的取值范围； ②为了使得利润y(元)不低于元，不高于元，求购进甲种水产品x(千克)的取值范围． 23. 【问题提出】如图（1），在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，当点的对应点落在矩形内部，点的对应点为．请直接写出的形状是； 【问题探究】如图（2），当点对应点恰好落在的中点，交于点，，时，求的长； 【问题拓展】将图（1）特殊化，如图（3），为中点，的延长线过点，交于点．若，则_______． 24. 平面直角坐标系中，直线的解析式为：过定点，分别交轴、轴于点、． （1）直接写出定点的坐标________； （2）如图（1），当时，点在线段上，点在轴上，满足且，求点的坐标； （3）如图（2），平移直线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，使得，连接交于点，过点作于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 二次根式在实数范围内有意义，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：D． 2. 两人从同一地点同时出发，一人以30米/分的速度向北直行，另一人以40米/分的速度向东直行．1分钟后，他们相距（ ）米． A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断直角三角形是解答此题的关键． 两人分别向北和东行进，形成直角三角形的两条直角边，利用勾股定理计算斜边（即两人距离）． 【详解】解：向北行走的人速度为30米/分，1分钟路程为：米， 向东行走的人速度为40米/分，1分钟路程为：米， ∵两人位置构成直角三角形的两条直角边， ∴1分钟后，他们相距（米）． 故选：B． 3. 如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形的性质和判定， 首先证明出，是的中位线，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵，，分别是的边，，的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∴四边形平行四边形， ∴． 故选：C． 4. 某中学八（2）班甲乙两同学参加同一学期四次数学测试，两人平均分均为92分，方差分别为，，那么成绩较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲乙一样 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了方差的意义，方差越小表示成绩越稳定，直接比较甲、乙两人的方差即可得出结论． 【详解】甲、乙两人的平均分均为92分，说明两人的平均水平相同， ∵甲的方差为95，乙的方差为80，， ∴乙的方差更小，成绩更稳定． 故选：B． 5. 以下条件不能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，符合题意； B、∵， ∴， ∴能组成直角三角形，不合题意； C、，能组成直角三角形，不合题意； D、，能组成直角三角形，不合题意； 故选：A． 6. 某市出租车单程收费价格与行驶路程之间的函数关系如图所示，行驶2千米之后，每行驶1千米增加的钱数为（ ）元． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可得行驶2千米之后，再行驶2千米收费增加3元，据此可得答案． 【详解】解：元， ∴行驶2千米之后，每行驶1千米增加的钱数为元， 故选：B． 7. 已知一次函数，下面结论不正确的是（ ） A. 图像经过第一、三、四象限 B. 当时， C. 图像必经过点 D. 其图像可以由直线向右平移15个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像与性质，根据一次函数图像的性质、平移规律及点的坐标特征，逐一分析判断即可． 【详解】A. 根据题意可知，该函数， ，因此图像经过第一、三、四象限，本选项正确，不符合题意； B.解不等式得，即当时，本选项正确，不符合题意； C. 当时，，故图像经过点，本选项正确，不符合题意； D. 将向右平移个单位后，函数为，令，得，即需向右平移5个单位，而非15个单位，本选项不正确，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，得到，根据题意无法证明出． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，故D正确， 根据题意无法证明出，故C错误． 故选：C． 9. 如图，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽为尺．七张桌面分开可组合成不同的图形．图中给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，则全套“燕几”的面积为（ ）平方尺． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意表示出小桌，中桌，长桌的长， 列式求解即可． 【详解】解：∵每张桌面的宽为尺 ∴小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺， ∴． ∴全套“燕几”的面积为45平方尺． 故选：C． 10. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点、，使，与交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点O作交于点P，连接，求出，设，则，得到，证明出，得到，，点O是正方形的中心，然后利用勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点O作交于点P，连接 ∵ ∴ ∵ ∴设，则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴点O是正方形的中心 ∴垂直平分， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（共小题，每小题分，共分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置． 11. 计算：______；______；______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次公式的性质化简即可求解． 【详解】解：；； 故答案为：；；． 12. 经专家调研发现，“稻鱼共生”种养方式因稻鱼双收、互惠共生而受到农户青睐，一农户在块面积相等的稻田养殖田鱼，产量分别是（单位：）：，，，，，则这块稻田的田鱼平均产量是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，熟练掌握平均数的定义是解题的关键．根据平均数的定义，即可求解． 【详解】解：这块稻田的田鱼平均产量是， 故答案为：． 13. 请写出直线关于轴对称的直线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握直线关于轴对称点的特点是关键．先求得经过，，设直线关于轴对称的直线解析式为，根据关于轴对称点的特点得出经过点，，待定系数法解析式，即可求解． 【详解】解：∵，当时，当时， ∴经过， 关于轴的对称点为 设直线关于轴对称的直线解析式为 ∴线经过点， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角以及三角形内角和定理的应用；根据题意画出图形，根据菱形的性质得，根据等边对等角以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图， ∵菱形中，， ∴ ∵ ∴， 故答案为：． 15. 函数的图象经过、、点在该函数的图象上，下列说法中正确的结论有___________．（填序号） ①该函数自变量的取值范围；②；③此函数无最小值；④，两点在此函数的图象上，若，则． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了求函数解析式，二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围与自变量的值，判断函数的增减性，类比一次函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵的图象经过、， ∴即 解得： ∴ ∴，解得：，故①正确 代入得，解得：，故②正确， ∵， ∴当时取得最小值，故③不正确 ∵中， ∴随着的增大而增大， ∴当时，，故④正确 故答案为：①②④． 16. 如图，在矩形中，连接、交于点，已知，，若将绕点旋转度，得到，当时，延长交直线于点，则的长度为______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键，先根据已知条件求得相关角度与线段的长度，根据旋转的性质，将分解成一个等腰三角形和一个含30度角的直角三角形，进而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：在矩形中，连接、交于点，已知，， ∴，，则是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当顺时针旋转时， ∴， ∴， 在上取一点，使得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：； 如图，当逆时针旋转时，在上取点，使得， 同理可得， ∴，， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（共8大题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先化简，再进行加减运算即可； （2）利用平方差公式进行运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 18. 如图，在四边形中，，点在边上，_______________．请从①，②这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）在（1）的条件下，若，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． （1）选择①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证得结论．选择②，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论； （2）由平行四边形的得到，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 解：选择①， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 选择②， ， ， 四边形为平行四边形． 【小问2详解】 由（1）知四边形为平行四边形， ， 在中，，， 19. 已知直线和的图象交于点． （1）求出的值； （2）若直线、与x轴分别交于点、，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）把点代入即可求得a的值； （2）先求得、的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【小问1详解】 解：把点代入， 得， 解得：； 【小问2详解】 当时，则，解得， 当时，则，解得， ，， ， ． 20. 武汉是一座以“红色信仰”铸魂、“绿色生态”为脉、“蓝色科技”赋能的城市．某校为促进学生了解武汉历史文化，从七、八年级学生中各随机抽取名学生参加知识竞赛，并对数据(百分制)进行整理、描述(成绩均大于分，用表示，共分三组：．，．，．，下面给出部分信息： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 a 八年级 86 b 90 七年级名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，97． 八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据有：，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：，，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生武汉文化知识掌握较好？请说明理由(写出一条理由即可)； （3）该校七年级学生有人，八年级学生有人．估计该校七、八年级学生武汉文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1），， （2）八年级学生数学文化知识较好 （3）人 【解析】 【分析】本题考查中位数，众数，用样本估计总体，从统计图获取有用的信息是解题的关键． （1）分别根据中位数、众数意义求解即可求出、，用“1”分别减去其它组所占百分比可得的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论； （3）用七、八年级的人数分别乘七、八年级武汉文化知识为“优秀”的人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级组有：（人）， 把被抽取八年级名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为，， 故中位数， 在被抽取的七年级名学生的数学竞赛成绩中，出现的次数最多， 故众数，， 故； 故答案为：，，； 【小问2详解】 八年级学生数学文化知识较好， 理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，所以八年级学生武汉文化知识较好； 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校七、八年级学生武汉文化知识为“优秀”的总共有人． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，，，，是格点，是网格线上一点，每个小正方形面积记为1．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示），每问的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，四边形的周长是____________； （2）在图（1）中，连接，在上画点，使； （3）在图（2）中，连接，在上画点，使； （4）在图（2）中，在上画点，使． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，菱形的性质，轴对称的性质，三角形的中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据勾股定理与网格可得，进而可得四边形的周长； （2）根据（1）中四边形是菱形，可得，进而取格点，使得，即可求解； （3）根据三角形的三条中线共点，先画出两条中线，再画出，即可求解； （4）根据对称的性质，连接，交于点，连接并延长交于点，即可求解． 【小问1详解】 根据勾股定理可得 又 ∴四边形是菱形，其周长为 【小问2详解】 解：如图取格点，连接，则 ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图取与网格线交点，连接交于点，连接并延长，交于点，则即为所求； 【小问4详解】 连接，交于点，连接并延长交于点，则 22. 某超市为了满足人们的需求，计划购进甲、乙两种水产品销售，经了解，这两种水产品的进价和售价如下表所示： 水产品种类 进价(元/千克) 售价(元/千克) 甲 a 20 乙 b 23 该超市购进甲种水产品15千克和乙种水产品5千克需要305元；购进甲种水产品20千克和乙种水产品10千克需要470元． （1）________，________； （2）该超市决定每天购进两种水产品共千克进行销售，其中甲种水产品的数量不少于千克，且不大于千克．实际销售时，若甲种水产品超过千克，则超过部分按每千克降价元销售． ①求超市当天售完这两种水产品获得的利润y(元)与购进甲种水产品的数量x(千克)之间的函数关系式，并写出x的取值范围； ②为了使得利润y(元)不低于元，不高于元，求购进甲种水产品x(千克)的取值范围． 【答案】（1）， （2）①②购进甲种水产品（千克）的取值范围为或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，写了函数关系式并掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据“购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需305元：购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需470元”列方程求解即可； （2）①按照的取值范围，分别写出对应的函数关系式，最终写成分段函数的形式即可； ②根据题意列关于的一元一次不等式组并求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得； 【小问2详解】 解：当时， 根据题意，得， 当时， 根据题意，得， 综上，， ②当时，得， 解得， 当＜时，得， 解得， 购进甲种水产品（千克）的取值范围为或． 23. 【问题提出】如图（1），在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，当点的对应点落在矩形内部，点的对应点为．请直接写出的形状是； 【问题探究】如图（2），当点的对应点恰好落在的中点，交于点，，时，求的长； 【问题拓展】将图（1）特殊化，如图（3），为中点，的延长线过点，交于点．若，则_______． 【答案】[问题提出] 等腰三角形；[问题探究] ； [问题拓展] 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键； [问题提出] ，根据折叠的性质，可得，即可得出结论； [问题探究]根据题意得出，延长交的延长线于点，证明，进而证明，设，则，在中，勾股定理得出，进而得出，，证明得出，在中，根据勾股定理，即可求解； [问题拓展] 连接，，证明垂直平分，根据，设，，进而分别表示出，即可求解． 【详解】[问题提出]如图，连接， ∵折叠， ∴ ∴的形状是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形． [问题探究]矩形中，， ∴， ∵点是中点， ∴ 如图，延长交的延长线于点， ∵ ∴ ∴， ∵折叠， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设，则 在中， ∴ 解得： ∴，，则 ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴； [问题拓展]如图，连接，， ∵折叠， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴，即 ∴， 又∵ ∴是的中点， ∴垂直平分， ∵，设， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即是的中点 ∴， ∵是的中点，是的中点 ∴， ∵ ∴ ∵折叠， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 24. 平面直角坐标系中，直线的解析式为：过定点，分别交轴、轴于点、． （1）直接写出定点的坐标________； （2）如图（1），当时，点在线段上，点在轴上，满足且，求点的坐标； （3）如图（2），平移直线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，使得，连接交于点，过点作于点，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据解析式过定点，即可求解； （2）证明得出，进而设，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）过作于点，先证，得到，可得解析，求出点坐标，进而求出解析式，、，再代入求证即可． 【小问1详解】 解：∵过定点， ∴ 【小问2详解】 当时，， 当时，，当时，， ∴，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 过作于点，则， ∵平移直线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ， ∴， ∴， ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为， 当时，，则， 当时，，则， 设的解析式为，代入和得： 解得： ∴的解析式． 当时，，则， ∵，． ∴， ∴，． ∴． 【点睛】点睛片段本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$