专题01 从位移、速度、力到向量重难点题型专训（2大题型+20道拓展培优） -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题01 从位移、速度、力到向量重难点题型专训（2大题型+20道拓展培优） 题型一 位移、速度、力与向量的概念 题型二 向量的基本关系 知识点一 向量的背景及向量的概念与表示 1.向量的背景及向量的概念 (1)位移、速度和力这些物理量都是既有大小、又有方向的量,在物理中称为矢量. (2)向量:既有大小,又有方向的量称为向量. (3)数量:那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、长度、体重、面积、体积等). 2.向量的表示方法 (1)几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向. 3.有关概念 (1)向量a的大小,记作|a|,又称作向量的模. (2)长度为0的向量称为零向量,记作0或 .任何方向都可以作为零向量的方向. (3)模等于1个单位长度的向量称为单位向量. 【经典例题一 位移、速度、力与向量的概念】 【例1】（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【分析】由向量的定义即可判断 【详解】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向 故选:C 1．（2023高三上·广西·学业考试）如图，在正方形中，与的夹角为（    ）    A．30° B．90° C．120° D．180° 【答案】B 【分析】根据向量夹角定义结合图形特征判断. 【详解】是正方形，所以向量夹角是. 故选：B. 2．（23-24高一下·全国·课前预习）零向量：始点和终点 的向量称为零向量，记作 . 【答案】 相同 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一下·全国·课前预习）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【答案】(1)答案见解析 (2)地在地的东南方向，距地 【分析】（1）根据向量的定义即可求解， （2）根据三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示．    （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 【经典例题二 向量的基本关系】 【例2】（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 1．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）平行向量（共线向量）：两个非零向量方向 ，则称这两个向量平行（或共线）. 【答案】相同或相反 【分析】略 【详解】略 3．（21-22高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（    ） A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 【答案】C 【分析】利用向量的定义判断即可． 【详解】向量是既有大小，又有方向的量， 因为海拔，压强，温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向， 所以重力是向量， 故选：． 2．（22-23高一下·福建莆田·期中）下列物理量中哪个是向量（    ） A．质量 B．力 C．温度 D．路程 【答案】B 【分析】根据向量的定义判断即可. 【详解】由向量的定义知向量有大小和方向，其中质量、温度、路程只有大小没有方向，力既有大小又有方向， 故选：B. 3．（21-22高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 4．（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误. 【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误， 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确， 对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，    故选：C. 5．（2023高三上·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行向量的定义判断即可. 【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. 由图可知，与方向相反，因此是平行向量. 故选：C. 6．（25-26高一上·全国·随堂练习）（多选）下列物理量中，不是向量的是（    ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 【答案】AD 【分析】根据向量的定义，结合选项，即可求解. 【详解】因为向量是既有大小又有方向的量，而质量和路程只有大小， 故选：AD. 7．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若与同向，且，则 B．若，则与的长度相等且方向相同或相反 C．对于任意，且与的方向相同，则 D．所有的零向量都相等 【答案】CD 【分析】根据向量的概念判断A；根据向量模的概念判断B；根据向量相等的概念判断C；根据向量相等的概念判断D. 【详解】A不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小； B不正确，由只能判断两向量长度相等，并不能判断方向； C正确，，且与同向，由两向量相等的条件可得； D正确，符合相等向量的定义. 故选：CD. 8．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【答案】ABC 【分析】根据向量有关概念判断即可. 【详解】选项A：向量与向量为相反向量，方向相反，长度相等，A正确； 选项B：因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，B正确； 选项C：零向量都相等，C正确； 选项D：向量不可以比较大小，D错误． 故选：ABC 9．（24-25高二上·湖北·开学考试）关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则. C．若，则. D．若，则. 【答案】BD 【分析】根据向量模的定义即可求解C，根据向量共线定义可判断B，根据向量相等的定义即可求解AD. 【详解】对于A，不能得到的方向，故A错误， 对于B，若，则，B正确， 对于C，向量不能比较大小，故C错误， 对于D，若，则，D正确， 故选：BD 10．（25-26高一上·全国·随堂练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 【答案】BC 【分析】利用零向量的定义及相等向量的定义，可判断出选项A、B和C的正误，再由向量的定义知选项D错误. 【详解】对于选项A，因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误， 对于选项B，因为零向量是方向任意，长度为0的向量，所以选项B正确， 对于选项C，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确， 对于选项D，向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误， 故选：BC. 11．（23-24高一下·全国·课前预习）模：向量的 也称为向量的模. 【答案】大小 【分析】略 【详解】略 12．（23-24高一下·全国·课前预习）向量：一般地，既有 又有 的量称为向量（也称矢量）. 【答案】 大小 方向 【分析】略 【详解】略 13．（24-25高一下·全国·课前预习）零向量：如果向量的大小，就称是零向量，记作 . 规定：所有的零向量 . 【答案】 相等 【分析】略. 【详解】略. 14．（23-24高一下·全国·课前预习）相等向量：大小 、方向 的向量称为相等向量，向量和相等，记作 . 【答案】 相等 相同 【分析】略 【详解】略 15．（24-25高一·上海·课堂例题）若，，则 . 【答案】或 【分析】根据，，确定模长和方向得到答案. 【详解】因为，， 所以，模相同，方向相同或相反， 所以或. 故答案为：或. 16．（24-25高一下·全国·课前预习）（1）我们从一支笔、一棵树、一本书中抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对“位移”“速度”进行抽象，它们的共同特征是什么？ （2）你还能举出具有这种特征的量吗？ 【答案】（1）既有大小又有方向；（2）力、加速度等 【分析】略 【详解】（1）同特征是既有大小又有方向；（2）力、加速度等都具有这种特征. 17．（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由向量的相关定义作图即可； （2）由向量的相关定义作图即可； （3）由向量的相关定义作图即可. 【详解】（1） 由题意，故即为所求，其中； （2） 由题意，故即为所求，其中； （3） 由题意，故即为所求，其中. 18．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【分析】运用相等向量，相反向量概念可解. 【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、、、、、. 【分析】根据向量相等的定义直接求解即可. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、、、、、. 20．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 【答案】(1) (2) (3)，，，； (4) 【分析】（1）根据相等向量的定义即可找出与相等的向量； （2）根据平行向量的定义即可找出与平行的向量； （3）根据向量模的定义即可找出与模相等的向量； （4）根据相反向量的定义即可找出的负向量． 【详解】（1）与相等的向量为：； （2）与平行的向量为：； （3）与模相等的向量为：，， ，； （4）的负向量为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 从位移、速度、力到向量重难点题型专训（2大题型+20道拓展培优） 题型一 位移、速度、力与向量的概念 题型二 向量的基本关系 知识点一 向量的背景及向量的概念与表示 1.向量的背景及向量的概念 (1)位移、速度和力这些物理量都是既有大小、又有方向的量,在物理中称为矢量. (2)向量:既有大小,又有方向的量称为向量. (3)数量:那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、长度、体重、面积、体积等). 2.向量的表示方法 (1)几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向. 3.有关概念 (1)向量a的大小,记作|a|,又称作向量的模. (2)长度为0的向量称为零向量,记作0或 .任何方向都可以作为零向量的方向. (3)模等于1个单位长度的向量称为单位向量. 【经典例题一 位移、速度、力与向量的概念】 【例1】（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 1．（2023高三上·广西·学业考试）如图，在正方形中，与的夹角为（    ）    A．30° B．90° C．120° D．180° 2．（23-24高一下·全国·课前预习）零向量：始点和终点 的向量称为零向量，记作 . 3．（24-25高一下·全国·课前预习）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【经典例题二 向量的基本关系】 【例2】（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 2．（23-24高一下·全国·课前预习）平行向量（共线向量）：两个非零向量方向 ，则称这两个向量平行（或共线）. 3．（21-22高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（    ） A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 2．（22-23高一下·福建莆田·期中）下列物理量中哪个是向量（    ） A．质量 B．力 C．温度 D．路程 3．（21-22高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 4．（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 5．（2023高三上·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·随堂练习）（多选）下列物理量中，不是向量的是（    ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 7．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若与同向，且，则 B．若，则与的长度相等且方向相同或相反 C．对于任意，且与的方向相同，则 D．所有的零向量都相等 8．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 9．（24-25高二上·湖北·开学考试）关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则. C．若，则. D．若，则. 10．（25-26高一上·全国·随堂练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 11．（23-24高一下·全国·课前预习）模：向量的 也称为向量的模. 12．（23-24高一下·全国·课前预习）向量：一般地，既有 又有 的量称为向量（也称矢量）. 13．（24-25高一下·全国·课前预习）零向量：如果向量的大小，就称是零向量，记作 . 规定：所有的零向量 . 14．（23-24高一下·全国·课前预习）相等向量：大小 、方向 的向量称为相等向量，向量和相等，记作 . 15．（24-25高一·上海·课堂例题）若，，则 . 16．（24-25高一下·全国·课前预习）（1）我们从一支笔、一棵树、一本书中抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对“位移”“速度”进行抽象，它们的共同特征是什么？ （2）你还能举出具有这种特征的量吗？ 17．（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 18．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 20．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 学科网（北京）股份有限公司 $$