精品解析：山东省临沂市罗庄区临沂第十九中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

临沂市2024级普通高中学科素养水平监测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出复数z即可求出. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 3. 《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（ ） A. 1000人 B. 300人 C. 200人 D. 100人 【答案】A 【解析】 【分析】按照分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意济南天下第一泉风景区应抽取游客（人）. 故选：A 4. 如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，再根据向量的加减法则用把表示出来，从而可求出，进而可求出. 【详解】因为为平行四边形对角线上一点，交于点， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 故选：C 5. 设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，，则. 其中所有错误说法的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①利用平面与平面的位置关系判断；②利用线面垂直的性质定理判断；③利用直线与直线的位置关系判断；④利用面面垂直的性质定理判断. 【详解】①若，，则或相交，故错误； ②若，，则可得，故正确； ③若，，则，故错误； ④若，，，当时，，故错误. 故选：C 6. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则所有的数据都为0 B. 若，则的平均数为6 C. 若，则的方差为12 D. 若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的方差的性质可判断A，B，C；由百分位数的定义可判断D. 【详解】对于A，数据，，…，的方差时，说明所有的数据，，…，都相等， 但不一定为0，故选项A错误； 对于B，数据，，…，的平均数， 数据的平均数为，故选项B错误； 对于C，数据，，…，的方差为， 数据的方差为，故选项C正确； 对于D，数据，，…，的25%分位数为90，则可以估计总体中有至少有75%的数据大于或等于90，故选项D错误. 故选：C. 7. 如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，连接，过点作于点，连接，证明平面，推得为直线与平面所成角，解三角形即得答案. 【详解】 如图，在正四棱锥中，连接交于点，连接，则平面， 过点作于点，连接，因平面，则， 因平面，故平面， 故为直线与平面所成角. 因，为棱的中点， 则， 故. 故选：C. 8. 在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和结合诱导公式、两角和的余弦公式、商数关系式可得，再根据余弦定理与角度转化可得，由基本不等式即可得最大值. 【详解】在中， 因为，所以，则， 所以，且均为锐角，故， 由余弦定理得，所以， 又，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知甲种杂交水稻近五年产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ） A. 甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数 B. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差 C. 甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数 D. 甲乙两种水稻近五年的总方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算平均数判断A，根据方差判断B，计算百分位数判断C，计算总方差判断D. 【详解】对于A，，，正确； 对于B，因为甲、乙平均值都为，所以， ， 显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，错误； 对于C，，故甲种样本的分位数为， 乙种样本的分位数为，所以甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数，正确； 对于D，甲乙两种水稻近五年的总方差为0.072， 故甲乙两种水稻近五年的总方差为 ， 正确. 故选：ACD 10. 一个正四面体形骰子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字．甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是（ ） A. 甲发生的概率为 B. 乙发生的概率为 C. 甲与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】由列举法求解所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解概率，结合选项即可逐一求解. 【详解】设事件表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，事件表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”， 事件表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，事件表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”， 续抛掷质地均匀的正四面体形的骰子两次， 有共16种等可能的不同结果， 第一次抛掷骰子所得数字是1的情况有：， 甲发生的概率为：，故A正确； 第二次抛掷骰子所得数字是2的情况有：， 乙发生的概率为：，故B错误； 两次抛掷骰子所得数字之和是5的情况有：， 丙发生的概率为：， 两次抛掷骰子所得数字之和是6的情况有：，丁发生的概率为：， ，， 故事件甲与丙相互独立，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在正四棱台中，，则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. 二面角的大小为 C. 若点在四边形ABCD内，，则动点的轨迹长度是 D. 若点在内部（含边界），则的最小值为4 【答案】AB 【解析】 【分析】过点作，垂足为，求得判断A；设为四边形ABCD对角线的交点，可得二面角的平面角为，求解可判断B；点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆（在正方形ABCD内，计算可判断C；由题意可得点只有落在上，才有可能取得最小值；求得最小值判断D. 【详解】如图1，过点作，垂足为，则四棱台的高为， 因为，所以，所以，A正确； 设为四边形ABCD对角线的交点，则为BD中点，．由， 知，所以二面角的平面角为， 又，所以为正三角形，所以二面角的大小为，故B正确； 由勾股定理得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆（在正方形ABCD内， 易知点到边AB，AD的距离都为），所以动点的轨迹长度是，C错误； 由图1易得平面， 故平面，不妨设落在图2的（在外）处， 过作，交于，则平面平面， 故，故在Rt中，（直角边小于斜边）； 同理，，所以， 故动点只有落在上，才有可能取得最小值； 再看图3，易知， 和都为正三角形，关于的对称点为， 可知，即与重合时，有最小值，D错误． 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，分别计算出向量与的模及两者的数量积，代入公式即可求得两向量夹角的余弦，从而得出两向量的夹角． 【详解】，同理， ，， 由向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为. 故答案为： 13. 已知复数z满足，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先由复数几何意义得复数z所表示的点Z在圆上，再由复数的模长公式结合两点间距离公式得到取得最小值时取得最小值即可求解. 【详解】设，则，所以复数z所表示的点Z在圆上， 因为， 表示圆上的点与定点距离d的平方， 当该距离平方取得最小值时，取得最小值， 而该距离d的平方的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为____________. 5 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意先求出满足题意的总情况有种，再求出满足有多少种，然后利用古典概率知识即可求解. 【详解】由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数， 因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于， 所以、位置填或， 先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果， 若填， 则填，填，填，填，填，填，填； 或填，填，填，填，填，填，填； 共包含个结果； 所以总的结果个数为个 其中符合的情况有，，，，，共个， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求第七组的频率； （2）用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）现从500名学生中利用分层抽样的方法从的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率． 【答案】（1） （2）102分 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据各组的频率和为1求解即可； （2）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解； （3）利用分层抽样的定义结合已知条件求出从的所抽取的人数，然后利用列举法求解即可. 小问1详解】 由频率分布直方图得第七组的频率为： ； 【小问2详解】 用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为： （分）； 【小问3详解】 由频率分步直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为， 按照分层抽样抽取5人，则在分别抽取3人和2人， 记这组三人的编号为这组两人的编号为， 故从5人随机抽取2名，共10种情况，为： 设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组” 则，共6种情况． 故， 即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为． 16. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. （1）求证：//平面 （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，结合正方形的性质，根据三角形的中位线的性质得，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的性质定理得，再根据等腰三角形的性质得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可； （3）由平面知直线在平面的射影为，根据线面角的定义可知即为所求的线面角，根据勾股定理分别求得，然后在直角三角形中，求得，即可得解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 由题意可得平面，又平面， 所以，又为的中点，，所以， 因为，，平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）知平面，所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以，所以， 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以，即直线与平面所成角为. 17. 甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． （1）求第三局结束时甲获胜的概率； （2）求乙最终以分获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对甲来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解. （2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设事件为“第三局结束甲获胜”， 由题意知，甲每局获胜的概率为，不获胜的概率为． 若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 故. 【小问2详解】 由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为，平的概率为，负的概率为， 设事件为“乙最终以分获胜”． 若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率． 若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 此时的概率． 若第四局结束乙以分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况： （胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜）， （胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）． 此时的概率 故. 18. 如图，内角的对边分别为，为边上一点，且，. （1）已知. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积； （2）求的最小值. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据化简，结合角的关系及倍角公式即可得解； （ⅱ）先求出，进而可求出，即可求出，再结合（ⅰ）中结论即可得解； （2）先利用正弦定理化边为角，再根据化简，结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 （ⅰ）由题意得， ， 因为，， 所以， ， 所以， 所以； （ⅱ）由（ⅰ）得， 在中，， 所以， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 由正弦定理得， 由（1）得， 故， 令， 因为，所以，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 19. 唐代诗人温庭笙的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆． （1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． （2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由题意得所求球为正八面体的内切球，设球的半径为r，再由即可求解； （2）运用古典概型和互斥事件概率加法公式、独立事件乘法公式计算求解即可. 【小问1详解】 当给红豆留出最大空间时，球为正八面体的内切球， 设球的半径为r，球心为O，由正八面体的结构性质可知球心即为正方形的中心， ，平面，且为四棱锥的高，， 设正八面体体积为，则， 所以， 所以所求骰子中间被挖空的球体的表面积为， 【小问2详解】 在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，该试验的样本空间为 共20个样本点， 设事件甲获得“花好”卡片，事件乙获得“花好”卡片， 事件甲获得“月圆”卡片，事件乙获得“月圆”卡片， 则，共8个样本点， 共12个样本点， 所以， 所以甲乙两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临沂市2024级普通高中学科素养水平监测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数（i虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 3. 《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（ ） A. 1000人 B. 300人 C. 200人 D. 100人 4. 如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，，则. 其中所有错误说法的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 6. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则所有的数据都为0 B. 若，则的平均数为6 C. 若，则的方差为12 D. 若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90 7. 如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ） A. 甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数 B. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差 C. 甲种样本分位数小于乙种样本的分位数 D. 甲乙两种水稻近五年的总方差为 10. 一个正四面体形的骰子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字．甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是（ ） A. 甲发生的概率为 B. 乙发生的概率为 C. 甲与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 11. 如图，在正四棱台中，，则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. 二面角的大小为 C. 若点在四边形ABCD内，，则动点的轨迹长度是 D. 若点在内部（含边界），则的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为________． 13. 已知复数z满足，则的最小值为________． 14. 九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为____________. 5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求第七组的频率； （2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）现从500名学生中利用分层抽样的方法从的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率． 16. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. （1）求证：//平面 （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的大小. 17. 甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． （1）求第三局结束时甲获胜的概率； （2）求乙最终以分获胜概率． 18. 如图，内角的对边分别为，为边上一点，且，. （1）已知. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积； （2）求最小值. 19. 唐代诗人温庭笙的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆． （1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． （2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$