第二章平面向量及其应用复习卷-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

专题二 平面向量 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．零向量的长度是0 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．在矩形中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 3．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 4．在中，，分别为，的中点，，，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 5．已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 6．在△ABC中，点D在BC上，，，，，且存在实数λ，使得，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 7．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心 C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心 8．已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（   ） A．17 B．20 C．34 D．48 二、多选题 9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．与夹角为锐角时，则的取值范围为 D．当时，在上的投影为2 10．在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．为定值 D．的最小值为 11．已知中，，，，D在AC上，BD为∠ABC的角平分线，E为BC中点，下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B． C． D． 三、填空题 12．已知向量满足，则 ． 13．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则 ． 14．如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知向量，，，其中． (1)求及向量，夹角的余弦值； (2)若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 16．如图，已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记，    (1)用表示向量； (2)若，且，求. 17．已知向量满足，，． (1)求向量与夹角的大小； (2)设，若与夹角是钝角，求实数的取值范围． 18．在中，点，是所在平面内的两点，，，，，. （1）以，为基底表示向量，并求； （2）为直线上的一点，设（，是实数），若直线经过的垂心，求，的值. 19．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题二 平面向量》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D A B A C ABC BCD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定， 故未必成立，所以A错误； B：根据零向量的定义可判断B正确； C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误； D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误. 故选：B. 2．A 【详解】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长． 【分析】在矩形中，由，可得， 又因为，故，故． 故选：A. 3．C 【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】因为为的中点，可得， 所以. 故选： C. 4．D 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下：    由为中点，则，由为中点，则， ， 故选：D. 5．A 【分析】利用，确定点O的位置，如图所示，结合三角形面积关系求解. 【详解】因为， 所以, 所以 取的中点,则, . ，即为中线的中点,如图所示， 则的面积为，的面积为， . 所以. 故选：A 6．B 【分析】用表示，由向量共线定理得出的关系式，然后由基本不等式得结论． 【详解】如图． 由题得D为BC的中点，，．又，． 则． ∵E，G，F三点共线．．即， ．当且仅当时取等号，则的最小值为． 故选：B． 7．A 【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推导即可. 【详解】由，得， 即， 则， 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心； 由，得， 设的中点为，则，即，，三点共线， 所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上， 即是三边中线的交点，故为的重心； 由，得，即， 又是的中点，所以在的垂直平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是三边垂直平分线的交点，故是的外心； 延长交于点，因为，，三点共线，则设（）， 且，， 代入，得， 即①， 又因为与共线，与、不共线， 则只能当且时，①成立， 即，则, 由正弦定理得：， 又，则， 即，又，所以， 则是的角平分线，即点在的角平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是内角平分线的交点，故是的内心； 故选：A. 8．C 【分析】利用向量的线性运算、绝对值三角不等式、垂径定理等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为， 则分别是的中点，由勾股定理得， ， ， 故, 当反向时等号成立， 所以的最大值是. 故选：C 【点睛】方法点睛： 解决圆中向量问题，垂径定理是一个重要的工具，通过垂径定理找到弦的中点，将向量与圆心和中点联系起来，便于进行向量的运算和转化. 对于求向量和的模的最值问题，利用向量的线性运算将其转化为已知向量的运算形式，再结合绝对值三角不等式（当且仅当与同向或反向时取等号）来求解，是一种常用的方法. 9．ABC 【分析】A：利用列方程解得，即可判断；B：利用列方程解得，即可判断；C：利用夹角公式直接求出与夹角为锐角时，则的取值范围；D：利用向量投影的定义直接判断. 【详解】对于向量，. A：当时，满足，解得：.故A正确； B：当时，满足，解得：.故B正确； C：当与夹角时，有，解得：. 而与夹角时，有，即与同向共线，需满足，无解. 综上所述：与夹角为锐角时，则的取值范围为.故C正确； D：当时，在上的投影为.故D错误. 故选：ABC 10．BCD 【分析】根据题意，利用向量的线性运算，得到，结合、、三点共线，求得，再化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】如图所示，因为，即，所以， 又因为，， 所以，，所以， 因为、、三点共线，则， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：BCD．    11．BC 【分析】对于A，利用余弦定理求出，再利用同角三角函数的关系可得，再利用三角形的面积公式可求得结果，对于B，由中线的性质可得，平方化简可得答案，对于C，在中利用余弦定理求解，对于D，利用两个三角形面积比分析判断. 【详解】对于A，在中，，，，则 ， 因为，所以， 所以，所以A错误， 对于B，因为E为BC中点，所以， 所以， 所以，所以B正确， 对于D，因为BD为∠ABC的角平分线，所以， 所以，所以D错误， 对于C，因为，所以，在中由余弦定理得 ，所以，所以C正确， 故选：BC    12． 【分析】根据数量积的运算律求得，再根据向量模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由，得，有， 则， 故答案为： 13． 【分析】借助投影向量定义计算即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 14． 【分析】根据平面向量数量积的计算公式和坐标表示求解即可. 【详解】因为梯形中，，，所以， 所以，解得. 以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系， 由对称性不妨设点在点左侧，设，，， 则，，， 所以， 所以当时，取得最小值， 最小值为， 故答案为：； 15．(1)， (2) 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及夹角公式可求答案； （2）利用向量平行的坐标表示可求答案. 【详解】（1）由已知，得，，． 所以向量，夹角的余弦值为． （2）由已知，得， 又向量与向量平行，， 所以， 整理可得，解得． 16．(1)，； (2) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算，结合图形求解可得； （2）将条件转化为，利用，代入条件即可求解. 【详解】（1）， ， . （2）三点共线，由得， ，即， ， . 17．(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的运算律解方程即可； （2）由与夹角是钝角等价于且与不共线，解不等式组即得. 【详解】（1）设与的夹角为， 由， 解得，因，则； （2）由题意得，解得， 再令，则，即， ，解得， 要使与夹角是钝角，则且， 综上可得：或. 即实数的取值范围为． 18．（1），；（2），. 【分析】（1）由题意可得点，分别是的中点和三等分点，利用向量的线性运算可以用基底表示向量，进而可得相应的模长； （2）利用共线可得，进而利用，可得结果. 【详解】（1），则， ，则， 所以， ； （2），则， 在直线上，则，可设， 即，得：， 因为与不共线，所以，得：， 则，又直线经过的垂心， 所以，即， 即：，得：，则. 19．(1)4 (2)7 (3) 【分析】（1）根据已知得出，结合数量积公式得出的值，进而求出的值，根据定义代入数值计算即可得出答案； （2）根据已知得出的坐标，进而根据向量模及其数量积的坐标表示得出的值，进而求出，然后代入公式求解即可得出答案； （3）由已知可得，进而根据向量模的坐标表示得出向量的模，根据定义公式并化简得出.换元令，根据基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. 又，， 则. 又，所以， 所以，. （2）由已知可得，，， 所以有，，， 则. 又， 所以， 所以，. （3）由已知可得， 所以，，则，. 又， 所以，. 因为，所以. 令，则， 当且仅当，，即时等号成立， 所以，的最小值为， 所以的最小值为. 【点睛】思路点睛：根据题意可知与向量的数量积相似，可结合课本已学的知识点，结合新定义公式求解. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$