精品解析：重庆市七校联盟2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

七校联盟2025年春期期末考试 高一数学试题 命题学校：重庆市合川中学 命题人：苏佳 何珊 熊丽 审题人：何正玲 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （原创） 1. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. （原创） 2. 样本数据2，3，5，8，11，14，15，17的第25百分位数是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 8 （原创） 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向右平移个单位，再把所得各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D. 向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 （原创） 4. 已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（ ） A. B. C. D. （改编） 5. 在空间四边形中，，且与所成角为，，分别为，的中点，则与所成角的大小为（ ） A. B. 或 C. D. （原创） 6. 如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. （改编） 7. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 9 （改编） 8. 如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为．三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为（ ） A B. C. 12 D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 （原创） 9. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 复数对应的点满足，则对应的点围成的封闭图形面积为 （原创） 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有30个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 已知数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 C. 已知一个样本容量为7样本，它的平均数为5，现加入三个新数据3，5，7，则新样本的平均数为6 D. 假设，，且与相互独立，则， 11. 如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 （原创） 12. 某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为70，则应抽取的女生人数为______． （改编） 13. 已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为______． （改编） 14. 在三棱锥中，，，，则的长度______，三棱锥外接球的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （原创） 15 已知函数，，． （1）求的解析式； （2）设函数，求的对称轴和单调区间． （改编） 16. 如图所示的四棱锥中，平面，，，，． （1）若是中点，证明平面． （2）证明：平面平面； （原创） 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，，求的周长． （原创） 18. 学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值. （2）估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） （3）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 19. 我们可以把平面向量坐标概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． （1）设，，求复向量与的模； （2）已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； （3）当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七校联盟2025年春期期末考试 高一数学试题 命题学校：重庆市合川中学 命题人：苏佳 何珊 熊丽 审题人：何正玲 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （原创） 1. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表达式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：C. （原创） 2. 样本数据2，3，5，8，11，14，15，17的第25百分位数是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由可知从小到大的这组数据的第25百分位数应该是第二个数据与第三个数据的平均数即可. 【详解】这组样本数据共8个数，而且已经从小到大排列， 由可知，这组数据的第25百分位数是. 故选：A. （原创） 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D. 向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的伸缩平移变换规律即得. 【详解】因，则可把函数的图象向左平移个单位，即得函数的图象， 再把所得各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即得函数的图象. 故选：D. （原创） 4. 已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】事件A、B互斥，事件都不发生的对立事件是事件与至少有一个发生,由此即可求出答案. 【详解】事件A、B互斥，且事件A发生的概率，事件B发生的， 事件都不发生的对立事件是事件A、B至少有一个发生, 所以事件，都不发生的概率为：. 故选：B. （改编） 5. 在空间四边形中，，且与所成角为，，分别为，的中点，则与所成角的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先作图取的中点，利用中位线的平行关系，结合异面直线所成角的定义，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连结， 因为分别是的中点，所以，， 且与所成角为，所以或， 所以与所成角为或其补角， 且，则，所以或， 所以与所成角的大小为或. 故选：B （原创） 6. 如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三点共线的向量表示即可求解. 【详解】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C （改编） 7. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可求得，利用正弦定理可求得外接圆的半径. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得， 所以，设外接圆的半径为， 又，，所以， 由正弦定理可得外接圆的半径为，解得. 故选：B. （改编） 8. 如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为．三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形求出相关线段长，判断截面形状，逐一计算其面积，求和即得. 【详解】由题意得，，， 从而，所以， 所以，，， ，，， 所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为: ． 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 （原创） 9. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 复数对应点满足，则对应的点围成的封闭图形面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可得，据此计算可判断ABC，利用模的几何意义可判断D. 【详解】因为数对应点为，所以，所以，故A错误； 由，可得，故B正确； ，故C错误； 因为复数对应的点满足，所以对应的点围成的图形是以为圆心，2为半径的圆， 所以对应的点围成的封闭图形面积为，故D正确. 故选：BD. （原创） 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有30个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 已知数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 C. 已知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入三个新数据3，5，7，则新样本的平均数为6 D. 假设，，且与相互独立，则， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式计算可判断A；计算方差判断B；计算平均数判断C；由独立事件的概率公式计算判断D. 【详解】对于A：依题意，得个体m被抽到的概率为，故A正确； 对于B，设，又， 所以，，，的平均数为， 所以，，，的方差为 ，故B正确； 对于C：一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，故总和为35， 所以加入三个新数据3，5，7后的平均数为，故C错误； 对于D，，，且与相互独立， 所以， ，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于B，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于C，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可；对于D，分别求出将正方形沿着展在平面，及将沿着展开到与平面重合两种情况分别求解，即可比较大小. 【详解】对于A，由中位线可得，在正方体中，，所以， 所以四点共面，又因为，所以截面为梯形，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故C正确； 对于D，记的中点为Q，如图所示， 若正方形沿着展在平面， 在直角中，可得， 若沿着展开到与平面重合， 在直角中，可得，综上，最短距离为，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 （原创） 12. 某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为70，则应抽取的女生人数为______． 【答案】30 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义结合题意计算即可求解. 【详解】由分层随机抽样定义可得抽取的女生数为. 故答案为：. （改编） 13. 已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求出.结合已知推得，求出，然后即可根据投影向量的意义求得结论. 【详解】由已知可得，.因为，所以， 所以，所以，所以， 解得或（舍去），所以， 所以，向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. （改编） 14. 在三棱锥中，，，，则的长度______，三棱锥外接球的体积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作平面于点，连接，确定四边形为矩形，根据余弦定理即可得，可求得；进而得球的半径，即可计算球的体积. 【详解】如图，作平面于点，连接，， 平面，平面，所以，， 因为，，，平面，所以平面， 平面，所以，同理得， 四边形为矩形，，则，， 在中，， 由余弦定理得， 即，解得， 设三棱锥外接球的半径为，则三棱锥外接球即为四棱锥外接球， 即为以，，为棱长的长方体的外接球， 故由得，解得， 所以球的体积为. 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （原创） 15. 已知函数，，． （1）求的解析式； （2）设函数，求的对称轴和单调区间． 【答案】（1） （2）对称轴，，增区间为，，减区间为：，. 【解析】 【分析】（1）代值计算，结合角的范围即可求得函数解析式； （2）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据正弦函数的图象对称轴与单调区间即可求得该函数的对称轴与单调区间. 【小问1详解】 由，可得 ，. 【小问2详解】 求对称轴：，，即， 求单调增区间：，， 解得， 求单调减区间：，， 解得， 综上可得：函数的对称轴为：，， 增区间为，；减区间为：，. （改编） 16. 如图所示的四棱锥中，平面，，，，． （1）若是中点，证明平面． （2）证明：平面平面； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理和条件证明，再由线线平行证得线面平行即可； （2）法一：取中点，连接，证明，利用勾股定理证得，即得，再由平面证明，最后由线线垂直证得平面，继而证得面面垂直；法二：同法一证得，利用面面垂直的判定定理证得平面平面，由面面垂直的性质定理推得平面，再由面面垂直的判断定理即可证得. 【小问1详解】 如图,取中点，连接，， 在中，，分别是、中点， 且， 又，且， ，四边形为平行四边形， ，因平面，平面， 平面. 【小问2详解】 法一：如图，取中点，连接， 因，， ，即四边形为平行四边形， ，， 在中，，，， 则由可得，故． 因平面，平面，则， 又,平面，， 平面，平面，平面平面. 法二： 同法一，取中点，连接，同法证得， 平面，因平面，平面平面， 又平面平面，，平面平面， 平面，平面平面. （原创） 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角的三角函数关系化简后，运用正余弦定理即可求得； （2）先由条件求出角，利用正弦定理求出边的长，即得三角形的周长. 【小问1详解】 由 可得， 即， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：， ，. 【小问2详解】 在中，由（1）得，因，则， ， 由正弦定理可得：， 即，则，， 则的周长为. （原创） 18. 学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求值. （2）估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） （3）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组频率之和为1列方程，求解即可； （2）利用（1）的结论，根据频率分布直方图中平均数和中位数定义求解即得； （3）分别计算出分数在和的人数，得到抽样比，确定抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为，，分数在有3人，编号为，，，列举出样本空间和事件包含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：， 解得. 【小问2详解】 由（1）得，该次考试测试分数的平均数的估计值为： 分． 设测试分数中位数为， 测试分数在频率：， 测试分数在频率：， 则，解得. 【小问3详解】 记分数在的人数为：（人）， 分数在的人数为：（人）， 因，则采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为，， 分数在有3人，编号为，，， 样本空间 ， 则，记事件“至少一人分数在”，则， 则. 19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． （1）设，，求复向量与的模； （2）已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； （3）当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值． 【答案】（1）10；； （2）①证明见解析，当且仅当等号成立；②证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）代入“复向量”和模的新定义，即可求解两个向量的模； （2）①首先设实向量，，再分别计算和，再结合公式，即可证明； ②首先设复向量，，根据复数的三角不等式，以及实系数向量不等式，即可证明； （3）根据等号成立的条件，再结合复数的三角不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以的模为10； 因为，所以， 可得的模为； 【小问2详解】 ①设实向量，， 则，，，而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，，所以， 由复数的三角不等式， ，由， 得，所以， 所以， 综上所知，． 【小问3详解】 ②中考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有，则， 又，则，解得， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$