第一章 预备知识：集合、常用逻辑用语、不等式（高效培优单元测试·提升卷）高一数学北师大版2019必修第一册

第一章 预备知识（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（2025·山东烟台·三模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，再利用并集的定义运算. 【解析】因，， 则. 故选：D 2．（24-25高二下·广东汕头·阶段练习）已知命题，则命题的否定为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解. 【解析】命题的否定为， 故选：C 3．（24-25高一下·广东广州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的交集和补集运算可得结果. 【解析】由，可得或，则. 故选：B． 4．（2025福建福州高一上期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【解析】由或，则， 由是的充分不必要条件，则，且 可得，解得. 故选：C. 5.(2025·河南周口·二模）已知，，且，则当取得最小值时，（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的巧用求最小值，即可得的值. 【解析】已知，，且， 所以， 当且仅当时，即时，取得最小值， 则. 故选：A. 6．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【解析】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 7．（24-25高一上·山东临沂·期中）如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，，利用基本不等式求的最小值. 【解析】由题可知，，， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立， 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：C 8．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．（24-25高二下·山西·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由作差法和基本不等式即可逐一判断各个选项. 【解析】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由题意，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，又因为，所以，故C正确； 对于D，，，所以，故D错误. 故选：BC. 10．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【解析】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 11．（2025·湖南邵阳·模拟预测）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（    ） A．若数集中有2025个元素，则一定存在 B．若数集中没有最大值，则不存在 C．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B，结合不等式的性质利用集合的上确界的概念判断C，举反例判断D. 【解析】对于，若数集中有2025个元素，则数集中的元素一定有最大值， 数集一定有上确界，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， ，都有，， ，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集A，B有上确界，设，， 由上确界的定义可知，对于，，都有，，， 即，故正确； 对于D，若，，则数集A，B有上确界，且，， 此时， 则，故D错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．（2025·江西·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为 ． 【答案】7 【分析】由交集的运算可得，即可得到结果. 【解析】对于集合，当是，，当时，， 当时，，所以， 则其真子集的个数为. 13．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】当时，原不等式为，符合题意；当时，要使关于的不等式的解集为，只需解得．综上，． 14．（2025·广西南宁·模拟预测）由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为 . 【答案】9 【解析】设有个模型合格，道题为难题，则， 依题意有， 所以 所以， 同理 ， 要使两式有整数解，则，所以． 当时，若3个模型生答题情况如下表： 题目1 题目2 题目3 1 √ √ × 2 √ × √ 3 √ × × 则有2个模型合格，2个难题，符合题意，所以的最小值为9． 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）（24-25高一上·新疆昌吉·期末）设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，，或， ∴，或.（5分） （2）∵“”是“”的充分不必要条件， ∴⫋，（7分） ∴（等号不同时成立），解得， ∴实数a的取值范围为.（13分） 16．（15分）（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对于任意恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由，则，（2分） 当，即时，解集为；（4分） 当，即时，解集为或；（6分） 当，即时，解集为.(8分) （2）由题设，时恒成立， 所以，又， 所以上恒成立， 令，则，（11分） 所以， 当且仅当，即时取等号，所以.（15分） 17．（15分）(2025广东华南师大附中高一上期中，中)如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【解析】 (1)由宣传单的面积不超过，可得，（3分） 化简得，（5分） 解得，（7分） 又，所以，故的最大值为.（8分） （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，（10分） 则，（13分） 当且仅当，即时取等号.（14分） 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是.(15分) 18．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 【解析】（1） ∵， ∴对称轴为，顶点坐标为.（4分） （2）∵顶点坐标为， ∴当时，； ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为.（9分） （3）当时，对进行分类讨论： ①当时，即，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴，∴， 解得：（不合题意，舍去）；（12分） ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴， 当时，在时，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，在时，， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）；（15分） ③当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，即， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述：或.（17分） （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 19.(17分) （2025江西抚州临川一中高一上月考，难）已知含有限个元素的集合A是正整数集的子集，且A中至少含有两个元素，若B是由A中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合B是集合A的衍生集. (1)当时，写出集合A的衍生集B； (2)若A是由4个正整数构成的集合，求其衍生集B的元素个数的最小值； (3)判断是否存在5个正整数构成的集合A，使其衍生集，并说明理由. 【解析】（1）由已知，， 故集合.(2分) （2）设，其中，不妨设， 又因为，集合共6个元素，（4分） 由不等式的性质可知，，（6分） 若时，则集合5个元素；（7分） 若时，则集合6个元素，（8分） 故集合B的元素个数的最小值为5.（8分） （3）由（2）可知集合，可知集合B最多有10个元素，（9分） 由已知共7个元素，故有3个元素不满足互异性，（10分） 不妨设，故，， 又因为，有且仅有，即，（12分） 当时，因为，故或， 若即，与矛盾（舍去）； 若即，令，则，（舍去）.（14分） 当时，则，则，与已知矛盾（舍去）；（15分） 当时，不符合题意，故舍去；（16分） 故当集合时不存在满足条件的集合A.（17分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 预备知识（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（2025·山东烟台·三模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东汕头·阶段练习）已知命题，则命题的否定为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东广州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025福建福州高一上期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.(2025·河南周口·二模）已知，，且，则当取得最小值时，（   ） A． B． C． D．1 6．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 7．（24-25高一上·山东临沂·期中）如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 8．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．（24-25高二下·山西·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 11．（2025·湖南邵阳·模拟预测）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（    ） A．若数集中有2025个元素，则一定存在 B．若数集中没有最大值，则不存在 C．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．（2025·江西·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为 ． 13．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 14．（2025·广西南宁·模拟预测）由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为 . 三、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）（24-25高一上·新疆昌吉·期末）设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16．（15分）（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对于任意恒成立，求的取值范围. 17．（15分）(2025广东华南师大附中高一上期中，中)如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 18．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知二次函数. (1)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 19.(17分) （2025江西抚州临川一中高一上月考，难）已知含有限个元素的集合A是正整数集的子集，且A中至少含有两个元素，若B是由A中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合B是集合A的衍生集. (1)当时，写出集合A的衍生集B； (2)若A是由4个正整数构成的集合，求其衍生集B的元素个数的最小值； (3)判断是否存在5个正整数构成的集合A，使其衍生集，并说明理由. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$