重难点03 绝对值的最值问题-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

重难点03 绝对值的最值问题 预习目标 1 新知速通 1 题型探究 4 题型1、的最小值模型 4 题型2、的最小值和最大值模型 12 题型3、的最小值模型 20 题型4、系数不为“1”的绝对值的和差最值模型 32 题型5、型或型非负性最值模型 39 题型6、绝对值最值模型的实际应用 44 题型7、绝对值最值的新定义问题 53 基础通关 58 拓展提优 86 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1.绝对值具有非负性 即. 2.绝对值的几何意义 表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 3.的最小值模型 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 4.的最小值和最大值模型 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 5.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 总结：的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 6. 系数不为“1”的绝对值的和差最值模型 ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 7. 型或型非负性最值模型 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 题型1、的最小值模型 【解题技巧】求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（24-25七年级上·四川成都·期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若数轴上两点A、B表示的数为、，若该两点之间的距离为2，那么值为________． (2)的最小值为________，此时x的取值是________． (3)已知，求的最大值． 【答案】(1)或1 (2)3； (3)6 【分析】（1）①根据数轴上两点间距离，列出绝对值方程，进行计算即可； （2）求的最小值，分情况讨论，再根据绝对值的性质即可求出最小值； （3）由于，可知，，依此得到的最大值． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A、B表示的数为、，若该两点之间的距离为2， ∴， ∴或， 解得或． 故答案为：或1； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，有最小值是3； 故答案为：3；； （3）解：由（2）可知当时，则取得最小值是3， 同理可得当时，取得最小值是为5， ∴当，时， 满足， 的最大值为， 故的最大值6． 【点睛】本题考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，表示的几何意义就是在数轴上表示数与数的点之间的距离．这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（2）（3）这两道难题． 例2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ． (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为 ． (3)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是 ． ②当时，数a的取值范围是 ，这样的整数a有 个 ③有最小值，最小值是 ． 【答案】(1)5，2 (2) (3)①或8；②，6；③ 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的意义可得； （3）①利用绝对值定义知或，分别求解可得；②根据绝对值的几何意义可知时，，再由是整数，求出符合条件的的值即可；③根据绝对值的几何意义可知当时，的最小值是2026． 【详解】（1）解：数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是； 故答案为：5，2； （2）若，那么的值为5或， 故答案为：； （3）①数轴上点用数表示，若，则或， 或， 故答案为：或8； ②表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和， 时，， 是整数， 的值有，，0，1，2，3， 故答案为：，6； ③表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离；熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 例3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查绝对值，求解代数式的值．熟练掌握在数轴上绝对值的几何意义，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键． 由数轴上表示的几何意义，求出的值，即可得到答案． 【详解】∵表示数轴上点x到点a和点b的距离的和，且， ∴当时，这个距离和最小， ∴， ∴． 故答案为：2024． 变式1．（23-24七年级上·陕西安康·期中）如图，点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，．例如：数轴上表示与的两点之间的距离；而，所以是表示与的两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上点表示的数满足，那么____________； (3)若数轴上点表示的数满足，求的值； (4)七年级学习小组在陈老师的指导下，对式子进行探究，他们先在纸上画出数轴，当数所对应的点在与之间移动时，得出结论：的值总是一个固定的值．这个结论正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)正确，理由见解析 【分析】（）利用两点间距离公式计算即可； （）根据绝对值的意义解答即可； （）由可知式子表示有理数对应的点到对应的点和到对应的点的距离之和，进而根据得到的值为与之间的距离，据此即可求解； （）同理（）即可说明； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴或， ∴，， 故答案为：或； （3）解：∵， ∴式子表示有理数对应的点到对应的点和到对应的点的距离之和， ∵，即在和之间， ∴的值为与之间的距离， ∴； （4）解：正确，理由如下： ∵， ∴式子表示有理数对应的点到对应的点和到对应的点的距离之和， ∵数所对应的点在与之间移动， ∴的值为与之间的距离， 即， ∴数所对应的点在与之间移动时，的值总是一个固定的值． 变式2．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）阅读下面材料：如图，点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．    根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示8与的两点之间的距离是______． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到1和所对的两点距离之和．请你画出数轴，写出所有符合条件的整数，使得． (4)若表示一个有理数，则有最小值吗?若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 【答案】(1)10 (2)或， (3)，，，0，1 (4)有，的最小值为 【分析】（1）根据题目所给两点距离公式代入数值计算即可； （2）根据绝对值的意义即可求解； （3）画出数轴结合绝对值的定义求解即可； （4）根据题意，表示到，1011这两点的距离之和，当时，有最小值． 【详解】（1）解；， 故答案为：10； （2）解：， 或， 或； ，表示到1和的距离相等， ， 故答案为：或，； （3）解：如图，   ， 的整数符合题意， 使得成立的所有符合条件的整数为：，，，0，1； （4）解：如图，   表示到，1011这两点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． 变式3．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，（写成也可） (2)或 (3)，，，，， (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的意义． 根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可； 根据绝对值的定义可得，解方程即可得到的值； 根据绝对值表示的意义分当、、时三段分别求解； 根据绝对值表示的意义可知数式表示到和的距离之和，所以可知当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间且和的距离是，可得，根据绝对值的意义解方程求出． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：， ， 或， 或； （3）解：当时， ， ， 整理得：， 解得：， ， 不在取值范围之内，故不符合题意； 当时， 可得：， 整理得：， 即当时，恒成立， 在之间的整数有、、、、、； 当时，， 解得：，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）解：代数式表示到和的距离之和， 当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间，且和的距离是， 即， ， 解得：或． 题型2、的最小值和最大值模型 【解题技巧】求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1．（24-25六年级上·山东淄博·期中）【知识呈现】： 我们都知道，表示与的差的绝对值，也可以理解为数轴上m，n对应的两个点之间的距离.如5与在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为，又如任意一个数与数3在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为． 【学以致用】： （1）在数轴上8和对应的两个点之间的距离是_____； （2）借助数轴解答问题：若，则的值为_____． 【用以致学】： （3）借助数轴，求得的最小值为_____． （4）借助数轴，求得的最大值为_____． 【答案】（1）；（2）6或；（3）5；（4） 【分析】本题考查了数轴和绝对值的应用，一元一次方程的应用，能理解题意是解此题的关键． （1）根据题意可得在数轴上8和对应的两个点之间的距离是，计算即可求解； （2）根据题意可得表示到的距离为，即，，求解即可； （3）根据题意可表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，最小为到的距离，计算即可． （4）根据题意可表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之差，当或时，距离之差最大，最大为数轴上表示和的点之间的距离，计算即可． 【详解】解：（1）∵5与在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为， ∴在数轴上8和对应的两个点之间的距离是， 故答案为：． （2）∵表示与的差的绝对值，即数轴上m，n对应的两个点之间的距离， ∴表示到的距离为， 即 ∴， 故答案为：6或． （3）∵表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， ∴在和之间时，距离之和最小， 即最小值为， 故答案为：． （4）∵表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之差， ∴当或时，距离之差最大， 即最大值为数轴上表示和的点之间的距离， 故答案为：． 例2．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上a，b两数所对的点A，B之间的距离，记作，如的几何意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，几何意义可理解为6与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为______；如果，求出x的值： (2)若，求x的值； (3)探究是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)，或者； (2)或． (3)存在最大值，最大值为，理由见解析 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，一元一次方程的应用，整式的加减的应用． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）由表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之和，再分三种情况，当时，，可得当时，对应的点在的右边或的左边，再进一步求解即可； （3）由表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之差，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者． （2）解：∵表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之和， ∴当时，， 当时， ∴对应的点在的右边或的左边， 当对应的点在的右边时， ∴， ∴， 解得：， 当对应的点在的左边时， ∴， ∴， 解得：； 综上：或． （3）解：存在最大值，最大值为，理由如下： ∵表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之差， 当时， ； 当时， ， 此时， 当时， ， 综上：的最大值为． 变式1．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），；或，； 【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键． （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （6）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，， 当时， 则：， 解得：； 当时，则 ，不符合题意； 当时，则：， 解得：； 故答案为：或； （4）解：， 当时， 则：， 当时，则， 当时，则：， ∴时，的最小值为， 故答案为：； （5）解：∵表示与的距离和与的距离的差， ∴当时， 则：， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴综上的最大值为：； 故答案为：7； （6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为， ∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：， ∴的中点为：，的中点为：，的中点为：， ∵在的左边，在的左边， ∴在的左边，在的左边， ∴，， ∴， ∴时，的值与无关，即， ∴， ∴，． 变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)式子在数轴上的意义是 ． (2)数轴上数x和的两点A和B之间的距离可以表示为 ；如果，那么 ． (3)若点C表示的数为x，当取得的最小值时，则x的取值范围是 ；当取最大值时，则x的取值范围是 ． (4)点D表示的数为8，点E表示的数为，若点P到点D和到点E的距离之差大于1而小于5，请写出满足要求的所有的点P表示的整数． 【答案】(1)表示4的点与表示的点之间的距离 (2)；1， (3)； (4)、 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值的综合应用， （1）原式变形，根据题意即可得出结果； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到与一点距离相等的点有两个； （3）根据线段上点到这两点的距离最小，可得范围； （4）若点P到点D和到点E的距离之差大于1而小于5，分情况讨论，可得点P在之间，故而可知x的取值范围，从而求得点P表示的整数． 【详解】（1）解：，表示4的点与表示的点之间的距离， 故答案为：表示4的点与表示的点之间的距离； （2）数轴上数x和的两点A和B之间的距离为， 如果，即， 或 故x为1、； （3）表示点C与表示的点A之间的距离，表示点C与表示的点B之间的距离， 表示点C到A、B这两点的距离之和， 若点C位于点A的左边或点B的右边，那么一定大于， 点C位于和2之间的任何一点时，能使取得的最小值， 此时x的取值范围是； 若，那么 ， 若，那么 ， 若，那么， 取最大值时，且最大值为表示的点与表示2的点之间的距离3， 此时x的取值范围是； （4）若点P到点D和到点E的距离之差大于1而小于5， ， 假设点P表示的数为x，则，， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，， ， ， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，， ， ， 不符合题意，舍去， 满足要求的所有的点P表示的整数、． 题型3、的最小值模型 【解题技巧】 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 总结：的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 例1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 【答案】(1) (2)6 (3)8， (4)90 【分析】（1）根据题意，得，得到，解答即可； （2）根据题意，得，得到时， 取得最小值，解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∵， ∴， ∴的最小整数值是， 故答案为：． （2）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：6． （3）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示0的两点在数轴上的距离的和， ∴， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：8，． （4）解：根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和， 即． 故答案为：90． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，距离之和最小的意义，有理数的加法．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及当点在两点之间时，点到两点间的距离之和最小，是解题的关键． 例2．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ； (2)找出所有符合条件的整数x，使得取最小值时，相应的x的整数解是 ； (3)对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并求出x的整数解；如果没有，说明理由． 【答案】(1)3； (2)，0，1，2； (3)1； (4)有最小值，最小值为7，x的整数解，0，1 【分析】本题考查绝对值的最值问题，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义求解； （3）根据绝对值的几何意义求解； （4）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：， 即数轴上表示和两点之间的距离是3， 故答案为：3； （2）解：根据绝对值的定义，可表示为x到与2两点距离的和， 根据绝对值的几何意义知， 当x在的左边时，x到2的距离大于，则可表示为x到与2两点距离的和大于3， 当x在与2之间时，x到与2两点距离的和为3， 当x在2的右边时，x到的距离大于3，则可表示为x到与2两点距离的和大于3， ∴当x在与2之间时，有最小值3，x的整数解为：，0，1，2， 故答案为：，0，1，2； （3）解：∵ ∴可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和， 由（2）知：当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，的最小值为0， ∴当时，有最小值为3， 故答案为：1； （4）解：表示x到，，1，2这四个点的距离之和． 令， 时，， 时，， 时，， 时，， 观察数轴， 当时，由于四点分列在x两边，恒有， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综合以上： 即有最小值，最小值为7．x在和1之间时取最小值，x的整数解是：，0，1． 变式2．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）数轴是理解有理数的概念与运算的重要工具，利用这个数学工具不但可以理解有理数的概念、大小比较等，还可以利用它来解决一些实际问题：包括绝对值，有理数的运算等，非常直观地把数与点结合起来，渗透着初步的数形结合的思想． (1)请你结合数轴研究：的最小值是__________； (2)请你结合下图探究的最小值是__________，此时__________；    (3)的最小值是__________； (4)如图，已知使到，2的距离之和小于4，请直接写出的取值范围是__________；    (5)的最小值为，此时，__________． 【答案】(1)在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2 (3)6 (4) (5)1021110，1011 【分析】（1）根据绝对值的几何意义可得当在4和7之间时（包括4，7上），到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值； （2）根据的取值范围进行计算，比较得出当取中间数2时，绝对值最小； （3）由（2）可得当取最中间数时，绝对值最小，进行计算即可得到答案； （4）根据题意得出，再分情况讨论进行计算即可得到答案； （5）由（2）可得当取最中间数时，绝对值最小，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可知，的几何意义是这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和； 当在4和7之间时（包括4，7上），到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3， 故答案为：在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和，3； （2）解：当时，，，， ； 当时，，，， ； 当时，，，， ； 当时，，，， ， 当取中间数2时，绝对值最小，的最小值是 故答案为：2；2； （3）解：由（2）可得：当取最中间数时，绝对值最小， 的最小值是； （4）解：使它到，2的距离之和小于4 当时，则有 解得：， ； 当时，则有， ， 当时，则有， 解得：， ， 综上，的取值范围为：， 故答案为：； （5）解：由（2）可得：取中间数1011时，绝对值最小， 的最小值为： ， 故答案为：1021110，1011． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值的几何意义、一元一次不等式，理解绝对值的几何意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 变式3．（24-25七年级上·四川眉山·期中）材料探索（数形结合思想是数学的重要思想） (1)探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数3和6的两点之间距离为；的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点之间的距离为5，由于数轴上数和数7表示的两点到数2的点之间距离都为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值为______． (2)探索材料2（填空）：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和．不妨记数轴上数2的点为点A，数x为点B，数的点为点C．要求的最小值，即求的最小值．观察数轴可知，当点B在A点和C点之间（包含两点）时，；当点B在A点右侧（不包含A点）或C点左侧（不包含C点）时，的值都不确定，但，综上，的最小值为5． 继续探索当点之间再增加一点D时，点B到三点距离的和是否也有最小值……，根据以上材料探索所学完成以下填空及计算． ①求代数式的最小值为______； ②求代数式的最小值为______； ③求代数式的最小值为______，最大值为______； (3)根据以上材料探索所学求：的最小值． 【答案】(1)8或 (2)①6； ②7； ③，6 (3) 【分析】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于及分类思想的应用． （1）)根据绝对值的意义即有理数的加减法法则计算即可； （2）理解材料，按材料解题即可； （3）根据材料可知，当时，有最小值，再根据绝对的定义化简求值即可． 【详解】（1）表示的意义为， 数轴上表示数x的点到数3的点之间的距离为5， 或， 解得或． （2）①由材料2可得，当时，有最小值， ， 最小值为． ②代数式表示， 数轴上表示数x的点到数的点，数的点，数2的点的距离和， 当表示数x的点正好落在数的点上时，它们的距离和最小， 即当时，有最小值， ． ③代数式表示数轴上表示数x的点到数的点，数的点的距离差， 当数x的点落在数的点上及数的点的左侧时，它们的距离差最小， 即时，， 当数x的点落在数的点上及数的点的右侧时，它们的距离差最大， 即时，， 代数式的最小值为，最大值为6． （3）， 表示数轴上表示数x的点到数的点的距离和， 由材料可知，当在这个数中间时，距离之和最小， 这个数中间的数为， 当时，有最小值， ． 题型4、系数不为“1”的绝对值的和差最值模型 【解题技巧】 ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，把求的最小值转化为求的最小值问题是解题的关键；先求出值最小，的最小值，两个最小值的条件是一致的，再求出答案即可． 【详解】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为， 的最小值是， 故选：． 例2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）（1）的最小值是 ； （2）的最小值是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 将式子转化为n个的系数为1的整式的绝对值和的形式，并按常数项大小排列，观察可发现，取最中间的值，式子取最小值，即可求出答案. 【详解】解：（1）可以表示在数轴上表示到1、2、3三个数的距离和， 当最中间点到的距离为0时，距离和最小，即当，即时，取最小值. （2） 同理（1）可知：原式可以表示在数轴上表示到距离的2倍，到距离的3倍，到距离的7倍的和， 当在最中间的点到的距离为0时，距离和最小，当时，即时，取最小值. 故答案为（1）2；（2）. 例3．（23-24七年级上·四川眉山·期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1)______，______； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取最小值． ④当x取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果． 【答案】(1)， (2)5 (3)①3；②4；③4；④当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时的取值的一般规律是解题的关键． （1）根据相反数和非负数的性质，求解即可； （2）由折叠可知，折痕点对应的数是，再由对称性可知点B与数字5重合； （3）①当时，有值最小； ②当时，的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解； ③找到2，2，3，3，4，4，4，4的中间数即为所求； ④由，可求4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当时，式子有最小值． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，，解得，， 故答案为：，； （2）解：∵点A与表示的点重合， ∴折痕点对应的数是， ∴与点B重合的点所表示的数为， 故答案为：5； （3）解：①表示数轴上表示的点到表示3的点和6的点的距离之和， 当时，的值最小， 的最小值为3， 故答案为：3； ②表示数轴上表示的点到表示的点和4的点的距离之和， 当时，的值最小，最小值为7， ， 的整数值为，，，0，1，2，3，4， 满足条件的所有整数的和是4， 故答案为：4； ③表示2倍的到2的距离，2倍的到3的距离，5倍的到4的距离之和， ，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4， 当时，的最小值； 故答案为：4； ④， 表示4倍的到的距离，3倍到的距离，到的距离，2倍到的距离，3倍到3的距离之和， 个，3个，1个，2个，3个3的中间数是， 当时，的值最小，最小值为． 变式1．（24-25七年级上·重庆·期中）我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为． （）的最小值为 ； （）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（）由得式子表示到的距离与到的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，利用两点间距离公式计算即可求解； （）由得式子表示到的距离的倍与到、的距离之和，可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴式子表示到的距离与到的距离之和， 可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：； （）∵， ∴式子表示到的距离的倍与到、的距离之和， 如图， 可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 变式3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 【答案】（1）应该在第四台位置；（2）当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置；（3）；（4） 【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类求解即可得到答案．分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由阅读材料可知，7是奇数，故应该在第四台位置； （2）由阅读材料可知： 当为奇数时，应该在第台位置； 当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置； （3）由题意，在直线上相当于有3台机器，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ； （4）表示的点到表示的点距离之和，共有个点，是奇数个， ∴当时，有最小值， ． 题型5、型或型非负性最值模型 【解题技巧】 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 例1．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（   ） A．0 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，根据绝对值的非负性质得出，进而可得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴的最小值是5， 故选：B． 例2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据的最小值是即可求解． 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为， 故选：A． 例3．（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 此时时，的值最小，则； 故答案为：． 例4．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可. 【详解】∵， ∴>0，即总是正数，(1)正确； ∵， ， ∴当即a=0时，，故是正数； 当时，则，即，故是正数； 故（2）正确； 的最小值为5，故（3）错误； 的最大值是2，故（4）错误． 故选：B. 【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点. 例5．（2024七年级上·全国·专题练习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 变式1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据得出当时，式子存在最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，即当时，式子存在最小值，这个最小值是， 故选：A． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．4049 C．20 D．0 【答案】A 【分析】本题考查的是非负数的性质-绝对值，根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：因为绝对值具有非负性， 所以， 所以， 所以当时，式子有最大值，此时的值是2026． 故选：A． 变式3．（24-25七年级上·江西赣州·期中）当 时，的值最大． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据，若使有最大值，则应为即可． 【详解】解：， 要使得的值最大，则需满足，即． 故答案为：． 变式4．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握该知识点是解题关键，直接利用绝对值的非负性，分别分析即可得出答案． 【详解】解：①若，则，故①错误； ②， 总是正数，故②正确； ③， ，则的最小值为9，故③正确； ④， ，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 变式5．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了求绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． （1）分别把和代入求解即可； （2）根据绝对值的非负性得，进而得当时，的值最小，最小值为． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （2）解：∵若为一个有理数，则， ∴， ∴当时，有最小值， ∴当时，的值最小，的最小值为． 题型6、绝对值最值模型的实际应用 【解题技巧】1）‌理解绝对值的几何意义‌：绝对值表示一个数在数轴上与原点的距离。理解这一点对于解决绝对值最值问题至关重要。‌ 2）‌掌握绝对值的性质‌：绝对值具有非负性、对称性等性质。非负性意味着任何数的绝对值总是非负的；对称性表示正数与负数的绝对值相等‌。 3）‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 例1．（24-25七年级上·四川成都·期中）成都外国语学校有五个优质摄影社团，依次为一社、二社、三社、四社、五社，它们分别有相机15，7，11，3，14台，现在为使各社团相机台数相等，各调几台给相邻社团，规定一社给二社台，二社给三社台，三社给四社台，四社给五社台，五社给一社台，则调动相机总台数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，有理数的加减计算，根据题意求出调动后每个社团的相机都为10台，再用分别表示出，，，，再利用绝对值的几何意义求解即可． 【详解】解：∵台， ∴调动后每个社团的相机都为10台， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由绝对值的几何意义可知表示的是数轴上表示数的点到表示数0和数9的两个点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 同理当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， ∴当时，，和能同时取得最小值， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴调动相机总台数的最小值为， 故答案为：． 例2．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)米 【分析】（）由可知式子表示到和到的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解； （）同理（）解答即可； （）以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分、、时，去绝对值，得出的取值范围，可知当时，即点与点重合时，该距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴式子表示到和到的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为，此时的取值范围， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子表示分别到、、的距离之和， 同（1）可知，时，到到、的距离之和最小， ∴当时，分别到、、的距离之和最小， 即时，分别到、、的距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （3）解：如图，以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 由（1）（2）可知点在、之间， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：当时，即点与点重合时，该距离之和最小，最小值为， 变式1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在一座环形岛屿边上有五个港口A、B、C、D、E按顺时针排列，它们分别有货运船20艘、16艘、8艘、12艘、19艘，只允许港口可相邻的港口调出货运船，最少调动 艘货运船，使每个港口货运船数量相同． 【答案】16 【分析】先求出这5个港口货运船的平均数，设A往B调动艘，B往C调动艘，C往D调动艘，D往E调动艘，E往A调动艘，调动货运船总数为y，推出，，，，根据，结合绝对值的几何意义，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： （艘）， 设A往B调动艘，B往C调动艘，C往D调动艘，D往E调动艘，E往A调动艘，调动货运船总数为y， ， ， ， ， ， 则， ， ， ， ∴当时，y取最小值， ∴最少调动方法是：从A调动5艘到B，从B调动6艘到C，从E调动4艘到D，从D调动1艘到C， （艘）， 故答案为：16．    【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题关键是设出未知数、列出方程以及绝对值的几何意义． 变式2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．如：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1 (1)线段的长度是______，设点P在数轴上对应的数为x，若，则______； (2)①找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是________； 的最大值为________； ②由以上探索猜想：当________时，的值最小，最小值为________； (3)如上图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)6；或 (2)①，0，1，2，3；3；②；6 (3)菜鸟驿站P建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． （1）根据两点之间的距离公式求出线段的长度，根据的几何意义分两种情况求解即可． （2）①根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离的和是7，即可求解；根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差，分为当在1的右边时，和当在1的左边时，求解即可． ②根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数2的点之间的距离，确定出在和2之间时，三个距离之和最小即可解答． （3）菜鸟驿站P在x处，根据题意得出运输总成本为，再根据其几何意义求出的最小值，即可解答． 【详解】（1）解：线段的长度， ∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离， ∵， ∴当在2的左边时，则； ∴当在2的右边时，则； 则的值为：或5； 故答案为：6；或5． （2）解：①根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离的和是7， ∵， ∴在和3之间， ∴整数的值为：，0，1，2，3； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在1的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为3； 当在1的左边时，则， ∴最大值为3； 故答案为：，0，1，2，3；3． ②解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数2的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和2之间的距离，即为6， ∴最小值为6； 故答案为：； （3）解：设菜鸟驿站P在x处， 根据题意可得，运输总成本为， 的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本为12元， ∴菜鸟驿站P建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元/（千份·千米）． 变式3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为如图1，数轴上点A表示为点表示为2． (1)线段的长度是 ； (2)x表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 则 ，取最小值是 ，取最小值是 ； (3)如图2，一条笔直的高速公路边有四个村庄A、B、C、D和某乡镇O，四个村庄A、B、C、D分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个村庄A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】(1)5 (2)或3；5；5 (3)便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14．理由见解析 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴表示有理数，绝对值的意义，化简绝对值．熟练掌握数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）分当时，当时，当时，求解，可得的值；由绝对值的意义求的最小值和最小值即可； （3）记点表示的有理数为0，则、、、表示的有理数分别为，，，，设便民服务点在数轴上表示的点处，由题意可得便民服务点到四点的距离之和为：，由绝对值的意义可知，当表示的点在表示和2的点的线段上时有最小值，然后计算求解即可． 【详解】（1）由题意知，， 故答案为：5； （2）由题意知，当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 无解； 或3； 由绝对值的意义可知，当时，取最小值5， 当时，取最小值是5， 故答案为：或3；5；5； （3）便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14千米，理由如下： 记点表示的有理数为0，则、、、表示的有理数分别为，，，， 设便民服务点在数轴上表示的点处， 由题意可得便民服务点到四点的距离之和为：， 由绝对值的意义可知，当表示的点在表示和2的点的线段上时有最小值， 此时， 答：便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14． 题型7、绝对值最值的新定义问题 【解题技巧】 例1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为 ；的最小值为 ．（用含的式子表示） 【答案】 1 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，绝对值的应用，读懂题意寻找规律，利用规律计算，得到的规律写出含有绝对值的等式，逐一分析得到规律，即可解答，解题的关键是掌握绝对值的意义，得到规律 【详解】解：和关于1的“单位数”， ， 当都小于等于1时，可得， 可得， 当都大于1时，可得， 可得， 当时，由于， 可得，此时和都取最小值时，相加最小，值为， 同理当时，相加最小值为1， 故有最小值1； 由题意可知：， 同理可得的最小值为3； 同理可得的最小值为7， 同理可得的最小值； 同理可得的最小值； ； 同理可得的最小值； 的最小值：． 故答案为：1；． 例2．（23-24七年级上·全国·课后作业）阅读材料并解决问题： 若数轴上点M和点N表示的数分别为m，n，则我们可以用绝对值表示点M和点N之间的距离，记为，即， 已知数轴上点A，B，C表示的数分别为，1，x，解答下列问题： (1)______； (2)若，则x的值为________； (3)若，且x为负整数，则x的值为_________． 【答案】(1)3 (2)0或 (3)或 【分析】（1）用靠近右边的数减去左边的数，计算即可． （2）根据，得，化简计算即可． （3）数轴上的点Q 表示的数为y， 且线段AQ 的长为6，列式，化简绝对值计算即可． 本题考查了数轴上的两点之间的距离，有理数的加减计算，绝对值的化简，一元一次方程的解法，表示数． 【详解】（1）解：由数轴上点A，B，C表示的数分别为，1，x， 点A和点B之间的距离为， 故答案为：3． （2）解：根据，得， 故或． 解得或 故答案为：，． （3）解：由数轴上点A，B，C表示的数分别为，1，x， ，且x为负整数， ∴， 当时，得， 解得， 与x为负整数，矛盾，不符合题意； 当时，得， 解得， 与x为负整数，一致，符合题意； 当时，得， 解得恒成立， 与x为负整数，一致，符合题意； 此时范围的负整数为， 故答案为：或． 变式1．（24-25七年级上·陕西西安·期中）对于有理数，，， ，若，则称和关于的“友谊数”为，例如，，则和关于的“友谊数”为． (1)和关于的“友谊数”为 ； (2)若和关于的“友谊数”为，求的值； (3)有一组有理数，分别记为，若和关于的“友谊数”为，和关于的“友谊数为，和关于的“友谊数”为，……，和关于的“友谊数”为． ①则的最大值为 ； ②则的最小值为 ． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② 【分析】本题考查了绝对值的应用，解绝对值方程，绝对值的意义； （1）根据“友谊数”定义进行求解即可； （2）根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值即可． 【详解】（1）解：和2关于3的“友谊数”为： ； （2）解：∵和关于的“友谊数”为， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； 故答案为：． ②由题意可知：和关于的“友谊数为， ∴， ∴， ∴当和均在上时，取最小值，且最小值； 和关于3的“友谊数”为1， ∴， ∴， ∴当和均在上时，取最小值，且最小值； 和关于4的“友谊数”为1， ∴， ∵ ∴当和均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值为； ，的最小值； 和关于的“友谊数”为 ，的最小值； ∴的最小值为： ． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）已知一组整数，共有n个．从中任意选取两个整数，将这两个整数作差后取绝对值，记为第1次运算．接下来，再从这组整数中选取一个整数，将这个整数与第1次运算的结果作差后取绝对值，记为第2次运算．此后，每次从这组整数中选取的整数都与前次的运算结果作差后取绝对值（其中每个整数都要被选取，且只被选取一次），我们把第次运算的结果称为这组整数的一个“绝对d值”．(1)已知一组整数：5，6，7． ①若第1次运算选取的整数是5，6，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； ②若第1次运算选取的整数是6，7，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； (2)已知一组整数：，2，3，4，则这组整数的最大“绝对d值”为 ，最小“绝对d值”为 ； (3)已知一组三个互不相等的正整数：2，a，b．这组整数的最大“绝对d值”为10，求这组整数的最小“绝对d值”． 【答案】(1)①6，②4(2)4，0(3)6 【详解】（1）①根据题意得，∵第1次运算选取的整数是5，6， ∴，∴，∴这组整数的一个“绝对d值”为6； ②根据题意得，∵第1次运算选取的整数是6，7， ∴，∴，∴这组整数的一个“绝对d值”为4； （2）∵一组整数：，2，3，4，∴设选取的数为a，b，c ∴小于等于a，b中最大的一个，∴小于等于a，b，c中最大的一个， ∴“绝对d值”小于等于，2，3，4中最大的一个∴这组整数的最大“绝对d值”为4， ∵“绝对d值”大于等于0∴最小“绝对d值”为0； （3）设b为最大正整数， 当时， ， 解得（负数舍去），因此，得到最小“绝对d值”为， 当，且a为整数时，，则，即，则， 因此，得到最小“绝对d值”为．综上所述， 这组整数的最小“绝对d值”为6． 1．（23-24七年级上·湖南怀化·期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求=_______； (2)写出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值；如果没有说明理由． 【答案】(1) (2)、、、0、1、2、3、4、5 (3)有， 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离、化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键． （1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可得； （2）根据绝对值的几何意义分情况讨论，确定所有符合条件的整数x即可； （3）由（2）的方法去绝对值，即可得； 【详解】（1）解：， （2）当时， ，解得（舍去），故此种情况不存在； 当时，， 此时，使得的整数是、、、0、1、2、3、4、5； 当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； ∴符合条件的整数有：、、、0、1、2、3、4、5； （3）有最小值，最小值是5，理由如下： 由（2）的探索可得， 当时，， 故有最小值，最小值是5． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：若的最小值是，则为 ． 【答案】或/8或 【分析】根据数轴上两点之间的距离的计算方法，分类讨论，图形结合分析即可求解． 【详解】解：∵代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”， ∴的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”与“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”之和为，如图所示，    ∴当所对应的点在点左边时，， 解得，； 当所对应的点在点右边时，， 解得，； ∴的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算方法，掌握以上计算方法，图形结合分析是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，． 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． (1)回答下列问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)探索规律： 式子有最 （填“大”或“小”）值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米． (4)知识迁移 式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由． 【答案】(1)①6；② (2)小，2 (3)C，18 (4)最小值，最大值9，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴．熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的化简，分类讨论，是解答此题的关键． （1）①根据两点间距离的求法直接求解即可；②根据两点间距离的求法直接写出即可；（2）当时，；当时，；当时，；可判断有最小值2； （3）以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列，根据绝对值的几何意义，数轴上点的特点可知，当时，有最小值18； （4）分，，三种情况，对绝对值进行运算，再求最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：6； ②； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴有最小值2； 故答案为：小，2； （3）解：以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为0，D点表示的数为3，E点表示的数为6， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， 由（2）知，当时， ，有最小值18， ∴配件箱应该放在工作台C处，最短路程为18米， 故答案为：C，18； （4）解：有最小值，最大值9，理由： 当时， ； 当时， ； ∴； 当时， ； ∴； 故有最小值，最大值9． 4．（2024七年级上·北京·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【答案】(1)，8 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义、数轴以及分类讨论是解题关键． （1）根据四个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1）解： 当时，，时，最小值， 当时，， 时，最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是8． 故答案为：，8； （2）解：当时，，当时，最大， 当时，，无最大值， 当时，，当时，最大， 所以时，有最大值． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示和的两点之间的距离是______ ，数轴上表示和的两点之间的距离是______ ． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______ ，如果，那么为______ ． (2)探索规律： ①当有最小值是______ ． ②当有最小值是______ ． ③当有最小值是______ ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台A、、、、、、、、，一只配件箱应该放在工作台______ 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______ 米 (4)知识迁移 最大值是______ ，最小值是______ ． 【答案】(1)①；②；或 (2)①②③ (3)； (4)； 【分析】（1）由数轴上两点间的距离公式可直接得出答案； 先由数轴上两点间的距离公式得，进而得，据此解出即可； （2）根据的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离； 根据的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当数轴上表示数的点与表示的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离； 根据的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，的值为最小值，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离与数轴上表示数，两点之间的距离之和； （3）由（2）可知：当配件箱放在流水线的中点处，共作人员所走的路程最短，进而再求出最短路程即可； （4）根据的几何意义意义分三种情况进行讨论：当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即，可得；当在数轴上表示数的点在表示数，两点之间时，即，可得，当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即，可得，综上所述可得出，据此可得出答案． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：； 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：；． 数轴上表示和的两点和之间的距离是：， 当，则， 或， 由解得：， 由解得：， 的值为：或， 故答案为：；或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离，即为， 即有最小值是． 故答案为：． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离，即为， 即有最小值是， ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离与数轴上表示数，两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是． 故答案为：． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． 故答案为：；． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、两点间的距离之差， 当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ，， ； 当在数轴上表示数的点在表示数，两点之间时，即， 则，， ，， ， 当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ，， ， ， 的最大值是，的最小值是． 故答案为：；． 【点睛】此题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离，理解题意，理解数轴上点A所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． 6．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）信息：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 信息：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合上面的信息回答下列问题：已知数轴上点、两点分别对应有理数，，且，满足， (1)填空：______，______，、两点之间的距离为______； (2)式子的最小值是______，此时符合条件的整数的值是______； (3)若，则______； (4)数轴上的动点对应有理数； 式子的最小值是______，此时______． 式子有最小值为，则有理数______． 【答案】(1)，，； (2)，或或或或或或或； (3)或； (4)，；或． 【分析】（）利用绝对值非负性和偶次幂非负性求出的值，再用数轴表示两点间的距离公式即可； （）进行当位于点左侧时，即时，当位于点与点之间时，即时，当位于点右侧时，即时分类，用数轴表示两点间的距离公式即可； （）进行当位于点左侧时，即时，当位于点与点之间时，即时，当位于点右侧时，即时分类，用数轴表示两点间的距离公式即可； （）分当位于点左侧时，即时，当位于点与点之间时，即时，当位于点与点之间时，即时，当位于点右侧时即时四种情况分析即可； 分当时，即有时可取最小值和当时，即有时可取最小值两种情况分析即可； 本题考查了绝对值的意义，两点间的距离，一元一次方程，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ， 、两点之间的距离为， 故答案为：，，； （2）解：当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时 ， 综上可知：当位于点与点之间时，的值最小，最小值为，符合条件的整数为或或或或或或或， 故答案为：；或或或或或或或； （3）解：当位于点左侧时，即时， ，解得：； 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时 ，解得：； 故答案为：或； （4）解：当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，有最小值，当，最小值为， 故答案为：，； 当时，即有时可取最小值， ， ，解得：； 当时，即有时可取最小值， ， ，解得：； 故答案为：或． 7．（24-25七年级上·全国·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)表示有理数2点与表示有理数的点的距离是______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______； (3)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______； (4)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______． (5)若，，，，，求式子的最小值？ 【答案】(1)4 (2)1或 (3) (4)4 (5)54 【分析】（1）由题意中的两点间的距离公式即可求解； （2）由题意易得，然后求解即可； （3）由题意易得，然后化简绝对值即可； （4）由数轴可知，然后可得，，，则有，进而问题可求解； （5）由题意易得，然后根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小，进而问题可求解． 【详解】（1）解：表示有理数2点与表示有理数的点的距离是； 故答案为：4 （2）解：由题意得：， ∴， ∴或； 故答案为：1或 （3）解：由题意得：， ∴； 故答案为：； （4）解：由数轴可知：， ∵，，， ∴，，， ∴ ； 故答案为：4； （5）解：∵，，，，， ∴ ， 根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小； ∴当时，则原式，此时当时，有最小值95； 当时，则原式，此时当时，有最小值59； 当时，则原式，此时当时，有最小值54； 当时，则原式，此时无最小值； 当时，则原式，此时无最小值； 当时，则原式，此时无最小值； 综上所述：当时，式子的最小值为54； 故答案为：54． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、整式的加减运算及有理数的加减运算，熟练掌握各个运算及数轴上的动点问题是解题的关键． 8．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）阅读以下材料，唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度，已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，两点P，Q之间的距离表示为，回答以下问题： (1)若点P表示的数为，点Q表示的数为3，则P、Q两点之间的距离__________； (2)若数轴上表示x和的两点之间的距离是4，则：____________； (3)当x的取值范围是 时，代数式有最小值，最小值是_______； (4)结合数轴求出的最小值为 ，此时为 ； (5)请根据上面的规律求的最小值为 ． 【答案】(1)4 (2)或1 (3)5 (4)5，1 (5) 【分析】本题考查两点间的距离，有理数的运算，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式分两种情况进行求解即可； （3）根据表示数轴上数到数之间的距离之和，得到当在到3之间时，最小，进行求解即可； （4）同（3）可知当时，的值最小，进行求解即可； （5）同（4）可知当的值最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：4； （2）解：由题意，或； 故答案为：或1； （3）解：∵表示数轴上数到数之间的距离之和， ∴当在到3之间时，最小，为到3的距离， ∴最小值为：； 故答案为：5； （4）解：同（3）可知：当时，的最小值为； 故答案为：5，1； （5）解：同（4）可知，当时，的值最小， 为：． 9．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看做，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)在数轴上，有理数5与所对应的两点之间的距离为________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数，使得，则________； (3)利用数轴分析，若为整数，，则满足条件的所有的值的和为_______； (4)若为有理数，则的最小值为_______． 【答案】(1)8 (2)2或 (3) (4)2809 【分析】‘’（1）根据两点间的距离公式进行计算即可得到答案； （2）根据绝对值的性质可得或，解两个方程即可得到答案； （3）根据表示与和2的距离之和为5，再结合数轴即可得到答案； （4）将原式变形为，计算出当时，的值最小为105，同理可得：当时，的值最小为103，当时，的值最小为101，…，当时，的值最小为1，最后代入进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 在数轴上，有理数5与所对应的两点之间的距离为， 故答案为：8； （2）解：， 或， 解得：或， 故答案为：2或； （3）解：表示与和2的距离之和为5，且， 所有符合条件的整数有：、、、0、1、2， 满足条件的所有的值的和为， 故答案为：； （4）解： ， 在中， 当时，，， ， 当时，，， ， 当时，，， ， 当时，的值最小为105， 同理可得：当时，的值最小为103， 当时，的值最小为101， …， 当时，的值最小为1， 当时，的值最小， 此时 ， ， 故答案为：2809． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的应用、解一元一次方程、有理数的加法，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 10．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)，，， (3)或 (4)有，最小值为，和为 【分析】本题考查绝对值的意义；整式的加减、数轴、绝对值； （1）根据距离公式即可解答； （2）利用绝对值和数轴求解即可； （3）根据表示到的和为，则分，两种情形讨论，求得最小值，即可求解． （4）|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，当在与之间的线段上时取得最小值，进而即可求解． 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为， 故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、， 故答案为、、、； （3）∵的最小值是， 即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴ ∴ ②当时，即， ∴ 综上所述，或 （4）有最小值， 理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和， ∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为 ∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 11．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若，则能取到的最小值是__________，最大值是__________． (2)的最小值为__________． (3)已知，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，3 (2) (3)10， 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，求代数式的值， 将化简为，根据绝对值的几何意义可得，x到3的距离与x到的距离的和为4，结合3到的距离判定x的范围，即可求得最大值和最小值； 可表示为x到的距离与x到的距离和，当时，最小值为2，结合各自占比即可知x的取值和取最大值； 根据题意得，当，时，符合题意，此时，的最小值为3，的最小值为9，即可求得代数式的值． 【详解】（1）解：将化简为， 根据绝对值的几何意义可得，x到3的距离与x到的距离的和为4， ∵3到的距离为4， ∴x位于3到， 则能取到的最小值是，最大值是3； （2）解：可表示为x到的距离与x到的距离和， 则当时，最小值为2， ∵的占比为，的占比为， ∴当越大时，越小． 则当时取得最大值，； （3）解：根据题意得，且， ∵， ∴当，时，符合题意， 此时，的最小值为3，的最小值为9， ∴的最大值为：， 的最小值为：． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）若是任意的有理数，则式子的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据绝对值的非负性，可得，故当取最小值时，式子取最大值，即可选出答案． 【详解】解：∵绝对值具有非负性，是任意的有理数， ∴， ∴的最小值是， ∴当取最小值时，式子有最大值，此时的值是， 故选：A． 13．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 【答案】(1)小；1；大；5 (2)1；小；2 (3)3；大；9 (4) 【分析】本题考查了绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． （1）根据非负数的性质，可以求出有最小值；根据，可以求出有最小值； （2）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （3）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （4）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴有最小值1， ∵ ∴ ∴有最大值5 故答案为：小；1；大；5． （2）解：∵ ∴， ∴当时，有最小值2， 故答案为：1；小；2． （3）解：∵ ∴ ∴当时，有最大值9， 故答案为：3；大；9． （4）解：∵ ∴，， 解得：，， ∴． 14．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 15．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：． 若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．    (1)如图1， ①若，则的值__________； ②若点在线段上，化简__________； ③由图可知，的最小值是__________． (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________． (3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．    【答案】(1)①或；②3；③5； (2)5 (3)见解析； 【分析】（1）如图1，①分点在点左侧和点在点右侧分别计算即可； ②若点在线段上，得，，然后化简绝对值即可； ③由图1可知，当时，的最小，最小值为5； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和，即可求解； （3）如图2，建立数轴模型，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，当满足时，该距离之和最小，最小值为． 【详解】（1）解：①若点在点左侧，得， 若点在点右侧，得； 故的值或． ②若点在线段上，得，， ； ③由图1可知，    当时，的最小， 原式， ， 故答案为：或；3；5； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和， 当数时，距离之和最小，最小值为，2对应两点间的距离， 的最小值为5； 故答案为：5； （3）如图2，    以其中一点为原点建立数轴，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 当满足时，该距离之和最小， ， ， ， 汇合地点的位置在之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小，最小值为1400米． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义以及绝对值的化简，数轴，以及数学常识，弄清题中的方法是解决问题的关键． 16．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定：，，例如：，，下列结论中，①能使成立的的值为2或；②若，则；③若，则；④式子的最小值是4．正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：∵，∴或，解得：或，故①正确； ∵，，，∴，， ∴，故②正确； ∵，∴+=0，∴且，解得：，， ∴，故③不正确； ∵， ∴表示数轴上表示x的点到表示和表示的点的距离的和， ∵时，数轴上表示x的点到表示和表示的点的距离的和最小， ∴的最小值为，故④正确， 综上所述：正确的结论有①②④，故答案为：①②④． 17．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）对于有理数若，则称和关于的“友谊数”为，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为_________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求的值； (3)若和关于1的“友谊数”为和关于2的“友谊数”为和关于3的“友谊数”为和关于101的“友谊数”为； ①的最大值为_________； ②的最小值为_________． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①3；②5050 【分析】（1）根据“友谊数”定义进行求解即可； （2）根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值即可． 【详解】（1）解：和5关于4的“友谊数”为： ； （2）解：∵和1关于3的“友谊数”为4， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； ②由题意可知：， ∴， ∴当，均在上时，取最小值，且最小值； ， ∵ ∴当，均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值为： ． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，解绝对值方程，绝对值的意义，数轴上两点间距离公式，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 18．（23-24七年级上·北京海淀·期中）设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为． (1)点，，，在数轴上，①__________，__________． ②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，，①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 【答案】(1)①0，2；②或(2)①4；②的最小值为2，此时或． 【详解】（1）①，故答案：0，2； ②∵，∴，即，∴，解得：或， ∴或，故答案为：或； （2）解：①∵，，，∴，解得：， 设B为上一点，记为，∴，∴， ∴当时，即时，有最大值4，∴， ②根据题意，得，当5位于线段的中点时，的值最小， 当时，，∴，∴； 当时，，，此时无法取最小值，故舍去； 当时，，∴，综上， 的最小值为2，此时或． 1．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5 （2）或9 （3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【分析】（1）由阅读材料直接可得； （2）由已知可得：或， 有最小值7，求得，代入计算即可求解； （3）当n是奇数时，中间的点为，所以当时，；当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，． 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵， ∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7， ∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为， 所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时， ． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）我们知道，表示数轴上数所对应的点与原点的距离，表示数轴上数对应的点与数对应的点之间的距离．请据此解决以下问题： (1)若方程有解，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若不等式有且只有100个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值及数轴，解不等式组； （1）考虑x在数轴上表示的点位于数1表示的点与数3表示的点之间的线段上；x在数轴上表示的点位于数1表示的点左边；x在数轴上表示的点位于数3表示的点的右边；就这三种情况考虑即可； （2）的最小值为2023，的最小值为2021，的最小值为2019，……，的最小值为1，当x在数轴上1012表示的点与1013表示的点间的线段上时，所求式子的值最小，即可求得最小值； （3）解不等式，根据解集有100个整数，得到k的不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：当x在数轴上表示的点位于数1表示的点与数3表示的点之间的线段（不包括线段两个端点）上时，任一数表示的点到数1表示的点与数3表示的点间距离和均为2，则； 当x在数轴上表示的点位于数1表示的点左边或与1表示的点重合时，则x表示的点到2表示的点不小于1，到3表示的点不小于2，则； 同理，x在数轴上表示的点位于数3表示的点的右边或与3表示的点重合时，； 综上，方程有解，的取值范围为； （2）解：∵的最小值为2023，此时x位于1表示的点与2024表示的点间的线段上；的最小值为2021，此时x位于2表示的点与2023表示的点间的线段上；的最小值为2019，此时x位于3表示的点与2022表示的点间的线段上；……，的最小值为1，此时x位于1012表示的点与1013表示的点间的线段上； ∴当x在数轴上1012表示的点与1013表示的点间的线段上（包括两个端点）时，的值最小，最小值为； （3）解：由不等式，得， 解得：， 另一方面，由，得， 由题意，得， 解得：． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）设有理数a，b，c，满足，，且，则的最小值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的性质、整式的加减，根据题意将分成时，即；时，即，根据绝对值的性质及几何意义进行化简，即可求解；理解绝对值的几何意义，能进行分类进行讨论是解题的关键． 【详解】解：∵，，， 故当时，，即， ∵ ， ∴当时， 的最小值为到之间的距离， 为到之间的距离， ∴的最小值为 ； 当时，， 即， ∵ ； ∴当时， 的最小值为到之间的距离， 为到之间的距离， ∴的最小值为 ， 故答案为：或． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）求的最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的运算．原式整理得，即表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，2023倍x到的距离之和，求得在取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，2023倍x到的距离之和， ∵， ∴在第1023638和1023639个数之间取得最小值， ∵，， ∴在取得最小值， 原式 ． 5．（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【答案】(1)回收站到号楼的距离 (2)的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间 (3)的最小值是，回收站的位置建在号楼处 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； 理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 表示回收站到号楼的距离； 故答案：回收站到号楼的距离． （2）解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间. （3）解：由题意得 解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， 当时， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼处． 6．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算．熟练掌握绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算是解题的关键． 由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，当时，的值最小为，由，可得，，当，时，代数式 的值最小，当，时，代数式 的值最大，分别计算，，然后求和作答即可． 【详解】解：由绝对值的意义可知，当时，的值最小为， 当时，的值最小为， ∵， ∴，， 当，时，代数式 的值最小，； 当，时，代数式 的值最大，； ∴， 故选：B． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）对于绝对值均小于1的实数，，，，则正整数的最小值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了绝对值的性质；根据，2，3，，，可得，所以，即可求出正整数的最小值． 【详解】解：设，，中正数的和为，负数和为， ∵ ∴， ①当时，，所以负数至少有1012个， 将代入得，，， 所以正数至少有1012个， 所以， 即至少为2024个， ②当时，与①同理， 综上，最小值为2024. 故答案为：2024. 8．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）整数，，，，满足条件：，，，⋯，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了规律性数字的变化，绝对值和完全平方公式，由已知得，，⋯，，各式相加整理后得：，配方可得：，因为：，，，⋯，，所以整数，，，，均为偶数，可得：，即可得出答案． 【详解】解：， ， 整理可得：， ， 同理可得：， ， ， 左右两边分别相加可得： ， 整理得：， 又， ， 两边同时加上， 可得：， ， ， ，，，⋯，， ，，，，均为偶数， 为偶数， 为的倍数， 为偶数， 又，且，， ， 又偶数， 的最小值为． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03 绝对值的最值问题 预习目标 1 新知速通 1 题型探究 4 题型1、的最小值模型 4 题型2、的最小值和最大值模型 7 题型3、的最小值模型 9 题型4、系数不为“1”的绝对值的和差最值模型 12 题型5、型或型非负性最值模型 14 题型6、绝对值最值模型的实际应用 15 题型7、绝对值最值的新定义问题 18 基础通关 19 拓展提优 25 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1.绝对值具有非负性 即. 2.绝对值的几何意义 表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 3.的最小值模型 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 4.的最小值和最大值模型 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 5.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 总结：的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 6. 系数不为“1”的绝对值的和差最值模型 ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 7. 型或型非负性最值模型 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 题型1、的最小值模型 【解题技巧】求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（24-25七年级上·四川成都·期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若数轴上两点A、B表示的数为、，若该两点之间的距离为2，那么值为________． (2)的最小值为________，此时x的取值是________． (3)已知，求的最大值． 例2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ． (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为 ． (3)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是 ． ②当时，数a的取值范围是 ，这样的整数a有 个 ③有最小值，最小值是 ． 例3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为 ． 变式1．（23-24七年级上·陕西安康·期中）如图，点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，．例如：数轴上表示与的两点之间的距离；而，所以是表示与的两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上点表示的数满足，那么____________； (3)若数轴上点表示的数满足，求的值； (4)七年级学习小组在陈老师的指导下，对式子进行探究，他们先在纸上画出数轴，当数所对应的点在与之间移动时，得出结论：的值总是一个固定的值．这个结论正确吗？请说明理由． 变式2．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）阅读下面材料：如图，点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．    根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示8与的两点之间的距离是______． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到1和所对的两点距离之和．请你画出数轴，写出所有符合条件的整数，使得． (4)若表示一个有理数，则有最小值吗?若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 变式3．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 题型2、的最小值和最大值模型 【解题技巧】求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1．（24-25六年级上·山东淄博·期中）【知识呈现】： 我们都知道，表示与的差的绝对值，也可以理解为数轴上m，n对应的两个点之间的距离.如5与在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为，又如任意一个数与数3在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为． 【学以致用】： （1）在数轴上8和对应的两个点之间的距离是_____； （2）借助数轴解答问题：若，则的值为_____． 【用以致学】： （3）借助数轴，求得的最小值为_____． （4）借助数轴，求得的最大值为_____． 例2．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上a，b两数所对的点A，B之间的距离，记作，如的几何意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，几何意义可理解为6与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为______；如果，求出x的值： (2)若，求x的值； (3)探究是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 变式1．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)式子在数轴上的意义是 ． (2)数轴上数x和的两点A和B之间的距离可以表示为 ；如果，那么 ． (3)若点C表示的数为x，当取得的最小值时，则x的取值范围是 ；当取最大值时，则x的取值范围是 ． (4)点D表示的数为8，点E表示的数为，若点P到点D和到点E的距离之差大于1而小于5，请写出满足要求的所有的点P表示的整数． 题型3、的最小值模型 【解题技巧】 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 总结：的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 例1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 例2．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 变式1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ； (2)找出所有符合条件的整数x，使得取最小值时，相应的x的整数解是 ； (3)对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并求出x的整数解；如果没有，说明理由． 变式2．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）数轴是理解有理数的概念与运算的重要工具，利用这个数学工具不但可以理解有理数的概念、大小比较等，还可以利用它来解决一些实际问题：包括绝对值，有理数的运算等，非常直观地把数与点结合起来，渗透着初步的数形结合的思想． (1)请你结合数轴研究：的最小值是__________； (2)请你结合下图探究的最小值是__________，此时__________；    (3)的最小值是__________； (4)如图，已知使到，2的距离之和小于4，请直接写出的取值范围是__________；    (5)的最小值为，此时，__________． 变式3．（24-25七年级上·四川眉山·期中）材料探索（数形结合思想是数学的重要思想） (1)探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数3和6的两点之间距离为；的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点之间的距离为5，由于数轴上数和数7表示的两点到数2的点之间距离都为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值为______． (2)探索材料2（填空）：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和．不妨记数轴上数2的点为点A，数x为点B，数的点为点C．要求的最小值，即求的最小值．观察数轴可知，当点B在A点和C点之间（包含两点）时，；当点B在A点右侧（不包含A点）或C点左侧（不包含C点）时，的值都不确定，但，综上，的最小值为5． 继续探索当点之间再增加一点D时，点B到三点距离的和是否也有最小值……，根据以上材料探索所学完成以下填空及计算． ①求代数式的最小值为______； ②求代数式的最小值为______； ③求代数式的最小值为______，最大值为______； (3)根据以上材料探索所学求：的最小值． 题型4、系数不为“1”的绝对值的和差最值模型 【解题技巧】 ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）（1）的最小值是 ； （2）的最小值是 ． 例3．（23-24七年级上·四川眉山·期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1)______，______； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取最小值． ④当x取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果． 变式1．（24-25七年级上·重庆·期中）我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为． （）的最小值为 ； （）的最小值为 ． 变式2．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 变式3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 题型5、型或型非负性最值模型 【解题技巧】 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 例1．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（   ） A．0 B．5 C．2 D．3 例2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 例4．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3． A．1 B．2 C．3 D．4 例5．（2024七年级上·全国·专题练习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 变式1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2026 B．4049 C．20 D．0 变式3．（24-25七年级上·江西赣州·期中）当 时，的值最大． 变式4．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式5．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 题型6、绝对值最值模型的实际应用 【解题技巧】1）‌理解绝对值的几何意义‌：绝对值表示一个数在数轴上与原点的距离。理解这一点对于解决绝对值最值问题至关重要。‌ 2）‌掌握绝对值的性质‌：绝对值具有非负性、对称性等性质。非负性意味着任何数的绝对值总是非负的；对称性表示正数与负数的绝对值相等‌。 3）‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 例1．（24-25七年级上·四川成都·期中）成都外国语学校有五个优质摄影社团，依次为一社、二社、三社、四社、五社，它们分别有相机15，7，11，3，14台，现在为使各社团相机台数相等，各调几台给相邻社团，规定一社给二社台，二社给三社台，三社给四社台，四社给五社台，五社给一社台，则调动相机总台数的最小值为 ． 例2．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 变式1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在一座环形岛屿边上有五个港口A、B、C、D、E按顺时针排列，它们分别有货运船20艘、16艘、8艘、12艘、19艘，只允许港口可相邻的港口调出货运船，最少调动 艘货运船，使每个港口货运船数量相同． 变式2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．如：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1 (1)线段的长度是______，设点P在数轴上对应的数为x，若，则______； (2)①找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是________； 的最大值为________； ②由以上探索猜想：当________时，的值最小，最小值为________； (3)如上图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 变式3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为如图1，数轴上点A表示为点表示为2． (1)线段的长度是 ； (2)x表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 则 ，取最小值是 ，取最小值是 ； (3)如图2，一条笔直的高速公路边有四个村庄A、B、C、D和某乡镇O，四个村庄A、B、C、D分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个村庄A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 题型7、绝对值最值的新定义问题 【解题技巧】 例1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为 ；的最小值为 ．（用含的式子表示） 例2．（23-24七年级上·全国·课后作业）阅读材料并解决问题： 若数轴上点M和点N表示的数分别为m，n，则我们可以用绝对值表示点M和点N之间的距离，记为，即， 已知数轴上点A，B，C表示的数分别为，1，x，解答下列问题： (1)______； (2)若，则x的值为________； (3)若，且x为负整数，则x的值为_________． 变式1．（24-25七年级上·陕西西安·期中）对于有理数，，， ，若，则称和关于的“友谊数”为，例如，，则和关于的“友谊数”为． (1)和关于的“友谊数”为 ； (2)若和关于的“友谊数”为，求的值； (3)有一组有理数，分别记为，若和关于的“友谊数”为，和关于的“友谊数为，和关于的“友谊数”为，……，和关于的“友谊数”为． ①则的最大值为 ； ②则的最小值为 ． 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）已知一组整数，共有n个．从中任意选取两个整数，将这两个整数作差后取绝对值，记为第1次运算．接下来，再从这组整数中选取一个整数，将这个整数与第1次运算的结果作差后取绝对值，记为第2次运算．此后，每次从这组整数中选取的整数都与前次的运算结果作差后取绝对值（其中每个整数都要被选取，且只被选取一次），我们把第次运算的结果称为这组整数的一个“绝对d值”．(1)已知一组整数：5，6，7． ①若第1次运算选取的整数是5，6，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； ②若第1次运算选取的整数是6，7，则可以得到这组整数的一个“绝对d值”为 ； (2)已知一组整数：，2，3，4，则这组整数的最大“绝对d值”为 ，最小“绝对d值”为 ； (3)已知一组三个互不相等的正整数：2，a，b．这组整数的最大“绝对d值”为10，求这组整数的最小“绝对d值”． 1．（23-24七年级上·湖南怀化·期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求=_______； (2)写出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值；如果没有说明理由． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：若的最小值是，则为 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，． 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． (1)回答下列问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)探索规律： 式子有最 （填“大”或“小”）值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米． (4)知识迁移 式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由． 4．（2024七年级上·北京·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示和的两点之间的距离是______ ，数轴上表示和的两点之间的距离是______ ． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______ ，如果，那么为______ ． (2)探索规律： ①当有最小值是______ ． ②当有最小值是______ ． ③当有最小值是______ ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台A、、、、、、、、，一只配件箱应该放在工作台______ 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______ 米 (4)知识迁移 最大值是______ ，最小值是______ ． 6．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）信息：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 信息：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合上面的信息回答下列问题：已知数轴上点、两点分别对应有理数，，且，满足， (1)填空：______，______，、两点之间的距离为______； (2)式子的最小值是______，此时符合条件的整数的值是______； (3)若，则______； (4)数轴上的动点对应有理数； 式子的最小值是______，此时______． 式子有最小值为，则有理数______． 7．（24-25七年级上·全国·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)表示有理数2点与表示有理数的点的距离是______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______； (3)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______； (4)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______． (5)若，，，，，求式子的最小值？ 8．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）阅读以下材料，唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度，已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，两点P，Q之间的距离表示为，回答以下问题： (1)若点P表示的数为，点Q表示的数为3，则P、Q两点之间的距离__________； (2)若数轴上表示x和的两点之间的距离是4，则：____________； (3)当x的取值范围是 时，代数式有最小值，最小值是_______； (4)结合数轴求出的最小值为 ，此时为 ； (5)请根据上面的规律求的最小值为 ． 9．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看做，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)在数轴上，有理数5与所对应的两点之间的距离为________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数，使得，则________； (3)利用数轴分析，若为整数，，则满足条件的所有的值的和为_______； (4)若为有理数，则的最小值为_______． 10．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 11．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若，则能取到的最小值是__________，最大值是__________． (2)的最小值为__________． (3)已知，求的最大值和最小值． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）若是任意的有理数，则式子的最大值是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 14．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 15．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：． 若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．    (1)如图1， ①若，则的值__________； ②若点在线段上，化简__________； ③由图可知，的最小值是__________． (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________． (3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．    16．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定：，，例如：，，下列结论中，①能使成立的的值为2或；②若，则；③若，则；④式子的最小值是4．正确的是 ．（填序号） 17．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）对于有理数若，则称和关于的“友谊数”为，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为_________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求的值； (3)若和关于1的“友谊数”为和关于2的“友谊数”为和关于3的“友谊数”为和关于101的“友谊数”为； ①的最大值为_________； ②的最小值为_________． 18．（23-24七年级上·北京海淀·期中）设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为． (1)点，，，在数轴上，①__________，__________． ②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，，①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 1．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）我们知道，表示数轴上数所对应的点与原点的距离，表示数轴上数对应的点与数对应的点之间的距离．请据此解决以下问题： (1)若方程有解，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若不等式有且只有100个整数解，求的取值范围． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）设有理数a，b，c，满足，，且，则的最小值为 ． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）求的最小值． 5．（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 6．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）对于绝对值均小于1的实数，，，，则正整数的最小值为 ． 8．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）整数，，，，满足条件：，，，⋯，，求的最小值． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$