第10章 数的开方（高效培优单元测试·强化卷）数学华东师大版2024八年级上册

第10章 数的开方（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个实数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C．0.7 D． 2．9的算术平方根是（    ） A．3 B． C． D． 3．下列实数中，在数轴上表示这个数的点到原点的距离最小是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法不正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是 5．下列计算中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 7．已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 8．如图，是嘉淇同学做的练习题，他最后的得分是（   ） 姓名嘉淇得分？填空题（评分标准；每道题5分） （1）1的平方根为：； （2）的相反数为：； （3）2是一个数的立方根，则这个数是：8； （4）请写出一个无理数：． A．5分 B．10分 C．15分 D．20分 9．已知实数x，y满足，则的立方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 10．已知，则a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．0或 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 12．比较大小： 3（填“”“”或“”）． 13．实数与互为相反数，则a的算术平方根为 ． 14．若 (是整数)，则 ． 15．如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（8分）计算：． 17．（8分）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 18．（8分）已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求，的值； (2)的算术平方根是16，求的平方根． 19．（8分）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求和的值； (2)求的平方根． 20．（10分）我们知道，是一个无理数，无理数是无限不循环小数，若将这个数减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是，请回答以下问题： (1)已知为的整数部分，是的小数部分，则___________，___________． (2)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 21．（10分）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 22．（11分）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________；边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：4．请通过计算说明是否可行． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴于点F． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)求点F的坐标； (3)点P为x轴上一点，若三角形的面积和三角形的面积相等，求出点P的坐标． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 数的开方（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个实数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C．0.7 D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一分析选项即可。 【详解】解：A.π是无限不循环小数，属于无理数。 B.0是整数，属于有理数。 C.0.7是有限小数，属于有理数。 D. 是分数，属于有理数。 故选：A． 2．9的算术平方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的概念：一个正数的算术平方根是它的正平方根，根据算术平方根的求法直接求解即可得到答案，明确算术平方根的非负性是解决问题的关键． 【详解】解：， 9的算术平方根是， 故选：A． 3．下列实数中，在数轴上表示这个数的点到原点的距离最小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义以及实数的大小比较，先根据绝对值的意义求出各自的绝对值，然后比较大小即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ∵ ∴到原点的距离最小， 故选∶C． 4．下列说法不正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，解决本题的关键是根据立方根、平方根、算术平方根的定义进行判断． 【详解】解：A、，是的立方根，故A选项正确； B、，是的立方根，故B选项正确； C、，的平方根是，故C选项正确； D、算术平方根是一个正数的正的平方根，的算术平方根是，故D选项错误． 故选：D． 5．下列计算中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，平方根，根据平方根，算术平方根和立方根的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】A． 表示81的算术平方根，结果为非负数，即，而是平方根的两个值，应写作，因此A错误． B． 表示49的平方根，即，计算正确． C． 中，，负号保留，结果为，计算正确． D． 中，，负号保留，结果为，计算正确． 故选：A 6．如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 7．已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开平方的数的小数点每向左移动两位，那么被开平方的结果的小数点向左移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 8．如图，是嘉淇同学做的练习题，他最后的得分是（   ） 姓名嘉淇得分？填空题（评分标准；每道题5分） （1）1的平方根为：； （2）的相反数为：； （3）2是一个数的立方根，则这个数是：8； （4）请写出一个无理数：． A．5分 B．10分 C．15分 D．20分 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根，根据立方根求原数，实数的性质，无理数的定义，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，无理数是无限不循环小数，据此求解即可． 【详解】解：（1）1的平方根为：和1，原题错误，不得分； （2）的相反数为，原题错误，不得分； （3）2是一个数的立方根，则这个数是8，原题正确，得5分； （4）是无理数，原题正确，得5分． ∴嘉淇一共得10分， 故选：B． 9．已知实数x，y满足，则的立方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根的非负性，立方根的计算，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据绝对值，算术平方根的非负性得到的值，再求立方根即可求解． 【详解】解：实数x，y满足， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故选：B ． 10．已知，则a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的综合应用，根据已知条件推导出一个数的立方根是它本身这个条件是解题的关键． 根据已知推导出一个非负数的立方根是它本身这个条件，进而得出这样的数有两个，求解即可． 【详解】解：∵，即一个非负数的立方根是它本身， ∴这样的数有两个， ， ， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根和立方根，根据平方根的定义和立方根的定义，进行求解即可，注意先化简，再进行开方运算． 【详解】解：的平方根是；4的平方根是；的立方根是； 故答案为：，， 12．比较大小： 3（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，属于基础题，细心计算是解答本题的关键．被开方数越大，则这个实数越大，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 13．实数与互为相反数，则a的算术平方根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相反数，立方根，算术平方根，掌握如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根是解题关键．先求出的立方根，再求出它的相反数，然后根据算术平方根的定义，即可求出答案． 【详解】解：，实数与互为相反数， ∴， ， ∴a的算术平方根为； 故答案为：2． 14．若 (是整数)，则 ． 【答案】9 【分析】利用“夹逼法”估算出的范围即可进行判断． 【详解】解：∵，即，∵k为整数，∴k=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了无理数的估算，属于基本题型，熟练掌握“夹逼法”估算的方法是解题关键． 15．如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴和实数，首先求出正方形的对角线的长为，然后根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵在数轴上以单位长度为边长画一个正方形， ∴对角线的长为， ∴以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（8分）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 【详解】解：原式 ． 17．（8分）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根，立方根解方程，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）移项，运用平方根计算即可； （2）运用立方根计算即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∵， ∴； （2）解：， ∵， ∴， 解得，． 18．（8分）已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求，的值； (2)的算术平方根是16，求的平方根． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题考查了平方根，算术平方根的概念． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得的值，进而求得的值； （2）利用算术平方根的定义求得，再代入数据求得的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，解得． ． ； （2）解：的算术平方根是16， ，解得． ． 的平方根为． 19．（8分）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求和的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根的定义，代数式求值，熟练掌握相关定理为解题关键． （1）根据题意可以求知，，进而求出m，n的值； （2）将m，n的值带入求值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，． ∴，； （2）∵，， ∴． ∴的平方根是． 20．（10分）我们知道，是一个无理数，无理数是无限不循环小数，若将这个数减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是，请回答以下问题： (1)已知为的整数部分，是的小数部分，则___________，___________． (2)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)3； (2)4 【分析】本题考查了无理数的大小的估算和算术平方根，根据平方根的意义正确确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键． （1）根据，即可求出的值； （2）先求出的整数部分和分数部分，再求出x和y的值，把x和y值代入中，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，为的整数部分，是的小数部分， ∴，， 故答案为：3，． （2）解：，即， 的整数部分是2，小数部分是， ， ， 是整数，且， ，， ， 的算术平方根为4， 的算术平方根为4． 21．（10分）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义下的实数运算，算术平方根与平方根，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解； （2）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ∴的平方根为 22．（11分）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________；边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：4．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2，；（2）1，13，；（3）不可行，理由见详解 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；边长为； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴于点F． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)求点F的坐标； (3)点P为x轴上一点，若三角形的面积和三角形的面积相等，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查非负数的性质、坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解答的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性求得a、b值即可求解； （2）连接，设，由，结合坐标与图形性质列方程求解即可； （3）先求得，设，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：； （2）解：如图，连接，设， ∵，，且， ， 解得， ∴点F的坐标为； （3）解：∵， ∴． 当点P在x轴上时，设， 则， 解得或， ∴此时点P的坐标为或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$