第10章 整式的加减（知识清单）数学沪教版五四制2024七年级上册

第10章 整式的加减 一、单项式 1.单项式的定义：数和字母的乘积叫作单项式..特别地,单独一个数或一个字母也是一个单项式. 2.单项式的判断方法 判断一个式子是否是单项式，关键看两点: (1)式子中是否只有乘法运算(包括乘方运算);(2)式子的分母中是否只有数字。 二者有一项不符合，则不为单项式, 3.单项式的系数：一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 特别提醒：单项式的系数是包含前面的符号的. 4.单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.特别地,非零的数是零次单项式, 二、整式 1.整式的定义：有限个单项式求和得到的代数式叫作整式.整式也叫作多项式.例如，3t²-t-4是由 3t²、-t 和一4这三个单项式求和得到的整式. 2.单项式、整式的关系 单项式也是整式 3.单项式、整式的辨别 (1)单项式不含有加减运算; (2)整式是有限个单项式的和，单项式也是整式; (3)单项式和整式都可以有除法运算,但要写成分数形式且分母中不能含有字母. 4.整式的相关概念 （1）整式的项：合并同类项后,整式中的每一个单项式叫作整式的项 （2）常数项：不含字母的项叫作常数项， （3）整式的次数：各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数。 （4）每一项的次数是几,就称几次项 （5）合并同类项后,整式有几项,就称几项式 特别提醒： (1)在确定整式的各项时,不要忘记它前面的符号,尤其注意项的符号为负号的情况; (2)整式中次数最高的项不一定只有一项,有可能是多项,甚至每一项的次数都一样,都是最高项。 (3)单项式的次数是所有字母指数的和,而整式的次数是整式中次数最高项的次数二者不要混淆。 5.整式的升幂排列与降幂排列 在合并同类项后,可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. 三、同类项 1.同类项的定义：对于两个单项式,如果它们所含字母相同,且相同字母的指数也相同,那么称这两个单项式为同类项。特别地,几个常数项也是同类项。 特别提醒： 对于同类项的概念的理解,要抓住两个相同和两个无关 (1) 两个相同:①所含字母相同;②相同字母的指数相同.两者缺一不可. (2)两个无关:①同类项与系数大小无关;②同类项与它们所含相同字母的顺序无关. 2.同类项的的判断方法 判断两个或两个以上的单项式是否是同类项，要从两个方向去判断，一个是单项式中所含有的字母是否相同，另一个是相同字母的指数是否也相同，要注意同类项与字母的排列顺序无关。 3.利用同类项的定义求字母的值的步骤 (1)列:根据同类项中相同字母的指数相同,列出等式;(2)解:求字母的值. 四、合并同类项 1.合并同类项定义：把整式中的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项 2.合并同类项的法则：在合并同类项时,把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数,而字母和字母的指数不变. 特别提醒： (1)如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0. (2)合并同类项时,只能把同类项合并成一项,不是同类项的不能合并;不能合并的项,不能遗漏. (3)合并后的整式结果可以是单项式,也可以是整式. (4)合并同类项的依据是乘法分配律,数的运算律也适用于整式,在运用运算律使整式变形时,不改变整式的值. (5)合并同类项后的结果,若系数是带分数,一定要化成假分数, 3.合并同类项的步骤 第一步:找出同类项; 第二步:利用合并同类项的法则,把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变; 第三步:写出合并后的结果 五、去括号法则 1.去括号法则 (1)括号前面是“十”号,去掉括号后,括号内各项都不变号;(2)括号前面是“一”号,去掉括号后,括号内各项都变号。 2.去多重括号的顺序 一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号. 3.数与整式相乘法则 一般地,数与整式相乘,就是用这个数去乘整式的每一项,再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时,把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数,字母及其指数不变. 特别提醒： (1)去括号时,括号与前面的“十”号或“一”号一起去掉。 (2)注意法则中的“都”字,该变号时,各项都变号;不该变号,各项都不变号.尤其括号前面是“一”号,去括号时,要改变括号内每一项的符号. (3)数与整式相乘时,应把数与括号内各项相乘,切忌漏乘。 (4)去多重括号一般先去小括号,再去中括号比较简单,每去掉一层括号,如果有同类项可随时合并,这样可使下一步运算简便,减少差错, 六、整式的加减 1.法则：一般地,几个整式相加减,通常先用括号把每个整式括起来,用加减号连接,然后去括号,再合并同类项. 2.实质：整式加减的实质就是去括号,合并同类项 特别提醒： (1)整式加减的结果要最简,即不能有同类项; (2)含字母项的系数如果是带分数,要化成假分数; (3)计算结果一般不含括号. 一、概念理解不清导致的错误 1.单项式与整式的定义混淆 易错点：误认为 “带加减号的式子就是整式”，或忽略单项式的系数、次数的定义。 2.同类项判断错误 易错点：仅看字母是否相同，忽略指数是否一致；或混淆常数项与非同类项。 二、去括号与添括号的符号错误 1.去括号时符号处理不当 易错点：括号前是 “−” 时，忘记改变括号内所有项的符号；或括号前有系数时，漏乘括号内的项。 2.添括号时符号错误 易错点：添括号后未根据括号前的符号调整内部项的符号。 三、合并同类项的常见错误 1.漏项或错项合并 易错点：未将同类项全部找出，或误将非同类项合并。 2系数计算错误 易错点：合并时系数相加减出错，尤其是带分数或负数的情况。 四、步骤混乱或书写不规范 1.步骤省略导致错误 易错点：直接口算出结果，未按 “去括号→标记同类项→合并同类项” 的步骤书写。 2.书写格式不规范 易错点：系数为 “1” 或 “-1” 时省略不写，或指数书写错误 五、代入求值时的典型错误 1.代入负数或分数时未加括号 易错点：当字母取值为负数或分数时，直接代入导致符号或运算错误。 2.化简错误后再代入 易错点：先化简整式时出错，导致后续代入结果错误。 建议：化简后需检查同类项合并是否正确，再代入数值计算。 六、综合运算中的逻辑错误 1.多层括号去括号顺序混乱 易错点：同时处理多层括号（如中括号、小括号）时，未从内到外逐步去括号。 2.与其他知识点混淆（如方程、不等式） 易错点：将整式加减与解方程混淆，误在化简时 “移项” 或 “两边同除”。 易错点01单项式的判断 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列代数式，，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，由此判断即可． 【详解】解：，不是整式，不是单项式， ，不是单项式， 单项式有：，，共2个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）代数式中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的定义．单项式是指数字与字母的乘积组成的式子，单独一个数或者一个字母也是单项式．熟练掌握单项式的定义是解题的关键．根据单项式的定义进行判断即可． 【详解】解：由单项式的定义得：单项式有，共2个， 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列代数式，，，，，中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的定义：“数字和字母的乘积的形式为单项式，单个数字和字母，也是单项式”．熟练掌握单项式的定义是解题关键．根据单项式的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：，，不是乘积的形式，不是单项式， ，，符合单项式的定义，是单项式， ∴单项式有个． 故选：C． 易错点02单项式的系数、次数 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 / 7 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【详解】解：单项式的系数是，次数是． 故答案为：，7． 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）单项式的系数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的系数，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数． 根据单项式系数的定义来解答，单项式中数字因数叫做单项式的系数． 【详解】解：由题意可得的系数是． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海虹口·期中）单项式的系数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．根据系数的定义解答即可． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案为：． 易错点03整式的判断 7．（24-25七年级上·上海松江·期中）代数式，，，，，中，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】整式的判断 【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此求解即可． 【详解】解：代数式，，，，，中，整式有，，，，共4个， 故选：C． 8．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）在代数式、、、、、中，整式的个数是（    ） A． B． C． D．． 【答案】C 【知识点】整式的判断 【分析】主要考查了整式的有关概念．根据整式的定义：单项式、多项式的统称，判断即可． 【详解】解：整式有：，，，，共有5个． 故选：C． 易错点04同类项的判断 9．下列说法正确的是（　　） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与同类项 D．与是同类项 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），据此即可判断． 【详解】解：A、与所含字母不同，错误，不符合题意； B、不是整式，错误，不符合题意； C、与相同字母的次数不同，错误，不符合题意； D、与是同类项正确，符合题意． 故选：D． 10.指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1)与，与，与5分别是同类项 (2)与，与分别是同类项 【知识点】多项式的项、项数或次数、同类项的判断 【分析】先找出各个同类项的项，再根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同；进行判断即可求解． 【详解】（1）解：多项式 的项有：、、、、、， 同类项有：与，与，与5． （2）解：多项式 的项有：、、、、、， 同类项有：与，与． 【点睛】本题考查了多项式的项，同类项的定义，理解定义是解题的关键． 易错点05 去括号的整式加减 11．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）化简：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减混合运算．先计算括号内的运算，然后合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： ． 12．（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，其实质是去括号、合并同类项；先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 13．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．先去括号，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 14．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 先去括号，再合并即可． 【详解】解： ． 易错点06 整式加减的化简求值 15．（24-25七年级上·上海·期中）求代数式的值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，先对整式进行化简，再求出的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴， 原式 ， ， ． 16．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知：，求，并求当时的值． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查整式化简求值，掌握整式的加减运算法则是关键．根据整式的加减运算化简，再代入求值即可求解． 【详解】解：由题意，得： 则 当． 17．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 【答案】11 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的无关项问题，先根据整式的混合运算计算出的值，再根据无关项计算出的值，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ∵的值与字母取值无关， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级上·上海·期中）若，求代数式的值． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值、绝对值非负性 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用非负数的性质求出与的值，原式去括号合并得出化简的结果，代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ，， ，， ； 当，时， 原式 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 整式的加减 一、单项式 1.单项式的定义： 和 的乘积叫作单项式..特别地,单独 或 也是一个单项式. 2.单项式的判断方法 判断一个式子是否是单项式，关键看两点: (1)式子中是否只有乘法运算(包括乘方运算);(2)式子的分母中是否只有数字。 二者有一项不符合，则不为单项式, 3.单项式的系数：一个含字母的单项式中的 叫作这个单项式的系数。 特别提醒：单项式的系数是包含前面的符号的. 4.单项式的次数：一个单项式中, 的和叫作这个单项式的次数.特别地, 是零次单项式, 二、整式 1.整式的定义： 得到的代数式叫作整式.整式也叫作多项式.例如，3t²-t-4是由 3t²、-t 和一4这三个单项式求和得到的整式. 2.单项式、整式的关系 单项式也是整式 3.单项式、整式的辨别 (1)单项式不含有加减运算; (2)整式是有限个单项式的和，单项式也是整式; (3)单项式和整式都可以有除法运算,但要写成分数形式且分母中不能含有字母. 4.整式的相关概念 （1）整式的项： ,整式中的每一个单项式叫作整式的项 （2）常数项： 的项叫作常数项， （3）整式的次数：各项中 叫作这个整式的次数。 （4）每一项的次数是几,就称几次项 （5）合并同类项后,整式有几项,就称几项式 特别提醒： (1)在确定整式的各项时,不要忘记它前面的符号,尤其注意项的符号为负号的情况; (2)整式中次数最高的项不一定只有一项,有可能是多项,甚至每一项的次数都一样,都是最高项。 (3)单项式的次数是所有字母指数的和,而整式的次数是整式中次数最高项的次数二者不要混淆。 5.整式的升幂排列与降幂排列 在合并同类项后,可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. 三、同类项 1.同类项的定义：对于两个单项式,如果它们 相同,且 也相同,那么称这两个单项式为同类项。特别地, 也是同类项。 特别提醒： 对于同类项的概念的理解,要抓住两个相同和两个无关 (1) 两个相同:①所含字母相同;②相同字母的指数相同.两者缺一不可. (2)两个无关:①同类项与系数大小无关;②同类项与它们所含相同字母的顺序无关. 2.同类项的的判断方法 判断两个或两个以上的单项式是否是同类项，要从两个方向去判断，一个是单项式中所含有的字母是否相同，另一个是相同字母的指数是否也相同，要注意同类项与字母的排列顺序无关。 3.利用同类项的定义求字母的值的步骤 (1)列:根据同类项中相同字母的指数相同,列出等式;(2)解:求字母的值. 四、合并同类项 1.合并同类项定义：把整式中的 合并成 的过程叫作合并同类项 2.合并同类项的法则：在合并同类项时,把同类项的系数 的结果作为合并后的系数,而字母和字母的指数 . 特别提醒： (1)如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0. (2)合并同类项时,只能把同类项合并成一项,不是同类项的不能合并;不能合并的项,不能遗漏. (3)合并后的整式结果可以是单项式,也可以是整式. (4)合并同类项的依据是乘法分配律,数的运算律也适用于整式,在运用运算律使整式变形时,不改变整式的值. (5)合并同类项后的结果,若系数是带分数,一定要化成假分数, 3.合并同类项的步骤 第一步:找出同类项; 第二步:利用合并同类项的法则,把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变; 第三步:写出合并后的结果 五、去括号法则 1.去括号法则 (1)括号前面是“十”号,去掉括号后,括号内各项都 ;(2)括号前面是“一”号,去掉括号后,括号内各项都 。 2.去多重括号的顺序 一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号. 3.数与整式相乘法则 一般地,数与整式相乘,就是用这个数去乘整式的每一项,再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时,把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数,字母及其指数不变. 特别提醒： (1)去括号时,括号与前面的“十”号或“一”号一起去掉。 (2)注意法则中的“都”字,该变号时,各项都变号;不该变号,各项都不变号.尤其括号前面是“一”号,去括号时,要改变括号内每一项的符号. (3)数与整式相乘时,应把数与括号内各项相乘,切忌漏乘。 (4)去多重括号一般先去小括号,再去中括号比较简单,每去掉一层括号,如果有同类项可随时合并,这样可使下一步运算简便,减少差错, 六、整式的加减 1.法则：一般地,几个整式相加减,通常先用括号把每个整式括起来,用加减号连接,然后去括号,再合并同类项. 2.实质：整式加减的实质就是去括号,合并同类项 特别提醒： (1)整式加减的结果要最简,即不能有同类项; (2)含字母项的系数如果是带分数,要化成假分数; (3)计算结果一般不含括号. 一、概念理解不清导致的错误 1.单项式与整式的定义混淆 易错点：误认为 “带加减号的式子就是整式”，或忽略单项式的系数、次数的定义。 2.同类项判断错误 易错点：仅看字母是否相同，忽略指数是否一致；或混淆常数项与非同类项。 二、去括号与添括号的符号错误 1.去括号时符号处理不当 易错点：括号前是 “−” 时，忘记改变括号内所有项的符号；或括号前有系数时，漏乘括号内的项。 2.添括号时符号错误 易错点：添括号后未根据括号前的符号调整内部项的符号。 三、合并同类项的常见错误 1.漏项或错项合并 易错点：未将同类项全部找出，或误将非同类项合并。 2系数计算错误 易错点：合并时系数相加减出错，尤其是带分数或负数的情况。 四、步骤混乱或书写不规范 1.步骤省略导致错误 易错点：直接口算出结果，未按 “去括号→标记同类项→合并同类项” 的步骤书写。 2.书写格式不规范 易错点：系数为 “1” 或 “-1” 时省略不写，或指数书写错误 五、代入求值时的典型错误 1.代入负数或分数时未加括号 易错点：当字母取值为负数或分数时，直接代入导致符号或运算错误。 2.化简错误后再代入 易错点：先化简整式时出错，导致后续代入结果错误。 建议：化简后需检查同类项合并是否正确，再代入数值计算。 六、综合运算中的逻辑错误 1.多层括号去括号顺序混乱 易错点：同时处理多层括号（如中括号、小括号）时，未从内到外逐步去括号。 2.与其他知识点混淆（如方程、不等式） 易错点：将整式加减与解方程混淆，误在化简时 “移项” 或 “两边同除”。 易错点01单项式的判断 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列代数式，，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）代数式中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列代数式，，，，，中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点02单项式的系数、次数 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）单项式的系数是 ，次数是 ． 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）单项式的系数是 ． 6．（24-25七年级上·上海虹口·期中）单项式的系数是 ． 易错点03整式的判断 7．（24-25七年级上·上海松江·期中）代数式，，，，，中，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）在代数式、、、、、中，整式的个数是（    ） A． B． C． D．． 易错点04同类项的判断 9．下列说法正确的是（　　） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与同类项 D．与是同类项 10.指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 易错点05 去括号的整式加减 11．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）化简：． 12．（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： 13．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 14．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 易错点06 整式加减的化简求值 15．（24-25七年级上·上海·期中）求代数式的值：，其中，． 16．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知：，求，并求当时的值． 17．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 18．（24-25七年级上·上海·期中）若，求代数式的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$