专题01 相似形&比例线段&平面向量的线性运算（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题01 相似形+比例线段+平面向量的线性运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相似图形的概念与性质 1 题型二、位似图形的概念与性质 1 题型三、比例的性质（常考点） 3 题型四、比例线段 3 题型五、成比例线段 3 题型六、黄金分割 3 题型七、平行线分线段成比例（重点） 4 题型八、平面向量的线性运算（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相似图形的概念与性质 1．下列各组中两个图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形四边形，若 ，，则（   ）    A． B． C． D． 3．如果两个相似多边形的面积之比为，那么它们的周长之比是（  ） A． B． C． D． 4．某城市的有一时期的两张地图，甲地图比例尺为1:1000000，乙地图的比例尺为1:200000，则甲地图和乙地图的相似比为 题型二、位似图形的概念与性质 5．下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 6．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点 ，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为 ．    7．如图，正六边形OABCDE与正六边形是关于原点О的位似图形，相似比为，若点，则正六边形OABCDE的周长为 ； 8．我们定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点A，B，…，，P分别对应，并且满足：（1）直线都经过同一点O；（2），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比，如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，如果点，那么点的坐标为 ．    9．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的11×11网格中，已知点A（-3，-3），B（-1，-3），C（-1，-1）． （1）画出△ABC； （2）画出△ABC关于x轴对称，并写出各点的坐标； （3）以O为位似中心，在第一象限画出将△ABC放大2倍后的． 题型三、比例的性质（常考点） 10．已知，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．王老师的电脑显示器分辨率为，当她全屏浏览尺寸为（“”表示像素）的图片时，由于不成比例（），画面两边会出现黑色区域，若成比例就不会出现此问题，王老师全屏浏览以下四种尺寸的图片时，画面四周都不会出现黑边的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·上海·期中）若，且，则 ． 13．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果的值是，那么的值为 ． 题型四、比例线段 14．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 15．已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（   ） A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5 16．（2025·上海长宁·一模）已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 题型五、成比例线段 17．（24-25九年级上·上海松江·期中）下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，4，8 C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4 18．（19-20九年级上·上海黄浦·期末）已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（  ）． A．8； B．； C．； D．2． 19．线段，线段，则线段的比例中项是 ． 题型六、黄金分割 20．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 21．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 题型七、平行线分线段成比例（重点） 23．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，如果，那么 ． 26．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，则 ． 27．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    28．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 题型八、平面向量的线性运算（难点） 29．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，在梯形中，，，，下列结论中正确的是（   ） A．与是相等向量 B． C．与是相反向量 D．与是平行向量 31．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）化简： ． 32．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在中，点D在边AB上，，，，设，，那么 ．（用向量，的式子表示） 33．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知向量、，求作向量并求作向量在向量、向量方向上的分向量． 34．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，在上，． (1)写出图中的所有相反向量； (2)如果，求； (3)写出． 35．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，与交于点O，. (1)设 ， ，试用向量、表示向量； (2)先化简，再求作：（直接作在图中） 1．（2023·上海长宁·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·中考真题）在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．（2024·上海黄浦·二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 5．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则 ． 6．（2025·上海静安·一模）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ． 7．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 8．如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示 ．    9．（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形ABCD中，，求证：． 11．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，点、在射线上，点、在射线上，、交于点，．设，． (1)_____，_____（结果用含向量、的式子表示） (2)由（1）可知与是_____向量． (3)如果，那么_____． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似形+比例线段+平面向量的线性运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相似图形的概念与性质 1 题型二、位似图形的概念与性质 2 题型三、比例的性质（常考点） 5 题型四、比例线段 7 题型五、成比例线段 7 题型六、黄金分割 8 题型七、平行线分线段成比例（重点） 9 题型八、平面向量的线性运算（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相似图形的概念与性质 1．下列各组中两个图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】我们把形状相同的图形叫相似图形，其特征是对应角相等，对应边成比例，观察图形得知，B图对应边的比不全相等，故不相似． 故选：B． 2．如图，四边形四边形，若 ，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：四边形四边形， ， ， 故选：B． 3．如果两个相似多边形的面积之比为，那么它们的周长之比是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵两个相似多边形面积的比为， ∴两个相似多边形周长的比等于， ∴这两个相似多边形周长的比是． 故选：A． 4．某城市的有一时期的两张地图，甲地图比例尺为1:1000000，乙地图的比例尺为1:200000，则甲地图和乙地图的相似比为 【答案】 【解析】解：甲地图和乙地图的相似比为：． 故答案为. 题型二、位似图形的概念与性质 5．下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【解析】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． 6．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点 ，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为 ．    【答案】 【解析】解：由题意和图可知：以点O为位似中心，格点的位似图形是格点， ∴， 该三角形与 的位似比为； 故答案为：；． 7．如图，正六边形OABCDE与正六边形是关于原点О的位似图形，相似比为，若点，则正六边形OABCDE的周长为 ； 【答案】27 【解析】解：连接EC，如图所示： ∵正六边形OABCDE与正六边形是关于原点О的位似图形，相似比为， ∴， ∵点， ∴， ∴OC=9， ∵六边形OABCDE是正六边形， ∴∠OED=∠EDC=120°，OA=AB=BC=CD=DE=OE， ∴∠DEC=∠DCE=30°，∠OEC=90°， ∴OC=2OE， ∴， ∴正六边形OABCDE的周长为； 故答案为27． 8．我们定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点A，B，…，，P分别对应，并且满足：（1）直线都经过同一点O；（2），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比，如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，如果点，那么点的坐标为 ．    【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∵和是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 9．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的11×11网格中，已知点A（-3，-3），B（-1，-3），C（-1，-1）． （1）画出△ABC； （2）画出△ABC关于x轴对称，并写出各点的坐标； （3）以O为位似中心，在第一象限画出将△ABC放大2倍后的． 【答案】（1）见解析； （2）图见解析，A1（-3，3），B1（-1,3），C1（-1,1）； （3）见解析. 【解析】（1）△ABC如图所示； （2）△A1 B1 C1如图所示，A1（-3，3），B1（-1,3），C1（-1,1）； （3）△A2 B2 C2如图所示. 题型三、比例的性质（常考点） 10．已知，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴两边都乘以，得，故选项A、B都不符合题意； ∵， ∴两边都乘以，得，故选项C符合题意； ∵， ∴两边都乘以，得，故选项D不符合题意． 故选：C． 11．王老师的电脑显示器分辨率为，当她全屏浏览尺寸为（“”表示像素）的图片时，由于不成比例（），画面两边会出现黑色区域，若成比例就不会出现此问题，王老师全屏浏览以下四种尺寸的图片时，画面四周都不会出现黑边的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， 由题意得，当比例不变就不会出现黑色区域， A选项：，比例改变，四周出现黑边，不合题意； B选项：，比例改变，四周出现黑边，不合题意； C选项：，比例相同，四周不会出现黑边，符合题意； D选项：，比例改变，四周出现黑边，不合题意． 故选：C． 12．（24-25九年级上·上海·期中）若，且，则 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 13．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果的值是，那么的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四、比例线段 14．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设在地图上图距是的两地，实际距离是， 根据题意得， 解得， 故选：C． 15．已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（   ） A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5 【答案】B 【解析】设AB＝3k，BC＝2k，则AC＝5k， ∴， 故选B． 16．（2025·上海长宁·一模）已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 【答案】 【解析】解：∵线段，，线段是线段、的比例中项， ∴， ∴，（舍）， ∴线段的值为． 故答案为：． 题型五、成比例线段 17．（24-25九年级上·上海松江·期中）下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，4，8 C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4 【答案】B 【解析】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 18．已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（  ）． A．8； B．； C．； D．2． 【答案】A 【解析】解：若是、的比例中项，即， ∴, ∴， 故选：． 19．线段，线段，则线段的比例中项是 ． 【答案】4 【解析】解：设线段的比例中项是c，则 ∴ ∴（负值舍去） 故答案为：4． 题型六、黄金分割 20．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 故错误的是选项B， 故选B． 21．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵点B为的黄金分割点， ∴． 故选：A． 22．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【答案】 【解析】解： ， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故答案为：． 题型七、平行线分线段成比例（重点） 23．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： ， ，即，故A选项错误；B选项正确； ，故选项D错误； ，故选项C错误； 故选B． 24．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴，故A不合题意； ∵， ∴，故B不合题意； ∵， ∴，故C不合题意； ∵， 不能判断与平行，故D符合题意． 故选：D． 25．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，如果，那么 ． 【答案】 【解析】解：， ， ， 又， 解得：， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，则 ． 【答案】6 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则 ∴ 故答案为：6 27．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    【答案】4米 【解析】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 28．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2)． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型八、平面向量的线性运算（难点） 29．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，，且和的方向相反， ， ， 故选：． 30．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，在梯形中，，，，下列结论中正确的是（   ） A．与是相等向量 B． C．与是相反向量 D．与是平行向量 【答案】D 【解析】解：A、，但不平行于，在与是不相等的向量，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、与方向相同，但，则与不是相反向量，故本选项不符合题意； D、由知，与是平行向量，故本选项符合题意． 故选：D． 31．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）化简： ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为： 32．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在中，点D在边AB上，，，，设，，那么 ．（用向量，的式子表示） 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 33．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知向量、，求作向量并求作向量在向量、向量方向上的分向量． 【答案】见解析 【解析】解： ， 如图，向量即为所作 向量即为在向量方向上的分向量， 向量即为在向量方向上的分向量． 34．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，在上，． (1)写出图中的所有相反向量； (2)如果，求； (3)写出． 【答案】(1)，． (2) (3) 【解析】（1）解：图中所有的相反向量为，． （2）解：∵，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． （3）解：四边形为平行四边形， ． ． 35．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，与交于点O，. (1)设 ， ，试用向量、表示向量； (2)先化简，再求作：（直接作在图中） 【答案】(1) (2)，作图见解析 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ∴ ； （2）解： ， 如图所示：点E为的中点，延长，使得， ，， ． 1．（2023·上海长宁·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：将关于对称得，根据黄金分割的定义可知是的黄金分割点， 答案：C 2．如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据网格特点，， ∴， 故选：C． 3．（2025·上海·中考真题）在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】解：设正方形边长为，由勾股定理得：； 在正方形中， 表示从A到B再到C的路径，其结果为向量，即； ∴． 故选：C． 4．（2024·上海黄浦·二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 【答案】B 【解析】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 5．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则 ． 【答案】或 【解析】解：∵D为AB中点， ∴，即， 取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，， ∴， 在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则， ∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠C=60°，BC＝， ∵DE1∥BC， ∴∠DE1E2=60°， ∴△DE1E2是等边三角形， ∴DE1＝DE2＝E1E2＝， ∴E1E2＝， ∵， ∴，即， 综上，的值为：或， 故答案为：或． 6．（2025·上海静安·一模）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ． 【答案】 【解析】解：设矩形纸片长为，宽为， ∴折叠后矩形的长为，宽为， 根据题意可得，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 7．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形， ，． 是上一点，， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示 ．    【答案】 【解析】解：∵向量，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【解析】（1）解：设，则，，， 所以原式； （2）解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形ABCD中，，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，点、在射线上，点、在射线上，、交于点，．设，． (1)_____，_____（结果用含向量、的式子表示） (2)由（1）可知与是_____向量． (3)如果，那么_____． 【答案】(1)； (2)平行 (3) 【解析】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴与是平行向量， 故答案为：平行； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$