精品解析：重庆市渝中区2024—2025学年下学期八年级数学期末测试

2024—2025学年度下期期末考试八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式：①被开方数的因数不含完全平方数；②被开方数不含分母或分母不含根号，根据此进行判断即可. 【详解】j解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A 2. 若是方程的一个根，则k的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，把代入方程，进行求解即可. 【详解】解：把代入方程，得：， 解得：； 故选B 3. “二十四节气”是中国传统历法中指导农事和生活的特定节令．如图是某地部分节气对应的白昼时长关系图，下列节气中白昼时长未超过12个小时的是（ ） A. 惊蛰 B. 小满 C. 秋分 D. 冬至 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图象，从函数图象获取信息，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，惊蛰，小满，秋分的白昼时长均超过12小时，冬至的白昼时长小于12小时； 故选D． 4. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由ABCD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解． 【详解】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形； C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 5. 正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据正比例函数的图象经过第二、四象限时比例系数的符号特征，建立不等式求解即可. 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得 故选：D 6. 甲、乙两位同学准备参加学校科普大赛，如图是他们5次模拟测试成绩的折线统计图，成绩的方差分别记作和，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折线图，方差的意义，根据方差表示一组数据的波动情况情况，方差越小，数据越稳定，结合折线图进行判断即可． 【详解】解：由折线图可知，甲同学的成绩波动较小，成绩较稳定，乙同学的成绩波动较大，成绩不稳定， ∴； 故选：B． 7. 如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为2，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积求出的长，再根据斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：正方形的面积为2， ∴， ∵，D为的中点， ∴； 故选A． 8. 五一节前，李老师通过举手方式了解全班同学最想去的网红景点，统计结果如下表： 景点 李子坝轻轨站 洪崖洞 鹅岭二厂 十八梯 人数/个 12 20 7 7 根据以上信息，本次调查的景点中众数是（ ） A. 20 B. 7 C. 洪崖洞 D. 鹅岭二厂或十八梯 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数，根据众数是指一组数据中出现次数最多的数据，进行判断即可. 【详解】解：由表格可知，去洪崖洞的人数最多，故众数为：洪崖洞； 故选C. 9. 如图，正方体金属块在竖直向上的拉力作用下，向上做匀速直线运动，上升到离水面一定高度．图2是拉力F与时间t的关系图．下列判断： ①金属块在上升过程中受到的拉力逐渐增大； ②当时，金属块受到的拉力为； ③金属块受到的浮力． 其中正确的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】金属块匀速直线运动，受力平衡，满足，结合拉力图像分段分析：：金属块完全浸没，浮力不变，拉力不变；：金属块逐渐露出水面，浮力减小，拉力增大；：金属块完全离开水面，浮力为0，拉力等于重力． 【详解】解：由图象可知，，拉力的大小不变，故①错误； ，拉力逐渐增大，每秒增大， ∴金属块受到的拉力， ∴当时，金属块受到的拉力为，故②正确； ③金属块完全出水，拉力等于重力，即， 匀速运动受力平衡：， 代入、， 得，故③正确， 综上，②③正确，正确个数为2． 10. 如图，中，，分别平分和，于点D，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的变形计算，作于点，作于点，根据角平分线的性质，得到，推出四边形为正方形，证明，设，由勾股定理，得：，根据完全平方公式的变形求出的值，即可得出结果． 【详解】解：作于点，作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∵分别平分和， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∴ ， ∴，即：， ∴的面积； 故选A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式在实数范围内有意义，可得，再进行求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，菱形中，，交于点O，E为的中点，连接，若，则_____． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据菱形的性质得，，，再根据等腰对等角得，由直角三角形的性质得，最后由等腰对等角求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 重庆科技馆拟招聘一名讲解员，某应聘者的笔试、试讲、答辩成绩分别为100分、90分、90分，若这三项成绩分别占，则他的最终成绩为______． 【答案】95分 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数， 分别用三项成绩乘以三项成绩所占的百分比，计算可得答案． 【详解】解：． 故答案为：95分． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得m的取值范围，再根据范围得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 且， 的最小整数值为2． 故答案为：2． 15. 如图，E为内一点，将平移到，连接，，，．若，，，且．当________时，四边形是矩形；四边形的面积的最小值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定定理，平移的性质、垂线段最短，根据矩形的判定定理进行求解即可；根据，且以为底求面积时，可得当时，四边形的面积有最小值，进而求解即可． 【详解】解：分别过点A、B作交于点M，交于点N，过点D作于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴当，四边形是矩形； ∵将平移到， ∴， ∵， 即， ∴当取最小值时，四边形的面积最小， ∵， ∴当时，四边形的面积有最小值， ∴， ∴， ∴ 即最小值为， 故答案为：；． 16. 定义：在同一平面直角坐标系中有三条直线，，，我们把在某一范围内位于另外两条直线之间的直线称为该范围的中位线，记作．如图，：，：，：，若，则，其表达式为．若，则x的取值范围是______；若是过点且平行于轴的直线，与直线有4个交点，则b的取值范围是_______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求两直线交点，理解新定义、数形结合是解题的关键；求出直线，的交点即可求解；首先确定的图象并画出，数形结合即可求解． 【详解】解：，得，则； 即直线，交于点； 又直线，交于点， 所以若，则； 当时，，即交点为；同理交点为； 若，则对应线段（不包括两个端点），如图； 此时； 若，则对应线段（不包括两个端点），如图； 此时； 若，则对应射线与射线，如图； 此时或； ∴的图象为射线，线段，线段及射线组成，但不包括A、M、B三点； 如图，与直线有4个交点， 当射线：与线段相交时，则交点数为4个； 当经过点B时，，则；当经过点M时，，则； 故当时有4个交点； 当射线：与线段相交时，则交点数为4个，如图； 当经过点A时，，则；当经过点M时，，则； 故当时有4个交点； 综上，与直线有4个交点，则b的取值范围为或． 故答案为：；或． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、18题每小题8分，其余各题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先计算二次根式的乘除，再计算加减； （2）先计算二次根式的乘法，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用提公因式法因式分解，解方程即可； （2）利用公式法，解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ，． 19. 在学习了菱形的判定后，数学兴趣小组研究发现：作三角形的一条角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，中，平分，交于点D，用尺规作的垂直平分线与，分别交于点E，点F，与交于点O，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵平分， ∴①_____． ∵，且与交于点O， ∴． ∵， ∴． ∴②______． ∵平分， ∴． ∴四边形是③______． ∴四边形是菱形． 进一步研究发现，直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是④______． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③平行四边形；④正方形 【解析】 【分析】（1）分别以点B、D为圆心，大于的长度为半径画弧交于点M、N，连接分别交、于点E、F，交于点O，再连接、； （2）由角平分线的定义得，再由全等三角形的性质得，再根据菱形的判定得证，最后由正方形的判定得出结论． 【小问1详解】 解：如图，、即为所求； 分别以点B、D为圆心，大于的长度为半径画弧交于点M、N，连接分别交、于点E、F，交于点O，再连接、； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴①． ∵，且与交于点O， ∴． ∵， ∴． ∴②． ∵平分， ∴． ∴四边形是③平行四边形， ∴四边形是菱形． 进一步研究发现，直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是④正方形． 故答案为：①；②；③平行四边形；④正方形． 【点睛】本题考查尺规作图—作垂直平分线、菱形的判定、正方形的判定、角平分线的定理、全等三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 20. 已知，求下列各式的值 （1） （2） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可； （2）根据题意可求出和的值，再把所求式子利用平方差公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 21. 技术已广泛应用于各领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组邀请了200名使用者分别对甲、乙两款软件使用情况进行评分．成绩（用表示）均高于90分，分为五组：A：；B：；C：；D：；E：）．从这200人中随机抽取了20人的评分结果，进行整理、分析和描述．下面给出了部分信息： 抽取的使用者对甲款软件评分： 分数 92 94 95 97 98 99 100 人数 1 3 2 3 1 3 7 抽取的使用者对乙款软件评分在B等级的数据：97，97，98，98，98，98． 抽取的使用者对乙款软件评分统计图 抽取的使用者对甲、乙两款软件评分统计表 类型 平均数 众数 中位数 方差 甲 97.5 98.5 6.55 乙 97.5 99 5.38 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为哪款软件更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）估计这200人中，对两款软件的评分成绩为A等的人数分别是多少？ 【答案】（1）100，98，5 （2）见详解 （3）100人，80人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，众数、中位数的计算，读懂统计图，熟练掌握中位数的计算是解题的关键． （1）根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数或方差的意义求解即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：甲款软件评分中100出现了7次，次数最多，由众数定义可知， 乙款软件评分中位数是第10个，第11个数据的平均数， A等级的人数为人， B等级从小到大排序为∶97，97，98，98，98，98第10个，第11个数分别为98，98， 根据中位数计算方法可得， B等级人数所占比例为， 则，即， 故答案为∶100，98，5． 【小问2详解】 解：甲、乙两款软件的平均数相同，而甲款软件的众数和中位数都大于乙款软件的众数和中位数， 则甲款软件更优． 【小问3详解】 解： (人)， (人)， 答∶对甲乙两款软件的评分成绩为A等的人数分别是100人，80人． 22. 如图是某超市的购物车，从正面看其示意图如图2所示，已知，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】（1）见解析； （2）的长为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理的应用． （1）根据三边长度，利用勾股定理的逆定理，可证明结论； （2）在中求长，在中，利用三角函数求得结果． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，过C点作于F点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴（）， ∵在中，， ∴（）， 答：的长为． 23. 如图，矩形中，，，点M是的中点．点Q从点B出发以每秒个单位沿边向点C运动（点Q与点B，点C不重合），点P同时从点B出发以每秒1个单位沿折线运动（点P与点B，点D不重合）．设运动时间为x秒，的面积记为，的面积记为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）见解析；一次函数的图象中，y随x的增大而增大；函数的图象中，y先随x的增大而增大，再随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，利用面积公式求得；当时，点P在上，，利用面积公式求得，当时，点P在上，求得即可； （2）根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， 当时，点P在上，， ∴， 当时，点P在上，，， ∴， ∴的函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，一次函数的图象中，y随x的增大而增大；函数的图象中，y先随x的增大而增大，再随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可得，当时，． 【点睛】本题考查列一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数的图象与性质、一次函数与二元一次方程、一次函数与不等式，根据题意列一次函数解析式是解题的关键． 24. 如图，直线：与直线：交于点，点D在直线上，且位于点B的上方，轴交于点E． （1）求直线的表达式； （2）若的面积为，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，将直线向左平移得到直线l，直线l经过点D，P为直线l上一动点，连接，当时，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）：将点B代入求得m的值，从而确定点B坐标，再将点B代入求解即可； （2）设，则，根据面积可得，再求解即可； （3）直线平移后l的解析式为，当点P在上时，，求得直线的解析式为，进而求点P，当点P在下方时，求得直线的解析式为，再联立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：将点B代入得，， 解得， ∴， 将点B代入得，， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：设， ∵轴， ∴点E的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或， ∴； 【小问3详解】 解：直线平移后l的解析式为， 把点代入得， 解得， ∴直线平移后l的解析式为， 当点P在上时， ，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由（2）得，， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，解得， ∴， 当点P在下方时，点P关于的对称点为点， ∴直线的解析式为， 当时，解得， ∴， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】本题考查求一次函数解析式、解一元二次方程、三角形外角的性质、平行线的判定、一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 25. 正方形中，点E为直线上一动点（点E与点B，点D不重合），交直线于点F，连接． （1）如图1，点E在对角线上，当时，求的度数； （2）如图2，点E在对角线上，连接，作交于点G，用等式表示与的数量关系，并证明； （3）作交直线于点G，连接，与直线交于点M，连接，当的值最大时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正方形的性质求出，，再结合，可得出是等腰直角三角形，，，然后根据，可得出平分，从而可求出； （2）设正方形的边长为，，先用表示出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得出，再根据正方形的性质用表示出，从而可利用线段差，用表示出，再计算出，，进而可得出； （3）先证明点在以为直径的圆上运动，当过的中点时，最大，分别用表示出与，从而可求得． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， 又， ∴， ∴平分， ； 【小问2详解】 解： 理由：设正方形的边长为，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 过点作于点，于点，于点， 则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ， ， ∵四边形是正方形，是对角线， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于点，与交于点， 则， 由（2）知， 又， ， ， ， ，， ∵四边形是正方形，是对角线， ， ， 由（2）得， 连接与， 在与中， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ， 又在与中， ， ， 由绕点逆时针旋转得到， ，即 ∴点在以为直径的圆上运动， 当过的中点时，最大， 此时 ， 而， 所以． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下期期末考试八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则k的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 3. “二十四节气”是中国传统历法中指导农事和生活的特定节令．如图是某地部分节气对应的白昼时长关系图，下列节气中白昼时长未超过12个小时的是（ ） A. 惊蛰 B. 小满 C. 秋分 D. 冬至 4. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两位同学准备参加学校科普大赛，如图是他们5次模拟测试成绩的折线统计图，成绩的方差分别记作和，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为2，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 8. 五一节前，李老师通过举手方式了解全班同学最想去的网红景点，统计结果如下表： 景点 李子坝轻轨站 洪崖洞 鹅岭二厂 十八梯 人数/个 12 20 7 7 根据以上信息，本次调查的景点中众数是（ ） A. 20 B. 7 C. 洪崖洞 D. 鹅岭二厂或十八梯 9. 如图，正方体金属块在竖直向上的拉力作用下，向上做匀速直线运动，上升到离水面一定高度．图2是拉力F与时间t的关系图．下列判断： ①金属块在上升过程中受到的拉力逐渐增大； ②当时，金属块受到的拉力为； ③金属块受到的浮力． 其中正确的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，中，，分别平分和，于点D，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 如图，菱形中，，交于点O，E为的中点，连接，若，则_____． 13. 重庆科技馆拟招聘一名讲解员，某应聘者的笔试、试讲、答辩成绩分别为100分、90分、90分，若这三项成绩分别占，则他的最终成绩为______． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值______． 15. 如图，E为内一点，将平移到，连接，，，．若，，，且．当________时，四边形是矩形；四边形的面积的最小值是______． 16. 定义：在同一平面直角坐标系中有三条直线，，，我们把在某一范围内位于另外两条直线之间的直线称为该范围的中位线，记作．如图，：，：，：，若，则，其表达式为．若，则x的取值范围是______；若是过点且平行于轴的直线，与直线有4个交点，则b的取值范围是_______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、18题每小题8分，其余各题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 在学习了菱形的判定后，数学兴趣小组研究发现：作三角形的一条角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，中，平分，交于点D，用尺规作的垂直平分线与，分别交于点E，点F，与交于点O，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵平分， ∴①_____． ∵，且与交于点O， ∴． ∵， ∴． ∴②______． ∵平分， ∴． ∴四边形是③______． ∴四边形是菱形． 进一步研究发现，直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是④______． 20. 已知，求下列各式的值 （1） （2） 21. 技术已广泛应用于各领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组邀请了200名使用者分别对甲、乙两款软件使用情况进行评分．成绩（用表示）均高于90分，分为五组：A：；B：；C：；D：；E：）．从这200人中随机抽取了20人的评分结果，进行整理、分析和描述．下面给出了部分信息： 抽取的使用者对甲款软件评分： 分数 92 94 95 97 98 99 100 人数 1 3 2 3 1 3 7 抽取的使用者对乙款软件评分在B等级的数据：97，97，98，98，98，98． 抽取的使用者对乙款软件评分统计图 抽取的使用者对甲、乙两款软件评分统计表 类型 平均数 众数 中位数 方差 甲 97.5 98.5 6.55 乙 97.5 99 5.38 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为哪款软件更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）估计这200人中，对两款软件的评分成绩为A等的人数分别是多少？ 22. 如图是某超市的购物车，从正面看其示意图如图2所示，已知，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长．（结果保留整数．参考数据：） 23. 如图，矩形中，，，点M是的中点．点Q从点B出发以每秒个单位沿边向点C运动（点Q与点B，点C不重合），点P同时从点B出发以每秒1个单位沿折线运动（点P与点B，点D不重合）．设运动时间为x秒，的面积记为，的面积记为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24. 如图，直线：与直线：交于点，点D在直线上，且位于点B的上方，轴交于点E． （1）求直线的表达式； （2）若的面积为，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，将直线向左平移得到直线l，直线l经过点D，P为直线l上一动点，连接，当时，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 25. 正方形中，点E为直线上一动点（点E与点B，点D不重合），交直线于点F，连接． （1）如图1，点E在对角线上，当时，求的度数； （2）如图2，点E在对角线上，连接，作交于点G，用等式表示与的数量关系，并证明； （3）作交直线于点G，连接，与直线交于点M，连接，当的值最大时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $