精品解析：广西壮族自治区柳州市来宾实验高级中学2025-2026学年高一下学期数学自主练习（6）

2028届高一（下）数学自主练习（6） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设一组数据的方差为1，则数据的方差为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 13 2. 某学校高一年级有男生480人，女生660人，现按性别采用分层随机抽样的方法从中选出19人，则男生比女生少选（ ）． A. 1人 B. 2人 C. 3人 D. 4人 3. 已知复数z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知l，m是两条不重合的直线， ，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC= A. 5 B. C. 2 D. 1 7. 已知向量a，b满足，，且对，，则=（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 8. 已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. 与的夹角为45° B. 当时， C. 当时，与方向相反 D. 当时，与组成平面内的一组基底 10. 2021年广西新高考实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一.政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件 “他选择政治和地理”，事件 “他选择化学和生物”，事件“他选择其中一门课程是化学”，则（ ） A. B. 与对立 C. D. 11. 若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（ ） A. 这两个图都是二部图的概率为 B. 这两个图至少有一个是二部图的概率为 C. 这两个图不都是二部图的概率为 D. 这两个图恰有一个是二部图的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______． 14. 已知四边形是圆O的内接四边形，且，，的长是方程的两根，记四边形的面积为，圆O的面积为，则 ______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 不透明的袋子中装有4个红球，m个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次绿球被取出的概率为． （1）求袋子中绿球的个数； （2）若进行2次取球，求这2次取出的球的颜色不同的概率． 16. 如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于）， ，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图. （1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数； （2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，且． （1）求A； （2）若，求的面积； （3）求． 19. 如图，在四棱锥 中，四边形是边长为4的菱形,,为等边三角形，，E，F分别是棱，的中点. （1）求四棱锥 的体积. （2）在棱上是否存在点G，使得平面平面 ?若点G存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）若H是棱的中点，求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一（下）数学自主练习（6） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设一组数据的方差为1，则数据的方差为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的性质计算可得. 【详解】因为一组数据的方差为， 所以数据的方差为. 故选：C 2. 某学校高一年级有男生480人，女生660人，现按性别采用分层随机抽样的方法从中选出19人，则男生比女生少选（ ）． A. 1人 B. 2人 C. 3人 D. 4人 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的方法可求抽取男生、女生的人数，即可求解. 【详解】由题可知，选出的男生有人，则选出的女生有11人， 所以男生比女生少选3人． 故选：C. 3. 已知复数z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则化简，再根据对称性求解即可. 【详解】， 因为z与在复平面内对应的点关于虚轴对称， 所以． 故选：B. 4. 如图，在平行四边形中，为 的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理求解. 【详解】解：因为为平行四边形，故，故易知， 又因为为 的中点，所以， 故， 5. 已知l，m是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面位置关系，线线位置关系判断各个选项. 【详解】若，，则或，A不正确． 若，，，则或l与m异面，B不正确． 若，，则或，C不正确． 若，，，则，D正确． 故选：D. 6. 钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC= A. 5 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】由面积公式得：，解得，所以或，当时， 由余弦定理得：=1，所以 ，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B. 考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识. 7. 已知向量a，b满足，，且对，，则=（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】对两边平方，根据二次函数性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为对，， 所以， 所以， 所以 . 故选：C. 8. 已知 为边长为的等边三角形，设点为 边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标法以及二次函数性质分析求解即可. 【详解】取的中点，连接，由题意 为等边三角形，故以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为等边 的边长为，所以， 又点为 边的中点，所以， 设，则， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. 与的夹角为45° B. 当时， C. 当时，与方向相反 D. 当时，与组成平面内的一组基底 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据向量夹角公式求解即可；对B，根据垂直向量数量积为0求解；对C，代入判断即可；对D，代入，判断与是否不共线即可. 【详解】对A，设与的夹角为，则，故，故A正确； 对B，，则当时，，即，解得，故B错误； 对C，当时，，此时，则与方向相同，故C错误； 对D，当时，，与不共线，故能组成平面内的一组基底，故D正确； 故选：AD 10. 2021年广西新高考实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一.政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件 “他选择政治和地理”，事件 “他选择化学和生物”，事件“他选择其中一门课程是化学”，则（ ） A. B. 与对立 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】列出该同学的四选二选科的可能结果，再一一分析即可. 【详解】依题意该同学的四选二选科可能为：政治和地理，政治和化学，政治和生物， 化学和地理，生物和地理，化学和生物共种结果， 则事件 包含政治和化学，化学和地理，化学和生物共种结果，所以，故A正确； 包含政治和地理，政治和生物，生物和地理共种结果，所以与互斥不对立，故B错误； 因为，所以，故C正确； 包含政治和化学，化学和地理，化学和生物共种结果，所以，故D错误； 故选：AC 11. 若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（ ） A. 这两个图都是二部图的概率为 B. 这两个图至少有一个是二部图的概率为 C. 这两个图不都是二部图的概率为 D. 这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据二部图的定义确定这6个图中，二部图的个数，再根据古典概型，通过列举的方法，即可概率. 【详解】 对于图（1），图中出现了 ，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 这显然不符合二部图的定义，图（4）也是如此，所以图（1）与图（4）不是二部图． 除了这两个图，其他四个图都是二部图， 例如，对于图（3），当时，图中的每一条边的一个关联结点在中， 另一个关联结点必在中； 对于图（5），当时，图中的每一条边的一个关联结点在中， 另一个关联结点必在中．从这六个图中任选两个，所有的选择为 ， ， ，共15种． 这两个图都是二部图的选择共有6种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有14种， 这两个图不都是二部图的选择共有9种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种， 故这两个图都是二部图的概率为，故A错误； 这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确； 这两个图不都是二部图的概率为，故C正确； 这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式求解. 【详解】. 13. 已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥体积求得 ，由勾股定理求得，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】设该圆锥的底面半径为r．因为该圆锥的轴截面为正三角形，所以该圆锥的高为， 则该圆锥的体积，解得 ． 画出圆锥及其外接球的轴截面如图所示， 设该球体的半径为R，则，解得， 则该球体的表面积为． 故答案为：. 14. 已知四边形是圆O的内接四边形，且，， 的长是方程的两根，记四边形的面积为，圆O的面积为，则 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】解方程求出、 ，在与中，由余弦定理求出 、，再由正弦定理求出圆O的半径，求出、可得答案. 【详解】解方程，可得，， 不妨令，． 因为四边形是圆O的内接四边形，所以， 则在与中，由余弦定理可得 ， 整理得， 则，则，，． 设圆O的半径为R，则， 则， ， 则． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 不透明的袋子中装有4个红球，m个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次绿球被取出的概率为． （1）求袋子中绿球的个数； （2）若进行2次取球，求这2次取出的球的颜色不同的概率． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式列方程求解； （2）根据独立事件概率乘法公式进行计算. 【小问1详解】 袋子中装有4个红球，m个绿球，从中有放回地随机取出1个球， 则绿球被取出的概率为． 由题可知，解得， 故袋子中绿球的个数为2． 【小问2详解】 由题可知，每次绿球被取出的概率为，则每次红球被取出的概率为， 且2次取出的球的颜色相互独立． 第一次取出红球，第二次取出绿球的概率为； 第一次取出绿球，第二次取出红球的概率为． 故2次取出的球的颜色不同的概率为． 16. 如图所示，已知 是圆的直径， 为圆上一点（异于）， ，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）平面，平面，． 是圆O的直径，C为圆上一点， ． 又，且平面， 平面． 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证，得到平面，最后得到平面平面. （2）先找出直线与平面所成角，然后求出的长度，最后得到其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点 作于点 ， 平面，平面，， 又 ， 平面，平面． 即为直线与平面所成角． ，，可得． . 即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为． 17. 本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图. （1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数； （2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率. 【答案】（1）平均数为75.5，分位数为88； （2）. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1求出后，再由平均数，百分数的算法求出即可； （2）利用分层抽样和古典概率的算法求出即可； 【小问1详解】 由，解得. 该校高三学生期初数学成绩的平均数为. 前3组的频率和为，所以分位数为. 【小问2详解】 分层抽样抽取的6人中，的有人，记为 的有 人，记为， 从6人中任取2人，基本事件有，共15种， 其中2人分数都在的有共6种， 所以从6人中任取2人，分数都在的概率为. 18. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，且． （1）求A； （2）若，求 的面积； （3）求． 【答案】（1）． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系求得，利用边角互换即可求得结果. （2）利用求得的值，再用正弦定理求得边c，即可求得三角形面积. （3）由（1）的结果利用角A的余弦定理，计算即可取得结果. 【小问1详解】 因为，所以． 又因为，所以． 因为A为锐角，所以． 【小问2详解】 由（1）知． 由正弦定理得， 所以 【小问3详解】 由余弦定理得， 整理得， 所以． 因为，所以 19. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形,,为等边三角形，，E，F分别是棱 ，的中点. （1）求四棱锥的体积. （2）在棱上是否存在点G，使得平面平面 ?若点G存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）若H是棱的中点，求二面角的正弦值. 【答案】（1）16 （2）存在，. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据边长的关系可证明垂直，进而根据线面垂直的判定求解平面，即可由体积公式求解； （2）利用线线平行可证明平面 ，进而根据比例关系可得求证线面平行，即可根据面面平行的判定求解； （3）根据长度关系可证明，即可利用等体积法求解点到平面的距离，即可求解. 【小问1详解】 连接. 因为四边形是边长为4的菱形，， 所以为边长为4的等边三角形. 因为是线段的中点，所以 ，所以. 因为是边长为4的等边三角形，且是线段的中点，所以，且. 因为，，所以，所以. 因为平面，平面，且，所以平面， 则四棱锥的体积为. 【小问2详解】 存在满足条件的点 ，此时. 理由如下： 连接，记，，连接，，，. 因为E，F分别是棱 ，的中点，所以. 因为平面 ，平面 ，所以平面 . 因为四边形是菱形，所以是的中点，所以. 因为，且是棱 的中点，所以，所以. 若平面平面 ，平面 与平面 与平面分别相交于直线, 故，所以，故， 所以在棱上存在点G，使得平面平面 ，且. 【小问3详解】 连接. 在中，由余弦定理可得. 由（1）可知平面，且平面，所以 . 因为，所以. 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为 平面，所以，则. 因为，，且为棱的中点， 所以. 因为，，，所以，所以. 作，垂足为M，则，解得. 设点到平面的距离为. 因为，即, 则， 所以，解得. 设二面角的大小为，则， 即二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $