精品解析：河南省鹤壁市2024-2025学年高一下学期教学质量调研测试数学试题

2024—2025学年下期高一教学质量调研测试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知2017—2024年中国教育智能硬件市场规模（单位：亿元）依次为376，393，411，445，479，623，807，962，则这8个数据的分位数是（ ） A. 445 B. 479 C. 551 D. 623 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某中学高中部有高一、高二、高三三个年级，其中高一与高二年级学生共有2800人，从所有高中学生中按照年级人数比例用分层随机抽样法抽取45人，其中高三年级抽取10人，则该中学高三年级学生人数为（ ） A. 1600 B. 1400 C. 1200 D. 800 5. 已知正方体的棱长为2，过点，B，C的平面把该正方体分割成两个几何体，则这两个几何体的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 已知在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，，若点A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 一质点在数轴上从原点出发连续跳动，其中第次向右或向左跳动i个单位长度，每次向右跳动的概率为，向左跳动的概率为，若某次跳动后距离原点不小于3个单位长度即停止跳动，则恰好跳动4次后停止跳动的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若与C是对立事件，则 D. 事件A，B不相互独立 10. 如图，在圆锥中，轴截面是边长为4的正三角形，点C在底面圆周上，且，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 二面角的余弦值为 D. 异面直线AB与所成角的余弦值为 11. 已知在中，B，，D，E分别是边BC，AC上的点（不包括端点），且AD，BE交于点O，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若O是的外心，则可能成立 C. 对确定的，当的值最小时， D. 若点P满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若a，，且，则__________. 13. 如图，在棱长为4的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，过点F作与DE垂直的平面，则截正方体所得截面的周长为__________． 14. 已知在平行四边形ABCD中，，，，点E，F分别在边BC，CD上，，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足，，. （1）求，； （2）若，求实数t的值. 16. 某校高一甲、乙两个班级分别选取5名学生参加学校举行的数学竞赛，这10名学生的竞赛成绩如下表： 甲班 71 78 82 87 92 乙班 73 77 79 88 93 （1）从表中成绩高于80分的学生中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人来自甲班的概率； （2）从平均数与方差的角度，判断甲班与乙班各自选取的5名学生水平是否有差异. 17. 已知在中，内角的对边分别为且. （1）求C； （2）若AB边上的高为h，求的最大值. 18. 为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. （1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； （2）求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； （3）现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 19. 如图，在直三棱柱中，，，，点在线段上. （1）若为的中点. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求点到平面的距离. （2）若，的延长线与直线相交于点，证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下期高一教学质量调研测试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 2. 已知2017—2024年中国教育智能硬件市场规模（单位：亿元）依次为376，393，411，445，479，623，807，962，则这8个数据的分位数是（ ） A. 445 B. 479 C. 551 D. 623 【答案】D 【解析】 【分析】应用百分位数定义计算求解. 【详解】因为， 由于这8个数是按照从小到大的顺序排列的， 所以这8个数据的分位数是第6个数，即623. 故选：D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的模长及乘法运算公式计算求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 4. 某中学高中部有高一、高二、高三三个年级，其中高一与高二年级学生共有2800人，从所有高中学生中按照年级人数比例用分层随机抽样法抽取45人，其中高三年级抽取10人，则该中学高三年级学生人数为（ ） A. 1600 B. 1400 C. 1200 D. 800 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的定义列式计算得解. 【详解】从所有高中学生中抽取45人，其中高三年级抽取10人，则高一、高二年级共抽取35人， 设高三年级学生人数为x，则，解得. 故选：D. 5. 已知正方体的棱长为2，过点，B，C的平面把该正方体分割成两个几何体，则这两个几何体的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正方体的结构特征及三棱柱的表面积计算即可. 【详解】由题意知，过点，B，C的平面为平面， 所以这两个几何体的表面积之和等于正方体的表面积加上长方形的面积的2倍， 正方体的表面积为，长方形的面积为， 所以这两个几何体的表面积之和为. 故选：C. 6. 已知向量，，，，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量相等的意义即可求解. 【详解】由题意得，， 由，得，解得，故. 故选：D. 7. 已知在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，，若点A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取BC的中点E，连接AE，DE，分别取AE，DE靠近点E的三等分点F，G，再过点F，G分别作平面ABC与平面DBC的垂线，则可得两垂线的交点就是球心O，进而求得球的半径，可求体积. 【详解】如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则，， 且，所以平面ADE，又因为， 在中，由余弦定理可得， 又，所以. 分别取AE，DE靠近点E的三等分点F，G， 再过点F，G分别作平面ABC与平面DBC的垂线，则两垂线的交点就是球心O， 可得O，F，E，G共圆，连接OE，则OE是该圆的直径. 又，所以， 所以球O的半径， 所以球O的体积. 故选：A. 8. 一质点在数轴上从原点出发连续跳动，其中第次向右或向左跳动i个单位长度，每次向右跳动的概率为，向左跳动的概率为，若某次跳动后距离原点不小于3个单位长度即停止跳动，则恰好跳动4次后停止跳动的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意确定左右跳动的次序，再根据独立事件概率公式，即可求解. 【详解】恰好跳动4次后停止跳动，则前4次跳动的方向依次为左右左左，或右左右右， 所以所求概率为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若与C是对立事件，则 D. 事件A，B不相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式和对立事件的加法公式注意判定ABC；D根据判定. 【详解】对于A，因是互斥事件，故，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若与C是对立事件，则，即，得，故C错误； 对于D，因为互斥，所以，故， 所以事件不相互独立，故D正确. 故选：ABD 10. 如图，在圆锥中，轴截面是边长为4的正三角形，点C在底面圆周上，且，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 二面角的余弦值为 D. 异面直线AB与所成角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】求得圆锥的体积判断A；求得圆锥的侧面积判断B；连接BC，利用余弦定理求得二面角的余弦值判断C；求得异面直线AB与所成角的余弦值判断D. 【详解】对于A，因为圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，所以， 所以该圆锥的体积为，故A正确； 对于B，圆锥的侧面积为，故B错误； 对于C，连接BC，由题知就是要求二面角的平面角，由， 可得，所以， 即二面角的余弦值为，故C错误； 对于D，分别取，，，的中点D，E，F，G，如图所示， 所以， 则或其补角就是异面直线AB与所成的角，，，， 所以，故D正确. 故选：AD. 11. 已知在中，B，，D，E分别是边BC，AC上的点（不包括端点），且AD，BE交于点O，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若O是的外心，则可能成立 C. 对确定的，当的值最小时， D. 若点P满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用数量积定义及运算律计算判断A，B，D，应用数量积坐标运算计算判断C. 【详解】对于A，因为， 所以，所以，故A正确； 对于B，若成立，则， 两边平方得，，所以， 但由可得O在外部，与题意不符，故B错误； 对于C，设，，，， 则， 由二次函数的性质知，当，时，的值最小， 此时O为的重心，故，故C正确； 对于D，由题意得， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若a，，且，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】利用两个复数相等的定义求解即可. 【详解】由，得， 所以，解得，. 故答案为：. 13. 如图，在棱长为4的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，过点F作与DE垂直的平面，则截正方体所得截面的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先取的中点G，连接EG，GD，过点F作GD的垂线，与相交于点M，根据线面垂直的性质得到；再连接，过点M作的垂线，交CD于点H，根据线面垂直的性质得到，从而根据线线垂直的性质得到平面就是平面，最后即可求得其周长． 【详解】如图，取的中点G，连接EG，GD，过点F作GD的垂线，与相交于点M， 即，，且，平面EGD，则平面EGD， 又平面EGD，所以，且， 所以． 连接，过点M作的垂线，交CD于点H， 因为，,且，平面，则平面， 又平面EGD，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面就是平面，且， 所以，， 即所得截面的周长为． 故答案为：． 14. 已知在平行四边形ABCD中，，，，点E，F分别在边BC，CD上，，则的最大值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，设，，利用坐标运算化简，最后求一元二次函数的最值即可. 【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，则， 设，，其中，， 则，， 由，可得，即， 所以， 所以当时，取得最大值5. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足，，. （1）求，； （2）若，求实数t的值. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的运算律即可求解； （2）两边平方，结合向量的数量积的运算可得，求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 所以，可得. 【小问2详解】 因为， 所以， 即，解得或. 16. 某校高一甲、乙两个班级分别选取5名学生参加学校举行的数学竞赛，这10名学生的竞赛成绩如下表： 甲班 71 78 82 87 92 乙班 73 77 79 88 93 （1）从表中成绩高于80分的学生中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人来自甲班的概率； （2）从平均数与方差的角度，判断甲班与乙班各自选取的5名学生水平是否有差异. 【答案】（1） （2）记甲班5名学生成绩的平均数与方差分别为，， 乙班5名学生成绩的平均数与方差分别为，， 则， ， ， ， 所以，， 即甲班与乙班各自选取的5名学生成绩的平均数相同，说明他们的平均水平相当； 甲班对应的方差小于乙班对应的方差，说明甲班这5名学生相互之间的水平更接近. 【解析】 【分析】（1）列举法求解古典概型的概率； （2）分别计算出两班的平均数和方差，得到结论. 【小问1详解】 甲班成绩高于80分的有3人，分别记作a，b，c，乙班成绩高于80分的有2人，分别记作d，e. 从这5人中随机抽取2人，样本空间，共有10个样本点， 用事件A表示“抽取的2人中恰有1人来自甲班”，则，共有6个样本点， 所以. 【小问2详解】 略 17. 已知在中，内角的对边分别为且. （1）求C； （2）若AB边上的高为h，求的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再用内角和消元化简，即可得，从而得解； （2）利用等面积法把转化为边的关系，再利用余弦定理结合不等式即可求最大值. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ， 所以， 因为，所以，所以， 所以，又因为，所以. 【小问2详解】 因为，AB边上的高为h， 由三角形的面积公式得，所以. 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，所以， 即的最大值为. 18. 为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. （1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； （2）求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； （3）现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 【答案】（1）平均数为19，中位数为20 （2）24 （3），，A，B不相互独立. 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图平均数及中位数公式计算求解； （2）先应用频率和为1得出参数a，再结合频率计算求解只数； （3）应用独立事件概率乘积公式判断即可. 【小问1详解】 估计对照组小白鼠体重增加量的平均数为 . 因为， 所以估计对照组小白鼠体重增加量的中位数为20. 【小问2详解】 由， 得， 估计实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠只数为. 【小问3详解】 由题意知，从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.5，超过25g的概率为0.3，从实验组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.4，超过25g的概率为0.15， 所以， ， ， ， 因为，所以A，B不相互独立. 19. 如图，在直三棱柱中，，，，点在线段上. （1）若为的中点. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求点到平面的距离. （2）若，的延长线与直线相交于点，证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）（ⅰ）证明：如图，连接，与相交于点D，则D为的中点，连接DP， 因为P为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （ⅱ）； （2）. 【解析】 【分析】（ⅰ）作出辅助线，得到，故平面； （ⅱ）得到平面，利用等体积法求解点B到平面的距离； （2）证明出平面，所以，因为，所以平面，所以平面平面，利用三角形相似和勾股定理得到，又点E到平面的距离为，从而求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为P为的中点， 所以点B到平面的距离与点到平面的距离相等，设为h. 因为三棱柱为直三棱柱，所以， 又，，平面，所以平面， 所以点P到平面的距离为， 所以， 又，，， 所以等腰的面积为， 所以，由，得，解得. 所以，点B到平面的距离为. 【小问2详解】 如图，易得，， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，得， 所以， 又点E到平面的距离为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $