专题1.9 等边三角形（举一反三讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题1.9 等边三角形（举一反三讲义） 【苏科版2024】 【题型1 根据等边三角形的性质求长度】 1 【题型2 根据等边三角形的性质求角度】 2 【题型3 根据等边三角形的性质证明】 4 【题型4 证明是等边三角形】 6 【题型5 与等边三角形有关的折叠问题】 7 【题型6 等边三角形中的动点问题】 8 【题型7 等边三角形中的多结论问题】 10 知识点1 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点2 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【题型1 根据等边三角形的性质求长度】 【例1】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，等边的边长为2，点、分别在边、上（不与的顶点重合），将沿翻折，点落在点处，则三个阴影三角形的周长和为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式1-2】（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ． 【变式1-3】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等边三角形的边各取一点D，E，连接交于点F，使，若，则长度为 ． 【题型2 根据等边三角形的性质求角度】 【例2】（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，设和都是正三角形，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·山东威海·一模）已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据等边三角形的性质证明】 【例3】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3-1】（23-24八年级上·全国·单元测试） 如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长． 【变式3-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式3-3】（24-25七年级上·山东东营·期末）【问题初探】 如图1，已知为等边三角形，点为边上一动点（点不与点，点重合）．以为边向右侧作等边，连接． （1）求证：； （2）猜想并证明①与的位置关系；②线段、、之间的数量关系． 【类比探究】 （3）如图2，若点在边的延长线上，其它条件不变，随着动点的运动位置不同，猜想（2）的两个结论是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 【题型4 证明是等边三角形】 【例4】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点、、、在同一条直线上，与交于点，，，若，求证：是等边三角形． 【变式4-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点，，求证：是等边三角形． 【变式4-3】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【题型5 与等边三角形有关的折叠问题】 【例5】如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ． 【变式5-1】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则 °． 【变式5-2】如图，已知等边中，点D，E分别在边，上，把沿直线翻折，使点B落在点处，，分别交边于点F，G.若，则的度数为 度．    【变式5-3】如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积是整个图形面积的 ．    【题型6 等边三角形中的动点问题】 【例6】如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒． 【变式6-1】（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，是等边三角形． 【变式6-2】（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，等边三角形的边长为，电子蚂蚁从点A以秒的速度沿等边三角形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁从点A以/秒的速度沿等边三角形的边逆时针运动，则电子蚂蚁和第2023次相遇在 ． 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边中，点是边上一点（点不与端点重合）．作点关于直线的对称点，连接，在射线上取一点，使，与所在直线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当在边上运动时，判断，，面积之间的数量关系，并说明理由． 【题型7 等边三角形中的多结论问题】 【例7】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知等边，，点D在上，点F在的延长线上，，于E，于G，交于点P，则以下结论：①；②；③；④中，一定正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【变式7-1】（24-25八年级下·江西抚州·期中）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，对于，若存在点分别在上，使得 ，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ． 【变式7-3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点、、依次在同一条直线上，与在直线的同侧且都是等边三角形，给出下面四个结论：①，②，③，④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.9 等边三角形（举一反三讲义） 【苏科版2024】 【题型1 根据等边三角形的性质求长度】 1 【题型2 根据等边三角形的性质求角度】 4 【题型3 根据等边三角形的性质证明】 8 【题型4 证明是等边三角形】 17 【题型5 与等边三角形有关的折叠问题】 21 【题型6 等边三角形中的动点问题】 24 【题型7 等边三角形中的多结论问题】 28 知识点1 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点2 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【题型1 根据等边三角形的性质求长度】 【例1】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，等边的边长为2，点、分别在边、上（不与的顶点重合），将沿翻折，点落在点处，则三个阴影三角形的周长和为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，应用转化思想是解题的关键． 由折叠的性质可得，再把三个阴影三角形的周长和转化成等边的三边之和，即可解答． 【详解】解：∵由折叠的性质可得：， ∴三个阴影三角形的周长和为：， ∵，， ∴三个阴影三角形的周长和， 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据等边三角形的性质求出，然后根据等角对等边得出，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为∶14． 【变式1-3】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等边三角形的边各取一点D，E，连接交于点F，使，若，则长度为 ． 【答案】3 【分析】由等边三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可以得出结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，证明是解决本题的关键． 【题型2 根据等边三角形的性质求角度】 【例2】（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，设和都是正三角形，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后设，从而可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵和都是正三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2-2】（2025·山东威海·一模）已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的判定和性质．作，先由平行线的性质得到，再判定，由平行线的性质得到，最后根据平角的性质即可求解． 【详解】解：∵等边， ∴， 作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-3】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，由正方形性质得，，由是等边三角形性质得，，进而得，则，再根据三角形内角和定理求出，继而根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【题型3 根据等边三角形的性质证明】 【例3】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再由，，可得． （2）先根据证明，即可得到，然后证明即可得到结论． 【详解】（1）是等边三角形 ， ， 由旋转的性质得 ∴ ． （2）由旋转的性质得， 是等边三角形， ，， ， ， 【变式3-1】（23-24八年级上·全国·单元测试） 如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长． 【答案】4 【分析】本题考查的是折叠变换，等边三角形的判定与性质；解题的关键是利用折叠的性质，得出是等边三角形．根据折叠的性质可得，，根据点D是的中点，得出是等边三角形，据此即可解得的长． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点E处， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质结合题意可得，由角平分线的定义可得，利用得出； （2）证明，由全等三角形的性质结合等边三角形的性质可得，最后再由全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3-3】（24-25七年级上·山东东营·期末）【问题初探】 如图1，已知为等边三角形，点为边上一动点（点不与点，点重合）．以为边向右侧作等边，连接． （1）求证：； （2）猜想并证明①与的位置关系；②线段、、之间的数量关系． 【类比探究】 （3）如图2，若点在边的延长线上，其它条件不变，随着动点的运动位置不同，猜想（2）的两个结论是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）①成立；②不成立，应为，见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质， （1）根据等边三角形的性质得到，，，进而得到，根据“”即可证明； （2）由得到，，从而，即可得到，根据线段的和差可得； （3）同（1）可证，得到，，从而，即可得到，根据线段的和差得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形 ∴，， ∴ 即 在和中 ∴ （2）①；② 理由：由（1）得 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； （3）①平行成立②不成立，应为 理由：∵和是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ 即 在和中 ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴． 【题型4 证明是等边三角形】 【例4】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，即可证明； （2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中，， ； （2）如图，在上截取，连接， ， 在和中， ， ， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点、、、在同一条直线上，与交于点，，，若，求证：是等边三角形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，先根据三边分别相等的三角形是全等三角形，则，故，再结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式4-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．由在中，，，易得，，又由平分，，，即可证得，继而证得：为等边三角形． 【详解】证明：在中，，， ，， ，， 平分， ， ，， ， ， ， 为等边三角形． 【变式4-3】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用等边三角形的性质求出的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，从而根据求解即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，然后根据证明是等边三角形即可． 【详解】（1）解：在等边 中， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解： 是等边三角形． 理由如下： 由 （1）可得 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【题型5 与等边三角形有关的折叠问题】 【例5】如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ． 【答案】5 【分析】如图，连接BD，OB，由折叠的性质可得EF是BD的对称轴，可得OB=OD，当点B，点O，点C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5． 【详解】解：如图，连接BD，OB， ∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处， ∴EF是BD的对称轴， ∴OB=OD， ∵AD=1，AC=3， ∴CD=2， ∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC， ∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 【变式5-1】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如图是一个等边纸片，点E在边上，点F在边上，沿EF折叠后使点A落在边上的点D位置，若此时，则 °． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和等知识，先由等边三角形的性质可知，利用，求出，从而利用三角形的内角和求出，也就是的角度，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解： ∵是等边三角形， ， 由折叠的性质可知：，， 又 ， ∴， ∴， 故答案为： 【变式5-2】如图，已知等边中，点D，E分别在边，上，把沿直线翻折，使点B落在点处，，分别交边于点F，G.若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】根据等边三角形的性质，折叠的性质，得到，结合，根据三角形内角和定理，对顶角的性质得，根据得，计算即可． 【详解】∵等边，沿直线翻折，使点B落在点处， ∴， ∵， 根据三角形内角和定理，对顶角的性质得 ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式5-3】如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积是整个图形面积的 ．    【答案】 【分析】根据中点和等边三角形的性质得到，，再求出，根据直角三角形斜边中线的性质和三线合一求出，从而根据可得结果． 【详解】解：如图，∵F分别为中点，是等边三角形， ∴，， ∵D为边中点， ∴，， ∵E为中点， ∴D，E关于对称， ∴垂直平分， ， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线，三角形面积，解题的关键是掌握基本定理，用边的关系找出面积的关系． 【题型6 等边三角形中的动点问题】 【例6】如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒． 【答案】1或3/3或1 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由等边的边长为，点是的中点，可求得的长，然后，可得为等边三角形，分析为等边三角形即可求得答案． 【详解】解：∵等边的边长为，点是的中点， ∴， ∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵动点的速度为/秒， ∴当从时，，当从时，． 故答案为：1或3． 【变式6-1】（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，是等边三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，设运动时间为t秒，则，则，根据等边三角形的性质得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为t秒， 由题意得，，则 ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得， ∴当运动时间为2秒时，是等边三角形． 故答案为：2． 【变式6-2】（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，等边三角形的边长为，电子蚂蚁从点A以秒的速度沿等边三角形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁从点A以/秒的速度沿等边三角形的边逆时针运动，则电子蚂蚁和第2023次相遇在 ． 【答案】的中点处 【分析】根据题意可得当电子蚂蚁和第1次相遇时，相遇点在的中点处，当电子蚂蚁和第2次相遇时，相遇点在点C处，当电子蚂蚁和第3次相遇时，相遇点在的中点处，当电子蚂蚁和第4次相遇时，相遇点在点B处，当电子蚂蚁和第5次相遇时，相遇点在的中点处，当电子蚂蚁和第6次相遇时，相遇点在点A处，当电子蚂蚁和第7次相遇时，相遇点在的中点处，……，由此可得每六个一循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：每间隔1秒，电子蚂蚁和相遇， 当电子蚂蚁和第1次相遇时，相遇点在的中点处， 当电子蚂蚁和第2次相遇时，相遇点在点C处， 当电子蚂蚁和第3次相遇时，相遇点在的中点处， 当电子蚂蚁和第4次相遇时，相遇点在点B处， 当电子蚂蚁和第5次相遇时，相遇点在的中点处， 当电子蚂蚁和第6次相遇时，相遇点在点A处， 当电子蚂蚁和第7次相遇时，相遇点在的中点处， ……， ∴每六个一循环， ∵， ∴电子蚂蚁和第2023次相遇在的中点处． 故答案为：的中点处 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边中，点是边上一点（点不与端点重合）．作点关于直线的对称点，连接，在射线上取一点，使，与所在直线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当在边上运动时，判断，，面积之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； (3)，理由见解析； 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （）由等边三角形的性质和已知可得，从而，从而得出； （）设，从而得出，，从而得出 ，进而得出，进一步得出结果； （）在上截取，设，可证得，从而得出，，可证得，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）证明: ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点关于直线的对称点， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：，理由如下， 如图，在上截取，设， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， 同（）理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型7 等边三角形中的多结论问题】 【例7】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知等边，，点D在上，点F在的延长线上，，于E，于G，交于点P，则以下结论：①；②；③；④中，一定正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等． 根据等边三角形的性质可以得出，得，可用得，得出，根据边之间的关系即可得，综上，即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵，，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， 不一定等于，当时，，故③错误； ∵， ∴． ∵， ∴．故④正确． 正确的有①②④， 故选：D． 【变式7-1】（24-25八年级下·江西抚州·期中）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是根据等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，正确； ∴， ∵， ∴，， ∴，正确； ∵，， ∴，正确； 只有当时，，②不一定正确； 故选：C． 【变式7-2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，对于，若存在点分别在上，使得 ，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了“反射三角形”，属于新定义问题，还涉及到三角形内角和定理，等腰及等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，合理利用三角形内角和定理是解决问题的关键．根据反射三角形的定义及三角形内角和定理求出，再逐个判断即可． 【详解】解：， 当时，， 钝角三角形或直角三角形不存在反射三角形， 只有锐角三角形存在反射三角形， 故①正确，符合题意； 当是等边三角形时，， 是等边三角形， 故②正确，符合题意； 当时，， 直角三角形不存在反射三角形 故③错误，不符合题意； 当是等腰三角形时，假设， 等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形， 故④正确，符合题意； 故选：①②④． 【变式7-3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点、、依次在同一条直线上，与在直线的同侧且都是等边三角形，给出下面四个结论：①，②，③，④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据与都是等边三角形，可得，进而得到，即可证明①；根据可得，利用三角形外角的性质可得，即可证明②；根据条件可证明，利用对顶角相等和三角形外角可得，即可证明③；根据条件证明，可得，即可证明④． 【详解】∵与都是等边三角形， ∴ ∴，即 ∴，故①正确； ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵与都是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即，故③错误； ∵与都是等边三角形， ∴ ∴ 由①得： ∴， ∴ ∴ ∴，即，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角等，灵活运用所学知识是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$