第06讲 圆的方程（2知识点+8考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第06讲 圆的方程 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：8大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．会根据圆心与半径写圆的标准方程，根据圆的标准方程得圆心与半径。 2．会用待定系数法和几何法求圆的标准方程，会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系； 3．理解圆的一般方程及其特点，能进行圆的一般方程与标准方程的互化； 4．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题． 知识点1 圆的标准方程 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径． 2、基本要素：确定一个圆的基本要素是圆心和半径 3、圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、点与圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ （24-25高二上·天津·月考）已知圆，则其圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心的坐标为，半径为.故选：C. 知识点2 圆的一般方程 1、定义：当时，方程叫做圆的一般方程．其中为圆心，为半径． 2、一般方程与标准方程关系 由方程得 （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． （24-25高二下·广东深圳·月考）圆的半径为 . 【答案】 【解析】圆的标准方程为，则半径为. 考点一：圆的标准方程 例1．（24-25高二下·四川成都·期末）圆心为点，且过点的圆的标准方程是 ． 【答案】 【解析】因为，，所以圆半径， 所以圆的标准方程为. 【变式1-1】（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 【答案】 【解析】因圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆标准方程为：， 则，解得：， 所以圆C的标准方程为． 【变式1-2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点， 半径为， 所以圆的方程为.故选：B. 【变式1-3】（24-25高二下·河南濮阳·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心坐标为： 由题意可知圆的标准方程为：， 由圆过点， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为，故选：C 考点二：圆的一般方程 例2. （24-25高二上·重庆·月考）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得.故选：B. 【变式2-1】（24-25高三下·湖南长沙·月考）过三个点，，的圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设圆的一般方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 【变式2-2】（24-25高二上·北京房山·期中）已知点，，，在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 【答案】 【解析】设圆的方程为, 将点，，代入得，解得, 满足，则， 将代入也适合， 故所求圆的方程为. 【变式2-3】已知过点且斜率为2的直线交坐标轴于两点，若圆经过点，则半径为的圆的圆心坐标是 . 【答案】 【解析】由题意得直线方程为， 不妨取两点的坐标为. 设圆的方程为， 则, 故圆的圆心坐标为. 考点三：二元二次方程与圆 例3. （2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若方程表示圆，则，解得， 因此，实数的取值范围是.故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程可变形为， 由题知，得到，故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·河南周口·期末）已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若曲线表示圆， 则由圆的一般方程可知，，解得或.故选：B. 【变式3-3】（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若方程表示一个圆，则， 方程可化为， 所以，解得，且不等于0， 所以或.故选：D 考点四：点与圆的位置关系 例4. （24-25高二上·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程.故选：C 【变式4-1】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误.故选：A 【变式4-2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【解析】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以.故选：B 【变式4-3】（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，圆，则①， 由点在圆外，则有②， 联立①②得：或 所以实数m的取值范围为故选：C 考点五：圆过定点问题 例5.（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点．故选：D． 【变式5-1】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【答案】 【解析】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 【变式5-2】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【解析】，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 【变式5-3】（24-25高二下·河北张家口·月考）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【答案】和 【解析】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 考点六：圆关于点/直线对称 例6.（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 【变式6-1】（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得.故选：C 【变式6-2】（24-25高二上·广东惠州·月考）已知直线是圆的对称轴，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为，则， 注意到，则圆C的圆心， 由题意可知：直线过圆心， 则，解得.故选：B. 【变式6-3】（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则.故选：D 考点七：与圆有关的轨迹问题 例7.（24-25高二下·云南昭通·期末）已知，，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设点的坐标为，因为，，， 所以，化简得， 即. 【变式7-1】（24-25高二下·甘肃张掖·开学考试）已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设，因为线段的中点C的坐标是， 所以， 将代入中得， 化简得. 【变式7-2】（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设， M为线段的中点，， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：，即， 故动点M的轨迹方程为. 【变式7-3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（    ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【解析】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）.故选：B 考点八：与圆有关的最值问题 例8.（24-25高三下·陕西汉中·二模）设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为， 因为，所以的最大值为． 【变式8-1】（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36.故选：D 【变式8-2】（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】设点， 因为，所以， 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以点到直线的最大距离．故选：B． 【变式8-3】（24-25高二下·浙江·期中）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如下图所示： 点关于轴的对称点为，圆的圆心为，半径为， 由于为轴上的动点，由对称性知， 所以， 当且仅当、分别为线段与圆、轴的交点时，等号成立， 因此，的最小值为. 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以.故选：. 2．（24-25高二上·河南信阳·期末）圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 配方得，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得.故选：A 3．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）过，，三点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设所求圆的一般方程为， 代入A，B，C三点，得，解得， 所以圆的一般方程为，即.故选：B 4．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为， 圆可化为， 所以圆心为，圆心所在直线的斜率为， 所以两圆圆心所在直线的方程为.故选：C 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 作圆关于轴对称的圆，其圆心 因此， 当且仅当是线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.故选：C 二、多选题 6．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点下列结论正确的是（    ） A．AB的距离为 B．直线BC的一般式方程为 C．以BC为直径的圆方程为 D．外接圆的方程为 【答案】BCD 【解析】由题意知,AB的距离为，故A错误; 直线BC的方程为,即，故B正确； 以BC为直径的圆，圆心为，半径为, 所以圆的方程为, 即,故C正确; 设外接圆的方程为， 代入三点坐标得， ，解得, 所以外接圆的方程为,故D正确.故选：BCD. 7．（24-25高三下·辽宁葫芦岛·一模）已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（    ） A． B． C．14 D． 【答案】AC 【解析】因为圆的方程为，所以圆心为， 又因为点到直线的距离为， 所以，解得或.故选：. 8．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·月考）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C．过三点的圆过定点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由曲线Γ：， 令，得． 设， 则可得，且． 令，得，即． 设过的圆P的方程为， 满足 代入P得 展开得， 当，即或时方程恒成立， ∴圆P恒过定点或．故选：AD 三、填空题 9．（23-24高二上·云南昭通·期中）已知圆与圆：关于轴对称，则圆的方程为 ． 【答案】 【解析】圆：，化成标准方程为， 则圆心，半径， 因为圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，两圆半径相等， 则圆心，半径， 所以，圆的方程为． 10．（24-25高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】圆的标准方程为， 又点是圆外的一点， 所以，解得，即的取值范围是． 11．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设的重心的坐标是，点的坐标是. 已知点，的坐标分别是，， 则的重心的坐标满足，. 因此有，①. 因为点在圆上运动， 所以点的坐标满足方程， 即满足方程②. 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为. 四、解答题 12．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据题意，可得，所以AB的垂直平分线的斜率， 结合AB的中点为，可得AB的垂直平分线方程为，即； （2）设的外接圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以的外接圆的方程为 13．（24-25高二下·湖北·月考）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在，；(2)过定点或 【解析】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆的方程 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：8大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．会根据圆心与半径写圆的标准方程，根据圆的标准方程得圆心与半径。 2．会用待定系数法和几何法求圆的标准方程，会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系； 3．理解圆的一般方程及其特点，能进行圆的一般方程与标准方程的互化； 4．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题． 知识点1 圆的标准方程 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 如图，在平面直角坐标系中，⊙的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，⊙就是集合．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径． 2、基本要素：确定一个圆的基本要素是圆心和半径 3、圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、点与圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ （24-25高二上·天津·月考）已知圆，则其圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 知识点2 圆的一般方程 1、定义：当时，方程叫做圆的一般方程．其中为圆心，为半径． 2、一般方程与标准方程关系 由方程得 （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． （24-25高二下·广东深圳·月考）圆的半径为 . 考点一：圆的标准方程 例1．（24-25高二下·四川成都·期末）圆心为点，且过点的圆的标准方程是 ． 【变式1-1】（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 【变式1-2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二下·河南濮阳·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点二：圆的一般方程 例2. （24-25高二上·重庆·月考）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高三下·湖南长沙·月考）过三个点，，的圆的方程为 ． 【变式2-2】（24-25高二上·北京房山·期中）已知点，，，在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 【变式2-3】已知过点且斜率为2的直线交坐标轴于两点，若圆经过点，则半径为的圆的圆心坐标是 . 考点三：二元二次方程与圆 例3. （2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·河南周口·期末）已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点四：点与圆的位置关系 例4. （24-25高二上·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 【变式4-3】（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五：圆过定点问题 例5.（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【变式5-2】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【变式5-3】（24-25高二下·河北张家口·月考）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 考点六：圆关于点/直线对称 例6.（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【变式6-1】（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式6-2】（24-25高二上·广东惠州·月考）已知直线是圆的对称轴，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式6-3】（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 考点七：与圆有关的轨迹问题 例7.（24-25高二下·云南昭通·期末）已知，，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为 . 【变式7-1】（24-25高二下·甘肃张掖·开学考试）已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是 ． 【变式7-2】（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 【变式7-3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（    ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 考点八：与圆有关的最值问题 例8.（24-25高三下·陕西汉中·二模）设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【变式8-1】（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．25 D．36 【变式8-2】（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二下·浙江·期中）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南信阳·期末）圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）过，，三点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（    ） A．或 B． C． D． 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点下列结论正确的是（    ） A．AB的距离为 B．直线BC的一般式方程为 C．以BC为直径的圆方程为 D．外接圆的方程为 7．（24-25高三下·辽宁葫芦岛·一模）已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（    ） A． B． C．14 D． 8．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·月考）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C．过三点的圆过定点坐标是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高二上·云南昭通·期中）已知圆与圆：关于轴对称，则圆的方程为 ． 10．（24-25高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是 ． 11．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为 . 四、解答题 12．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 13．（24-25高二下·湖北·月考）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$