2025年浙教版数学中考考点课堂限时训练《练习二十八 解直角三角形》

浙教版数学中考考点课堂限时训练 练习二十八 解直角三角形 一.选择题(每题6分,共24分) 1.cos 30°=(　 　) A. C. 2.[2025·江北区模拟]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若tan B=,则sin A的值为 (　 　) 第2题图 A. C. 3.[2025·温州模拟]“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器.某“圭表”示意图如图所示,AC⊥BC, AC=3米,测得某地夏至正午时“表”的影长CD=1米,冬至时的正午太阳高度角∠ABC=α,则夏至到冬至,影长差BD的长为(　 　) 第3题图 A.(3sin α-1)米 B.米 C.(3tan α-1)米 D.米 4.一配电房示意图如图所示,它是一个轴对称图形.已知BC=6 m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为(　 　) 第4题图 A.(4+3sin α)m B.(4+3tan α)m C.m D.m 二.填空题(每题8分,共32分) 5.[2025·路桥区模拟]如图,在△ABC中,AB=AC=5,sin A=,则cos C的值为   　.  第5题图 第6题图 6.[2024·西湖区模拟]如图,在4×5的网格中,每个小正方形的边长均为1.若△ABC的顶点都在格点上,则sin C的值为   　.  7.某仓储中心有一斜坡AB,其坡比i=1∶2,顶部A处的高AC为4米, B,C在同一水平面上,则斜坡AB的水平宽度BC为　 　米.  第7题图 8.[2025·西湖区模拟改编]在综合与实践活动中,某数学兴趣小组要测量操场上空一个气球A的高度.如图,地面上点B,C,D在同一条直线上,BC=19.2 m,在点B,C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°,∠ACD为56°,则气球离地面的高度AD约为　 　m(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 56°≈0.83,cos 56°≈0.56, tan 56°≈1.48).  第8题图 三.解答题(共44分) 9.(12分)[2024·台州模拟]光从空气射入液体会发生折射现象.如图,水平放置的容器中装有某种液体,光线AO斜射到液面发生折射,折射光线为OB,折射角为∠BOD,测得∠BOD=20°,OD⊥BD, OD=10 cm,求OB的长.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36) 第9题图 10.(14分)[2024·奉化模拟]登上春晚的国韵舞剧《只此青绿》引人入胜,图1是舞者“青绿腰”动作,引得观众争相模仿,图2是其平面示意图.若舞者上半身BC为1.1米,下半身AB为0.6米,下半身与水平面的夹角∠BAD=70°,与上半身的夹角∠ABC=130°.(结果精确到0.01 m,参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36) (1)此时舞者的垂直高度CD约为多少米? (2)如图3,若舞者下半身与水平面的夹角不变,当AB与BC在同一直线上时,舞者的垂直高度增加了多少米? 第10题图 11.(18分)[2023·南湖区模拟]如图1,一吸管杯放置在水平桌面上,矩形ABCD为其横截面,OE为吸管,其示意图如图2所示,AD=20 cm,AB=6 cm,OE=4 cm,∠EOB=36°. 图1 图2 图3 第11题图 (1)点O位置不变,吸管OE绕点O按顺时针方向转动到OB处,求OE扫过的面积(结果保留π). (2)当杯子绕点C按顺时针方向转动到OE与水平线CM平行时(如图3). ①求杯子与水平线CM的夹角∠BCM的度数. ②由图2到图3,点A的位置是升高了还是下降了?变化了多少厘米?(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73) 【答案解析】 一.选择题(每题6分,共24分) 1.cos 30°=(　C　) A. C. 2.[2024·江北区模拟]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若tan B=,则sin A的值为 (　B　) 第2题图 A. C. 3.[2024·温州模拟]“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器.某“圭表”示意图如图所示,AC⊥BC, AC=3米,测得某地夏至正午时“表”的影长CD=1米,冬至时的正午太阳高度角∠ABC=α,则夏至到冬至,影长差BD的长为(　D　) 第3题图 A.(3sin α-1)米 B.米 C.(3tan α-1)米 D.米 【解析】 在Rt△ABC中,AC=3米,∠ABC=α. ∵tan α=(米), ∴BD=BC-CD=米. 4.一配电房示意图如图所示,它是一个轴对称图形.已知BC=6 m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为(　B　) 第4题图 A.(4+3sin α)m B.(4+3tan α)m C.m D.m 二.填空题(每题8分,共32分) 5.[2024·路桥区模拟]如图,在△ABC中,AB=AC=5,sin A=,则cos C的值为  　.  第5题图 第6题图 6.[2024·西湖区模拟]如图,在4×5的网格中,每个小正方形的边长均为1.若△ABC的顶点都在格点上,则sin C的值为  　.  7.某仓储中心有一斜坡AB,其坡比i=1∶2,顶部A处的高AC为4米, B,C在同一水平面上,则斜坡AB的水平宽度BC为　8　米.  第7题图 8.[2024·西湖区模拟改编]在综合与实践活动中,某数学兴趣小组要测量操场上空一个气球A的高度.如图,地面上点B,C,D在同一条直线上,BC=19.2 m,在点B,C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°,∠ACD为56°,则气球离地面的高度AD约为　59.2　m(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 56°≈0.83,cos 56°≈0.56, tan 56°≈1.48).  第8题图 三.解答题(共44分) 9.(12分)[2024·台州模拟]光从空气射入液体会发生折射现象.如图,水平放置的容器中装有某种液体,光线AO斜射到液面发生折射,折射光线为OB,折射角为∠BOD,测得∠BOD=20°,OD⊥BD, OD=10 cm,求OB的长.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36) 第9题图 解:在Rt△OBD中,cos 20°=, ∴OB=≈10.6(cm). 答:OB的长约为10.6 cm. 10.(14分)[2024·奉化模拟]登上春晚的国韵舞剧《只此青绿》引人入胜,图1是舞者“青绿腰”动作,引得观众争相模仿,图2是其平面示意图.若舞者上半身BC为1.1米,下半身AB为0.6米,下半身与水平面的夹角∠BAD=70°,与上半身的夹角∠ABC=130°.(结果精确到0.01 m,参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36) (1)此时舞者的垂直高度CD约为多少米? (2)如图3,若舞者下半身与水平面的夹角不变,当AB与BC在同一直线上时,舞者的垂直高度增加了多少米? 第10题图 解:(1)如答图1,过点B作BF⊥CD于点F,作BE⊥AD于点E, 第10题答图1 ∴∠AEB=∠BFC=90°. 由题意得BE=DF,∠EBF=90°. ∵∠BAE=70°, ∴∠ABE=90°-∠BAD=20°. ∵∠ABC=130°, ∴∠CBF=130°-∠ABE-∠EBF=130°-20°-90°=20°. 在Rt△ABE中,AB=0.6米, ∴BE=AB·cos 20°≈0.6×0.94=0.564(米). 在Rt△BCF中,BC=1.1米, ∴CF=BC·sin 20°≈1.1×0.34=0.374(米), ∴CD=CF+DF=CF+BE=0.564+0.374=0.938≈0.94(米), ∴此时舞者的垂直高度CD约为0.94米. (2)如答图2,过点C作CG⊥AD于点G, 第10题答图2 ∴∠AGC=90°. ∵∠BAD=70°,AB,BC在同一直线上, ∴∠C=90°-∠BAD=20°. 在Rt△ACG中,AC=AB+BC=0.6+1.1=1.7(米), ∴CG=AC·cos 20°≈1.7×0.94=1.598(米), ∴1.598-0.94≈0.66(米), ∴舞者的高度增加了约0.66米. 11.(18分)[2023·南湖区模拟]如图1,一吸管杯放置在水平桌面上,矩形ABCD为其横截面,OE为吸管,其示意图如图2所示,AD=20 cm,AB=6 cm,OE=4 cm,∠EOB=36°. 图1 图2 图3 第11题图 (1)点O位置不变,吸管OE绕点O按顺时针方向转动到OB处,求OE扫过的面积(结果保留π). (2)当杯子绕点C按顺时针方向转动到OE与水平线CM平行时(如图3). ①求杯子与水平线CM的夹角∠BCM的度数. ②由图2到图3,点A的位置是升高了还是下降了?变化了多少厘米?(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73) 解:(1)OE扫过的面积为π(cm2). (2)①如答图1,过点B作BF∥CM, 第11题答图1 ∴∠FBC=∠BCM. 易知OE∥BF, ∴∠OBF=∠EOB=36°. ∵∠ABC=∠ABF+∠FBC=90°, ∴∠BCM=∠FBC=90°-36°=54°. ②如答图2,过点A作AG⊥CM于点G,延长AD交MC的延长线于点H. 第11题答图2 ∵AD∥BC, ∴∠H=∠BCM=54°, ∴∠DCH=90°-∠H=36°. 在Rt△HDC中,tan∠DCH=, ∴DH=DC·tan∠DCH=6tan 36° cm, ∴AH=AD+DH=(20+6tan 36°)cm. 在Rt△HAG中,∠HAG=90°-∠H=36°,cos∠HAG=, ∴AG=AH·cos 36°=(20+6tan 36°)×cos 36° ≈(20+6×0.73)×0.81≈19.7(cm), ∴20-19.7=0.3(cm), ∴点A的位置下降了,下降了约0.3 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$