第20讲 三角函数的概念（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第20讲 三角函数的概念 【人教A版2019】 模块一 三角函数的定义 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示. 3．诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： 【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】 【例1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·四川德阳·期末）已知角的终边过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．4或 B． C． D．或 【变式1.3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知为第四象限角，为其终边上的一点，且，则实数（    ） A． B．4 C． D． 【题型2 由单位圆求三角函数值】 【例2】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．－4和 B． C．－4 D．1 【变式2.1】（2025·山东·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知角的终边在第四象限，并且与单位圆交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 三角函数值在各象限的符号】 【例3】（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3.1】（24-25高一上·上海·单元测试）若，且，则角是第（    ）象限的角. A．一 B．三 C．一或三 D．二或四 【变式3.2】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角 【变式3.3】（24-25高一上·河南信阳·期末）若，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【题型4 诱导公式一的应用】 【例4】（24-25高一上·安徽宣城·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高三上·北京·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一上·陕西西安·期末）下列函数值：①；②；③；④，其结果为负值的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 模块二 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 【题型5 同角三角函数的基本关系】 【例5】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式5.1】（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知为第四象限角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型6 正、余弦齐次式的计算】 【例6】（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 【变式6.1】（24-25高一上·四川内江·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（2025·青海西宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高三上·山西运城·期末）已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A．3 B． C． D． 【题型7 三角函数式的化简、求值】 【例7】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式7.1】（24-25高一上·四川巴中·期末）已知是第三象限角，则化简结果为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一上·黑龙江·期末）已知是第二象限角. (1)化简； (2)若，求的值. 【变式7.3】（24-25高一上·天津河东·阶段练习）已知 (1)求的值 (2)求的值. 【题型8 三角恒等式的证明】 【例8】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【变式8.1】（24-25高一下·安徽宿州·期中）求证：＝. 【变式8.2】（24-25高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【变式8.3】（24-25高一·全国·课后作业）求证： (1)； (2). 一、单选题 1．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津河东·阶段练习）求的值（    ） A．4 B．0 C．1 D．3 3．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，则为（    ） A．第一､二象限角 B．第二､三象限角 C．第一、三象限角 D．第一､四象限角 4．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知是三角形的内角，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·天津红桥·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山东·阶段练习）已知，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 7．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖北·期末）已知角的终边过，则（    ） A．角为第二象限角 B． C．当时， D． 的值与的正负有关 11．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知点是角α的终边上一点，则 ． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知点在第四象限，则角的终边在第 象限． 14．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知直线与以原点为原心的单位圆交于两点，点在轴的上方，是坐标原点． (1)求以射线为终边的角的正弦值和余弦值； (2)求以射线为终边的角的正切值． 17．（24-25高一下·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，点在角的终边上. (1)求的值： (2)求的值. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 19．（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数，其中为第三象限角且 (1)求的值； (2)求的值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 三角函数的概念 【人教A版2019】 模块一 三角函数的定义 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示. 3．诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： 【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】 【例1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据任意角的三角函数的定义计算可得. 【解答过程】已知角的终边经过点，所以. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高一上·四川德阳·期末）已知角的终边过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由终边上的点及三角函数的定义求参数，进而求正切值. 【解答过程】设， 由三角函数的定义得，整理可得， 因为，所以，所以. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．4或 B． C． D．或 【解题思路】利用三角函数的定义可得，求解即可. 【解答过程】因为，所以， 又角的终边经过点，所以， 又，所以，解得或. 经检验，或均符合题意. 故选：A. 【变式1.3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知为第四象限角，为其终边上的一点，且，则实数（    ） A． B．4 C． D． 【解题思路】根据任意角三角函数的定义分析求解即可. 【解答过程】由题意可知：，且， 可得，解得. 故选：C. 【题型2 由单位圆求三角函数值】 【例2】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．－4和 B． C．－4 D．1 【解题思路】由三角函数的定义建立关系求解实数即可. 【解答过程】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得， 故选：B. 【变式2.1】（2025·山东·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的图形，求出点的坐标，再利用余弦函数定义可求得答案. 【解答过程】由图知，点在第二象限，设其横坐标为，由，得， 所以. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知角的终边在第四象限，并且与单位圆交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用三角函数的定义可求得的值. 【解答过程】因为角的终边在第四象限，并且与单位圆交于点，则， 则. 故选：C. 【变式2.3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可. 【解答过程】因为终边与单位圆交于点，则终边落在第二象限， 所以，，. 故选：A. 【题型3 三角函数值在各象限的符号】 【例3】（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据三角函数的符号与角的象限间的关系即可求得角的终边所在象限. 【解答过程】根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 由，可得角的终边位于第三象限. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高一上·上海·单元测试）若，且，则角是第（    ）象限的角. A．一 B．三 C．一或三 D．二或四 【解题思路】先判断角所在的象限，再判断角所在的象限. 【解答过程】由条件知与异号，则为第二或第三象限的角.又与异号，则为第三或第四象限的角， 所以为第三象限的角，即，， ∴，， ∴为第二或第四象限的角. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角 【解题思路】根据给定条件，结合同角公式，由正余弦值的符号判断角所在象限即可推理得解. 【解答过程】由，得，则且，又， 因此且，是第二象限角，即， 则，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角， 所以是第一或三象限角. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高一上·河南信阳·期末）若，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解题思路】根据给定条件，利用同角公式变形得，再求出角所在象限. 【解答过程】由，，得，， 因此，所以角是第四象限角. 故选：D. 【题型4 诱导公式一的应用】 【例4】（24-25高一上·安徽宣城·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用诱导公式化简求值． 【解答过程】由诱导公式可得，． 故选：B． 【变式4.1】（24-25高三上·北京·阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求得答案. 【解答过程】. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由诱导公式和特殊角的三角函数值计算出答案. 【解答过程】. 故选：C. 【变式4.3】（24-25高一上·陕西西安·期末）下列函数值：①；②；③；④，其结果为负值的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】利用诱导公式及各象限内三角函数的正负判断即可. 【解答过程】对于①：， 对于②：， 对于③：， 因为，所以，即， 对于④：因为，所以. 故选：C. 模块二 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 【题型5 同角三角函数的基本关系】 【例5】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【解题思路】将 两边平方，可得，计算进而可求解. 【解答过程】将 两边平方，得， 即，所以， 所以 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【解答过程】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 【变式5.2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用同角函数之间关系即可求的结果. 【解答过程】因为，所以，又， 联立上述式子,又，所以， 解得， 故 故选：A. 【变式5.3】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知为第四象限角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据为第四象限角得到，利用同角三角函数的基本关系可得结果. 【解答过程】∵为第四象限角，∴， ∵，则， 即， 故， 所以， ∴， ∴. 故选：B. 【题型6 正、余弦齐次式的计算】 【例6】（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 【解题思路】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【解答过程】因为， 所以 . 故选：A. 【变式6.1】（24-25高一上·四川内江·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，把问题转化成“齐次式”求解. 【解答过程】由 . 所以 . 故选：B. 【变式6.2】（2025·青海西宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，可得，将切化弦，再利用齐次式法计算即可. 【解答过程】因为， 则，所以， 则， 所以． 故选：D. 【变式6.3】（24-25高三上·山西运城·期末）已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A．3 B． C． D． 【解题思路】根据三角函数的定义，求得的值，再利用同角三角函数的基本关系化弦为切，代入即可求解. 【解答过程】由三角函数的定义可得， 所以 . 故选：C. 【题型7 三角函数式的化简、求值】 【例7】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】将化成，再结合化简即可. 【解答过程】原式， 因为，则，所以上式. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高一上·四川巴中·期末）已知是第三象限角，则化简结果为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据同角三角函数的平方关系，结合弦函数的值域化简即可. 【解答过程】 ， 因为是第三象限角，所以， 所以原式化简结果为. 故选：D. 【变式7.2】（24-25高一上·黑龙江·期末）已知是第二象限角. (1)化简； (2)若，求的值. 【解题思路】（1）先根据平方关系化简，再根据角的象限确定开方符号，最后化简得结果； （2）先根据条件解得，再将待求式化成关于的齐次分式，并利用弦化切求结果. 【解答过程】（1）∵为第二象限角，∴ ∴ . （2）由，得， ∴， 所以 . 【变式7.3】（24-25高一上·天津河东·阶段练习）已知 (1)求的值 (2)求的值. 【解题思路】（1）根据条件，利用齐次式，即可求解； （2）利用，再利用齐次式，即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以. （2）因为， 又，所以. 【题型8 三角恒等式的证明】 【例8】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【解题思路】（1）利用平方关系和商关系可证结论； （2）利用平方关系可证结论. 【解答过程】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 【变式8.1】（24-25高一下·安徽宿州·期中）求证：＝. 【解题思路】分子分母同乘以，再利用商数关系和平方关系即可得证. 【解答过程】证明：∵右边＝ ＝ ＝ ＝＝＝左边， ∴＝. 【变式8.2】（24-25高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）利用平方差公式及证明. （2）利用提取公因式及证明. （3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明. 【解答过程】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 【变式8.3】（24-25高一·全国·课后作业）求证： (1)； (2). 【解题思路】（1）（2）利用同角三角函数的商数关系、平方关系，将等式左侧化简，证明结论即可. 【解答过程】（1） . 所以原式成立. （2） . 所以原式成立. 一、单选题 1．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意有求参数y，再由正弦函数的定义求. 【解答过程】由题意，且，解得， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一上·天津河东·阶段练习）求的值（    ） A．4 B．0 C．1 D．3 【解题思路】代入特殊角的三角函数值计算即可. 【解答过程】. 故选：A. 3．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若，则为（    ） A．第一､二象限角 B．第二､三象限角 C．第一、三象限角 D．第一､四象限角 【解题思路】根据各象限角的三角函数的符号特征判断即可. 【解答过程】因为，则或， 所以为第一象限或第四象限角. 故选：D. 4．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知是三角形的内角，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可． 【解答过程】∵是三角形的内角，∴，即， ∵，∴， ∴. 故选：B． 5．（24-25高一上·天津红桥·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数定义即可求解. 【解答过程】由题意及图示可知，点的纵坐标为， 则点的横坐标为， 所以. 故选：B. 6．（24-25高一上·山东·阶段练习）已知，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 【解题思路】利用同角三角函数之间的基本关系计算可得. 【解答过程】由可得， 解得. 故选：C. 7．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】分母变为，可得正余弦齐次式，弦化切求解即可. 【解答过程】因为角α的终边在函数的图象上，所以， = 故选：A. 8．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由两边平方，求得，推得，再求得，联立求得，即得，即可逐一判断. 【解答过程】由，两边平方得：， 则，因，故有，故A正确； 由上已得：，故， 由可得，于是， 又，联立解得：， 故，故B,D正确，C错误. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数的定义列式，求得，再根据正切函数的定义即可求解. 【解答过程】由题意角的终边经过点，且，可知， 解得，故A正确，B错误； 所以角的终边经过点，所以，故C正确，D错误. 故选：AC. 10．（24-25高一上·湖北·期末）已知角的终边过，则（    ） A．角为第二象限角 B． C．当时， D． 的值与的正负有关 【解题思路】考虑，判断A错误；结合三角函数定义求，判断B，结合三角函数定义求判断C，结合三角函数定义求直接求判断D. 【解答过程】由，角的终边在第四象限，显然A错误； 由定义，，B项正确； 当时，， 所以，所以C项正确； 因为，与的正负无关，所以D项错误， 故选：BC. 11．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解. 【解答过程】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知点是角α的终边上一点，则 ． 【解题思路】先求出的值，再根据三角函数的定义计算即得. 【解答过程】点即， 依题意，. 故答案为:. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知点在第四象限，则角的终边在第 三 象限． 【解题思路】由点在第四象限可得不等式组，结合三角函数值的符号即可确定角的终边位置. 【解答过程】因点在第四象限，故有， 由①可得，的终边落在第一或第三象限； 由②可得，的终边落在第二或第三象限，或落在轴的非正半轴上. 综上可知，角的终边在第三象限. 故答案为：三. 14．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【解题思路】由已知条件，利用同角三角函数关系以及角的象限所对应的三角函数值的符号求得的值，再根据为第三象限角，借助同角基本关系式求得的值. 【解答过程】因为为第三象限角，所以， 所以， 则， 又，所以,解得， 又，所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【解题思路】（1）结合三角函数的定义即可求解； （2）结合三角函数的定义即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以当， 当 （2）若为第二象限角，则， 所以. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知直线与以原点为原心的单位圆交于两点，点在轴的上方，是坐标原点． (1)求以射线为终边的角的正弦值和余弦值； (2)求以射线为终边的角的正切值． 【解题思路】（1）求出点坐标，再根据三角函数的定义求值即可； （2）求出点坐标，再根据三角函数的定义求值即可； 【解答过程】（1）由题意可知点坐标为， 所以，. （2）由题意可得点坐标为， 所以. 17．（24-25高一下·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，点在角的终边上. (1)求的值： (2)求的值. 【解题思路】（1）由三角函数定义可求得的值； （2）利用弦化切可得出所求代数式的值. 【解答过程】（1）由于点在角的终边上，所以， （2）. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明. 【解答过程】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 19．（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数，其中为第三象限角且 (1)求的值； (2)求的值. 【解题思路】（1）化简，根据为第三象限角得到，化简原式为，计算得到答案. （2）根据同角三角函数关系化简原式为，代入数据计算得到答案. 【解答过程】（1） ， 为第三象限角，故，，故， . （2） . 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$