第23讲 三角函数的概念-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第23讲 三角函数的概念 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sinα 叫做α的余弦，记作cosα 叫做α的正切，记作tanα 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c) 补充： 不需要了解的其他三角函数。 叫做的正割，记作 叫做的余割，记作 叫做的余切，记作 单位圆：圆心在原点且半径长度为1的圆。 知识点2 特殊角的三角函数值 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 15° 75° 弧度 0 sinα 0 1 0 cosα 1 0 －1 tanα 0 1 -1 0 2- 2+ 总结： 互补两角： sinα值相等、cosα值相反、tanα值相反。 互余两角： 、sinα=cosα。 知识点3 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tanα. 教材习题01 已知角的终边落在直线上，求，，的值． 解题方法 因为角的终边落在直线上，而直线即过第二象限也过第四象限， 当角的终边在第二象限时，在直线上取一点， 则， 当角的终边在第四象限时，在直线上取一点， 则. 【答案】答案见解析 教材习题02 已知，求： (1)； (2)． 解题方法 （1）因为，所以， 所以. 故. （2）. 故. 【答案】(1)3 (2) 教材习题03 解下列各题： (1)已知，且为第一象限角，求和的值． (2)已知，且为第三象限角，求和的值． (3)已知，且为第二象限角，求和的值． 解题方法 （1）解：因为，且为第一象限角，则， 且，. （2）解：因为，且为第三象限角，则， 且，. （3）解：因为，且为第二象限角，则，， 由同角三角函数的基本关系可得，解得，. 【答案】(1)， (2)， (3)， 考点一 任意角的三角函数值 1．已知角的终边在直线上，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】角的终边在直线上，而直线是第二、四象限的平分线．当角的终边在第二象限时，，从而；当角的终边在第四象限时，，从而． 2．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求解方程，即可求得的最小值. 【详解】由，可得， 所以，所以当时，有最小值． 故选：A． 3．如图，单位圆被点分为12等份，其中．角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则 ；若，则角的终边与单位圆交于点 （从中选择，写出所有满足要求的点）． 【答案】 【详解】因为，所以若角的终边经过，则．角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边经过点，则，所以．因为，则或，即或，得或9．所以角经过点． 4．如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在 （填入坐标）    【答案】 【分析】由题意依次分析前24秒的运动情况，发现其是周期性地运动，得到规律即可得出答案. 【详解】由题知：第1秒末：珍珍，花花， 第2秒末：珍珍，花花，此时第1次相遇， 第3秒末：珍珍，花花， 第4秒末：珍珍，花花， 第5秒末：珍珍，花花， 第6秒末：珍珍，花花，此时第2次相遇， 第7秒末：珍珍，花花， 第8秒末：珍珍，花花，此时第3次相遇， 第9秒末：珍珍，花花， 第10秒末：珍珍，花花， 第11秒末：珍珍，花花， 第12秒末：珍珍，花花，此时第4次相遇， 第13秒末：珍珍，花花， 第14秒末：珍珍，花花，此时第5次相遇， 第15秒末：珍珍，花花， 第16秒末：珍珍，花花， 第17秒末：珍珍，花花， 第18秒末：珍珍，花花，此时第6次相遇， 第19秒末：珍珍，花花， 第20秒末：珍珍，花花，此时第7次相遇， 第21秒末：珍珍，花花， 第22秒末：珍珍，花花， 第23秒末：珍珍，花花， 第24秒末：珍珍，花花，此时第8次相遇， 此后二人的走向与最开始一致，由此可知相遇的坐标顺序为，，，， ，，，，，如此循环往复， 而，所以2025次相遇在， 故答案为：. 5．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，求. 【答案】 【分析】根据锐角三角函数即可求解. 【详解】根据锐角三角函数的定义， 由图可知 考点二 终边过点的三角函数值 1．在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的正余弦值及三角函数的定义即可求解． 【详解】，则， 故选：B． 2．的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】直接利用任意角的三角函数值进行求解. 【详解】. 故选：A. 3．已知角的终边过点，且，则m的值为 ． 【答案】0， 【详解】根据三角函数的定义可得，所以或，即或，故m的值为0，． 4．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的可取值为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数定义得到方程，求出的可取值为. 【详解】由三角函数定义可知， 故， 显然满足要求， 当时，化简得，解得， 故的可取值为. 故答案为： 5．已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义先算出，然后由正切函数值的定义求解. 【详解】由于为第二象限的角，则， 根据三角函数的定义，，解得， 则 考点三 单位圆与周期性 1．如图所示，在平面直角坐标系中，动点P、Q从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P、Q两点在第2019次相遇时,点P的坐标是 A．(0,0) B．(0,1) C．(-1,0) D．(0,-1) 【答案】B 【分析】由两点相遇2019次，可求出两点的总路程，由两点的速度即可求出两点相遇2019次时所用的时间，进而可求出点所转的弧度，即可确定点位置. 【详解】因为点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，两点相遇1次的路程是单位圆的周长即，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒， 所以此时点所转过的弧度为， 由终边相同的角的概念可知，与终边相同，所以此时点位于y轴上，故点P的坐标为. 答案为 【点睛】本题主要考查任意角，由终边相同的角的概念确定点位置，即可求解，属于基础题型. 2．已知角的终边与单位圆的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的终边与单位圆相交来定义任意角的三角函数值. 【详解】因为角的终边与单位圆的交点， 令， 所以， 所以， 故选：A. 3．若点A（cosθ，sinθ）与关于x轴对称，则θ的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】作图，数形结合得到，解之即可. 【详解】解：因为A（cosθ，sinθ）与均在单位圆上， 设圆与x轴交于P､Q两点，A在第二象限，B在第三象限，如图所示： 则∠AOP=θ，∠AOB=， 因为A､B关于x轴对称，所以∠BOP=θ， 所以2θ+=2π，解得θ=， 则符合题意的θ的一个值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. . 4． 0（填“”或“<”） 【答案】< 【分析】利用三角函数值在各象限的符号特征，得到给定余弦值和正切值的正负，再作出判断即可. 【详解】的终边在第二象限，的终边在第四象限， ， ， 故答案为：． 5．（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合. （2）已知，求的值; （3）已知，且，求的值. 【答案】（1）①，②； （2）； （3）. 【分析】（1）根据任意角的概念和阴影部分表示的角，数形结合求出答案； （2）利用齐次化求出，再利用齐次化化简，代入求值即可； （3）两边平方，结合同角三角函数关系求出，平方求出，并根据，得到，，求出. 【详解】（1）① ， ②； （2），故， 解得， ； （3）两边平方得， 故，所以， ， 因为，所以， 由于，故， 所以，故. 考点四 已知三角函数值求角 1．若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义即可解答． 【详解】要使，必须，，即，，所以是第二象限角. 故选：B. 2．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将化成，再结合化简即可. 【详解】原式， 因为，则，所以上式. 故选：A 3．已知，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】结合角的范围，三角函数性质证明，再由条件结合同角关系求结论. 【详解】， 且， ． 又， ． 故答案为：. 4．已知，，且为第二象限角，则 . 【答案】/ 【分析】根据三角函数值在各象限内的符号可求得范围，由同角三角函数平方关系可构造方程求得的值，由此可得，根据同角三角函数商数关系可求得结果. 【详解】为第二象限角，，解得：或； ，即， ，解得：（舍）或， ，，. 故答案为：. 5．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系即可求解； （2）利用（1）的结论及完全平方公式，结合同角三角函数的平方关系即可求解； （3）利用（2）的结论及平方差公式即可求解. 【详解】（1）∵， ∴,即， ∴， ∴． （2）由（1）知，， ， 又， ∴，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴． 6．化简与求值． (1)若,化简 (2)已知,求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据,判断的正负,将原式进行化简,去绝对值即可; (2)将原式分母看为,分子分母同除以,原式即可化为关于的式子,将代入即可求值. 【详解】（1）解:由题知, 原式 ; （2）由题知, 故原式 . 考点五 同角三角函数的基本关系 1．已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系，已知角的余弦值，求正切值. 【详解】已知知α为锐角，则， 则. 故选：C. 2．已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题干条件化简，根据计算即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以. 故选：C 3．已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知条件，利用同角三角函数关系以及角的象限所对应的三角函数值的符号求得的值，再根据为第三象限角，借助同角基本关系式求得的值. 【详解】因为为第三象限角，所以， 所以， 则， 又，所以,解得， 又，所以， 故答案为：. 4．已知，则 . 【答案】 【分析】将题设条件“切化弦”，结合化简可得结果. 【详解】由得，即， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（1）化简：. （2）求证：. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明. 【详解】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 6．如图，在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据条件，利用单位圆中三角函数的定义，即可求解； （2）将，，，的值代入，即可求出结果． 【详解】（1）由已知，角的终边与单位圆交于，且的纵坐标为， ，又是第一象限角，， ． 的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为， ，又是第二象限角，， ． （2）由（1），， ， ． 知识导图记忆 知识目标复核 1．任意角的三角函数的定义 2．特殊角的三角函数值 3．同角的三角关系 一、单选题 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角的范围求解. 【详解】因为， 所以 ， 又因为， 所以 . 故选：. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由知角在第二象限，所以，结合以及解出即可. 【详解】因为，所以角在第二象限，则， 由  ①   ② 联立解得：， 故选：D. 3．下列命题中，真命题为（    ） A．若点为角终边上一点， 则 B．同时满足的角有且只有一个 C．的解集为 D．如果角满足那么角是第二象限的角 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】确定已知角所在象限、已知三角函数值求角、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由正弦函数的定义及的正负即可判断A；由已知得出即可判断B；由正切值求得角即可判断C；根据象限角的定义即可判断D． 【详解】对于A，点为角终边上一点， 若，则 ，若，，故A错误； 对于B，同时满足的角为，故B错误； 对于C，的解集为，故C正确； 对于D，如果角满足，那么角是第三象限的角，故D错误； 故选：C． 4．已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，解得. 故选：A 5．设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义计算即可. 【详解】依题意，，且， 解得，则， 故选：D. 6．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】由指数函数的单调性和对数函数的单调性，且，即可比较大小. 【详解】由指数函数的单调性可知， 由对数函数的单调性可知． 又，所以，即． 故选:D． 7．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用、特殊角的三角函数值 【分析】由题意可得的最小正周期为，由奇函数的定义和周期性，结合特殊角的三角函数值，计算可得所求和. 【详解】是定义在上的奇函数，则， 又满足，可得的最小正周期为， 所以，则的图象关于点对称，即， 又当时，， 所以 . 故选：C. 8．方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、方程与不等式 【分析】根据将已知化为，解方程得到的值. 【详解】原方程化为， 则由，得， 代入，得，无整数解. 故选：A. 9．在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（   ）次相遇. A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据图形写出角（范围）、单位圆与周期性 【分析】根据题设，经过秒相遇，有，且，得，再由且，即，结合各选项判断是否满足即可. 【详解】由题设，两点相遇时的坐标是，则分别最少旋转了、， 经过秒相遇，有，且， 则，所以， 要使相遇，则且，即， 若，则，此时，A错； 若，则，此时，B对； 若，则，此时，C错； 若，则，此时，D错； 故选：B 10．已知三个锐角满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据题意分别求出，再根据同角三角函数的平方关系求出、的关系，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为三个锐角满足 所以， 则， ∴ 所以， 整理得， 即 解得或 又，于是， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：D. 二、多选题 11．下列说法正确的是（    ） A．若终边上一点的坐标为，则 B．若角为锐角，则为钝角 C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D．若，且，则 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、弧长的有关计算、已知弦（切）求切（弦）、扇形面积的有关计算 【分析】对于A，根据三角函数的定义，可得其正误；对于B，利用举反例，可得其正误；对于C，根据弧长公式以及扇形的面积公式，可得其正误；对于D，利用同角三角函数，建立方程，可得其正误. 【详解】对于A，点到原点的距离为， 若，则，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，设扇形的半径为，则，解得，所以扇形的面积，故C正确； 对于D，因为，即，所以， 所以，解得或， 因为，，且， 所以，所以，故D正确． 故选：CD． 三、填空题 12．已知是第四象限的角，则点在第 象限． 【答案】二 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据三角函数在各象限的符号确定即可. 【详解】因为是第四象限的角， 所以， 故点在第二象限. 故答案为：二 13．若，且，则所有可能的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】根据正弦函数的性质结合特殊角的三角函数即可得答案. 【详解】若，由得； 若，由得. 故答案为：. 14．若，则 ； ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、求正弦（型）函数的最小正周期 【详解】由题意得，函数的周期为．因为，所以． 15．已知函数，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求函数值、正、余弦齐次式的计算 【分析】解法1：首先将函数解析式进行化简，化简成正切形式，然后将代入求值即可；解法2：首先求出满足的的一个值，然后将其直接代入解析式中求函数值即可. 【详解】解法1： 当时，有． 解法2：令，得. 故答案为：. 16．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质．下列四个函数中具有性质的有 ．（填序号） ①  ②  ③  ④． 【答案】②③④ 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、函数新定义、判断零点所在的区间 【分析】假设函数具有性质，即判断是否有解，构造函数，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】对于①：假设具有性质，则在上存在，使得， 即，因为，所以，故方程无解， 即不具有性质，故①错误； 对于②：假设具有性质，则在上存在，使得， 即在时有解， 设，，显然为定义域上的连续函数， 又，，即在上有零点， 所以具有性质，故②正确； 对于③：假设具有性质，则存在，使得， 即有解， 令，显然为连续函数， 又，，所以在上存在零点， 所以具有性质，故③正确； 对于④：假设具有性质，则存在，使得， 即有解， 令，显然为连续函数，又， ， 所以在上存在零点，所以具有性质，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为方程是否有解，结合零点存在性定理判断即可. 四、解答题 17．已知为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【详解】（1）因为为第二象限角，所以. 因为，所以. 所以. （2），则. 因为为第二象限角，所以， 所以. 18．已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解即可； （2）根据同角三角函数的商数关系即可求解． 【详解】（1）因为角为第二象限角，所以， 所以． （2）． 19．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． (1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； (2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)奇函数， (3)． 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、函数奇偶性的定义与判断、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用、的表示式分别化简计算即可得 ； （2）根据的表达式，利用奇偶性的定义判断为奇函数，再将其解析式化成，利用函数的单调性即可求其值域； （3）将题设不等式恒成立等价转化成在上恒成立，继而只需求在上的最大值，通过整理换元，利用函数的单调性即可求得其最大值，即得参数范围. 【详解】（1）由题意，； . （2）因，， 则对于，，是奇函数； 又， 因在上单调递增且为正，故在上单调递减， 则在是增函数， 由，得故得， 即的值域为. （3）由题意可知在上恒成立， 整理得在上恒成立 令， 则， 令，由，可得，，即得， 则，， 因函数在上递增，在上递减，故， 依题意，，即m的取值范围为． 20．已知若存在整数x，使满足或，则称和互为“x级绝配角” (1)已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值； (2)若对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，求：； (3)是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)1 (2)，其中 (3)不存在，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、特殊角的三角函数值、正弦定理解三角形、由条件等式求正、余弦 【分析】（1）根据条件得，再分类讨论论求出，最后利用正弦定理化简即可求出； （2）从特殊值入手，当时求出，再对任意性进行检验； （3）假设其存在性，再讨论满足题意的所有情况，然后再分类讨论并检验. 【详解】（1）因角A与自己本身互为“x级绝配角”，则， 因，则，故，则，则， 在中利用正弦定理，则化简为， 即， 在中，，则， 得，若，则， 则角均为钝角，不满足题意；若，则， 则角均为锐角，满足题意，故. （2）对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”， 则对，，有或，其中为常数， 若，由的任意性可得， 取，则； 取，则，故，其中为整数； 取，则，故，其中为整数； 故，矛盾； 故， 则当时，，则， 检验：当时，，若，则为任意整数均可；若，则为整数， 故而当时，对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”. （3）不存在，理由如下： 假设存在，存在整数使得其角均互为“x级绝配角”， 若互为“x级绝配角”有或①； 若互为“x级绝配角”有或②； 若互为“x级绝配角”有或③， 则角均互为“x级绝配角”时，则角在①②③中各满足1个， 共8种情况，由于三个字符的轮换性，故而只需研究以下两类即可， 即，或, （i）若， 因，则均为正数， 则， 由，则，则， 因函数在上单调递减，则，故均为锐角， 则化简为， 则，则或（舍）， 故， 检验：当时，化简为， 则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”. （ii）若， 若角为钝角，则由可得，， 则由，得，则角为钝角，不符合题意， 故为锐角三角形且； 又 ， 则，即，则， 将其代入中得， ，， 则为等边三角形， 检验：当时，化简为， 则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”. 综上，不存在三角形，使存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角” 21．用表示中的最小值，用表示 中的最大值. (1)已知，求的值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，函数 ，试讨论函数的零点的个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数新定义、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）结合对数函数，指数函数性质及，比较大小，结合定义求； （2）解法一：由定义可得，两式相乘，基本不等式变形分子求结论； 解法二：由定义可得，两式相乘，基本不等式变形分母求结论； 解法三：由定义可得，两式相乘，设，利用判别式法求的最大值，可得结论； （3）求函数的零点，结合判别式，分别在，，，，时研究函数的零点，由此求结论. 【详解】（1）由对数函数性质知，即. 又由指数函数性质知，即. 又因为， 所以，即. （2）解法一：由，可得，且. 则， 所以，当且仅当即，时取等号， 所以的最大值为. 解法二：由，可得，且. 则，所以， 当且仅当即，时取等号，所以的最大值为. 解法三：由，可得，且. 所以. 下面研究的最大值： ，令，，则有. 由及可得，故的最大值为. 接下来验证取等号的条件. 当时，，所以取等号的条件为即，时取等号， 所以，故的最大值为. （3），，由可得. 对，则 ①当，即时，恒成立， 所以的零点也为的零点，故有个零点； ②当，即或. （i）当时，， 此时，是的个零点. （ii）当时，， 当时，，， 当时，，当且仅当， 所以有个零点，和. ②当，即或，有个零点，记为. 所以， （i）当时，，，且关于对称， 又，则必有，， 所以时，，， 若，则，此时，， 函数的零点为. 若，则，此时，， 函数的零点为. 若，则，此时， 函数的零点为. 此时无论取何值，必有个零点. （ii）当时，关于对称，且， 则当时，，此时， 当时，有个零点，这个零点且也是的零点，此时函数有个零点. 综上所述：当时，有个零点；当时，有个零点；当时，有个零点. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 三角函数的概念 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sinα 叫做α的余弦，记作cosα 叫做α的正切，记作tanα 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c) 补充： 不需要了解的其他三角函数。 叫做的正割，记作 叫做的余割，记作 叫做的余切，记作 单位圆：圆心在原点且半径长度为1的圆。 知识点2 特殊角的三角函数值 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 15° 75° 弧度 0 sinα 0 1 0 cosα 1 0 －1 tanα 0 1 -1 0 2- 2+ 总结： 互补两角： sinα值相等、cosα值相反、tanα值相反。 互余两角： 、sinα=cosα。 知识点3 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tanα. 教材习题01 已知角的终边落在直线上，求，，的值． 解题方法 因为角的终边落在直线上，而直线即过第二象限也过第四象限， 当角的终边在第二象限时，在直线上取一点， 则， 当角的终边在第四象限时，在直线上取一点， 则. 【答案】答案见解析 教材习题02 已知，求： (1)； (2)． 解题方法 （1）因为，所以， 所以. 故. （2）. 故. 【答案】(1)3 (2) 教材习题03 解下列各题： (1)已知，且为第一象限角，求和的值． (2)已知，且为第三象限角，求和的值． (3)已知，且为第二象限角，求和的值． 解题方法 （1）解：因为，且为第一象限角，则， 且，. （2）解：因为，且为第三象限角，则， 且，. （3）解：因为，且为第二象限角，则，， 由同角三角函数的基本关系可得，解得，. 【答案】(1)， (2)， (3)， 考点一 任意角的三角函数值 1．已知角的终边在直线上，则（   ） A． B．或 C． D．或 2．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，单位圆被点分为12等份，其中．角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则 ；若，则角的终边与单位圆交于点 （从中选择，写出所有满足要求的点）． 4．如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在 （填入坐标）    5．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，求. 考点二 终边过点的三角函数值 1．在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．已知角的终边过点，且，则m的值为 ． 4．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的可取值为 ． 5．已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 考点三 单位圆与周期性 1．如图所示，在平面直角坐标系中，动点P、Q从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P、Q两点在第2019次相遇时,点P的坐标是 A．(0,0) B．(0,1) C．(-1,0) D．(0,-1) 2．已知角的终边与单位圆的交点，则（    ） A． B． C． D． 3．若点A（cosθ，sinθ）与关于x轴对称，则θ的一个取值为 . 4． 0（填“”或“<”） 5．（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合. （2）已知，求的值; （3）已知，且，求的值. 考点四 已知三角函数值求角 1．若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 3．已知，且，则的值为 ． 4．已知，，且为第二象限角，则 . 5．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 6．化简与求值． (1)若,化简 (2)已知,求. 考点五 同角三角函数的基本关系 1．已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 2．已知，则=（    ） A． B． C． D． 3．已知为第三象限角，且，则的值为 ． 4．已知，则 . 5．（1）化简：. （2）求证：. 6．如图，在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值； (2)求的值． 知识导图记忆 知识目标复核 1．任意角的三角函数的定义 2．特殊角的三角函数值 3．同角的三角关系 一、单选题 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中，真命题为（    ） A．若点为角终边上一点， 则 B．同时满足的角有且只有一个 C．的解集为 D．如果角满足那么角是第二象限的角 4．已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D． 5．设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（  ） A． B． C． D． 6．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．0 8．方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（   ）次相遇. A．10 B．11 C．12 D．13 10．已知三个锐角满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．下列说法正确的是（    ） A．若终边上一点的坐标为，则 B．若角为锐角，则为钝角 C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D．若，且，则 三、填空题 12．已知是第四象限的角，则点在第 象限． 13．若，且，则所有可能的值为 ． 14．若，则 ； ． 15．已知函数，则 ． 16．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质．下列四个函数中具有性质的有 ．（填序号） ①  ②  ③  ④． 四、解答题 17．已知为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 18．已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值. 19．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． (1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； (2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 20．已知若存在整数x，使满足或，则称和互为“x级绝配角” (1)已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值； (2)若对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，求：； (3)是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由. 21．用表示中的最小值，用表示 中的最大值. (1)已知，求的值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，函数 ，试讨论函数的零点的个数. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$