第22讲 三角函数的图象与性质（十大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第22讲 三角函数的图象与性质 【人教A版2019】 模块一 三角函数的图象与性质 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形 状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2] 上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点 (-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图. 【题型1 五点法画正弦、余弦函数的图象】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据与的关系进行判断即可． 【解答过程】与对应五点的横坐标相同，则五点法对应五点的横坐标， 故选：A． 【变式1.1】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【解题思路】作出两函数在上的图象，结合图象即可得答案. 【解答过程】时，， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 时，， 函数的周期， 结合周期，利用五点法作出图象，    由图知，共有4个交点. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2). 【解题思路】（1）列表,令，求出函数值，描点连线可得； （2）列表,令，求出函数值，描点连线可得； 【解答过程】（1）按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：    （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：    【变式1.3】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【解题思路】（1）根据五点法及正弦函数的五点，列表、描点、连线，画出图象； （2）先根据图象再分情况数形结合得出个数即可. 【解答过程】（1）由题意，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 1 1 根据五点，作图： （2）其图象如图： 观察图象得：当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点； 当或时，有2个交点； 当时，有3个交点. 【题型2 正、余弦函数图象的应用】 【例2】（24-25高一上·山东青岛·期末）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标． 【解答过程】作出函数和在上的图象如下 从图像上可得：函数的图象和的图象在内有两个交点： ，即，得， ，，得， 所有交点横坐标之和为. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一上·山西运城·期末）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】由偶函数的图象性质，以及指数函数、三角函数的值域即可求解. 【解答过程】由题意函数定义域为全体实数， 且，所以函数是偶函数，排除CD， 当时，，排除A，经检验，B选项符合题意. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列的取值范围能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数在区间内的图象，数形结合可得不等式的解集． 【解答过程】如图分别为函数在区间内的图象． 当时，或， 结合图象可知满足的的取值范围为. 故选：B． 【变式2.3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】先五点法作图，再利用数形结合即可得交点个数. 【解答过程】由于， 则函数的图象与直线的交点个数为2个． 故选：C. 【题型3 三角函数的定义域、值域与最值】 【例3】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）函数，的值域是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正弦函数的基本性质可求得原函数的值域. 【解答过程】因为，则，故. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域. 【解答过程】由正切函数的定义域，令，即， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数（）的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【解题思路】先利用最小正周期求出的值，再根据正弦函数的图象和性质求解最小值即可. 【解答过程】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 当时，， 由正弦函数的图象和性质可知当即时，取最小值， 故的最小值为. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求的范围，再根据余弦函数的性质求值域. 【解答过程】因为，所以，则， 故的值域为． 故选：C. 【题型4 由三角函数的值域（最值）求参数】 【例4】（24-25高一·全国·课后作业）已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出，再根据解方程即可. 【解答过程】因为，即， 又，所以，所以， 所以，． 故选：A． 【变式4.1】（2025·河南郑州·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可得，再利用值域可限定，解得的取值范围为. 【解答过程】由及可得， 根据其值域为，且， 由正弦函数图象性质可得， 即可得，解得. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数在区间上的最大值为，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由可得出，分析可知，分、两种情况讨论，求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【解答过程】因为，当时，， 又因为函数在区间上的最大值为， 则， 若，则，此时，有，A合乎条件； 若，则，又因为，则，即. BCD均不合乎题意. 故选：A. 【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由求出，结合周期可得答案. 【解答过程】函数的最小正周期，由题可得， 分别在同一周期内取得最小值的自变量的两侧，且， ， 由得，解得， 由得，或 解得，或， 因为，若，则，所以； 若，则，所以，即的取值范围是． 故选：C. 模块二 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【题型5 求三角函数的单调区间】 【例5】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】利用诱导公式可得，结合正弦函数的单调区间分析求解. 【解答过程】因为， 且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：C． 【变式5.1】（24-25高一上·全国·课后作业）关于函数，下列说法正确的有（    ） A．在区间内单调递减 B．在区间内单调递增 C．在区间内单调递减 D．在区间内单调递增 【解题思路】利用整体思想，结合三角函数的单调性，建立不等式，可得答案. 【解答过程】令，解得， 令可知函数在区间内单调递增，A错误，B正确； 同理可知函数在区间内单调递减，C错误，D错误． 故选：B. 【变式5.2】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由周期公式及单调性逐个判断即可； 【解答过程】因为函数的周期为， 所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB， 当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减，故C正确，D错误. 故选：C. 【变式5.3】（24-25高二上·甘肃武威·阶段练习）已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解. 【解答过程】当时，， 所以当，即时，函数单调递增． 故选：B. 【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 【例6】（24-25高三上·江苏盐城·期中）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，得到，然后根据在单调求解. 【解答过程】解：因为， 所以， 因为在单调， 所以， ∴， 故选：D. 【变式6.1】（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【解题思路】利用余弦函数在上是单调递减的，结合相位的整体思想，即可得到不等式求解的范围，从而可判断选项. 【解答过程】令，因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 根据余弦函数在上是单调递减的。 则有，解得，所以的最大值为． 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一上·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由可求出的取值范围，根据正切型函数的单调性可得出集合的包含关系，可得出关于的不等式组，即可求正实数的取值范围. 【解答过程】因为，则函数在区间上只能单调递增， 当时，， 所以，，其中， 所以，，解得， 由解得，且， 当时，； 当时，则，可得. 综上所述，正实数的取值范围是. 故选：D. 【变式6.3】（24-25高一上·湖北黄冈·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数k求出ω的取值范围. 【解答过程】， ∵函数在区间内单调递增， ∴，∴， ∵，∴， 若在区间上单调递增，则， 解得，当时，，又因为，∴. 故选：A. 【题型7 三角函数的奇偶性与对称性问题】 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）函数图象为上的奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数奇偶性得到方程，求出，从而得到答案. 【解答过程】因为函数为上的奇函数， 所以， 即， 当时，，其他选项均不正确.. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二下·全国·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．为偶函数 D．的最小正周期为 【解题思路】根据题意，由余弦型函数的性质，即对称性，周期性，奇偶性即可得到结果. 【解答过程】，的图象关于点不对称，故A选项不正确. ，的图象关于直线不对称，故B选项不正确. 因为， 又，即，故为偶函数，故C选项正确. 的最小正周期为，故D选项不正确. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高一上·河北唐山·期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【解题思路】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得. 【解答过程】选项A: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故A错误； 选项B: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故B错误； 选项C: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故C正确； 选项D: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故D错误. 故选：C. 【变式7.3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．曲线关于直线对称 C．曲线关于点对称 D．曲线关于直线对称 【解题思路】将化简，根据正弦函数的性质求解判断即可. 【解答过程】由， A：因为在上单调递增，所以在上单调递减，错误； B，D：因为的对称轴为，，故B正确，D错误； C：因为的对称中心为，，错误. 故选：B. 【题型8 三角函数的周期性问题】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期是（   ） A． B． C．4 D．6 【解题思路】根据求函数的最小正周期. 【解答过程】因为，所以函数的最小正周期． 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设函数，则为（  ） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数 【解题思路】根据周期函数的定义判断即可. 【解答过程】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确D错误. 故选：C. 【变式8.2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于AD，根据图象变换和周期公式分析判断，对于BC，根据周期公式分析判断. 【解答过程】对于A，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故D正确． 故选：D． 【变式8.3】（24-25高一上·全国·课后作业）设，则等于（   ） A． B． C．0 D． 【解题思路】求出函数的周期，然后求出，利用周期性即可求和. 【解答过程】因为的最小正周期， 且，， ，． 所以， 所以. 故选：B． 【题型9 三角函数的零点问题】 【例9】（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数在上有且只有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出的范围，利用余弦函数性质列不等式组求解可得. 【解答过程】， 又因为在上有且仅有4个零点， ，解得 故选：B. 【变式9.1】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）当，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据题意作出，在同一坐标系下的图象求得交点个数可得. 【解答过程】由，得， 作出，，的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4. 故选：B. 【变式9.2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将函数的零点转化为方程在区间有且仅有3个根，由三角函数性质可解. 【解答过程】函数的零点， 即方程的根， 当时，，方程在区间有且仅有3个根， 则，解得. 故选：D. 【变式9.3】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 分析可得，可得出，再结合题意可得出关于的不等式，结合的取值可求得的取值范围. 【解答过程】因为恒成立，则， 所以，，则， 当时，， 因为，则， 因为在区间上恰有个零点，则， 即，，解得，， 假设不存在，则或，解得或， 因为存在，则，因为，则. 所以，，可得， 故选：A. 【题型10 三角函数的图象与性质的综合应用】 【例10】（24-25高一上·天津南开·期末）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 【解题思路】根据函数周期性定义判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；将代入验证可判断C；将代入验证可判断D. 【解答过程】对于A，函数， 即的一个周期为，A正确； 对于B，时，， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上不单调，B错误； 对于C，， 将代入得， 故的一个零点为，C正确； 对于D，将代入，即, 即取到最值，故的图象关于直线对称，D正确， 故选：B. 【变式10.1】（24-25高一下·江西宜春·期中）已知函数 在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.其中所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．② D．②③④ 【解题思路】由正弦型函数的性质求对称轴方程为，结合区间对称轴条数求范围判断③；根据给定区间及正弦函数性质确定零点个数判断①；求最小正周期的范围、判断区间单调性判断②④； 【解答过程】由函数 ， 令，则， 函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合， 由，得， 则，即，，故③正确； ①，，，， 当时，在区间上有且仅有3个不同的零点； 当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，错误； ②，周期，由，则， ，又，所以的最小正周期可能是，正确； ④，，，又， ，又， 所以在区间上不一定单调递增，错误. 故选：B. 【变式10.2】（24-25高二下·新疆塔城·期中）已知． (1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求的单调增区间； (3)当时，求函数的最大值和最小值． 【解题思路】（1）结合函数的图象与性质即可求出结果； （2）利用整体代入法即可求出函数单调区间； （3）根据求得，进而根据函数的图象与性质即可求出结果. 【解答过程】（1）最小正周期，令， 所以，所以对称轴方程为； （2）令， 所以，所以的单调增区间为； （3）当时， 所以，所以， 当，即时取得最大值， 当，即时取得最小值， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 【变式10.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数为偶函数，求的最小值． 【解题思路】（1）由两相邻对称中心之间的距离为，可得，再利用周期公式可求出，然后由图象关于直线对称可求出的值，从而可得函数解析式，进而可求出的最小正周期和单调递增区间； （2）由为偶函数，可得，从而可求出的最小值． 【解答过程】（1）函数，且两相邻对称中心之间的距离为， 则，解得． 函数的图象关于直线对称，则， 解得． 由于，则， 故函数． 所以的最小正周期． 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为． （2）函数为偶函数， 则， 得，解得， 当时，． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【解题思路】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为，求出值. 【解答过程】由“五点法”作图知，令， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：D． 2．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（   ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】将点与的坐标代入函数表达式，建立关于的方程组即可求解. 【解答过程】点与代入中， 可得，解得，. 故选：A． 3．（24-25高一上·湖北黄冈·期末）下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正弦函数、余弦函数，正切函数的奇偶性以及周期公式逐项判断即可. 【解答过程】对于A，的最小正周期，故A错误； 对于B，为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，为奇函数，且最小正周期为，故C正确； 对于D，为偶函数，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高一下·江西赣州·期中）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件列方程求，结合正切函数的性质求的单调递增区间. 【解答过程】依题意，，且， 即且， 因为，所以， 则， 所以，化简得， 因为，所以时，故， 所以． 由，得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 5．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A． B．2 C．5 D． 【解题思路】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【解答过程】函数的最小正周期 且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这两个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故选：D. 6．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 【解题思路】根据可判断A，根据余弦函数的单调性可判断B，根据代入验证根是否为0可判断C，根据余弦函数的对称性可判断D. 【解答过程】对于A，，故是的一个周期，正确； 对于B，当时，，故时，，时，，结合余弦函数单调性可得： 函数在上单调递减，在上单调递增，错误； 对于C，，当时，，故是的一个零点，正确； 对于D，易知的对称轴方程为，解得， 当时，可得，故的图像关于直线对称，正确. 故选：B. 7．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．8 【解题思路】由函数的图象过点求得，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得的范围，即可得解. 【解答过程】因为函数的图象过点，所以， 因为，所以，所以， 当时，， 因为在区间上具有单调性， 所以，， 即且，， 则，， 因为，得， 因为，所以时，，则； 当时，， 综上，，即的最大值为. 故选：C. 8．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象的对称轴为直线 D．函数的单调递增区间为 【解题思路】根据给定的图象，求出函数的解析式，再逐项分析求解即可. 【解答过程】观察函数图象，，函数的最小正周期,解得， ，由，得， ，则， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，由，得， 函数的图象的对称轴为直线，C错误； 对于D，由，得， 因此函数的单调递增区间为，D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏镇江·期末）下列四个函数中，周期为，且在区间上单调递增的有（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正弦、余弦、正切函数的性质一一判断即可. 【解答过程】对于A：当时，，所以， 但是在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误； 对于B：函数的最小正周期， 当时，，又在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C：函数的最小正周期且在上单调递增，故C正确； 对于D：函数的最小正周期，故D错误. 故选：BC. 10．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，下列选项正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间上的值域为 【解题思路】由余弦型函数的相关性质逐项求解判断即可. 【解答过程】对于A选项，函数的最小正周期为，故A对； 对于B选项，由得， 所以，函数的单调递增区间为，故B错； 对于C选项，当时，， 由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，故C对； 对于D选项，当时，，则， 则函数在区间上的值域为，故D错. 故选：AC. 11．（24-25高二上·湖南·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增 【解题思路】对于A，根据图象求得求解判断；对于B，由求解判断；利用三角函数的对称轴对C选项进行判断，利用三角函数的单调性对D选项进行判断. 【解答过程】对于A，因为，所以由图象知， ，所以，A选项正确； 由图象知，又因为， 所以 即， 因为，所以，B错误； 对于C，当时，， 则不是的对称轴，故C错误； 对于D，的单调增区间满足：，， 即单调增区间为，， 当时，增区间为，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高二上·湖南长沙·期中）函数的最小正周期是 ． 【解题思路】由正弦函数的最小正周期公式求解即可. 【解答过程】函数的最小正周期是：. 故答案为：. 13．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为 ． 【解题思路】利用正弦函数的奇偶性整理函数，根据整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【解答过程】， 要求的单调递增区间，即求的单调递减区间， 令，解得， 令，又，故函数的单调递增区间为． 故答案为：. 14．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 18 . 【解题思路】根据给定条件，结合正弦函数的对称性列式求出及的表达式，再利用零点个数求出范围，求出值并验证得解. 【解答过程】依题意，，解得， ，而，则， ，由，得， 由在区间上有且仅有两个零点，得，解得， 于是，或，当时，，，不符合要求， 当时，，，符合题意， 所以. 故答案为：18. 四、解答题 15．（24-25高一上·云南红河·期末）已知函数. (1)求的对称中心和单调递增区间； (2)求不等式的解集. 【解题思路】（1）根据正弦函数的性质求对称中心和递增区间即可； （2）利用正弦函数的区间单调性及周期性求解不等式. 【解答过程】（1）因为， 由，得，所以函数的对称中心为 令，得， 所以的单调递增区间为. （2）由可得，， 所以，解得， 即不等式的解集为. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 【解题思路】（1）借助正弦函数的单调增区间列出不等式并求解即可； （2）利用正弦函数的性质求出在指定区间上的值域. 【解答过程】（1）由， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，， 则， 于是，因此， 所以函数的值域为. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若，求函数的定义域及最小正周期； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围． 【解题思路】（1）把代入，利用正切函数定义域及周期公式列式求解. （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【解答过程】（1）当时，，则函数的最小正周期； 由，解得， 所以函数的定义域为． （2）由，得， 由函数在区间内单调递增，得，解得，又， 所以的取值范围为． 18．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知函数. (1)求当取得最大值时，的取值集合； (2)求在上的值域. (3)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数在上的图象. 【解题思路】（1）直接根据正弦函数的性质求解； （2）根据三角函数值域的求法来求得正确答案； （3）利用五点法完成表格，然后再作图即可. 【解答过程】（1）由已知令， 则，所以， 解得， 即当取得最大值时，的取值集合为； （2）当时，， 则，即 所以在上的值域为； （3） 0 图象如下： 19．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数， (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求出周期，再由的单调增区间，整体代入即可求解； （2）令，从而得到，再利用的图象与性质，即可求解. （3）转化为在上有两个解，求出，结合正弦函数性质得到，求出答案. 【解答过程】（1）因为，所以的最小正周期为， 令，，求得，， 可得的单调递增区间为，． （2）由题意，则令，则， 又时，，得到， 故的最大值和最小值分别为，； （3）在区间上有两个零点， 等价于在上有两个解，即在上有两个解， 由，得， 要想在上有两个解， 则，解得， 故的取值范围为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲 三角函数的图象与性质 【人教A版2019】 模块一 三角函数的图象与性质 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形 状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2] 上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点 (-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图. 【题型1 五点法画正弦、余弦函数的图象】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1.1】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2). 【变式1.3】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【题型2 正、余弦函数图象的应用】 【例2】（24-25高一上·山东青岛·期末）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·山西运城·期末）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列的取值范围能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型3 三角函数的定义域、值域与最值】 【例3】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）函数，的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数（）的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【题型4 由三角函数的值域（最值）求参数】 【例4】（24-25高一·全国·课后作业）已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2025·河南郑州·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数在区间上的最大值为，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模块二 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【题型5 求三角函数的单调区间】 【例5】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5.1】（24-25高一上·全国·课后作业）关于函数，下列说法正确的有（    ） A．在区间内单调递减 B．在区间内单调递增 C．在区间内单调递减 D．在区间内单调递增 【变式5.2】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高二上·甘肃武威·阶段练习）已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 【例6】（24-25高三上·江苏盐城·期中）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【变式6.2】（24-25高一上·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高一上·湖北黄冈·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 三角函数的奇偶性与对称性问题】 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）函数图象为上的奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二下·全国·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．为偶函数 D．的最小正周期为 【变式7.2】（24-25高一上·河北唐山·期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【变式7.3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．曲线关于直线对称 C．曲线关于点对称 D．曲线关于直线对称 【题型8 三角函数的周期性问题】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期是（   ） A． B． C．4 D．6 【变式8.1】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设函数，则为（  ） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数 【变式8.2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高一上·全国·课后作业）设，则等于（   ） A． B． C．0 D． 【题型9 三角函数的零点问题】 【例9】（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数在上有且只有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）当，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9.2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9.3】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型10 三角函数的图象与性质的综合应用】 【例10】（24-25高一上·天津南开·期末）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 【变式10.1】（24-25高一下·江西宜春·期中）已知函数 在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.其中所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．② D．②③④ 【变式10.2】（24-25高二下·新疆塔城·期中）已知． (1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求的单调增区间； (3)当时，求函数的最大值和最小值． 【变式10.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数为偶函数，求的最小值． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 2．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·湖北黄冈·期末）下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江西赣州·期中）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A． B．2 C．5 D． 6．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 7．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．8 8．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象的对称轴为直线 D．函数的单调递增区间为 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏镇江·期末）下列四个函数中，周期为，且在区间上单调递增的有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，下列选项正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间上的值域为 11．（24-25高二上·湖南·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增 三、填空题 12．（24-25高二上·湖南长沙·期中）函数的最小正周期是 ． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为 ． 14．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 . 四、解答题 15．（24-25高一上·云南红河·期末）已知函数. (1)求的对称中心和单调递增区间； (2)求不等式的解集. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若，求函数的定义域及最小正周期； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围． 18．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知函数. (1)求当取得最大值时，的取值集合； (2)求在上的值域. (3)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数在上的图象. 19．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数， (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$