专题08 计数原理与概率统计（辽宁专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题08 计数原理与概率统计 题型概览 题型01统计 题型02回归分析与独立性检验 题型03计数原理 题型04概率 题型05 随机变量及其分布 ( 题型01 ) 统计 1．（2025·辽宁沈阳·二模）为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为（   ） A．0.02 B．0.2 C．0.04 D．0.4 【答案】A 【分析】根据频率分布直方图性质求解, 【详解】由题意成绩在区间内学生的频率为，因此， 故选：A 2．（东北三省四市教研联合体2025届高三下学期高考模拟考试（一）数学试卷）为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为（    ） A．0.02 B．0.2 C．0.04 D．0.4 【答案】A 【分析】用频数除以总数求出频率，频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度等于该组频率/组距. 【详解】由题意成绩在区间内学生的频率为，因此频率/组距。即高为0.02， 故选：A 3．（2025·辽宁·二模）某同学测得连续天的最低气温（均为整数）分别为，，，，，，（单位：），若这组数据的平均数与中位数相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平均数，对的取值进行分类讨论，求出这组数据的中位数，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】这组数据的平均数为， 除外，将剩余的个数据由小到大排列依次为，，，，，， 若，则这组数据的中位数为， 若，同理可知，这组数据的中位数也为， 因为这组数据的中位数和平均数相等，故，解得. 故选：B. 4．（2025·辽宁·二模）（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于1 B．一组数据删除一个数后，得到一组新数据：12，14，15，17，19，19，20，21.若这两组数据的中位数相等，则删除的数是18 C．已知随机变量服从正态分布，若，则 D．若一组样本数据的平均数是3，方差是2，则8可能在这组数据中 【答案】AB 【分析】据相关系数的含义可判断A；据中位数的含义及判断方法可判断B；正正态分布的概率求解可判断C；由方差的含义判断D. 【详解】A选项：两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于1，相关系数的绝对值越接近于0，相关性越弱，A选项正确； B选项：12，14，15，17，19，19，20，21，这组数据共有8个，且已按照从小到大顺序排序，中位数为第4个和第5个数的平均数，即中位数为18，由题意，原数据有9个，中位数恰为这9个数据从小到大排序后得第5个数，且该数为18，B选项正确； C选项：，则，且，则，C选项错误； D选项：由方差的含义，可知， 则， 设8是这组数据中的数，则，即该组数据中其余9组的平方和为负数，不可能，8不在数据中，D选项错误. 故选：. ( 题型0 2 ) 回归分析与独立性检验 1．（2025·辽宁辽阳·二模）已知变量和的统计数据如下表： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 若和线性相关，则关于的回归直线方程为（    ） （附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用回归直线方程系数的计算公式，直接求出，即可求解. 【详解】由题意得, 因为， 所以，， 故回归直线方程为, 故选：D. 2．（2025·辽宁锦州·二模）5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了1至5月份5G手机的实际销量，如下表所示： 月份x 1月 2月 3月 4月 5月 销售量y（千只） 0.5 0.6 1.0 1.4 1.7 若y与x线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．由题中数据可知， B．由题中数据可知，6月份该商城5G手机的实际销量为2（千只） C．由题中数据可知，变量x和y正相关，且相关系数一定小于1 D．若不考虑本题中的数据，回归直线可能不过，，…，中任一个点 【答案】B 【分析】根据题意，由回归直线方程的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，由表格可知，，， 则，故A正确； 对于B，将代入，可得， 所以6月份该商城5G手机的实际销量预测为2（千只），故B错误； 对于C，因为回归方程为，所以变量x和y正相关， 且样本点不全在回归方程上，所以相关系数一定小于1，故C正确； 对于D，回归直线可能不过样本点中的任何一个点，故D正确； 故选：B 3．（2025·辽宁·二模）某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格： 分数 锻炼 合计 坚持锻炼 不坚持锻炼 分数 100 80 180 分数<600 50 70 120 合计 150 150 300 依据小概率值的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（   ） 附：，． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05 【答案】D 【分析】先求出的值，结合独立性检验的结论求解即可. 【详解】由题意，， 结合表格数据及选项，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关， 则m的值可能是0.05. 故选：D. 4．（东北三省四市教研联合体2025届高三下学期高考模拟考试（一）数学试卷）某网店发现其某款商品的日销售量与该店在购物平台的日访问量呈线性相关关系，为了吸引更多的顾客购买该商品，在上推出了和两款互动游戏，顾客在参与游戏后，有机会获得优惠券.下图是该商品的日销售量（单位：千件）与日访问量（单位：万人次）的散点图：    (1)求出关于的回归方程，并预测日访问量12万人次时日销售多少千件商品； (2)款游戏为通关游戏，游戏规则为：顾客每次挑战都有的概率成功通关，一旦成功，则游戏立即结束并获得优惠券，如果挑战失败，可继续挑战；每位顾客共有次挑战机会，第无论成功与否都结束游戏.设为游戏结束时，进行挑战的次数，的数学期望为，证明：； (3)款游戏为抽球游戏，游戏规则为：有个小球，编号为，参与者从中随机抽取个小球，记录编号后放回，再重新随机抽取个小球，记被重复抽取的小球数为，并向参与者发放张优惠卷，求使取得最大值时的值. 参考数据：. 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 【答案】(1)，千件 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由题意求得，利用最小二乘法求得，进而可求得回归方程，令，可求得预测值； （2）可取值为，求得分布列，进而可得，利用错位相减法可求得； （3）分，，整数满足，其中是0和中的较大者，进而分别求得，进而通过作差法比较数的大小可求得结论. 【详解】（1）由题意可知，所以， . 所以回归方程， 当时，， 所以日访问量12万人时销售千件商品； （2）可取值为， 当时，， ， 所以的分布列为 1 2 3 故①. 因为② 由①-②得 ，所以； （3）当时，只能取，故只能取，有； 当时，整数满足，其中是0和中的较大者. 两次抽球包含的基本事件总数为， 事件“”所包含的基本事件数为， 此时， 当时， ， 因为，所以， 当时，显然， 当时，， 所以， 当时，取得最大值的整数或， 当时，取得最大值的整数， 其中为不超过的最大整数. 5．（2025·辽宁·二模）在哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，面试满分为100分，现随机抽取了120名候选人的面试成绩分为五组，第一组[45，55），第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三组的频率成等差数列，第一组的频率等于第五组的频率． (1)求a，b的值，并估计这120名候选人成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）； (2)已知120名候选人中，男、女生各60人，男生想去冰上赛区的有35人，女生想去冰上赛区的有20人，请补全下面列联表．请问是否有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关？（结果精确到0.001） 志愿者 性别 合计 男生 女生 想去冰上赛区 35 20 不想去冰上赛区 合计 60 60 附： 0.050 0.010 0.001 3.941 6.635 10.828 (3)滑冰项目的场地服务需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通过选拔入围，现随机从6名同学中抽取4人服务该场地，记男生被抽中的人数为，求的分布列及期望． 【答案】(1)，平均值为：，中位数为： (2)列联表见解析，有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关 (3)分布列见解析， 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组，能求出a，b，进而能估计这120名候选人成绩的平均数和中位数； （2）补全列联表，求出，从而有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关； （3）男生被抽中的人数可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此求出的分布列及期望． 【详解】（1）由题意：. 又. 解得， 估计这120名候选人成绩的平均数为：， 设中位数为：， 解得中位数. （2） 志愿者 性别 合计 男生 女生 想去冰上赛区 35 20 55 不想去冰上赛区 25 40 65 合计 60 60 120 所以有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关 （3）男生被抽中的人数可能取值为2，3，4. . 的分布列为： 2 3 4 . 6．（2025·辽宁沈阳·二模）某网店发现其某款商品的日销售量与该店在购物平台APP的日访问量呈线性相关关系，为了吸引更多的顾客购买该商品，在APP上推出了A和B两款互动游戏，顾客在参与游戏后，有机会获得优惠券．下图是该商品日销售量y（单位：千件）与日访问量x（单位：万人次）的散点图：    (1)求出y关于x的回归方程，并预测日访问量12万人次时日销售多少千件商品； (2)A款游戏为通关游戏，游戏规则为：顾客每次挑战都有的概率成功通关，一旦成功，则游戏立即结束并获得优惠券，如果挑战失败，可继续挑战；每位顾客共有n次挑战机会，第n次无论成功与否都结束游戏．设X为游戏结束时，进行挑战的次数，X的数学期望为，证明：； (3)B款游戏为抽球游戏，游戏规则为：有个小球，编号为，参与者从中随机抽取个小球，记录编号后放回，再重新随机抽取个小球，记被重复抽取的小球数为，并向参与者发放张优惠卷，求使取得最大值时的m值． 参考数据：，． 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1)，千件 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据最小二乘法可求线性回归方程，从而可求预测值； （2）先求出的分布列，再利用错位相减法求出期望后可得不等式成立； （3）就和分类讨论，对于后者，结合超几何分布可得，利用不等式组可得取何值时概率最大. 【详解】（1）由题意可得：，， ，， 所以回归方程，时，， 所以日访问量12万人时销售千件商品； （2）X可取值为， ，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 … n P … 故① 因为② 由①②得 ， 所以； （3）当时，Y只能取n，故m只能取n，有； 当时，整数m满足，其中t是0和中的较大者． 两次抽球包含的基本事件总数为， 事件“”所包含的基本事件数为， 此时， 当时，令， 整理得到：， 解得， 因为，所以， 当时，显然， 当时，， 所以， 故当时，取得最大值的整数或， 当时，取得最大值的整数， 其中为不超过的最大整数． ( 题型0 3 ) 计数原理 1．（2025·辽宁·二模）第五批实施新高考的8个省份将于2025年迎来新高考，新高考模式下语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．96种 【答案】B 【分析】根据题意，结合分步计数原理解决即可. 【详解】先确定相同的科目，有4种情况， 再从剩下的3个科目中，甲、乙各选一个不同的科目，有种情况， 则他们四选二科目的选科方式共有种. 故选：B. 2．（2025·辽宁沈阳·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 【答案】D 【分析】利用的通项可得答案. 【详解】， 的通项为， 所以的系数是. 故选：D． 3．（2025·辽宁鞍山·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由二项式定理展开式的通项求解即可. 【详解】展开式的通项为， 令， 所以的系数是. 故选：D 4．（2025·辽宁·二模）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．数据，，，，，，，的上四分位数是 B．设样本数据，，，的方差为，则，，，的标准差为 C．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是奇数”，事件“骰子向上的点数是或”，则事件与事件是相互独立事件 D．在二项式的展开式中，若只有第项的二项式系数最大，则各项系数和是 【答案】AC 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用方差的性质可判断B选项；利用事件独立性的定义可判断C选项；利用二项式系数的性质和各项系数和可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 所以，数据，，，，，，，的上四分位数是，A对； 对于B选项，设样本数据，，，的方差为， 则，，，的方差为，其标准差为，B错； 对于C选项，由题意可知，，， 事件“骰子向上的点数是”，则， 因此，事件与事件是相互独立事件，C对； 对于D选项，在二项式的展开式中，若只有第项的二项式系数最大， 则，可得， 因此，展开式各项系数和为，D错. 故选：AC. 5．（2025·辽宁·二模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】写出二项式的展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 因为， 在的展开式通项中，令， 在的展开式通项， 令，可得， 因此，展开式中的的系数为. 故答案为：. 6．（2025·辽宁鞍山·二模）设、、、是、、、、、、、的一个排列，则满足，，，的排列共有 个；，则集合中所有元素的和为 . 【答案】 【分析】利用倍缩法可得出满足，，，的排列方法种数；设，，，，分析可得出的最大值为，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和. 【详解】因为、、、是、、、、、、、的一个排列， 若满足，，，，则与、与、与、与的大小关系是确定的， 所以，满足条件的排列方法种数为种； 对于集合中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合的所有元素之和为. 故答案为：；. 7．（2025·辽宁·二模）设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则 .（用含n和x的式子表达） 【答案】 【分析】由排列组合数的性质可得，进而有，再根据二项式定理求得，且，讨论、并结合二项式展开式的应用求. 【详解】由题设，可得，故，则， 由的展开式通项为，， 所以其第二项为，故，且， 当时，，则， 即，故， 所以； 当时，，则 ， 所以. 故答案为： ( 题型0 4 )概率 1．（2025·辽宁·二模）（多选）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜，每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过拋掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果地相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若每局比赛甲获胜的概率，则该场比赛甲3:2获胜的概率为 B．若某局比赛甲先发球，则该局比赛中打完前4个球时甲得3分的概率为 C．若某局比赛甲先发球，双方比分为8:8，则该局比赛甲以11:9获胜的概率为 D．若某局比赛目前比分为10:10，则该局比赛甲获胜的概率为 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式、独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式及全概率公式逐项分析求解. 【详解】对于A，甲3:2获胜的事件是第5局甲获胜，前4局甲胜2局，概率为，A正确； 对于B，打完前4个球时甲得3分的事件是甲发2球得2分的事件与甲发2球得1分的事件和， 其概率为，B错误； 对于C，比分为8:8后由甲发球，甲以11:9获胜的事件是4次发球，前3球甲胜2球，第4球甲胜， 其概率为，C正确； 对于D，设打成后再打2个球时甲的得分为，则， ，， 设该局比赛甲获胜为事件，则， 由全概率公式，得 ，解得，则该局比赛甲获胜的概率，D错误. 故选：AC 2．（东北三省四市教研联合体2025届高三下学期高考模拟考试（一）数学试卷）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 . 【答案】 【分析】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”，由题意事件包括事件“1步到位”和事件“3步到位”两个互斥事件，分别计算它们的概率，即得事件的概率，再算事件的概率，利用条件概率公式计算即得. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论.记向左，向右，向上，向下， （1）若1步到位为事件，则满足要求的是或或或或， 或或或或，所以； （2）若3步到位为事件，则满足要求的是 所以；所以， 满足的情况有：或或或或. 所以， 所以. 故答案为：. 3．（2025·辽宁辽阳·二模）甲、乙等5人站成一排拍照，已知甲没有站在最中间，则甲、乙相邻的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件概率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件为甲没有站在最中间，事件表示甲、乙相邻， 则甲没有站在最中间的概率为，即， 甲没有站在最中间，且甲，乙相邻的概率为，即， 所以． 故答案为： 4．（2025·辽宁沈阳·二模）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ． 【答案】 【分析】根据相互独立时间的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论． 记向左，向右，向上，向下， ①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D）， LR（U或D或R），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以；所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以，所以． 故答案为:． 5．（2025·辽宁·二模）某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是，至冬季结束仍然有的居民未接种疫苗，这些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为． (1)现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率； (2)已知泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现从该地区接种疫菌的人群中随机抽取1000人，按上述泊松分布近似计算： ①求1000人中流感的患病率小于0.3%的概率约为多少； ②设1000人中患流感的人数为X，求使得最大时的X值．（参考数据：） 【答案】(1)0.006 (2)①；②或 【分析】（1）条件概率的乘法公式以及互斥事件的概率加法，可得答案； （2）①由题目中的概率公式，结合互斥事件的概率加法，可得答案；②利用比值判别法，可得概率计算的单调性，可得答案. 【详解】（1）记：事件“患流感”，事件“未患流感”，， 事件“接种疫苗”，事件“未接种疫苗”，则， 由已知可得：， ， , 所以， 即现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，这人患病的概率为． （2）①由已知：当且时，二项分布近似于泊松分布， 设1000人中患流感的人数为Y人，则， ，，， . ②由题意得：， 所以，， 当时，随i的增大而增大， 当时，随i的增大而减小， 当时，， 所以，或时，最大． ( 题型0 5 ) 随机变量及其分布 1．（2025·辽宁鞍山·二模）已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法判断 【答案】C 【分析】根据所给数据分别计算、比较大小即可求解. 【详解】根据已知条件第一组数据的个数为个，且， 所以， ， 第二组数据的个数为个，且平均数， ， 因为， 所以. 故选：C 2．（2025·辽宁辽阳·二模）一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布，套公式求期望即可. 【详解】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布， 取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则． 故选：C. 3．（2025·辽宁·二模）（多选）若，则下列结论正确的是（   ） A． B．数据的标准差为3 C．数据的分位数为10 D．记，随机变量，，则 【答案】ABD 【分析】利用赋值法即可求解A，根据二项式展开式的通项特征，可求解，根据百分位数以及方差的计算公式即可求解BC，根据正态分布的对称性即可求解D. 【详解】对于选项A：令，则，故A正确， 对于选项BC：因为的展开式的通项为，即， 可得， 数据为， 则平均数为， 方差为， 所以标准差为3，故B正确； 将数据按升序排列为，且， 故分位数为第3个数5，故C错误， 对于选项D：因为， 故，故D正确， 故选：ABD. 4．（2025·辽宁锦州·二模）甲、乙两人对比进行射击训练，共进行100个回合．每个回合．甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少都击中8环，统计资料显示甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．记第i个回合甲、乙击中的环数分别为，，，2，…，100． (1)在某一个回合训练中，已知乙击中的环数少于甲击中的环数，求甲击中10环的概率： (2)中心极限定理是概率论中的一个重要结论：若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．根据该定理，设满足（，2，…，100）的i值有k个，利用正态分布估计的概率．（结果保留小数点后两位） 附：（若，则，，．） 【答案】(1)0.4 (2)0.84 【分析】（1）设在一个回合训练中，乙击中的环数少于甲击中的环数为事件，甲击中10环为事件，利用条件概率公式计算可得； （2）依题意可得，根据二项分布的期望与方差公式得到，再由正态分布的性质计算可得. 【详解】（1）设在一个回合训练中，乙击中的环数少于甲击中的环数为事件，甲击中10环为事件， 则，， 则所求概率为； （2）由题意100个回合中，满足的值有个，由（1）知：， 所以，， 又，所以，， 故，， 由正态分布的对称性可知，估计的概率为. 5．（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）方案一 【分析】（1）由独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可得； （2）（i）先求出的分布列，再由期望公式求出期望；（ii）分别求出两种方案的期望，作差比较大小即可； 【详解】（1）设“停止比赛时小队有人投中”为事件， 则，所以. （2）（ⅰ）的所有可能取值为1，2，3 ，，； 所以的分布列为 1 2 3 . （ⅱ）设方案二所需派出人员数目，同理可得， 因为，所以 ， 所以，方案一可使所需派出人员数目的期望更小. 6．（2025·辽宁·二模）某高中全体学生参加一次知识竞赛.竞赛共有5道单选题.每题四个选项中有且只有一个是正确的，每道题答对得2分，答错和不答都得0分，假设每个学生答对每道题的概率均为. (1)学生甲在前3道题答对2道题的条件下，求他最终得6分的概率； (2)现随机抽取10名学生，记第个人的得分为随机变量，得到的一组观测值如下： 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 6 8 6 10 6 10 8 6 10 8 （i）从这10名学生中随机抽取4名学生，设抽到得10分的学生人数为，求的分布列和数学期望； （ii）设随机变量取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求. 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，数学期望为1.2；（ii） 【分析】（1）由相互独立事件的概率计算公式可得结果； （2）（i）先计算得到的所有可能取值时的概率，再由数学期望的计算公式得到结果；（ii）由表格数据，先计算得到的概率，然后利用相互独立事件的概率公式得到，令，求导得到取最大值，即取最大值时，从而. 【详解】（1）设“最终得6分”为事件，则. （2）（i）的所有可能取值为0，1，2，3， ，，， ，所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望. （ii）由题意，， ，， 因为取值相互独立， 所以 ， 求使达到最大时的值， 令 ， ， 令可得， 当时，，单调递增，单调递增； 当时，，单调递减，单调递减， 故时，最大，. 7．（2025·辽宁·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第，，，…次状态无关．已知有A，B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． (1)求，的值； (2)证明：是等比数列，并求的通项公式； (3)求的数学期望． 【答案】(1)， (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据题意可得A盒子中没有红球的概率为，进而根据规则求解即可； （2）由题意可得，整理可得，进而求证，再求解的通项公式； （3）由题意可得,，整理可得，进而求解的分布列，再计算数学期望即可. 【详解】（1）由题意，A盒子中没有红球的概率为， 则，， ， . （2）因为，，， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）当，时，,① ,② 由①②得，，又， 所以，则， 的可能取值为0，1，2， 则， ，， 则的分布列为： 0 1 2 所以. 8．（2025·辽宁·二模）已知正四棱锥的体积为，高为. (1)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动个单位，求秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望. (2)假设有若干只蚂蚁，据统计，其中的蚂蚁计划只可能从点出发，另外的蚂蚁计划既可能从点出发，又可能从点出发.  若蚂蚁只可能从点出发，则记分；若既既可能从点出发，又可能从点出发，则记分.  假设每只蚂蚁计划从哪个点出发相互独立，视频率为概率. （i）从蚂蚁中随机抽取只蚂蚁，记这只蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，求； （ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，随着抽取蚂蚁的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）（ii）是，该常数为. 【分析】（1）先确定该四棱锥的各个参量，再利用分布列和期望的定义得到答案； （2）（i）计算出，并证明； （ii）根据题意，利用对立事件概率公式得到递推关系，进而利用数列知识凑项，转化为等比数列问题，进而求得通项公式，即可得到结论. 【详解】（1）该正四棱锥的底面面积，故底面边长，侧棱长. 若该蚂蚁沿着移动，则秒后该蚂蚁与点的距离； 若该蚂蚁沿着或移动，则秒后该蚂蚁与点的距离； 若该蚂蚁沿着移动，则秒后该蚂蚁与点的距离. 所以的分布列为 . （2）（i）每只蚂蚁有的概率得分，有的概率得分. 从而只蚂蚁的总得分为当且仅当恰有一只蚂蚁得分. 故，所以. 设，则，作差即得 . 所以. （ii）由于每只蚂蚁至少记分1分，所以抽取的这些蚂蚁的总得分恰为分，必然是至多抽取了只蚂蚁. 在得分为分的前提下，再抽取一只蚂蚁，只能得到分或分，这两者是对立事件， 抽取若干蚂蚁得分分，记为事件，得分分的事件记为， ， 由对立事件的概率关系可得： ， ， ， 所以， 当时，， 所以. 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 计数原理与概率统计 题型概览 题型01统计 题型02回归分析与独立性检验 题型03计数原理 题型04概率 题型05 随机变量及其分布 ( 题型01 ) 统计 1．（2025·辽宁沈阳·二模）为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为（   ） A．0.02 B．0.2 C．0.04 D．0.4 2．（东北三省四市教研联合体2025届高三下学期高考模拟考试（一）数学试卷）为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为（    ） A．0.02 B．0.2 C．0.04 D．0.4 3．（2025·辽宁·二模）某同学测得连续天的最低气温（均为整数）分别为，，，，，，（单位：），若这组数据的平均数与中位数相等，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·二模）（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于1 B．一组数据删除一个数后，得到一组新数据：12，14，15，17，19，19，20，21.若这两组数据的中位数相等，则删除的数是18 C．已知随机变量服从正态分布，若，则 D．若一组样本数据的平均数是3，方差是2，则8可能在这组数据中 ( 题型0 2 ) 回归分析与独立性检验 1．（2025·辽宁辽阳·二模）已知变量和的统计数据如下表： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 若和线性相关，则关于的回归直线方程为（    ） （附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁锦州·二模）5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了1至5月份5G手机的实际销量，如下表所示： 月份x 1月 2月 3月 4月 5月 销售量y（千只） 0.5 0.6 1.0 1.4 1.7 若y与x线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．由题中数据可知， B．由题中数据可知，6月份该商城5G手机的实际销量为2（千只） C．由题中数据可知，变量x和y正相关，且相关系数一定小于1 D．若不考虑本题中的数据，回归直线可能不过，，…，中任一个点 3．（2025·辽宁·二模）某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格： 分数 锻炼 合计 坚持锻炼 不坚持锻炼 分数 100 80 180 分数<600 50 70 120 合计 150 150 300 依据小概率值的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（   ） 附：，． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05 4．（东北三省四市教研联合体2025届高三下学期高考模拟考试（一）数学试卷）某网店发现其某款商品的日销售量与该店在购物平台的日访问量呈线性相关关系，为了吸引更多的顾客购买该商品，在上推出了和两款互动游戏，顾客在参与游戏后，有机会获得优惠券.下图是该商品的日销售量（单位：千件）与日访问量（单位：万人次）的散点图：    (1)求出关于的回归方程，并预测日访问量12万人次时日销售多少千件商品； (2)款游戏为通关游戏，游戏规则为：顾客每次挑战都有的概率成功通关，一旦成功，则游戏立即结束并获得优惠券，如果挑战失败，可继续挑战；每位顾客共有次挑战机会，第无论成功与否都结束游戏.设为游戏结束时，进行挑战的次数，的数学期望为，证明：； (3)款游戏为抽球游戏，游戏规则为：有个小球，编号为，参与者从中随机抽取个小球，记录编号后放回，再重新随机抽取个小球，记被重复抽取的小球数为，并向参与者发放张优惠卷，求使取得最大值时的值. 参考数据：. 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 5．（2025·辽宁·二模）在哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，面试满分为100分，现随机抽取了120名候选人的面试成绩分为五组，第一组[45，55），第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三组的频率成等差数列，第一组的频率等于第五组的频率． (1)求a，b的值，并估计这120名候选人成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）； (2)已知120名候选人中，男、女生各60人，男生想去冰上赛区的有35人，女生想去冰上赛区的有20人，请补全下面列联表．请问是否有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关？（结果精确到0.001） 志愿者 性别 合计 男生 女生 想去冰上赛区 35 20 不想去冰上赛区 合计 60 60 附： 0.050 0.010 0.001 3.941 6.635 10.828 (3)滑冰项目的场地服务需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通过选拔入围，现随机从6名同学中抽取4人服务该场地，记男生被抽中的人数为，求的分布列及期望． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）某网店发现其某款商品的日销售量与该店在购物平台APP的日访问量呈线性相关关系，为了吸引更多的顾客购买该商品，在APP上推出了A和B两款互动游戏，顾客在参与游戏后，有机会获得优惠券．下图是该商品日销售量y（单位：千件）与日访问量x（单位：万人次）的散点图：    (1)求出y关于x的回归方程，并预测日访问量12万人次时日销售多少千件商品； (2)A款游戏为通关游戏，游戏规则为：顾客每次挑战都有的概率成功通关，一旦成功，则游戏立即结束并获得优惠券，如果挑战失败，可继续挑战；每位顾客共有n次挑战机会，第n次无论成功与否都结束游戏．设X为游戏结束时，进行挑战的次数，X的数学期望为，证明：； (3)B款游戏为抽球游戏，游戏规则为：有个小球，编号为，参与者从中随机抽取个小球，记录编号后放回，再重新随机抽取个小球，记被重复抽取的小球数为，并向参与者发放张优惠卷，求使取得最大值时的m值． 参考数据：，． 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． ( 题型0 3 ) 计数原理 1．（2025·辽宁·二模）第五批实施新高考的8个省份将于2025年迎来新高考，新高考模式下语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．96种 2．（2025·辽宁沈阳·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 3．（2025·辽宁鞍山·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·辽宁·二模）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．数据，，，，，，，的上四分位数是 B．设样本数据，，，的方差为，则，，，的标准差为 C．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是奇数”，事件“骰子向上的点数是或”，则事件与事件是相互独立事件 D．在二项式的展开式中，若只有第项的二项式系数最大，则各项系数和是 5．（2025·辽宁·二模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 6．（2025·辽宁鞍山·二模）设、、、是、、、、、、、的一个排列，则满足，，，的排列共有 个；，则集合中所有元素的和为 . 7．（2025·辽宁·二模）设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则 .（用含n和x的式子表达） ( 题型0 4 )概率 1．（2025·辽宁·二模）（多选）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜，每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过拋掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果地相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若每局比赛甲获胜的概率，则该场比赛甲3:2获胜的概率为 B．若某局比赛甲先发球，则该局比赛中打完前4个球时甲得3分的概率为 C．若某局比赛甲先发球，双方比分为8:8，则该局比赛甲以11:9获胜的概率为 D．若某局比赛目前比分为10:10，则该局比赛甲获胜的概率为 2．（东北三省四市教研联合体2025届高三下学期高考模拟考试（一）数学试卷）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 . 3．（2025·辽宁辽阳·二模）甲、乙等5人站成一排拍照，已知甲没有站在最中间，则甲、乙相邻的概率为 ． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ． 5．（2025·辽宁·二模）某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是，至冬季结束仍然有的居民未接种疫苗，这些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为． (1)现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率； (2)已知泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现从该地区接种疫菌的人群中随机抽取1000人，按上述泊松分布近似计算： ①求1000人中流感的患病率小于0.3%的概率约为多少； ②设1000人中患流感的人数为X，求使得最大时的X值．（参考数据：） ( 题型0 5 ) 随机变量及其分布 1．（2025·辽宁鞍山·二模）已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法判断 2．（2025·辽宁辽阳·二模）一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2025·辽宁·二模）（多选）若，则下列结论正确的是（   ） A． B．数据的标准差为3 C．数据的分位数为10 D．记，随机变量，，则 4．（2025·辽宁锦州·二模）甲、乙两人对比进行射击训练，共进行100个回合．每个回合．甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少都击中8环，统计资料显示甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．记第i个回合甲、乙击中的环数分别为，，，2，…，100． (1)在某一个回合训练中，已知乙击中的环数少于甲击中的环数，求甲击中10环的概率： (2)中心极限定理是概率论中的一个重要结论：若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．根据该定理，设满足（，2，…，100）的i值有k个，利用正态分布估计的概率．（结果保留小数点后两位） 附：（若，则，，．） 5．（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 6．（2025·辽宁·二模）某高中全体学生参加一次知识竞赛.竞赛共有5道单选题.每题四个选项中有且只有一个是正确的，每道题答对得2分，答错和不答都得0分，假设每个学生答对每道题的概率均为. (1)学生甲在前3道题答对2道题的条件下，求他最终得6分的概率； (2)现随机抽取10名学生，记第个人的得分为随机变量，得到的一组观测值如下： 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 6 8 6 10 6 10 8 6 10 8 （i）从这10名学生中随机抽取4名学生，设抽到得10分的学生人数为，求的分布列和数学期望； （ii）设随机变量取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求. 7．（2025·辽宁·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第，，，…次状态无关．已知有A，B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． (1)求，的值； (2)证明：是等比数列，并求的通项公式； (3)求的数学期望． 8．（2025·辽宁·二模）已知正四棱锥的体积为，高为. (1)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动个单位，求秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望. (2)假设有若干只蚂蚁，据统计，其中的蚂蚁计划只可能从点出发，另外的蚂蚁计划既可能从点出发，又可能从点出发.  若蚂蚁只可能从点出发，则记分；若既既可能从点出发，又可能从点出发，则记分.  假设每只蚂蚁计划从哪个点出发相互独立，视频率为概率. （i）从蚂蚁中随机抽取只蚂蚁，记这只蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，求； （ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，随着抽取蚂蚁的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$