第25讲 三角函数的图象与性质-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第25讲 三角函数的图象与性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 知识点2 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 注意： 1. 、的最小正周期都是2； 和的最小正周期都是。 2. 正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点)。 3. 上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。特别提醒，别忘了！ 教材习题01 1．图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 解题方法 对于A选项，当时，，A选项不满足条件； 对于B选项，当时，，，B选项不满足条件； 对于C选项，令，该函数的定义域为，， 故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件； 对于D选项，当时，，D选项不满足条件. 故选：C.． 【答案】C 教材习题02 画出函数的图象，并讨论其基本性质． 解题方法 （因为函数的最小正周期. 1.列表： 0 x y 0 3 0 -3 0 2.描点； 3.用光滑的曲线顺次连接各点所得图象，如图所示；      4.函数的周期，将所得图象向左、右分别扩展，就得到函数的图象，如图所示．         5.性质： 定义域：R 值域： 最小正周期： 单调递增区间：； 单调递减期间：. 对称轴：， 对称中心： 【答案】答案见解析 教材习题03 设函数（A，ω，φ是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，试画图找出的最小正周期． 解题方法 设的最小正周期为， 因为在区间上具有单调性， 所以，解得， 由，且， 可得函数关于直线对称； 由，且在区间上具有单调性， 可得函数的一个对称中心为，即其图象关于成中心对称； 如图所示：    则，解得， 所以的最小正周期为. 【答案】 考点一 正弦函数、余弦函数的图象 1．已知函数，若且在区间内恰有个零点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点P是函数y＝2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的一个最高点，M、N是图象与x轴的交点，若△MPN为直角三角形，则ω＝ ． 4．定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 5．已知函数， (1)作出函数的图象； (2)求使得成立的的取值范围． 考点二 正弦函数、余弦函数图象的应用 1．与图中曲线对应的函数是（   ） A． B． C． D． 2．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 . 4．满足方程且的所有实数根的和为 . 5．已知关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实根． (1)求实数a的取值范围； (2)求这两实根之和． 考点三 三角型函数的定义域、值域和对应法则 1．函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，如果恒成立，则的最小值为 ． 4．当时，不等式成立，则的取值范围是 ． 5．已知函数的最小正周期为，其中． (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 考点四 三角型函数的单调性和最值 1．已知函数在区间及上的最小值之和为0，则的值（    ） A．只有1个 B．只有2个 C．有有限个，但多于2个 D．有无数个 2．“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数（，，），对任意实数x都有，，且在上单调，则的最大值为 . 4．函数的单调增区间为 . 5．已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 考点五 三角型函数的对称轴和对称中心 1．已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．已知，恰有两个零点，，则 ． 4．已知，若满足（互不相等），则的取值范围是 . 5．已知函数的最大值为2． (1)求常数a的值及函数的单调递减区间； (2)将函数图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 考点六 三角型函数的周期 1．若函数的最小正周期为，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域为的图象向右平移2个单位后所得的图象与的图象重合，写出符合上述条件的一个函数的解析式： ． 4．记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时， ． 5．已知函数的周期为，为它的一个对称中心. (1)求函数的解析式及其单调增区间； (2)若关于的方程在上有实数根，求实数的取值范围. 考点七 正切函数的图象与性质 1．若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，某地一天从6至14时的温度变化曲线近似满足函数：，则这天12时的气温约是（   ） A． B． C． D． 3．函数的单调区间为 ． 4．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 5．已知函数 (1)若，求的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在3022个根，且的最小值不小于3022，求的取值范围． 知识导图记忆 知识目标复核 1．正弦函数的图象与性质 2．余弦函数的图象与性质 3．正切函数的图象与性质 一、单选题 1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 3．已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 5．下列函数中，最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．已知为函数和图象的三个连续交点，若的面积为，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．若函数的图象与直线的相邻交点的距离为，则以下说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C． D．的解集为 11．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．的值域为 B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．是的一个周期 12．亚里士多德在《论机械》中提出了“车轮悖论”：车轮圆滚动一圈，车轮底部的点与车轮内部的点的位移相同，为什么点转动的大圆周长会比点转动的小圆周长要长呢？伽利略在解决该问题时指出点在小圆上转动的同时自身还在朝前滑动．以点为原点建立如图直角坐标系，设，下列说法正确的是（   ）（参考数据：，） A．圆沿轴向右滚动时，点的轨迹是正弦曲线 B．圆沿轴向右滚动个单位后，点到轴的距离约为 C．圆沿轴向右滚动个单位后，点到轴的距离约为 D．设圆沿轴向右滚动的距离为，则滚动后点的坐标为 三、填空题 13．已知函数（）图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为5，在上单调，且，则 ，的最小正值为 ． 14．函数（，）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为 ． 15．若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 16．设函数，若在区间上单调，且，则的最小正周期为 ． 17．已知，若函数的图象在轴上方，则的取值范围是 ． 18．已知函数且给出下列三个命题： （1）该函数的值域为; （2）当且仅当时，; （3）对任意恒成立. 上述命题中正确的序号是 四、解答题 19．求函数的最小正周期． 20．求函数的最小正周期． 21．已知函数，求函数的周期． 22．在数学中，三角函数的孪生兄弟是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论： (2)求函数的最小值； (3)求证：对，. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25讲 三角函数的图象与性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 知识点2 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 注意： 1. 、的最小正周期都是2； 和的最小正周期都是。 2. 正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点)。 3. 上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。特别提醒，别忘了！ 教材习题01 1．图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 解题方法 对于A选项，当时，，A选项不满足条件； 对于B选项，当时，，，B选项不满足条件； 对于C选项，令，该函数的定义域为，， 故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件； 对于D选项，当时，，D选项不满足条件. 故选：C.． 【答案】C 教材习题02 画出函数的图象，并讨论其基本性质． 解题方法 （因为函数的最小正周期. 1.列表： 0 x y 0 3 0 -3 0 2.描点； 3.用光滑的曲线顺次连接各点所得图象，如图所示；      4.函数的周期，将所得图象向左、右分别扩展，就得到函数的图象，如图所示．         5.性质： 定义域：R 值域： 最小正周期： 单调递增区间：； 单调递减期间：. 对称轴：， 对称中心： 【答案】答案见解析 教材习题03 设函数（A，ω，φ是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，试画图找出的最小正周期． 解题方法 设的最小正周期为， 因为在区间上具有单调性， 所以，解得， 由，且， 可得函数关于直线对称； 由，且在区间上具有单调性， 可得函数的一个对称中心为，即其图象关于成中心对称； 如图所示：    则，解得， 所以的最小正周期为. 【答案】 考点一 正弦函数、余弦函数的图象 1．已知函数，若且在区间内恰有个零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，求出的取值范围，根据在区间内的零点个数可得出关于的不等式，求出的取值范围，再根据可得出的表达式，再结合的取值范围可求得的值. 【详解】因为，当时，， 因为函数在区间内恰有个零点，则，解得， 因为，所以，可得， 由，解得，因为，故，则. 故选：B. 2．已知函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即．因为，所以，因此本题即求有两个实数根时a的取值范围．由与的图象（如图）知． 3．如图，点P是函数y＝2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的一个最高点，M、N是图象与x轴的交点，若△MPN为直角三角形，则ω＝ ． 【答案】 【分析】结合题意得到,所以周期,再根据周期公式可得答案. 【详解】三角函数的最大值为2，即三角形MPN的高为2， ∵△MPN为直角三角形，∴根据对称性知△MPN为等腰直角三角形，即MN＝4， 即三角函数的周期T＝8，由T8，得ω， 故答案为:. 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到,是答题的关键,属于基础题. 4．定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 【答案】4 【分析】在平面直角坐标系中，分别画出与的图像，根据图像即可求解. 【详解】在平面直角坐标系中，函数与的图像如图所示， 根据图像，可得函数与的图像交点个数为4. 故答案为：4. 5．已知函数， (1)作出函数的图象； (2)求使得成立的的取值范围． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）列表描点得出函数图象； （2）根据已知图象数形结合得出的取值范围. 【详解】（1）列表如下： 0 1 0 0 1 0 描点、连线得函数的图象如下： （2）由（1）可知，使成立的的取值范围为． 考点二 正弦函数、余弦函数图象的应用 1．与图中曲线对应的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该图是正弦函数y 将x轴下方的图象关于x轴对称翻上去所得，从而所表示的函数解析式为． 2．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答. 【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 3．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先由余弦型函数在给定区间上的零点问题转化为函数与函数在上的交点问题，借助于余弦函数的图象列出不等式求解即得. 【详解】 由，可得， 设，当时，， 依题意，要使函数在区间上恰有5个零点， 需使函数与函数在上有5个交点， 结合余弦函数的图象，可得，即得， 即的取值范围为. 故答案为：. 4．满足方程且的所有实数根的和为 . 【答案】12 【分析】根据反比例函数与正弦函数的图象与性质可知图象关于点对称，则方程的实根也关于点对称，结合数形结合的思想即可求解. 【详解】设， 易知函数关于点对称，所以函数关于点对称； 对于函数， ，， 所以，则图象关于点对称； 所以方程的实根也关于点对称， 作出函数的图象，如图， 由图可知在且上有4个交点， 设为，且， 则，所以， 即方程的所有实根之和为12. 故答案为：12 5．已知关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实根． (1)求实数a的取值范围； (2)求这两实根之和． 【答案】(1) (2)两实根之和为或 【分析】（1）首先由函数在有且只有两个不同的零点，转化为函数与有两个不同的交点，设，画出的图像，数形结合即可得出的范围． （2）直接根据图象即可求解. 【详解】（1）令，即， 因为函数在区间有且只有两个不同的零点， 所以函数与有两个不同的交点， 设，画出函数在区间上的图象，如图所示， 结合图象可得，或， 解得， （2）由图可知，这两实根之和为或， 所以或 考点三 三角型函数的定义域、值域和对应法则 1．函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出在指定区间内相位的范围，再利用正弦函数的性质列出不等式求解. 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故选：B 2．若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据角的范围得出，再结合正弦函数的值域列不等式计算求参. 【详解】当时，，且值域为， 所以，则. 故选：B. 3．已知函数，如果恒成立，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据恒成立，推出，故，由函数单调性求出最小值. 【详解】当时，，即； 当时，，即． 所以当时，；当时，． 又函数连续且单调，需满足单调递增，且当时，，即． 故， 令，开口向上，对称轴为， 故. 故答案为： 4．当时，不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意当时，，故只需求出时，的最小值即可. 【详解】因为，所以． 由题意得成立， 即，即． 因为关于的对勾函数在上单调递减， 所以的最小值为12，所以， 解得，即的取值范围是． 故答案为：. 5．已知函数的最小正周期为，其中． (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1). (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数的周期的定义，得到，即可求解； （2）由（1）知，利用正弦型函数的图象与性质，列出不等式，即可求解； （3）由，求得，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为函数的最小正周期为，且， 所以，可得. （2）由（1）知， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （3）解：当，可得，所以， 则，所以函数在区间上的值域为. 考点四 三角型函数的单调性和最值 1．已知函数在区间及上的最小值之和为0，则的值（    ） A．只有1个 B．只有2个 C．有有限个，但多于2个 D．有无数个 【答案】A 【分析】根据给定条件，按分段探讨两个区间上最小值情况即可. 【详解】若，则在及上的最小值分别为正数和非负数，不满足题意； 若在上的最小值为，在上的最小值为， 令，而，则，解得，此时符合条件的有1个； 若，则，在上的最小值为负数， 在上的最小值也为负数，不满足题意； 当时，在及上的最小值均为负数，不满足题意. 故选：A 2．“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的对称性结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则当，可得，为最大值， 所以函数的图象关于直线对称，即充分性成立； 若函数的图象关于直线对称， 则，解得， 不一定成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知函数（，，），对任意实数x都有，，且在上单调，则的最大值为 . 【答案】15 【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，依次分析选项求出得出相应的解析式，依次验证函数的单调性即可. 【详解】，，的一个对称中心为， ，，的对称轴方程， 有，解得， 又，所以，，为奇数， 在上单调，则，得， 由选项知，需要依次验证，直至符合题意为止， 当时，，有， 得，由得， 此时，可以验证在上不单调，不符合题意； 当时，，有， 得，由得， 此时，可以验证在上单调，符合题意； 综上，的最大值为15. 故答案为：15 4．函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间. 【详解】函数，即， 则，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 5．已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 考点五 三角型函数的对称轴和对称中心 1．已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点对称代入计算求解. 【详解】由题意可得， 则，解得. 因为，所以时，取得最小值. 故选：D. 2．已知函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解. 【详解】由题意，函数， 可得 ， 所以 . 故选：D. 3．已知，恰有两个零点，，则 ． 【答案】/ 【分析】由零点的定义，根据正弦函数图象的对称性可得，进而求解. 【详解】由题意知，， 得， 又函数图象在上的对称轴为， 所以. 所以. 故答案为： 4．已知，若满足（互不相等），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数图象，根据三角函数对称性得，解得，进而得答案． 【详解】作出函数图象，不妨设，如图， 根据三角函数的对称性得可得， 另一方面，，即， 所以， 故答案为： 5．已知函数的最大值为2． (1)求常数a的值及函数的单调递减区间； (2)将函数图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角函数的性质建立方程，求解参数，最后再利用整体代入法求解单调区间即可. （2）利用函数平移的性质得到，再利用正弦函数的性质结合二倍角公式求解的值即可. 【详解】（1）由题意得，因为的最大值为2， 所以当时，，则， 故实数a的值为，则， 令， 解得， 即函数的单调递减区间为． （2）若将函数图象向右平移个单位长度， 得到函数， 再将图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 得到函数， 令，则， 由，可得，所以， 由正弦函数的对称性可知，所以， 且，因为， 所以，因为， 可得， . 考点六 三角型函数的周期 1．若函数的最小正周期为，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，故有，故． 2．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，求得，结合特殊角的三角函数，即可求解. 【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 可得，即，可得，所以， 又因为的图象关于直线对称，可得， 即，解得，可得， 因为，所以，所以， 则. 故选：D. 3．已知函数的值域为的图象向右平移2个单位后所得的图象与的图象重合，写出符合上述条件的一个函数的解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】得到的一个周期为2及值域，由三角函数的性质写出一个解析式即可. 【详解】由题设，，易知的一个周期为2，又值域为， 不妨设，故，不妨取， ∴符合题设要求. 故答案为：. 4．记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时， ． 【答案】 【分析】由，可得，由函数的图象关于点对称，可得，即可得解析式，可得答案. 【详解】由题可得，则. 因的图象关于点对称，则， 则， 则. 结合，可知时，最小为4，则， 则. 故答案为： 5．已知函数的周期为，为它的一个对称中心. (1)求函数的解析式及其单调增区间； (2)若关于的方程在上有实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调增区间： (2) 【分析】（1）根据周期和对称点，得出，，即可得出解析式和单调增区间； （2）参变分离，构造函数，将方程解的个数问题转换成图像交点个数问题. 【详解】（1）由，得， 当时，因为为它的一个对称中心,所以， 所以， 又，所以，所以； 当时，因为为它的一个对称中心,所以， 所以， 又，所以，所以； 令，， 所以单调增区间： ； （2）由，得，故， 因此函数的值域为. 设，则， 要使关于的方程在上有实数根， 即在时有实数根，令， 则在时有实数根， 即与在有交点，由图像可知. 考点七 正切函数的图象与性质 1．若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而表示出的解析式，再根据其奇偶性求出． 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以， 所以，则，又为奇函数且， 所以，所以， 所以的最小值为． 故选：B． 2．如图，某地一天从6至14时的温度变化曲线近似满足函数：，则这天12时的气温约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图象的周期得出，再根据最值得出振幅，得出解析式后代入计算求解. 【详解】由，故最小正周期，则， 又因为，可得， 所以当时，. 故选：C. 3．函数的单调区间为 ． 【答案】 【分析】利用求解即可. 【详解】由，所以， 所以， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 4．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ． 【答案】 【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得．设函数的最小正周期为T，则，由题意得，解得，即，解得，即的图象过点，即．因为，所以，所以，解得．． 5．已知函数 (1)若，求的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在3022个根，且的最小值不小于3022，求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为， (2)． (3)． 【详解】解：（1）由题可得，所以函数的最小正周期为．由，可得，所以函数的图象的对称中心是． （2）因为在上单调递增，所以当时，，所以，解得．又．所以． （3）因为，所以，则，所以．又至少存在3022个根，所以可得至少包含3021个周期，即，所以的最小值为．又的最小值不小于3022，所以，所以． 知识导图记忆 知识目标复核 1．正弦函数的图象与性质 2．余弦函数的图象与性质 3．正切函数的图象与性质 一、单选题 1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、对数型复合函数的单调性、求sinx的函数的单调性 【分析】由函数的奇偶性、基本初等函数的性质再结合复合函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，故A不满足题意； 对于B，由在上递增，在定义域上递增，故在 上单调递增函数，故B不满足题意； 对于C，为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C满足题意； 对于D，为偶函数，在上为周期函数，故D不满足题意. 故选：C. 2．“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由正切函数的周期求值 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，以及正切函数的性质，判断充分性和必要性，求得结果. 【详解】当时，，不能得出，不具备充分性， 当时，正切值不存在，所以不能得出，也不具备必要性. 故选：D. 3．已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】余弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义，把问题转化为两个函数图象交点个数，数形结合求解. 【详解】由，得，令函数与， 依题意，所求问题即为函数与在上的交点个数， 在同一坐标系内作出函数与在上的图象，    观察图象得函数与在上的图象有2个交点， 所以函数在区间上的零点个数为2. 故选：A 4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象、求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，当时，，所以单调递增，故B错误； 对C：的最小正周期为，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 5．下列函数中，最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数的周期性的定义与求解、画出具体函数图象、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期 【分析】A选项，利用最小正周期的定义推出错误；B选项，作出的图象可得B正确；C选项，利用公式直接进行求解；D选项，画出的图象，不是周期函数，故选项D错误. 【详解】对于选项A，利用定义法， ，故A不符合题意． 对于选项B，作出函数的图象，由图可知， 函数的最小正周期为，故选项B符合题意． 对于选项C，根据公式法，的最小正周期为，故选项C不符合题意． 对于选项D，依题可得函数，其图象如图所示． 由图可知，函数不是周期函数，故选项D不符合题意． 故选：B 6．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】分析函数的奇偶性与零点个数，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， ，即函数为奇函数，排除BC选项， 由可得或，解得， 故函数有无数个零点，排除A选项. 故选：D. 7．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、利用余弦函数的单调性求参数 【分析】利用奇函数的性质，设，分范围讨论利用排除法可得. 【详解】函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除C项； 设，显然该函数单调递增，故当时，， 则当时，，故， 当时，，故， 当时，，故，故排除D项； 当时，，故，故排除A项， 故选：B. 8．已知为函数和图象的三个连续交点，若的面积为，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、三角函数图象的综合应用、正弦函数图象的应用 【分析】方法一：根据可得，不妨设，则可得连续三个交点的坐标，再根据点到线的距离公式及三角形的面积公式求解即可;方法二：分析图象①可知，，且轴，，点到的距离为，根据的面积为，求得，再分类讨论当或时，求出对应的即可. 【详解】方法一：因为， 所以， 所以， 因为为连续三个交点，故不妨设， 此时， 即， 所以，点到的距离， 所以， 所以， 解得 所以 所以时，符合题意. 方法二：如图①所示，分析图象可知，，且轴，， 点到的距离为， 因为的面积为， 所以， 所以． ①当时，如图②所示，图象由图象向右平移了个单位，故； ②当时，如图③所示，图象由图象向右平移了个单位，故． 综上，或． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了三角函数图象的交点、三角形面积计算以及方程的求解.本题解题的关键在于找到两个正弦函数的交点，并利用三角形面积公式建立方程求解参数值. 二、多选题 9．下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据各项对应三角函数的性质判断区间单调性和周期，即可得. 【详解】对于A，的周期为π，在上单调递增，符合要求; 对于B，的周期为，不符合要求; 对于C，的周期为π，在上单调递增，符合要求; 对于D，的周期为π，在上不单调，不符合要求. 故选：AC. 10．若函数的图象与直线的相邻交点的距离为，则以下说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C． D．的解集为 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求正切型三角函数的单调性、解正切不等式、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心 【分析】根据题意求的最小正周期即可判断A，进而得，将代入即可验证，进而判断B，利用周期先将，再由单调性即可判断C，由解出即可判断D. 【详解】由题意有的最小正周期为，故A正确；所以，所以， 由，所以是函数图象的一个对称中心，故B正确； ，，又，在上单调递增，所以，即，故C正确； 由，所以， 即，故D错误. 故选：ABC. 11．对于函数，下列结论正确的是（    ） A．的值域为 B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．是的一个周期 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含cosx的二次式的最值、求含cosx的函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】先根据函数的奇偶性和周期性的定义求解函数的奇偶性和周期，进而利用换元法求得值域判断A；由与均在上单调递减可判断B；举例说明判断C；由函数的周期性可判断D. 【详解】，， 所以，所以是偶函数， 又，所以是函数的周期， 对于A，因为的一个周期为，令，当时， ，所以， 当时，， 所以，所以的值域为，故A不正确； 对于B，当，时， 函数与均在上单调递减，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以的图象不关于直线对称，故C不正确； 对于D，前面已证明正确. 故选：BD. 12．亚里士多德在《论机械》中提出了“车轮悖论”：车轮圆滚动一圈，车轮底部的点与车轮内部的点的位移相同，为什么点转动的大圆周长会比点转动的小圆周长要长呢？伽利略在解决该问题时指出点在小圆上转动的同时自身还在朝前滑动．以点为原点建立如图直角坐标系，设，下列说法正确的是（   ）（参考数据：，） A．圆沿轴向右滚动时，点的轨迹是正弦曲线 B．圆沿轴向右滚动个单位后，点到轴的距离约为 C．圆沿轴向右滚动个单位后，点到轴的距离约为 D．设圆沿轴向右滚动的距离为，则滚动后点的坐标为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】三角函数定义的其他应用、诱导公式五、六、正弦函数图象的应用 【分析】当圆滚动的距离为时，设圆滚动到点，根据三角函数的定义求出点、的坐标，逐项判断即可. 【详解】当圆滚动的距离为时，设圆滚动到点，如图， 点初始位置对应的角为，由于圆转动时沿着顺时针方向， 当圆滚动的距离为时，点转过的角为弧度，为角对应的终边， 则，， 即点，易知点，则，故点， 所以点的轨迹不是正弦曲线，A错，D对； 圆滚动个单位后，， 点到轴的距离，B对； 点到轴的距离，C对； 故选：BCD. 三、填空题 13．已知函数（）图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为5，在上单调，且，则 ，的最小正值为 ． 【答案】 / / 【难度】0.85 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用 【分析】根据余弦函数的图象与性质即可求解． 【详解】设的最小正周期为T．由题意得，得，则． 因为在上单调，且， 所以的图象关于点对称， 则（），得（）， 故的最小正值为． 故答案为：，． 14．函数（，）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】利用五点法来研究振幅，周期，利用代入最高点可求，即可求解函数解析式. 【详解】由图可得：，，可得， 即，代入点，可得， 因为，所以， 即， 故答案为： 15．若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】借助余弦函数性质计算即可得. 【详解】由，则， 的值域为，则，解得. 故答案为：. 16．设函数，若在区间上单调，且，则的最小正周期为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、利用正弦函数的对称性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期 【详解】若在区间上单调，则，所以．因为，所以直线为图象的一条对称轴，且即为图象的一个对称中心，当时，周期最小，即． 17．已知，若函数的图象在轴上方，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用 【分析】根据题意转化为，分类讨论根据正弦函数单调性及对称性得到不等式，再运用参变分离法求的取值范围. 【详解】， 又函数的图象在轴上方， 即，在时恒成立， 时，， 时，， ，且在上单调递增， ，即 ，当，即， 时，，即， 时，，此时， 时，， ，且的一条对称轴方程为， ，即， ，当，即， 综上，， 故答案为： 18．已知函数且给出下列三个命题： （1）该函数的值域为; （2）当且仅当时，; （3）对任意恒成立. 上述命题中正确的序号是 【答案】（2）（3） 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx（型）函数的最值、函数不等式恒成立问题 【分析】根据解析式及三角函数的性质得，画出大致图象，数形结合判断（1）（2），讨论自变量研究恒成立判断（3）. 【详解】由解析式易得，函数部分大致图象如下， 由图知，值域为且最小正周期为，所以（1）错，（2）对， 当时，， 当时，， 当时，， 所以对任意恒成立，（3）对. 故答案为：（2）（3） 四、解答题 19．求函数的最小正周期． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】分别求出和的最小正周期，再由最小公倍数即可得出答案 【详解】因为的最小正周期，的最小正周期， 则的最小正周期为，的最小正周期为． 由于和的最小公倍数是， 所以函数的最小正周期为． 20．求函数的最小正周期． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期 【分析】先求出各个加函数的最小正周期，然后求出所有周期的最小公倍数即得． 【详解】∵的最小正周期，的最小正周期， 由于和的最小公倍数是， ∴函数的最小正周期为． 21．已知函数，求函数的周期． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数的周期性的定义与求解、求含sinx的函数的最小正周期 【分析】已知函数符合的形式，且正、余弦函数均为周期函数，因此考虑运用最小公倍数法解题，根据可得，，依据最小公倍数法求得未知的，代入中，即可求得函数的周期． 【详解】的最小正周期为，的最小正周期为， 函数的周期，, 把、代入，得， ，为正整数且互质，，， 函数的最小正周期为． 22．在数学中，三角函数的孪生兄弟是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论： (2)求函数的最小值； (3)求证：对，. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的值域和最值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断； （2），设，则，利用单调性求最值； （3）当时，，，利用和的奇偶性和单调性证明，当时，，设，即可得证. 【详解】（1）因的定义域为， 由可得函数为奇函数. （2） ， 设，则，当且仅当时取“=”， 则在上单调递增， 所以. 所以函数的最小值为. （3）① 当时，，. 对于，因，则为偶函数； 设，则， 因为，所以，，， 所以，即在上单调递增. 所以当时，. 对于，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增， 所以当时，. 所以； ② 当时，. 由可得， 所以， 即. 综上可得：对，. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$