专项28 解方程专项计算-小升初奥数思维提升讲义

经典奥数系列——解方程计算 13种类型讲、练、测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌解方程和比例依据： 一：等式的性质。 （1）等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 （2）等式的性质2：等式两边乘（或除以）同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 二：数量关系式。 （1）一个加数=和-另一个加数 （2）被减数=减数+差，减数=被减数-差 （3）一个因数=积÷另一个因数 （4）被除数=除数×商，除数=被除数÷商 三：比例的基本性质：在比例里，两外项的积等于两内项的积。 解方程步骤： （1）写“解”字；（2）运用等式的性质或数量关系解方程；（3）验证方程的解 形如x±a＝b的方程 解方程：（1）x＋25＝68 （2）x－25＝68 解法一：运用等式的性质1计算。 （1）【分析】x＋25＝68方程左右两边同时减去25，左右两边仍然相等。 解：x＋25＝68 x＋25－25＝68－25 x＝43 （2）【分析】运用等式的性质1：x－25＝68方程左右两边同时加25，左右两边仍然相等。 解：x－25＝68 x－25＋25＝68＋25 x＝93 解法二：运用数量之间的关系计算。 （1）【分析】因为x是加数，所以一个加数=和-另一个加数。 解：x＋25＝68 x＝68－25 x＝43 （2）【分析】因为x是被减数，所以被减数=减数+差。 解：x－25＝68 x＝68＋25 x＝93 【方法总结】（1）熟练掌握等式的性质1，形如x＋a=b的方程，方程左右两边同时“-a”；形如x－a＝b的方程方程左右两边同时“＋a”。 （2）熟练运用加、减法数量关系计算。先正确判断要求的未知数“x”是加数、减数还是被减数，再正确选择对应的数量关系进行计算。 加、减法方程常用的数量关系如下： （1）一个加数=和-另一个加数 （2）被减数=减数+差，减数=被减数-差 X+0.05=1.2 x-2=5.4 x-=0.125 形如a±x=b的方程 解方程：（1）1.2＋x=1.99 （2） －x＝ 解法一：运用等式的性质计算。 （1）【分析】运用等式的性质1：1.2＋x=1.99 方程左右两边同时减去1.2，左右两边仍然相等。 1.2＋x=1.99 解：1.2＋x-1.2=1.99-1.2 x=0.87 【方法总结】形如的方程与x+a＝b的方程解法一致，因为方程左边是加法，可以使用加法交换律，把方程a+x=b转化为x+a＝b方程即可。 （2）【分析】 －x＝等方程左右两边同时“+x”，把减法方程转化为加法方程计算。 －x＝ 解：－x+x＝+x ＝+x （转化为加法方程，把方程左右数进行交换，再解加法方程） +x＝ （方程左右两边同时“- ”） +x-＝- x= 【方法总结】形如a-x=b的方程与形如x-a=b的方程完全解法完全不同，不能把形如a-x=b的方程当做形如x-a=b的方程计算。但相同点两者都是减法方程，不管减数是常数和是未知数，都只能消去减数。 解法二：运用数量关系计算， （1）【分析】因为x是加数，所以一个加数=和-另一个加数。 1.2＋x=1.99 解：x=1.99-1.2（一个加数=和-另一个加数） x=0.87 （2）【分析】因为x为减数，所以减数=被减数-差。 －x＝ 解：x=- x= 【方法总结】遇到求减数的方程，运用数量关系“减数=被减数-差”计算更简单。 37.1－x＝15.2 23＝56－x 523－x＝170 形如ax＝b的方程 解方程：4.5x＝36 解法一： 【分析】运用等式的性质2：方程左右两边同时除以4.5。 解：4.5x＝36 4.5x÷4.5＝36÷4.5 x＝8 解法二： 【分析】运用数量关系：一个因数=积÷另一个因数。 解：4.5x＝36 x＝36÷4.5 x＝8 【方法总结】形如ax=b的方程为一道乘法方程，可运用等式性质2，方程左右边应同时除以a；或运用数量关系：“一个因数=积÷另一个因数”求解。 7.5x＝22.5 39x＝195 6x＝40.8 形如ax±b＝c的方程 解方程：（1）5x＋7＝24 （2）5x-2.8=6.2 （1）【分析】把5x看作是一个整体；运用等式的性质1，方程左右两边同时减7，先求出5x的值；再运用等式的性质2，方程左右两边同时除以5，求出方程x的解。 5x＋7＝24 解：5x+7-7＝24－7 5x＝17 x＝17÷5 x＝3.4 或：5x＋7＝24 解：5x=27-7 5x=17 x=17÷5 x=3.4 （2）同理，把5x看作是一个整体；运用等式的性质1，方程左右两边同时加2.8，先求出5x的值；再运用等式的性质2，方程左右两边同时除以5，求出方程x的解。 5x-2.8=6.2 解：5x-2.8+2.8=6.2+2.8 5x=9 5x÷5=9÷5 x=1.8 或：5x-2.8=6.2 解：5x=2.8+6.2 5x=9 x=9÷5 x=1.8 【方法总结】形如ax＋b＝c、ax－b＝c的方程的解法： （1）把 ax看作一个整体； （2）求出ax的值； （3）求出x的值。 0.2x-= 4x+3×0.7=6.5 4x-0.8×6=25.2 形如b±ax＝c的方程 解方程：（1）8-1.2x=3.2 （2）5.4+2x=8.6 （1）【分析】运用等式的性质1，方程左右两边同时加1.2x（注意：不要加8），转化为形如ax+b=c的方程，再求方程的解。 8-1.2x=3.2 解：8-1.2x+1.2x=3.2+1.2x 8=3.2+1.2x 1.2x+3.2=8 1.2x+3.2-3.2=8-3.2 1.2x=4.8 1.2x÷1.2=4.8÷1.2 X=4 或：8-1.2x=3.2 1.2x=8-3.2（减数=被减数-差） 1.2x=4.8 X=4.8÷1.2（一个因数=积÷另一个因数） X=4 （2）5.4+2x=8.6，此方程与2x+5.4=8.6的方程解法相同。 5.4+2x=8.6 解：5.4+2x-5.4=8.6-5.4 2x=3.2 2x÷2=3.2÷2 X=1.6 或：5.4+2x=8.6 2x=8.6-5.4（一个加数=和-另一个加数） 2x=3.2 X=3.2÷2（一个因数=积÷另一个因数） X=1.6 【方法总结】形如b＋ax＝c、b－ax＝c的方程的解法： （1）把 ax看作一个整体； （2）求出ax的值； （3）求出x的值。 1-x=0.2 2（0.5-0.3x）=0.1 3.4+0.5x=4.6 形如a（x±b）=c的方程。 解方程：（1）1.5×（x-3）=6.6 （2）（x+4）×2.1=10.5 （1）【分析】把（x-3）看作一个整体，运用等式性质2，方程左右两边同时除以1.5。 1.5×（x-3）=6.6 解：1.5×（x-3）÷1.5=6.6÷1.5 x-3=4.4 x-3+3=4.4+3 x=7.4 或：运用乘法分配律，把方程左边进行展开为ax-b=c的形式。 1.5×（x-3）=6.6 解：1.5x-1.5×3=6.6 1.5x-4.5=6.6 1.5x=4.5+6.6 1.5x=11.1 X=11.1÷1.5 X=7.4 （2）（x+4）×2.1=10.5 解：（x+4）×2.1÷1.2=10.5÷2.1 X+4=5 X+4-4=5-4 X=1 或：（x+4）×2.1=10.5 2.1x+4×2.1=10.5 2.1x+8.4=10.5 2.1x=10.5-8.4 2.1x=2.1 X=1 【方法总结】形如a（x＋b）＝c的这一类方程是简易方程里非常典型的一个类型。此类方程的解法： 1、解法一：紧扣等式的基本性质, 先把小括号内的x＋b看作一个整体，等式两边同时除以a，求x＋b的值。再求出x的值，从而快速正确地得到方程的解。 2、解法二：根据乘法分配律，把a（x＋b）＝c转化为形如ax＋ab＝c的方程，先求ax的值，再求出x的值。 3（1.2＋x）＝23.4 13（x－2.6）＝65 16（x＋7）＝480 形如ax±bx=c的方程。 解方程：（1）3x+0.25x=12 （2）x-x=1 （1）【分析】运用乘法分配律合并同类项。 3x+0.25x=12 解：（3+0.25）x=12 3.25x=12 X=12÷3.25 X=12÷ X= （2）x-x=1 解：（1-）x= x= X=÷ X=2.7 【方法总结】1.先根据乘法分配律，将ax＋bx＝c转化为（a＋b）x＝c，也就是合并同类项。再利用整体法将（a＋b）看成一个整体，利用等式的性质2进行求解。 （1）ax＋bx＝c 解：（a＋b）x＝c （a＋b）x÷（a＋b）＝c÷（a＋b） x＝c÷（a＋b） （2）ax－bx＝c 解：（a－b）x＝c （a－b）x÷（a－b）＝c÷（a－b） x＝c÷（a－b） 2、解决此类题目，一定要判断清楚未知数的系数，同时注意加强合并同类项相应的练习，避免出错。 13x＋12x＝225 2.6x＋0.4x＝72 3.5x－2.4x＝4.4 形如ax±b=cx±d的方程。 解方程：（1）13x+8=15x-3 （2）0.5x-3=7x-133 【分析】形如ax±b=cx±d的方程的方程可以转化为形如⑦ax±bx=c的方程,再运用乘法分配律进行计算。 （1）13x+8=15x-3 解：13x+8+3=15x-3+3 13x+11=15x 13x+11-13x=15x-13x 11=15x-13x（形如ax-bx=c的方程） X=5.5 （2）0.5x-3=7x-133 解：0.5x-3+133=7x-133+133 0.5x+130=7x 7x-0.5x=130（形如ax-bx=c的方程） 6.5x=130 X=20 【方法总结】形如ax＋b＝cx＋d和ax－b＝cx－d的方程的解法： （1）先利用等式的性质1消去b，化成ax＝cx＋d－b或者ax＝cx－d＋b的形式； （2）利用等式的性质1消去cx，化成ax-cx＝d－b或者ax-cx＝b－d的形式； （3）利用乘法分配律将式子化成（a-c）x＝d－b或者（a-c）x＝b－d的形式； （4）利用等式的性质2两边同时除以（a-c）。 6x＋1＝2x＋9 x-30=x+12.5 x-6=x+4 形如ax×b=c或ax÷b=c的方程。 解方程：（1）1.5x×4＋7＝145 （2）x÷=12 【分析】形如ax×b=c的方程可以先把方程为（a×b）x=c的方程。 （1）1.5x×4＋7＝145 解：（1.5×4）x=145-7 6x=138 X=138÷6 X=23 或：1.5x×4＋7＝145 解：1.5x×4=145-7 1.5x×4=138 1.5x×4÷4=138÷4 1.5x=34.5 X=34.5÷1.5 X=23 （2）x÷=12 解：（÷）x=12 x=12 X=12÷ X=4.5 或：x÷=12 解：x÷×=12× x=3 X=3÷ X=4.5 【方法总结】形如 ax÷b＝c、ax×b＝c的方程的解法： 先根据四则运算顺序，可以先将“x”前面的系数a与b进行乘法或除法。然后再变成dx＝c的方程形式进行解方程运算。 5x×2＝130 6x÷2－8＝15 2.6＋9x÷2＝16.1 形如a:b=c:d或=的比例方程。 解比例：（1）x: =: （2）3:5=（x+6）：20 【分析】形如a:b=c:d或=的比例方程，运用比例的基本性质，把比例转化为a×d=b×c的方程进行计算。 （1）x: =: 解：x=× （两外项积等于两内项积） x= X=÷ X= （2）3:5=（x+6）：20 解：5（x+6）=3×20（比例的基本性质） 5（x+6）=60 X+6=60÷5 X+6=12 X=12-6 X=6 【方法总结】解比例方程，运用比例的基本性质，即两外项之积等于两内项之积，把比例转化为a×d=b×c的方程进行计算。 = ：=x： ：= 形如ax±b(c±x)=d等复杂的方程 解方程：4x-3（20-x）=3 【分析】可以先把3（20-x）展开，得到（60-3x），然后再根据减法的性质去括号。 4x-3（20-x）=3 解：4x-（60-3x）=3 4x-60+3x=3 7x-60=3 7x=60+3 7x=63 x=63÷7 x=9 【错误答案】 4x-3（20-x）=3 解：4x-60-3x=3 x-60=3 x=60+3 x=63 注意：3（20-x）是一个整体，运用乘法分配律展开后也是一个整体，要带上括号。 6×（14-x）=4x （13x+8）÷3=5x-1 9÷（x-）=36 形如=的方程 解方程：= 【分析】此方程为较复杂的比例，运用比例的基本性质计算即可。 = 解：3（x-1）=2（x+2） （乘法分配律去括号） 3x-3=2x+4 3x-3+3=2x+4+3 3x=2x+7 3x-2x=2x+7-2x x=7 【方法总结】形如=的方程，可以运用比例的基本性质计算。 =（x-19）÷ x: =（x-1）： （x+9）=（14-2x） 形如=f的方程 解方程：+= 【分析】此方程为较复杂的分数方程，可以先找到几个分数分母的最小公倍数，然后运用等式的基本性质2，方程左右两边同时乘这个最小公倍数，化简为整数方程，再计算。 +=（最小公倍数是24） 解：（+）×24=×24 （运用乘法分配律展开） ×24+×24=11 6（3x+1）+8（2x-5）=11 （乘法分配律去括号） 18x+6+16x-40=11 34x-34=11 34x=34+11 34x=45 X= 【方法总结】形如=f的方程，方程左右两边同时乘分数分母的最小公倍数，把分数方程转化为整数方可再计算。去括号时，主要符号的变化。 x-=2- -=2 x-×（100-x）=16 解方程。（5×20=100分） （1）42-x=0 （2）0.9x-1.7=5.5 （3）: =x: （3）=18 （5）= （6）x÷20%+20=70 （7）60-40%x=15 （8）6×（14-x）=4x （9）2x+×2=2 （10）3x+x=12 （11）8：（x+1）=： （12）（x+5）：（2x-3）=8:3 （13）x-6=x+4 （14）3×2x=1 （15） 12×（2+3x）=42 （16）x÷=12 （17）（x-3）+（x+5）=+x （18）25%（1000-x）-15%x=50 （19）4：=1：（4-x） （20）（-）÷-（x-）= 【巩固提升】参考答案 X+0.05=1.2 解：x=1.2-0.05 X=1.15 x-2=5.4 解：x=5.4+2 X=7.4 x-=0.125 解：x=0.125+ X=1 37.1－x＝15.2 解：x=37.1-15.2 X=21.9 23＝56－x 解：x=56-23 X=33 523－x＝170 解：x=523-170 X=353 7.5x＝22.5 解：x=22.5÷7.5 =3 39x＝195 解：x=195÷39 X=5 6x＝40.8 解：X=40.8÷6 X=6.8 0.2x-= 解：0.2x=+ 0.2x= x=÷0.2 x= 4x+3×0.7=6.5 解：4x+2.1=6.5 4x=6.5-2.1 4x=4.4 x=4.4÷4 x=1.1 4x-0.8×6=25.2 解：4x-4.8=25.2 4x=25.2+4.8 4x=30 X=7.5 1-x=0.2 解：x=1-0.2 x=0.8 x=0.8÷ x= 2（0.5-0.3x）=0.1 解：0.5-0.3x=0.1÷2 0.5-0.3x=0.05 0.3x=0.5-0.05 0.3x=0.45 X=0.45÷0.3 X=1.5 3.4+0.5x=4.6 解：0.5x=4.6-3.4 0.5x=1.2 x=1.2÷0.5 x=2.4 3（1.2＋x）＝23.4 解：1.2+x=23.4÷3 1.2+x=7.8 x=7.8-1.2 x=6.6 13（x－2.6）＝65 解：x-2.6=65÷13 x-2.6=5 x=5+2.6 x=7.6 16（x＋7）＝480 解：x+7=480÷16 X+7=30 X=30-7 X=23 13x＋12x＝225 解：（13+12）x=225 25x=225 X=225÷25 X=9 2.6x＋0.4x＝72 解：（2.6+0.4）x=72 3x=72 x=72÷3 x=24 3.5x－2.4x＝4.4 解：（3.5-2.4）x=4.4 1.1x=4.4 X=4.4÷1.1 X=4 6x＋1＝2x＋9 解：6x+1-1=2x+9-1 6x=2x+8 6x-2x=8 4x=8 x=2 x-30=x+12.5 解：x=x+12.5+30 x=x+42.5 x-x=42.5 （-）x=42.5 x=42.5 x=42.5÷ x=85 x-6=x+4 解：x=x+4+6 x-x=10 x=10 x=40 5x×2＝130 解：（5×2）x=130 10x=130 X=13 6x÷2－8＝15 解：6x÷2=15+8 （6÷2）x=23 3x=23 x= 2.6＋9x÷2＝16.1 解：9x÷2=16.1-2.6 9x÷2=13.5 9x=13.5×2 9x=27 X=3 = 解：4x=3×3.2 4x=9.6 X=9.6÷4 X=2.4 ：=x： 解：x=× x= x=÷ x= ：= 解：：= x：12 x=×12 x=8 x=8÷ x= 6×（14-x）=4x 解：84-6x=4x 84=4x+6x 10x=84 X=8.4 （13x+8）÷3=5x-1 解：13x+8=（5x-1）×3 13x+8=15x-3 13x+8+3=15x 13x+11=15x 15x-13x=11 2x=11 X=5.5 9÷（x-）=36 解：x-=9÷36 x-= x= x=1 X=3 =（x-19）÷ 解：（0.5x-3）：5=（x-19）： 5（x-19）=（0.5x-3） 35（x-19）=5（0.5x-3） 7（x-19）=0.5x-3 7x-7×19=0.5x-3 7x-133=0.5x-3 7x-133+133=0.5x-3+133 7x=0.5x+130 7x-0.5x=130 6.5x=130 x=130÷6.5 x=20 x: =（x-1）： 解：x×= ×（x-1） x=x- x-=x x=x+ x-x= x= x=÷ x= （x+9）=（14-2x） 解：（x+9）×6=（14-2x）×6 2（x+9）=3（14-2x） 2x+18=42-6x 2x+6x=42-18 8x=24 x=3 x-=2- 解：（x-）×6=（2-）×6 6x-3（x-1）=12-2（x+2） 6x-3x+3=12-2x-4 3x+3=8-2x 3x+2x=8-3 5x=5 x=1 -=2 解：（-）×1=2 5（x-1）-2（x+1）=2 5x-5-2x-2=2 3x-7=2 3x=9 X=3 x-×（100-x）=16 解：x-×100+x=16 x-10+x=16 x+x=16+10 （ +）x=26 x=26 x=26÷ x=60 【综合测试】参考答案 解方程。（5×20=100分） （1）42-x=0 解：42=x X= 42÷ X=56 （2）0.9x-1.7=5.5 解：0.9x=5.5+1.7 0.9x=7.2 x=7.2÷0.9 x=8 （3）: =x: 解：x=× x= x=÷ x= （3）=18 解：×2=18×2 6+5x=36 5x=30 X=6 （5）= 解：= = = 3（x+1）=40×6（两边同时除以3） X+1=40×2 X+1=80 X=79 （6）x÷20%+20=70 解：x÷0.2=70-20 X÷0.2=50 X=50×0.2 X=10 （7）60-40%x=15 解：40%x=60-15 0.4x=45 X=45÷0.4 X=112.5 （8）6×（14-x）=4x 解：84-6x=4x 4x+6x=84 10x=84 X=8.4 （9）2x+×2=2 解：2x+=2 2x=2- 2x= x=÷2 x= （10）3x+x=12 解：（3+）x=12 x=12 x=12÷ x= （11）8：（x+1）=： 解：8:（x+1）=4:3（化简比） 4（x+1）=3×8 X+1=6 X=5 （12）（x+5）：（2x-3）=8:3 解：3（x+5）=8（2x-3） 3x+15=6x-24 15+24=6x-3x 3x=39 x=13 （13）x-6=x+4 解：x=x+4+6 x=x+10 xx=10 x=10 x=40 （14）3×2x=1 解：×2x= 7x= x=÷7 x= （15） 12×（2+3x）=42 解：24+36x=42 36x=42-24 36x=18 x=18÷36 x=0.5 （16）x÷=12 解：x=12× x=3 x=3÷ x=4.5 （17）（x-3）+（x+5）=+x 解：[（x-3）+（x+5）] ×6=（+x）×6 3（x-3）+2（x+5）=7+x 3x-9+2x+10=7+x 5x+1=7+x 5x=7-1+x 5x=6+x 5x-x=6 4x=6 x=1.5 （18）25%（1000-x）-15%x=50 解：250-0.25x-0.15x=50 250-（0.25x+0.15x）=50 250-0.4x=50 0.4x=250-50 0.4x=200 x=200÷0.4 x=500 （19）4：=1：（4-x） 解： ：=：（4-x） （4-x）=× （4-x）=1 4-x=1÷ 4-x= x=4- x= （20）（-）÷-（x-）= 解：÷-（x-）= -（x-）= x-=- x-= x=+ x= 14 学科网（北京）股份有限公司 $$