精品解析：广西壮族自治区南宁市第十四中学2024-2025学年七年级下学期数学期末考试

2024－2025学年度春季学期七年级数学学科期末测试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 在下列实数中，是无理数的是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2. 下列各图中，和是邻补角的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合用抽样调查的是（ ） A. 检查运载火箭的各零部件 B. 对5名同学的身高情况进行调查 C. 对乘坐飞机的乘客进行安检 D. 对全国中学生的课外阅读时间进行调查 4. 将下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某农户将水渠的水通过引水管道引入麦田处浇地，做法如下：过点作于点，则沿铺设管道用料最省，能解释这一做法的道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 7. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 8. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，直角顶点在直线上，斜边与直线相交．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两个工程队负责修建一条长为800米的公路，甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入．两工程队联合施工7天后，还剩70米的工程未能完成．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米．根据题意，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，有等腰直角三角形，，，…，点，，，…，则根据图示规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 实数8的立方根是_____． 14. 若是方程的解，则______． 15. 计划在学校新操场旁新建一长方形绿化带，如图所示，想在绿化带地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为_______． 16. 如图，已知ABCD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝2∠CEF，若6°＜∠BAE＜12°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 _____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程组： （2）解不等式组： 18. 如图是三座城市的平面图，市在市北偏西方向（）处，市在市北偏东方向（），市在市南偏东方向（）处． （1）求的度数． （2）甲、乙两辆车分别从市和市同时开往市，其中乙车速度为，甲车速度至少为多少，才能不比乙车晚到达市？ 19. 在平面直角坐标系中，三角形各顶点的坐标分别为，，，若将三角形向右平移4个单位，再向下平移2个单位后得到三角形，点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是． （1）直接写出，的值及点的坐标； （2）请画出平移后的三角形； （3）若点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，请直接写出点的坐标． 20. 为激发同学们的学习热情，我校七年级700名学生开展了“为梦想奔跑”积分打卡活动．通过课堂回答与课后面批，同学们可以用积分在涌泉梦想超市兑换奖品，例如，积分达到70分及以上的学生可获得文创礼包．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：，，，，）： 请根据所给信息，解答下列问题： （1）填空：______；这一组对应的扇形的圆心角度数______． （2）请补全频数分布直方图； （3）这一组的学生积分是：，，，，，，，．请估计七年级学生获得涌泉文创礼包的人数． 21. 阅读材料，解答问题．对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如． 已知：，． （1）求，的值； （2）若关于的不等式恰好有3个正整数解，求实数的取值范围． 22. 为了更好治理南宁市南湖公园水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表；经调查，购买一台型设备比购买一台型设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型设备少3万元． 型 型 价格（万元／台） 处理污水量（吨／月） 250 150 （1）求，的值； （2）经预算，市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元．你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理南湖公园的污水量不低于1680吨，为了节约资金，请你为市治污公司设计一种最省钱的购买方案 23. 在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： 【图形再现】（1）请补充下述证明过程． 已知：（图1）， 求证：， 证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． （______）． ______． ______． 【图形探究】（2）如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①与是否互余，请说明理由； ②探究与的数量关系． 【图形思考】（3）如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度春季学期七年级数学学科期末测试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 在下列实数中，是无理数的是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义判断各选项是否为无限不循环小数，如果是无限不循环小数，那么就是无理数，即可作答． 【详解】解：A、1是整数，可以表示为分数，属于有理数； B、是分数，分子分母均为整数，属于有理数； C、3是整数，可以表示为，属于有理数； D、是开平方不尽的数，是无限不循环小数，故属于无理数； 故选：D． 2. 下列各图中，和是邻补角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据邻补角的定义进行解答即可． 【详解】解：A．另一边没有互为反向延长线，不是邻补角，故A不符合题意； B．是邻补角，故B符合题意． C．不是两条直线相交组成的角，故C不符合题意； D．不是两条直线相交组成的角，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 3. 下列调查中，适合用抽样调查的是（ ） A. 检查运载火箭的各零部件 B. 对5名同学的身高情况进行调查 C. 对乘坐飞机的乘客进行安检 D. 对全国中学生的课外阅读时间进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，抽样调查适用于调查对象数量大、范围广或具有破坏性的情况，而全面调查（普查）适用于对象数量少、要求精确的情况，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、检查运载火箭的零部件，必须确保每个零件安全，需全面调查，排除； B、调查5名同学的身高，人数极少，适合全面调查，排除； C、对乘客安检涉及安全，必须逐一检查，需全面调查，排除； D、全国中学生数量庞大，全面调查难度大，适合通过抽样调查高效完成； 故选D． 4. 将下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，只需验证每组中最长边是否小于其余两边之和即可． 【详解】解：A、，不满足两边之和大于第三边，无法组成三角形； B、，不满足条件，无法组成三角形； C、，且，，均满足条件，能组成三角形； D、，不满足条件，无法组成三角形； 故选：C 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，求一个数的绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的加减运算法则即可判断A、B选项；根据绝对值的意义即可判断C选项；根据二次根式的性质即可判断D选项． 【详解】解：A．、不是同类二次根式，不能相加，故该选项错误； B．，故该选项错误； C．，故该选项正确； D．，故该选项错误． 故选：C． 6. 如图，某农户将水渠的水通过引水管道引入麦田处浇地，做法如下：过点作于点，则沿铺设管道用料最省，能解释这一做法的道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，根据，沿铺设管道用料最省，说明垂线段最短，进行作答即可． 【详解】解：∵过点作于点，沿铺设管道用料最省， ∴能解释这一做法的道理是垂线段最短， 故选：A 7. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 8. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，直角顶点在直线上，斜边与直线相交．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过作，则，，，由，可得，进而可得结果． 【详解】解：如图，过作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 9. 点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据第四象限点的横坐标为正数，纵坐标为负数，进行作答即可． 【详解】解：∵点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度， ∴点的坐标是， 故选：A 10. 甲、乙两个工程队负责修建一条长为800米的公路，甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入．两工程队联合施工7天后，还剩70米的工程未能完成．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米．根据题意，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键；根据甲队每天比乙队多施工3米，可得，甲单独施工3天完成米，两队联合施工7天完成米，结合长为800米的公路，由此即可作答． 【详解】解：设甲队每天施工x米，乙队每天施工y米。 ∵甲每天比乙多3米， ∴； 依题意，甲单独施工3天完成米，两队联合施工7天完成米， ∴， 即， 故选：D 11. 如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用等面积法、三角形的中线，理解等面积法和掌握三角形中线的知识点是解题的关键．在中，因为是中线，所以和的面积相等；利用等面积法，即可求解． 【详解】解：∵在三角形中，是中线， ∴， ∴． ∵于E，于F，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，有等腰直角三角形，，，…，点，，，…，则根据图示规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，抓住点坐标的变化规律是解题的关键．依次求出点为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为, 点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为， 由此可知，点的坐标为，(为正整数)， 又∵， ∴， ∴点的坐标为． 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 实数8的立方根是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的概念解答． 【详解】∵， ∴8的立方根是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查立方根的概念义，正确掌握立方根的概念是解题的关键． 14. 若是方程的解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解就是将未知数代入方程中，等号两边相等即可．将代入方程中求解即可． 【详解】解：由题意可知，将代入方程中得到：， 解得：， 故答案为：． 15. 计划在学校新操场旁新建一长方形绿化带，如图所示，想在绿化带地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为_______． 【答案】540 【解析】 【分析】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形的最上边和最左边，使余下部分是一个长方形，是解决本题的关键．根据把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形，然后利用长方形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形， ，， 长方形的面积． 答：绿化的面积为． 故答案为：540． 16. 如图，已知ABCD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝2∠CEF，若6°＜∠BAE＜12°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 _____． 【答案】37° 【解析】 【分析】先过E作EGAB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜12°，即可得到6°＜3x60°＜12°，解得22°＜x＜24°，进而得到∠C的度数． 【详解】解：如图，过E作EGAB， ∵ABCD， ∴GECD， ∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF， ∴∠AEF=∠BAE+∠DFE， 设∠CEF=x,则∠AEC=2x， ∴x+2x=∠BAE+60°， ∴∠BAE=3x60°， 又∵6°＜∠BAE＜12°， ∴6°＜3x60°＜12°， 解得22°＜x＜24°， 又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数， ∴∠C=60°23°=37° 故答案为：37°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解一元二次方程组，掌握解方程组与不等式组的方法与步骤是解本题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 得， 解得： 把代入②得， ∴； （2）， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 18. 如图是三座城市的平面图，市在市北偏西方向（）处，市在市北偏东方向（），市在市南偏东方向（）处． （1）求的度数． （2）甲、乙两辆车分别从市和市同时开往市，其中乙车速度为，甲车速度至少为多少，才能不比乙车晚到达市？ 【答案】（1） （2）甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市 【解析】 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，角的和差，三角形内角和定理以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）根据，得到，所以，在中，根据三角形内角和定理求解即可． （2）设甲车速度为，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：处在处北偏西方向，处在处北偏东方向，处在处南偏东方向， ，，， ， ， ， 在中，． 【小问2详解】 设甲车速度为，根据题意得， 解得：， 答：甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市． 19. 在平面直角坐标系中，三角形各顶点的坐标分别为，，，若将三角形向右平移4个单位，再向下平移2个单位后得到三角形，点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是． （1）直接写出，的值及点的坐标； （2）请画出平移后的三角形； （3）若点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） 如图所示，三角形即为所求； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标得到平移方式是解题的关键． （1）由点A，可得左右平移方式，由点C，可得上下平移方式，据此求解即可； （2）根据（1）所求先描出，再顺次连接即可； （3）计算出三角形的面积，进而得到三角形的面积，据此可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得：由三角形得到三角形的平移方式为向右平移：个单位长度；向下平移：个单位长度 ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ∵三角形的面积等于三角形面积的， ∴ 解得：或 故点的坐标为：或． 20. 为激发同学们的学习热情，我校七年级700名学生开展了“为梦想奔跑”积分打卡活动．通过课堂回答与课后面批，同学们可以用积分在涌泉梦想超市兑换奖品，例如，积分达到70分及以上的学生可获得文创礼包．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：，，，，）： 请根据所给信息，解答下列问题： （1）填空：______；这一组对应的扇形的圆心角度数______． （2）请补全频数分布直方图； （3）这一组的学生积分是：，，，，，，，．请估计七年级学生获得涌泉文创礼包的人数． 【答案】（1）， （2）补全统计图，如图， （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图与扇形统计图信息关联，求扇形统计图的圆心角，补全频数直方图，样本估计总体，熟练运用以上知识是解题的关键； （1）根据的人数除以占比求得的值，根据的占比乘以，即可得出对应的扇形统计图的圆心角； （2）用总人数减去其他的，求得的人数，进而补全统计图，即可求解； （3）先求得分及以上的人数的占比，乘以总人数，即可求解． 【小问1详解】 解：，这一组对应的扇形的圆心角度数 故答案为：，． 【小问2详解】 解：的人数为： 略 【小问3详解】 解：∵这一组的学生积分是：，，，，，，，． 0分及以上的有人 的人数为：2人 积分达到70分及以上的学生可获得文创礼包 ∴估计七年级学生获得涌泉文创礼包的人数为（人） 21. 阅读材料，解答问题．对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如． 已知：，． （1）求，的值； （2）若关于的不等式恰好有3个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了新运算法则、 解二元一次方程组、解不等式等知识点，理解新运算法则是解答本题的关键． （1）根据运算新运算法则可得二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据新运算法则可得，解得；再根据有3个正整数解，列出关于P的不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 联立，解得． 【小问2详解】 解：依题意得：，解得：． 不等式恰好有3个正整数解， ∴，解得． 22. 为了更好治理南宁市南湖公园水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表；经调查，购买一台型设备比购买一台型设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型设备少3万元． 型 型 价格（万元／台） 处理污水量（吨／月） 250 150 （1）求，的值； （2）经预算，市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元．你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理南湖公园的污水量不低于1680吨，为了节约资金，请你为市治污公司设计一种最省钱的购买方案 【答案】（1） （2） 有四种购买方案： ①A型设备0台，B型设备10台； ②A型设备1台，B型设备9台； ③A型设备2台，B型设备8台； ④A型设备3台，B型设备7台； （3）为了节约资金，应选购A型设备2台，B型设备8台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，根据购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型号设备少3万元，可列方程组求解； （2）设购买A型号设备x台，则B型为台，根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，进而得出不等式，解不等式确定x的值，即可确定方案； （3）利用每月要求处理污水量不低于1680吨，可列不等式求解，再由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：； 【小问2详解】 解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台，根据题意得， ， ∴， ∵x取非负整数， ∴，1，2，3， ∴，9，8，7， 略 【小问3详解】 解：由题意：， ∴， 又∵， ∴x为2，3． 当时，购买资金为（万元）， 当时，购买资金为（万元）， ∵， ∴为了节约资金，应选购A型设备2台，B型设备8台． 23. 在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： 【图形再现】（1）请补充下述证明过程． 已知：（图1）， 求证：， 证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． （______）． ______． ______． 【图形探究】（2）如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①与是否互余，请说明理由； ②探究与的数量关系． 【图形思考】（3）如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；；； （2）①互余， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即与互余； ②；（3）10秒或16秒． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （2）①利用平行线的性质及角平分线的定义推出，再利用平角的性质即可求解； ②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论得到，据此计算即可求解； （3）旋转一周运动停止，求得总时间为20秒，与重合时间为10秒，分在前10秒内和后10秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可． 【详解】（1）证明；如图1，延长到点， 过点作的平行线． （两直线平行，同位角相等）． ． ； 故答案为：两直线平行，同位角相等；；； （2）①略 ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）∵旋转一周运动停止， ∴总时间（秒）， ∵与重合时再以原速返回， ∴重合时间为（秒），此时，延长交于点Q， ∵在前10秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至， 又∵当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至， ∴在前10秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时秒； 同理，后10秒，由逐渐增至，由逐渐增加至，与仅可能一次平行，如图所示， 有， 解得， ∴（秒）， 综上，的值为10秒或16秒． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理，掌握平行线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $