1.2 一定是直角三角形吗（题型专练）数学北师大版2024八年级上册

1.2 一定是直角三角形吗（勾股定理逆向运用） 题型一 勾股数的判断与直角三角形的判断 1．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（    ） A．3，4，5 B．0.6，0.8，1 C．9，12，16 D．5，12，13 2．（2025·山东淄博·二模）下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 3．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 （填“合格”或“不合格”）． 4．（22-23八年级上·宁夏中卫·期中）在中，若，则 度． 5．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知三角形三边长分别是8，15和17，则三角形的面积是 ． 6．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是 三角形． 题型二 勾股数与整式化简 7．已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值． 题型三 证明直角三角形 8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方．那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．若连续的两个整数为、，请证明结论． 9．（2025·河北唐山·三模）已知：整式，且整式．、、的值均为正数，则以整式、、为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 题型四 在网格中判断直角三角形 10．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．    12．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在网格的格点上．为中边上的高线． (1)求证：； (2)求的长． 题型五 与勾股数有关的简单规律探究 13．（24-25八年级上·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 14．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 题型六 勾股定理逆向运用与三角形的面积 15．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 16．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积．    17．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 题型一 勾股定理与解三角形 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，是的高． (1)若，则的长为_______，的长为_______； (2)若，且，求证：是直角三角形． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求2； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 题型二 新定义问题 3．（2024八年级上·全国·专题练习）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． (1)已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 题型三 与勾股数有关的规律探究问题（含分类讨论思想） 4．（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 6．（23-24八年级下·福建厦门·期中）将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题： 3 8 15 24 35 48 … 4 6 8 10 12 14 … 5 10 17 26 37 50 … (1)当时，直接写出的值； (2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由； (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点Q有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【知识回顾】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 4．数学探究课上李老师出这样一道题：“等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军一起讨论时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断． (1)在图中画出绕点A顺时针旋转后的(尺规作图)； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)试判断的形状，并说明理由； (4)由（2）（3）两问可知，_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 一定是直角三角形吗（勾股定理逆向运用） 题型一 勾股数的判断与直角三角形的判断 1．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（    ） A．3，4，5 B．0.6，0.8，1 C．9，12，16 D．5，12，13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边满足“较小两边的平方和等于最大边的平方”，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，符合勾股定理，能构成直角三角形，不合题意； B．，符合勾股定理，能构成直角三角形，不合题意； C．，不符合勾股定理，不能构成直角三角形，符合题意； D．，符合勾股定理，能构成直角三角形，不合题意； 故选C． 2．（2025·山东淄博·二模）下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：， 可构成直角三角形，且斜边为5，故选项B不符合题意； ∵，且， ∴可构成钝角三角形，故选项C符合题意； ∵，故选项D不能构成三角形，不符合题意； ∵，故选项A不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理计算即可判断画框的两边是否垂直，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴画框的两边垂直， 故答案为：合格． 4．（22-23八年级上·宁夏中卫·期中）在中，若，则 度． 【答案】90 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形是解题关键．由题意可知，即可求解． 【详解】解：在中，， 是直角三角形，且是斜边， ， ， 故答案为：90． 5．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知三角形三边长分别是8，15和17，则三角形的面积是 ． 【答案】60 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是8、15、17， ， ∴这个三角形为直角三角形， ∴这个三角形的面积是． 故答案为：60． 6．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据圆的面积公式，结合题意求出是解题关键．分别求出，再结合，即可得出，说明是直角三角形． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 题型二 勾股数与整式化简 7．已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值． 【答案】m＝1 【难度】0.65 【分析】根据勾股数定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数可得：(3m+2)2+ ( 4m+8) 2= ( 5m+8) 2，再解方程即可． 【详解】解： m＞0， 3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数， （3m+2）2+（4m+8）2＝（5m+8）2， 解得：m＝1． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数定义． 题型三 证明直角三角形 8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方．那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．若连续的两个整数为、，请证明结论． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理， 如果一个三角形的三条边、、满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行验证即可． 【详解】解：连续的两个整数为、， ， ， ， 以，，为边长的三角形是直角三角形． 9．（2025·河北唐山·三模）已知：整式，且整式．、、的值均为正数，则以整式、、为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 【答案】直角三角形，理由见解析 【难度】0.85 【分析】本题主要查求代数式的值，勾股定理的逆定理：根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：以整式、、为边长的三角形是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 题型四 在网格中判断直角三角形 10．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．    【答案】/45度 【难度】0.65 【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：连接，    根据勾股定理可以得到：，， ∵，即， ∴是等腰直角三角形． ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在网格的格点上．为中边上的高线． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，，继而得到，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可得到结论； （2）由（1）得，利用三角形面积公式求出． 【详解】（1）证明：由勾股定理可得，， ， 是直角三角形， ． （2）解：由（1）得， ，， ， ， ． 题型五 与勾股数有关的简单规律探究 13．（24-25八年级上·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 【答案】 60，61 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了勾股数， 对于（1），通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果； 对于（2），根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1． 【详解】解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是； 故答案为：60，61； （2）6，8，10，可以写成； 8，15，17，可以写成， 根据规律，可知这些勾股数的股为：． 故答案为：． 14．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足的三个正整数称为勾股数；根据题意得为偶数，设其股是，则玄为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵m为正整数， ∴为偶数， 设其股是a，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得：， 故答案为：． 题型六 勾股定理逆向运用与三角形的面积 15．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 16．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积．    【答案】这块地的面积是216平方米 【难度】0.65 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的判定是直角三角形是解题的关键． 连接，根据直角可以求得斜边的长度，根据，，可以判定为直角三角形，要求这块地的面积，求与的面积之差即可． 【详解】解：连结，如图所示：   ，由勾股定理得：， 又， 是直角三角形； 这块地的面积， 即这块地的面积是216平方米． 17．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，连接，由勾股定理可得，再证明得到，再由，列式计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， 为直角三角形， ，， ∴根据勾股定理得：， 又，， ，， ． 为直角三角形， ， ∴． 题型一 勾股定理与解三角形 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，是的高． (1)若，则的长为_______，的长为_______； (2)若，且，求证：是直角三角形． 【答案】(1)15；20 (2)见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理可求得，在中，根据勾股定理可求得； （2）先利用勾股定理证明，，从而证得，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形． 【详解】（1）解： ， 是直角三角形， 在中，，，， ， 又， 是直角三角形， 在中， ，，， ； 故答案为：15；20． （2）证明：是的高， ． ∴在中，， 即． 同理，． ∵， ， 是直角三角形． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求2； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①设，则， ∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值）， ∴． ②根据勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 题型二 新定义问题 3．（2024八年级上·全国·专题练习）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． (1)已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】(1)是，见解析； (2)或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，不能漏解． （1）根据勾股定理逆定理，即可判断点、是线段的勾股分割点； （2）设，则，分两种情形：当为最长线段时，；当为最长线段时，；分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：是，理由： ，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点； （2）解：设，则， 当为最长线段时，依题意， 即， 解得； 当为最长线段时，依题意得， 即， 解得， 综上所述，或． 题型三 与勾股数有关的规律探究问题（含分类讨论思想） 4．（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可． 【详解】解：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…， …．．， 以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方， 设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【答案】（19，180，181） 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 6．（23-24八年级下·福建厦门·期中）将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题： 3 8 15 24 35 48 … 4 6 8 10 12 14 … 5 10 17 26 37 50 … (1)当时，直接写出的值； (2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由； (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例． 【答案】(1) (2)不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由见解析 (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股数问题，勾股定理的逆定理，正确理解题意是解题的关键。 （1）观察表格可知，（，且为整数），据此根据b的值求出m的值，进而求出a的值即可； （2）分别令的值等于71，看m是否有大于等于2的正整数解即可； （3）根据可知若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形，据此可得结论． 【详解】（1）解：观察表格可知，（，且为整数）， ∴当时，则， ∴， ∴； （2）解：不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由如下： 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意； 综上所述，不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71； （3）解：以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下： 对于一组数：，，（，且为整数）．       ∵ ∴若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形． ∵当，且为整数时，表示任意一个大于2的偶数，，均为正整数， ∴以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点Q有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由网格可得： ， ， ∵线段a，b，恰好能作为直角三角形三边， 当作为斜边时，， ∴， ∵， ∴取格点，，则点，即为所求的点，如图： 当作为斜边时，， 网格中，找不到一个格点，使得， 综上，符合条件的点只有个， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【知识回顾】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）13；（3） 【难度】0.65 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案； （3）设的长为，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 【答案】(1)60；61； (2)63；65； (3)或 【难度】0.65 【分析】本题考查了勾股数，数字的变化类-规律型． （1）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （2）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （3）利用表1与表2的规律分别计算验证即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当a为大于1的奇数，b、c的数量关系，b、c与之间的关系是：， ∴当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：60，61，； （2）解：根据表格中的数据可知：当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是， b、c与之间的关系是， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：63，65，； （3）解：由题意得， 如果满足表1的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 如果满足表2的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 综上所述，这组勾股数可能为或． 4．数学探究课上李老师出这样一道题：“等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军一起讨论时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断． (1)在图中画出绕点A顺时针旋转后的(尺规作图)； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)试判断的形状，并说明理由； (4)由（2）（3）两问可知，_________． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形；理由见解析 (3)为直角三角形，理由见解析 (4) 【分析】（1）以点为圆心为半径作弧，再以点为圆心长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则即为所作； （2）连接，由旋转的性质可得，则是等边三角形； （3）由勾股定理的逆定理即可得到为直角三角形； （4）由（2）（3）可得，，再根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：是等边三角形；理由如下： 如图，连接，由旋转的性质可得， 则是等边三角形； （3）解：为直角三角形，理由如下： 由（2）得是等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得， ， ∴为直角三角形； （4）解：由（2）可得是等边三角形， ， 由（3）可得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定与性质，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $