第一章 集合与逻辑（高效培优单元测试·强化卷）数学湘教版2019必修第一册

第一章：集合与逻辑（高效培优单元测试·强化卷） （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x－a≥0.若¬p是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．(－∞，1) B．(3，＋∞) C．(－∞，3] D．[3，＋∞) 3．某药品检测机构定义集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 6．已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 7．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列有关命题的叙述：其中正确的是（   ） A．若为假命题，则为真命题 B．空集是任何集合的真子集 C．命题：，则 D．命题：“”是“”的充要条件 10．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 11．已知非空集合，，定义且，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 13．已知集合，若，则实数的取值范围是 . 14.已知，，，，.若且，，中各元素的和为256，则 ，集合 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 16． （15分） 已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 17． （15分） 已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 18．（17分） 已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． (1)若集合，直接写出所有满足条件的集合； (2)已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 18． （17分） 已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章：集合与逻辑（高效培优单元测试·强化卷） （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 2．已知命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x－a≥0.若¬p是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．(－∞，1) B．(3，＋∞) C．(－∞，3] D．[3，＋∞) 【答案】D 【详解】因为p：∃x∈{x|1<x<3}，x－a≥0，则有¬p：∀x∈{x|1<x<3}，x－a<0.又¬p是真命题，即x∈{x|1<x<3}，a>x恒成立，于是得a≥3，所以实数a的取值范围是a≥3. 3．某药品检测机构定义集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式可得，即可写出，由题意知且，即可根据集合之间的关系求得m. 【详解】由，即，故． “”是“”的必要不充分条件且． 由且，结合，得分区讨论： 若，则（如时）； 若，则，但B可能等于（不满足真子集）； 故时，成立． 边界验证：当时，，符合要求． 故选：C 4．已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分析集合的子集的并集是的真子集，则这个集合中所含元素的个数确定的最大值. 【详解】集合的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集， 那么这个集合中至多含有3个元素，比如1、2、3. 那么这个集合可能是：，，，，，，. 故的最大值为7. 故选：C 5．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 6．已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 7．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“间距置换”的定义，讨论的大小关系，并结合，求得，即可求解. 【详解】由题可知，，． 若x介于y，z之间，则． 由题可知，，所以，矛盾，舍去． 又因为，所以，结合，可得或． 若，由题可知，，， 上述三个式子相加可得，所以，，即，则，可得； 若，同理可得. 故选：A． 8．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解. 【详解】设， 则，即， 所以, 若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 所以,即， 因为， 且满足， 所以包含了的个元素外， 还包含个属于而不属于的元素， 当时，则, 如，符合题意. 当时，则, 如，符合题意. 所以的最大值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的关键由已知条件求，再分和讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列有关命题的叙述：其中正确的是（   ） A．若为假命题，则为真命题 B．空集是任何集合的真子集 C．命题：，则 D．命题：“”是“”的充要条件 【答案】AC 【分析】由命题及其否定真假相反可判断A，由空集的概念可判断B，由特称命题的否定为全称命题可判断C，通过可得判断D; 【详解】对于A，由命题及其否定一定一真一件可知，故正确； 对于B：空集不是空集的真子集，故错误； 对于C：，则，故正确； 对于D，若，时，则不成立，故错误； 故选：AC 10．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 11．已知非空集合，，定义且，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时 D．当时， 【答案】BCD 【分析】根据集合的新定义及集合交并补运算判断各选项． 【详解】选项A，由且，得，A错； 选项B，设，则且，因此且或者且， 即或，则，因此， 反之，若，则或，即且或者且， 于是且，因此， 所以，B正确； 选项C，，则， 所以当时，，又，， 所以对任意的，则或，从而，所以，C正确； 选项D，若，则对任意，有或， 又，所以或，所以，所以，同理， 所以， 所以，从而，D正确， 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题方法是正确理解新定义，把两个新定义运算与集合交集运算与并集运算进行联系，把新运算转化为元素与集合的关系，从而达到解题目的． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 13．已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 14.已知，，，，.若且，，中各元素的和为256，则 ，集合 . 【答案】 1 或 【分析】先由条件，且五个自然数的大小关系，得出，求出的值，再由，求出的值，进而确定出或，再分两种情况考虑即可. 【详解】由，且， 得到只可能，即或0，当时，，而，则，故舍去， 则，又， ，且， 或， ①若时，，不合题意； ②若时，此时，， 因，从而， 又，则，当时，无整数解， 当时，， 所以 综上，. 故答案为：1；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分析出，从而得到，继而有或，最后分类讨论即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据且列不等式组求解； （2）由求解． 【详解】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得;................................................6分 （2）； 由为真，则， .................................................13分 16． （15分） 已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【详解】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围；................................................7分 （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围................................................15分 17． （15分） 已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】解：（1）由于，所以解得．................................................7分 （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是．................................................15分 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是．................................................15分 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是．................................................15分 18．（17分） 已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． (1)若集合，直接写出所有满足条件的集合； (2)已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 【答案】(1)，，，； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）由条件证明，设设，由条件列方程求，由此可得结论； （2）（ⅰ）由条件先证明，再证明， （ⅱ）先证明中至少有两个正整数，设正整数，由此证明，同理证明出大于等于的正整数属于，结合（ⅰ）证明小于的正整数属于，由此完成证明. 【详解】（1）因为，又，且，总有， 所以，即， 设，由，且，总有， 可得， 所以或或， 但， 所以满足条件的集合有，，，；...............................................5分 （2）（ⅰ）又，，，， 由①知，，， 由②知，，...............................................9分 （ⅱ）因为中至少有个元素，， 不妨设，其中，互不相等的整数， 则，且， 所以中至少存在两个正整数， 不妨设，，，又， 由①知，，，， 由②知，，， 故由，，，，可推出， 同理由可推出，， 由，可推出， ， 所以对于大于等于的正整数，都属于， 因为， 由（ⅰ），，，， 所以任意的正整数都属于， 所以.................................................17分 【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 19.（17分） 已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 【答案】(1)不具有性质 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据给定的定义条件，进行判断； （2）由性质P确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”. （3）分别证明充分性和必要性. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取，或或， 均有，不满足条件②， 所以不具有性质；................................................3分 （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令， 解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”；................................................9分 （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质.................................................17分 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： （1）通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$