专项38 生活中数学问题-小升初奥数思维提升讲义

经典奥数系列——生活中数学问题 5种类型讲、练、测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ 1.数学源于生活又高于生活,我们要善于在生活中发现数学问题并运用所学的数学知识和方法去解决问题,例如付水费、电费、电话费、出租车费等,设计最佳购票方案等在各种方案中,寻求一个最合理、最省事、最节约的方案。 2.分段计费核心是根据不同使用量区间采用不同收费标准，最终累加各段费用得出总价。 3.解题关键步骤‌： ‌（1）明确分段点‌：如出租车起步里程、水电费各档阈值。 ‌（2）计算各段用量‌：总用量减去前段阈值，注意不足单位按整计（如1.2公里计为2公里）。‌‌ （3）累加各段费用‌：结合对应单价逐段计算后再求和。‌‌ 【水费问题】 经典例题：为鼓励居民节约用水，自来水公司规定:每户用水15吨以内(含15吨)，按每吨1.2元收取；超过15吨的，其超出的吨数按每吨5元收取，小华家上个月共交水费28元，你知道小华家上月用水多少吨吗? 【解析】 把上月水费分为15吨以内的水费和超过15吨的部分的水费两个部分,先算出15吨水的水费,再算出15吨以外的水的吨数。 解：超过15吨的用水量：(28-1.2×15)÷5=2(吨) 一共用水量：2+15=17（吨） 答:小华家上月用水17吨。 1.为鼓励居民节约用水，自来水厂规定每户用水20吨以内(含20吨)，按每吨1.2元收费，超过20吨的，其超过的吨数按每吨5元收费，小明家上月用水25吨，应交水费多少元？小华家上月共交水费44元，你知道小华家上月用水多少吨吗? 2.为鼓励居民节约用水，自来水厂规定：每户用水20吨以内(含20吨),按每吨1.2元收费；超过20吨的不足25吨的(含25吨)，其超过的吨数按每吨2元收费；超过25 吨的，超过的吨数按每吨2.5元收取。小华家上月用水27吨，应付多少水费?小明家上月水费共46.5元，他们家上个月的用水多少吨? 【车费问题】 经典例题：小华住在望江楼小区,他一个人坐出租车从学校回家,起步价6元(2.5千米以内含2.5千米),超过2.5千米每增加500米加1元。 （1）她家离学校有4300米,到家时,她该付车费多少元? （2）小红从学校坐出租车回家共付费14元,小红家离学校至多多少千米?思路导航 当坐车路程超过2.5千米或车费超过起步价6元时,车费由起步价和超过2.5千米部分的车费组成;当路程超过2.5千米时,以每500米加1元(不足500米也是加1元)来算。 【解析】 （1）(4300-2.5×1000)÷500×1+6 =10(元) 答:付车费10元。 （2）(14-6)×500 ÷1000 +2.5 =6.5(千米) 答:小红家离学校至多6.5千米。 1.小明某天从家坐出租车去电影院，起步价8元(3千米以内,含3千米)，超过3千米每增加1千米加2.2元，他家离电影院有9.5千米（不足1千米按1千米计算），共付车费多少元? 2某市出租公司出租车收费如下表: 里程 收费 3千米以下（含3千米） 6.00元 3千米以上，每增加1千米 1.50元 （1）王华乘出租车行驶了6千米，应付车费多少元? （2）王华的妈妈从公司下班回家，乘出租车共付了28.5元，他们家距公司最多为多少千米? 【话费问题】 经典例题：某通信公司有两种手机卡,采用的收费标准如下: 种类 固定月租费 每分钟通话费 A卡 30元 0.3元 B卡 0元 0.6元 小李每月的通话时间累计不超过80分钟,小王每月的通话时间累计在200分钟左右,请你帮他们选一种合理的手机卡,并说明理由。 【解析】 我们可以把每人分别用A卡、B卡计算一下话费,然后再选一种比较合算的手机卡。 小李: A卡:30+80×0.3=54(元) B卡:0.6×80=48(元) 小王: A卡:30+0.3×200=90(元) B卡:0.6×200=120(元) 答:小李选择B卡,小王选择A卡比较合算。 1.双休日，甲商场以“打九折”的措施优惠，乙商场以“满100元送10元购物券”的形式促销，妈妈打算花掉500元，你认为妈妈在哪个商场买划算? 2.A、B两家商店所有相同商品的售价和进价都相同，小张从A店购得冰箱和微波炉各一台,获得打八折的优惠，小王从B店购得一样的冰箱一台，获赠完全一样的微波炉一台。A店卖给小张冰箱和微波炉各一台，获毛利460元，B店卖给小王冰箱一台，实际所获毛利550元，已知微波炉的售价是冰箱的，求冰箱售价。 【运费问题】 经典例题：从甲地租用汽车运货62吨到乙地已知大车每次运10吨,运费200元,小车每次可运4吨,运费94元,请你设计出总费用最少的方案。 【解析】 要使总费用最少,要考虑两方面因素:①尽可能地多使用大车,因为大车运货每吨运费20元，小车运货每吨23.5元；②尽可能地少出现空的吨位。 因为62=5×10+4×3,所以,运费最小 200×5+94×3=1282(元) 答:运费最少为1282元。 1.某公司要将85吨货物从甲地运到乙地,已知大车每次运15吨,运费300元,小车每次可运5吨,运费125元,请你设计出总费用最少的方案。 2.某商场有184吨货物从A地运往B地，大车每次运10吨，小车每次运4吨，大车每次油耗为20升，小车每次油耗为10升，怎样安排才能使油耗量最少? 【租房问题】 经典例题：小王、小李和小顾三家合租了一套室一厅的房子,具体情况如下表: 人口 住房面积 备注 小王 3人 30m2 公用面积40m2（含客厅、卫生间、厨房等） 小李 2人 25m2 小顾 3人 25m2 现在每月房租是1200元,这三户人家应该怎样承担房租比较合理呢? 【解析】 房租按面积分担,公用面积房租按人口分担比较合理。 每平方米每月租费为: 1200÷(40+30+25+25)=10(元) 公用面积的房租费每人分担:40×10÷(3+2+3)=50(元) 小王:30×10+50×3=450(元) 小李:25×10+50×2=350(元) 小顾:25×10+50×3=400(元) 答:小王家每月房租450元,小李家每月房租 350元,小顾家每月房租400元。 1.小红家粉刷房间，雇用了5个工人，用了10天完成，用了某种涂料150升，费用为4800元，粉刷的面积是150平方米。最后结算工钱时，有以下几种方案: 方案一:按工算，每个工30元(一个工人做一天算一个工)。 方案二:按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱。 方案三:按粉刷面积算，每平方米12元。请你帮小红家出主意，选择哪种方案付钱最合算(最省钱)?得付多少钱? 2. 玩具店有 A、B、C三种型号的拼板(如图所示),其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元。小明现在想拼一个与图中6×6的正方形全等的图案，只选一种型号的材料,那么小明选哪种材料最省钱,要用多少元? 共10题 满分100分 测试时间：50分钟 1.某市自来水公司实行阶梯收费，规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按每吨1.2元收费，超过15吨的部分按每吨3.5元收费。张大妈家10月份缴水费28.5元，则张大妈家10月份用水（ ）。 A.17吨 B.18吨 C.19吨 D.21吨 2.某公司用大小两种卡车运输货物。已知大卡车载重8吨，每辆每次运费1200元；小卡车载重3吨，每辆每次运费600元。已知该公司运输预算为1.5 万元，问：最多能运输（ ）吨货物。  A.96 B.97 C.99 D.100 3.某市出租车的收费标准如下:3千米以内(含3千米)收费8元，3千米以上每增加1千米(不足1千米按1千米算)，收费2.4元，每乘车一次收燃油附加费1元。 (1)小明乘出租车行驶10千米，他应付多少元? (2)小张乘出租车从家到单位要付13.8元，小张家到单位最多有多少千米 ? 4.某市出租车收费标准：3 km以内(含3 km)起步价为8元，超过3 km后每1 km加收1.8元． (1)若小明坐出租车行驶了6 km，则他应付多少元车费？ (2)如果用s表示出租车行驶的路程，m表示出租车应收的车费，请你表示出s与m之间的数量关系(s＞3). 5.某通讯公司有两种手机卡，收费方式采用的收费标准如下： 种类 固定月租费 每分钟通话费 A卡 25.00元 0.20元 B卡 0元 0.50元 王叔叔每月的通话时间累计一般不超过60分钟，李叔叔每月的通话时间累计一般在100分钟左右，请你帮他们选择一种合适的手机卡，并通过计算说明理由． 6. 某通信公司有两种手机卡,采用的收费标准如下表： 种类 固定月租费 每分钟通话费 A卡 25.00元 0.20元 B卡 0元 0.30元 陈叔叔每月的通话时间累计不超过80分钟,李叔叔每月的通话时间累计在120分钟左右。请你帮他们分别选一种比较合算的手机卡,并通过计算说明理由。 7.据电力部门统计,每天8:00至21:00是用电高峰期,简称“峰时”,21:00至次日8:00是用电低谷期,简称“谷时”。某市电力部门对用电实行“峰谷分时电价”新政策,具体如下表: 时间 换表前 换表后 峰时 （8:00-21:00） 谷时 （21:00-次日8:00） 电价 每度0.52元 每度0.55元 每度0.30元 （1）小张家上月“峰时”用电50度,“谷时”用电20度,若上月初换表,则相对于换表前小张家的电费是节省还是浪费?你帮他算一算吧; （2）小张家这个月用电95度,经测算比换表前使用95度电节约了5.9元,问小张家使用“峰时”电和“谷时”电分别是多少度? 8.某地自来水实行阶梯式收费,标准如下表: 月用水量（立方米/户） 价格（元/立方米） 10以下（包括10） 1.80 11至20 2.60 20以上 3.40 (1)小明家3月份用水12立方米,应付水费多少元? (2)小明家4月份共付水费31.00元,共用了多少立方米水? 9.为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按每吨1.2元收费，超出15吨的部分按每吨3.5元收费。王阿姨家上月缴水费28.5元，王阿姨家上月用水多少吨？ 10.某市自来水公司实行阶梯收费，规定：用水15吨以内（含15吨），按每吨1.2元收费，超过15吨的吨数按每吨3元收费，如果李叔叔家三月份交水费30元，那么他家用水量是多少? 【巩固提升】参考答案 1.为鼓励居民节约用水，自来水厂规定每户用水20吨以内(含20吨)，按每吨1.2元收费，超过20吨的，其超过的吨数按每吨5元收费，小明家上月用水25吨，应交水费多少元？小华家上月共交水费44元，你知道小华家上月用水多少吨吗? 【解析】 25吨水费：20×1.2+（25-20）×5=24+25=49（元） 44元水费用水量：（44-20×1.2）÷5+20=24（吨） 答：25吨水应交水费49元，小华家上月用水24吨。 2.为鼓励居民节约用水，自来水厂规定：每户用水20吨以内(含20吨),按每吨1.2元收费；超过20吨的不足25吨的(含25吨)，其超过的吨数按每吨2元收费；超过25 吨的，超过的吨数按每吨2.5元收取。小华家上月用水27吨，应付多少水费?小明家上月水费共46.5元，他们家上个月的用水多少吨? 【解析】 27吨水费分三段计算： 27=20+5+2 20×1.2+5×2+2×2.5=24+10+5=39（元） 4.65＞39元，水费分三段计费： 46.5元用水量：（46.5-20×1.2-5×2）÷2.5=12.5÷2.5=5（吨） 25+5=30（吨） 答：27吨水的水费是39元，46.5元的用水量是30吨。 1.小明某天从家坐出租车去电影院，起步价8元(3千米以内,含3千米)，超过3千米每增加1千米加2.2元，他家离电影院有9.5千米（不足1千米按1千米计算），共付车费多少元? 【解析】 9.5千米≈10千米 车费：8+（10-3）×2.2=8+15.4=23.4（元） 答：共付车费23.4元钱。 2某市出租公司出租车收费如下表: 里程 收费 3千米以下（含3千米） 6.00元 3千米以上，每增加1千米 1.50元 （1）王华乘出租车行驶了6千米，应付车费多少元? （2）王华的妈妈从公司下班回家，乘出租车共付了28.5元，他们家距公司最多为多少千米? 【解析】 （1）6千米=3千米+3千米 6+3×1.5=10.5（元） （2）（28.5-6）÷1.5+3=15+3=18（千米） 答：6千米车费是10.5元钱，28.5元车费，他们家距公司最多18千米。 1.双休日，甲商场以“打九折”的措施优惠，乙商场以“满100元送10元购物券”的形式促销，妈妈打算花掉500元，你认为妈妈在哪个商场买划算? 【解析】 甲商场500元可以购得价值多少元的物品：500÷90%≈556（元） 乙商场购买500元商品，赠送50元购物券：500+50=550（元） 556＞550 答：妈妈在甲商场购物比较划算。 2.A、B两家商店所有相同商品的售价和进价都相同，小张从A店购得冰箱和微波炉各一台,获得打八折的优惠，小王从B店购得一样的冰箱一台，获赠完全一样的微波炉一台。A店卖给小张冰箱和微波炉各一台，获毛利460元，B店卖给小王冰箱一台，实际所获毛利550元，已知微波炉的售价是冰箱的，求冰箱售价。 【解析】 假设微波炉售价为x元，则冰箱售价为5x元。 A商场八折出售，则售出价格为80%（5X+X）元；B商场为售出冰箱赠送微波炉，则售出二者价格相当于冰箱全价5X元。 由于A和B商场进价相等，则毛利=售价-进价，则A、B商场获毛利之差，即为售出价格之差： 5X-80%（5X+X）=520-450 解得x=350 则冰箱价格为350×5=1750（元） 答：冰箱的售价是1750元。 1.某公司要将85吨货物从甲地运到乙地,已知大车每次运15吨,运费300元,小车每次可运5吨,运费125元,请你设计出总费用最少的方案。 【解析】 大车每吨运费： 300÷15=20（元/吨）, 小车每吨运费： 125÷5=25（元/吨）, 尽量使用大车： 85÷15=5（次）……10（吨）, 剩余10吨用小车运，需要2次, 计算总费用： 5×300=1500（元）, 2×125=250（元）, 1500+250=1750（元）, 答：最便宜的方案是大车运5次，小车运2次，总费用1750元。 2.某商场有184吨货物从A地运往B地，大车每次运10吨，小车每次运4吨，大车每次油耗为20升，小车每次油耗为10升，怎样安排才能使油耗量最少? 【解析】 大车每吨耗油量：20÷10=2（升） 小车每吨耗油量：10÷4=2.5（升） 为了使耗油量最少，应尽量安排大车运送货物： 184÷10=18（次）……4（吨）----4吨在安排小车运1次即可 大车运18次，小车运1次： 18×20+10=370（升） 答：大车运送18次，小车运送1次，耗油量最少为370升。 1.小红家粉刷房间，雇用了5个工人，用了10天完成，用了某种涂料150升，费用为4800元，粉刷的面积是150平方米。最后结算工钱时，有以下几种方案: 方案一:按工算，每个工30元(一个工人做一天算一个工)。 方案二:按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱。 方案三:按粉刷面积算，每平方米12元。请你帮小红家出主意，选择哪种方案付钱最合算(最省钱)?得付多少钱? 【解析】 方案一：5×10×30=1500（元） 方案二：4800×30%=1440（元） 方案三：150×12=1800（元） 1440＜1500＜1800 答：按方案二付钱最合算，应付1440元。 2. 玩具店有 A、B、C三种型号的拼板(如图所示),其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元。小明现在想拼一个与图中6×6的正方形全等的图案，只选一种型号的材料,那么小明选哪种材料最省钱,要用多少元? 【解析】 A型:36÷3=12(块),3×12=36(元) B型:36÷3=12(块),4×12=48(元) C型:36÷4=9(块),5×9=45(元) 因为36＜45＜48 答：选A型材料最省钱,要用36元。 【巩固提升】参考答案 1.某市自来水公司实行阶梯收费，规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按每吨1.2元收费，超过15吨的部分按每吨3.5元收费。张大妈家10月份缴水费28.5元，则张大妈家10月份用水（ ）。 A.17吨 B.18吨 C.19吨 D.21吨 【解析】 （28.5-15×1.2）÷3.5+15 =10.5÷3.5+15 =3+15 =18（吨） 答案：B 2.某公司用大小两种卡车运输货物。已知大卡车载重8吨，每辆每次运费1200元；小卡车载重3吨，每辆每次运费600元。已知该公司运输预算为1.5 万元，问：最多能运输（ ）吨货物。  A.96 B.97 C.99 D.100 【解析】 1.5万元=15000元 根据题意可得，大卡车平均每运输1吨需运费1200÷8=150元，小卡车平均每运输1吨需运费600÷3=200元，大卡车平均每运输1吨所需运费低于小卡车。总预算为定值，要想运输的货物多，则尽量让大卡车多运输且费用无剩余。 15000÷1200=12次…600元，剩余600元刚好够小卡车运输一次。 总预算恰好可使得大卡车运输12次，小卡车运输1次，最多能运输12×8+1×3=99吨。 答案：C。 3.某市出租车的收费标准如下:3千米以内(含3千米)收费8元，3千米以上每增加1千米(不足1千米按1千米算)，收费2.4元，每乘车一次收燃油附加费1元。 (1)小明乘出租车行驶10千米，他应付多少元? (2)小张乘出租车从家到单位要付13.8元，小张家到单位最多有多少千米 ? 【解析】 (1)(10-3)×2.4+8 =7×2.4+8 =16.8+8 =24.8(元) 24.8+1=25.8(元) (2)(13.8-8-1)÷2.4 =4.8÷2.4 =2(千米) 2+3=5(千米) 答:(1)他应付25.8元；小张家到单位最多有5千米。 4.某市出租车收费标准：3 km以内(含3 km)起步价为8元，超过3 km后每1 km加收1.8元． (1)若小明坐出租车行驶了6 km，则他应付多少元车费？ (2)如果用s表示出租车行驶的路程，m表示出租车应收的车费，请你表示出s与m之间的数量关系(s＞3). 【解析】 （1）根据题意3km以内（含3km）起步价为8元，超过3km后每1km加收1.8元，从而列出算式： 8+（6-3）×1.8=13.4（元） （2）根据（1）可直接列出算式，整理即可得到： m=8+(s-3)×1.8 则m=1.8s+2.6. 答：他应付13.4�元车费；m＝1.8s＋2.6。 5.某通讯公司有两种手机卡，收费方式采用的收费标准如下： 种类 固定月租费 每分钟通话费 A卡 25.00元 0.20元 B卡 0元 0.50元 王叔叔每月的通话时间累计一般不超过60分钟，李叔叔每月的通话时间累计一般在100分钟左右，请你帮他们选择一种合适的手机卡，并通过计算说明理由． 【解析】 根据收费标准可知，A卡每月固定月租费为25元，但每分钟的收费较低为每分钟0.20元，B卡无月租费，但每分钟收费为0.50元；由此设当通话为x分钟时，两种电话卡的收费是一样的，则A卡收费为25+0.2x，B卡收费为0.5x，可得方程：25+0.2x=0.5x，解得x的值后，即能确定他们用哪种电话卡比较合适。 【解答】 解：设当通话为x分钟时，两种电话卡的收费是一样的，可得方程： 25+0.2x=0.5x    0.3x=25      x=83 由此可得，当通话时间为83分钟时，两种卡收费一样，由于A卡每分钟收费较低，所以超过83分钟时，A卡收费比较便宜；由于B卡没有月租费，所以通话低于83 分钟时，使用B卡合算。 答：王叔叔每月的通话时间累计一般不超过60分钟，低于83分钟．用B卡合算； 李叔叔每月的通话时间累计一般在100分钟左右，超过83分钟，用A卡合算。 6. 某通信公司有两种手机卡,采用的收费标准如下表： 种类 固定月租费 每分钟通话费 A卡 25.00元 0.20元 B卡 0元 0.30元 陈叔叔每月的通话时间累计不超过80分钟,李叔叔每月的通话时间累计在120分钟左右。请你帮他们分别选一种比较合算的手机卡,并通过计算说明理由。 【解析】 陈叔叔: A卡:0.2×80+10=26(元) B卡:0.3×80=24(元) 26＞24 李叔叔: A卡:0.2×120+10=34(元) B卡:0.3×120=36(元) 36＞34 答:陈叔叔应该选B卡,李叔叔应该选4卡。 7.据电力部门统计,每天8:00至21:00是用电高峰期,简称“峰时”,21:00至次日8:00是用电低谷期,简称“谷时”。某市电力部门对用电实行“峰谷分时电价”新政策,具体如下表: 时间 换表前 换表后 峰时 （8:00-21:00） 谷时 （21:00-次日8:00） 电价 每度0.52元 每度0.55元 每度0.30元 （1）小张家上月“峰时”用电50度,“谷时”用电20度,若上月初换表,则相对于换表前小张家的电费是节省还是浪费?你帮他算一算吧; （2）小张家这个月用电95度,经测算比换表前使用95度电节约了5.9元,问小张家使用“峰时”电和“谷时”电分别是多少度? 【解析】 (1)分别求出换表前后的电费情况,再进行比较计算即可. (2)可设小张家这个月使用“峰时”电是x度,则“谷时”电是(95﹣x)度,根据题意列出方程解答即可. 解:(1)换电表前:0.52×(50+20)=36.4(元) 换电表后: 0.55×50+0.30×20 =27.5+6 =33.5(元) 36.4-33.5=2.9(元) 答:若上月初换表,则相对于换表前小张家的电费是节省了2.9元; (2)设小张家这个月使用“峰时”电是x度,则“谷时”电是(95﹣x)度, 根据题意得, 0.55x+0.30(95﹣x)=0.52×95﹣5.9 解得x=60, 95﹣x=95﹣60=35 答:小张家这个月使用“峰时”用电60度,谷时用电35度。 8.某地自来水实行阶梯式收费,标准如下表: 月用水量（立方米/户） 价格（元/立方米） 10以下（包括10） 1.80 11至20 2.60 20以上 3.40 (1)小明家3月份用水12立方米,应付水费多少元? (2)小明家4月份共付水费31.00元,共用了多少立方米水? 【解析】 （1）小明家3月份用水12立方米，其中10立方米每立方米1.80元，2立方米每立方米2.6元，求出总价即可； （2）先确定小明家4月份用水是否超过20立方米，再计算出用水多少立方米即可。 【详解】 （1）10×1.8＋(12－10)×2.6 ＝18＋5.2 ＝23.2(元) 答：应付水费23.2元。 （2）20立方米需付水费： 10×1.8＋10×2.6 ＝18＋26 ＝44(元) 44＞31，所以小明家4月份用水量未超过20立方米。 (31－10×1.8)÷2.6 ＝13÷2.6 ＝5(立方米) 5＋10＝15(立方米) 答：他家4月份用了15立方米水。 9.为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按每吨1.2元收费，超出15吨的部分按每吨3.5元收费。王阿姨家上月缴水费28.5元，王阿姨家上月用水多少吨？ 【解析】 根据题意可知，15吨以内应该缴水费15×1.2＝18（元），说明王阿姨家上月用水量已经超过了15吨，用28.5－18求出超出15吨花的钱数，再除以超出部分的单价，即可求出超出部分的吨数，再与15吨相加即可。 [28.5－（15×1.2）]÷3.5＋15 ＝10.5÷3.5＋15 ＝18（吨）； 答：王阿姨家上月用水18吨。 10.某市自来水公司实行阶梯收费，规定：用水15吨以内（含15吨），按每吨1.2元收费，超过15吨的吨数按每吨3元收费，如果李叔叔家三月份交水费30元，那么他家用水量是多少? 【解析】 （30-15×1.2）÷3+15 =12÷3+15 =4+15 =19（吨） 答：那么他家用水量是19吨。 14 学科网（北京）股份有限公司 $$