4.3一元二次不等式的应用（题型专练）数学北师大版2019必修第一册

4.3一元二次不等式的应用 题型一：一元二次不等式实际应用 1．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．某工人共加工300个零件，在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务，则改进操作方法前每天至少加工零件的个数为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（ ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏．若售价每提高1元，则日销售量减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，设每盏台灯售价为元，则应满足（ ） A． B． C． D． 5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二：一元二次不等式在实数集上恒成立问题 1．当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 2．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三：一元二次不等式在某区间上恒成立问题（基础） 1．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 3．若命题“”为真命题，则实数的最小值是（ ） A． B．0 C．1 D．3 题型四：一元二次不等式在实数集上有解问题 1．关于的不等式有解是“”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 2．若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．若不等式有解，则实数的取值集合是_______________. 题型五：一元二次不等式在某区间上有解问题（基础） 1．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是________________． 题型一：一元二次不等式在某区间上恒成立问题（参变分离） 1．“”是“不等式在上恒成立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ） A．13 B．12 C．10 D．9 3．当时，恒成立，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．，恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B．3 C． D．6 题型二：一元二次不等式在某区间上有解问题（参变分离） 1．若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若，使得成立，则实数的范围是（ ） A． B． C． D． 3．方程在区间[1,3]内有解，则实数的取值范围是（ ） A．[2,5] B．[1,7] C． D．[1,5] 4．（多选）已知函数，则下列叙述正确的是（ ） A．若对都有成立，则 B．若使得有解，则 C．若且使得，则 D．若的解集是，则 1．设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______________． 2．已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为． (1)求此二次函数的解析式； (2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．已知二次函数. (1)若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值； (2)若对任意都有成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 4．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3一元二次不等式的应用 题型一：一元二次不等式实际应用 1．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 2．某工人共加工300个零件，在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务，则改进操作方法前每天至少加工零件的个数为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】设改进操作方法前每天至少要加工x个零件，由题意得，解得或（舍去）．又，所以改进操作方法前每天至少要加工9个零件． 3．在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（ ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】规定向上为正方向，根据，有，解得，，则排球在抛出点以上停留的时间． 4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏．若售价每提高1元，则日销售量减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，设每盏台灯售价为元，则应满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设每盏台灯售价为元，则，并且日销售收入为，当时，有，解得． 5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂线，易得两组相似三角形，得到等式，结合分式等式的性质，得出，从而得出内接矩形的长与宽的关系式，再根据题意建立不等式，解不等式得解. 【详解】 如上图所示，过点作底的垂线，分别交于点 设矩形的另一边长为， 易知, 由三角形相似知，，所以 即，所以， 由题意，所以，即，解得, 故选：C 题型二：一元二次不等式在实数集上恒成立问题 1．当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式恒成立的条件可得结果. 【详解】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 2．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，原不等式为，符合题意；当时，要使关于的不等式的解集为，只需解得．综上，． 3．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 4．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 题型三：一元二次不等式在某区间上恒成立问题（基础） 1．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 2．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离计算可得，再利用充分不必要条件定义即可判断. 【详解】由，因为，所以， 要想该命题为真命题，只需，四个选项中只有A符合充分不必要的性质. 故选：A. 3．若命题“”为真命题，则实数的最小值是（ ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】将恒成立问题转化为最值问题结合二次函数的性质求解即可； 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立，即， ，单调递减；单调递增； 当时，， 故，则实数的最小值是3. 故选：D. 题型四：一元二次不等式在实数集上有解问题 1．关于的不等式有解是“”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】B 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 2．若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 3．若不等式有解，则实数的取值集合是_______________. 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 题型五：一元二次不等式在某区间上有解问题（基础） 1．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，命题“，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为， 所以. 故选：A 2．命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是________________． 【答案】 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 题型一：一元二次不等式在某区间上恒成立问题（参变分离） 1．“”是“不等式在上恒成立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分离参数得到在上恒成立，由基本不等式求出，得到，根据，求出答案. 【详解】不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故， 由于，， 故是不等式在上恒成立的必要不充分条件. 故选：B 2．若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ） A．13 B．12 C．10 D．9 【答案】C 【分析】将不等式的未知数移到同一侧，得到小于等于关于的函数的最小值，利用基本不等式求解即可. 【详解】由，得对任意的恒成立. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的最大值为10. 故选：C. 3．当时，恒成立，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可； 【详解】当时，恒成立，等价于恒成立， 又，当且仅当即时取等号， 所以， 故选：C. 4．，恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 题型二：一元二次不等式在某区间上有解问题（参变分离） 1．若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 2．若，使得成立，则实数的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 3．方程在区间[1,3]内有解，则实数的取值范围是（ ） A．[2,5] B．[1,7] C． D．[1,5] 【答案】B 【分析】问题化为在上有解，利用二次函数性质求右侧的值域，即可确定参数范围. 【详解】由题设在内有解，即在上有解， 令，，则在上递增， 所以，故. 故选：B 4．（多选）已知函数，则下列叙述正确的是（ ） A．若对都有成立，则 B．若使得有解，则 C．若且使得，则 D．若的解集是，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式恒成立求解判断A；分离参数求出最大值判断B；由方程有两个正根求出范围判断C；由不等式解集求出判断D. 【详解】对于A，由恒成立，得，解得，A正确； 对于B，当时，，函数在上递减， 当时，，由使得有解，得，B错误； 对于C，依题意，方程有两个不等的正根，则，解得，C正确； 对于D，由的解集是，得是方程的两个根，则，D正确. 故选：ACD 1．设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______________． 【答案】/4.5 【分析】由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件. 【详解】由题意△△，而，， 所以，而矩形的周长为， 则，整理得 ，仅当等号成立， 所以，而，可得， 则，而△的面积，故最大值为，此时. 故答案为： 2．已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为． (1)求此二次函数的解析式； (2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数与一元二次不等式的关系可知和是关于的方程的两个根，写出解析式，再结合顶点坐标求解即可； （2）由题意可得对，不等式恒成立，令，，则，求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是关于的方程的两个根且， 所以， 所以函数的图象开口向上，其对称轴为， 又因为该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为， 所以，解得， 所以此二次函数的表达式为，即． （2）对不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， 令，， 则，解得， 即实数的取值范围为． 3．已知二次函数. (1)若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值； (2)若对任意都有成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用一元二次方程的韦达定理及判别式计算即可； （2）分离参数利用换元法结合基本不等式计算即可； （3）分类讨论方程根的情况结合二次函数根的分布计算即可. 【详解】（1）由题意得，即或， 因为，所以， 解得或4（舍去），所以. （2）由题意得对恒成立， 则对恒成立， 即对恒成立， 令，则. 当且仅当即时等号成立， 所以即. （3）当即时，经检验满足题意； 当即或时， 由得即， 经检验不合题意； 综上的取值范围为 4．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，然后解不等式即可； （2）将恒成立转化为，恒成立，然后利用基本不等式求最值即可； （3）分，，三种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 由，即， ∴，则，所以． 所以的解集为． （2）恒成立，此时 即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立． 故的最小值为4， 所以要使恒成立，则． 故的取值范围为． （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，显然不符合题意； ②若， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得 ③若， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，或． 故的范围为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$