1.1 探索勾股定理 课件　 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

过教材　要点概览 勾股定理(直角三角形中的三边长度关系) (1)我国古代把直角三角形中　 　的直角边称为勾,　 　的直角边称为股,　 　称为弦.  (2)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于　 　的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么　 　.  1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 第一章 勾股定理 较短 较长 斜边 斜边 a2+b2=c2 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 精讲练　新知探究 探究点一　勾股定理 例1　观察下面两幅图(每个小正方形的边长为1): 2 (1)将表格填写完整: 图 A的面积 (单位面积) B的面积 (单位面积) C的面积 (单位面积) 左图 　　　  　　　  　　　  右图 　　　  　　　  　　　  解:(1)4　9　13　16　9　25 3 (2)两图中三个正方形A,B,C的面积有什么关系? (3)两图中三个正方形A,B,C围成的直角三角形的三边长有什么关系? (4)假设正方形A,B,C所围成的直角三角形的边长分别为a,b,c,你能用a,b,c表示正方形A,B,C的面积吗? (5)该直角三角形三边长度之间存在什么关系? 解:(2)正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积. (3)正方形A的边长的平方+正方形B的边长的平方=正方形C的边长的平方. (4)SA=a2,SB=b2,SC=c2. (5)该直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 4 方法规律 “勾股树”中的常见结论如图所示. 5 巩固训练 1.如图所示,以直角三角形的三边分别为边向外作正方形,则字母B所代表的正方形的面积是( ) A.12 B.13 C.144 D.194 C 6 2.整体思想　如图所示,所有的四边形都是正方形,三角形是直角三角形,且其中最大正方形的面积为6 cm2,则图中所有正方形的面积之和为　 　cm2. 3.如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,正方形A,B,C的面积分别是8 cm2,10 cm2,14 cm2,则正方形D的面积是　 　 cm2.  12 17 7 探究点二　利用勾股定理进行计算 例2　如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)若a=9,b=12,求c的值. (2)若AB=25,AC=20,求BC的值. 解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,a=9,b=12,由勾股定理,得a2+b2=c2,所以c2=a2+b2=92+122=225.所以c=15. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=20, 由勾股定理,得BC2=AB2-AC2=252-202=225.所以BC=15. 8 归纳总结 已知一个直角三角形中的两边长分别为m,n(m>n),利用勾股定理求第三边长时,通常分两种情况:①若m为斜边,n为直角边,则有m2-n2=(另一直角边)2;②若m,n都为直角边,则有m2+n2=(斜边)2. 9 巩固训练 4.(2024郑州期中)桐桐早晨从家出发去上学,先向正南方向走了1.5 km,接着向正东方向走了2 km到达学校,桐桐家到学校的距离为( ) A.2 km B.2.5 km C.3 km D.3.5 km 5.分类讨论　一个直角三角形的三边长分别为3,4,x,则x2为( ) A.5 B.25 C.7 D.7或25 B D 10 6.如图所示,正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36,则以AD为直径的半圆的面积是　 　.  8π 11 基础巩固练 01 知识点一　勾股定理 1.在直角三角形中,若两条直角边长分别为3,4,则斜边长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.在Rt△ABC中,若斜边AB=3,则AC2+BC2等于( ) A.6 B.9 C.12 D.18 1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 第一章 勾股定理 A B 3.易错题　下列说法中正确的是( ) A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中,∠C=90°,则a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中,∠B=90°,则a2+b2=c2 C 13 4.(2024自贡模拟)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( ) A 5.在Rt△ABC中,∠C=90°.若AB=17,AC=15,则△ABC的周长为　 　; 若△ABC的周长为24,斜边的长与一直角边的长之比为5∶4,则 △ABC的面积为　 　.  40 24 14 知识点二　利用勾股定理进行计算 6.(2024易县期末)如图所示是由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形,其中阴影部分面积是( ) A.16 B.25 C.144 D.169 7.(2024蒙城期末)在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,则△ABC的面积 为　 　 . 60 B 15 8.如图所示,在四边形ABCD中,∠BAD=∠DBC=90°.若AD=4 cm,AB=3 cm, CD=13 cm,求四边形ABCD的面积. 16 能力提升练 02 9.(2024成都校级期末)如图所示是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是4,6,2,4,则最大正方形E的面积是( ) A.64 B.136 C.72 D.16 C 17 10.数学文化　(2024芜湖二模)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC=4,BC=2时,阴影部分的面积为( ) A.4 B.4π C.8π D.8 A 18 11.(2024甘孜)如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与点B重合,折痕DE与AB交于点D,与AC交于点E,则CE的长为　 　.  3 19 题组　利用勾股定理解决正方形拼图问题 12.(日照中考)已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大正方形内,如图所示.设三个正方形无重叠部分的面积为S1,均重叠部分的面积为S2,则( ) A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.S1,S2的大小关系无法确定 C 20 13.数学文化　勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.勾股定理描述:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如图所示,分别以直角三角形的各边为边向外作正方形,再把较小的两个正方形按右图的方式放置在最大正方形内,则图中阴影部分的面积为( ) C 21 14.如图所示,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积. 某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程. 作AD⊥BC于D,设BD = x,用含x的代数式表示CD. 根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x. 利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形面积. → → 22 23 素养培优练 03 15.分类讨论　如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动,设运动时间为t s. (1)求BC边的长; (2)连接PA,当△ABP为等腰三角形时,t的值为　　　　.  解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm, 所以BC2=AB2-AC2=102-62=82,所以BC=8 cm. 24 谢谢观赏！ 25 A. B. C. D. 解:在Rt△ABD中,由勾股定理,得 BD2=AB2+AD2=32+42=25, 所以BD=5 cm. 在Rt△BCD中,由勾股定理,得 BC2=CD2-BD2=132-52=144, 所以BC=12 cm. 所以=+=×3×4+×5×12=36(cm2). 答:四边形ABCD的面积为36 cm2. A.　　　B.b2-a2 C.a(a+b-c) D.c2-ab 解:如图所示,过点A作AD⊥BC于点D. 在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x. 在Rt△ABD和Rt△ACD中,由勾股定理,得AD2=AB2-BD2=152-x2, AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2, 所以152-x2=132-(14-x)2,解得x=9. 所以AD=12. 所以S△ABC=BC·AD=×14×12=84. (2)或10或16 $$ 过教材　要点概览 1.面积法验证勾股定理:利用同一个图形的面积用不同式子表示可以验证勾股定理;利用变形前后的两图形面积相等可以验证勾股定理. 2.运用勾股定理解决实际问题:把直角三角形的“形”,即有一个角是 　 　,转化为三边“数”的关系,即　 . 　 .  第2课时　验证勾股定理及其简单应用 直角 斜边的平方等于两直角边的平 方和 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 精讲练　新知探究 2 请你利用图(2)推导上面的关系式. 3 归纳总结 拼图法是验证勾股定理的一种有效方法,一般遵循以下步骤:拼出图形→用不同方法表示出相关图形面积→找出等量关系→变形→推导出勾股定理. 4 巩固训练 1.(2024福建三明期中)下面四幅图中不能验证勾股定理的是( ) A B C D D 5 探究点二　勾股定理的实际应用 例2　如图所示(示意图),一棵高 12 m 的大树被折断,折断处A与地面的距离 AC=4.5 m(点B为大树顶端着地处).在大树倒下的方向上停着一辆小轿车,小轿车距大树底部C的距离CD(点D在CB的延长线上)为 6.5 m,求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD. 6 解:由题意,得 AB=12-AC=12-4.5=7.5. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 BC2=AB2-AC2=7.52-4.52=36, 所以BC=6. 所以BD=CD-BC=6.5-6=0.5. 所以大树顶端着地处B到小轿车的距离BD为0.5 m. 7 巩固训练 2.学校旗杆上的绳子垂到地面还多2 m,将绳子的下端拉开6 m后,下端刚好接触地面,则旗杆的高度为( ) A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m 3.如图所示,有一块长方形花圃,有少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了　　　 的路,却踩伤了花草. ( )  A.5 m B.4 m C.3 m D.2 m A B 8 4.王大爷准备建一个蔬菜大棚,棚宽8 m,高 6 m,长20 m,示意图如图 所示,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计墙的厚度,阳光透过的最大面积 是　 　m2.  200 9 谢谢观赏！ 10 探究点一　勾股定理的验证 例1　图(1)为著名的“赵爽弦图”示意图,若四个直角三角形较长的直角边长都为a,较短的直角边长都为b,斜边长都为c,则大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4×ab+(a-b)2,由此可以推导出直角三角形的三边关系:如果直角三角形两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 解:梯形ABCD的面积可以表示为 (a+b)(a+b)=a2+ab+b2, 也可以表示为ab+ab+c2, 所以ab+ab+c2=a2+ab+b2, 即a2+b2=c2. $$