2026年中考数学三轮热点专题复习 二次函数压轴之面积问题

2026年中考数学三轮热点专题复习二次函数压轴之面积问题 一、单选题 1．（22-23九年级下·山东青岛·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴平行线交抛物线于点B，连接、，则的面积为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2023·广东深圳·一模）已知抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线，，其中的顶点为点B，的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．无法计算 3．（2023·山东济宁·一模）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法： ①： ②抛物线的对称轴为； ③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，； ④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大． 其中，所有正确的说法是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③ 4．（22-23九年级上·江西宜春·月考）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法： ①；②抛物线的对称轴为；③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，；④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大，其中，所有正确的说法是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④ 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（天津市南开区2025-2026期末）如图，中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿边向终点B运动；动点Q从点B同时出发，以的速度沿边向终点C运动．设出发时间为．有下列结论： ①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为四边形面积的．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·月考）如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，过线段上一动点作直线轴交抛物线于点，则面积的最大值为 ． 8．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且过点，连接． （1）B的坐标 ； （2）若点P是抛物线对称轴上一点，且，P的坐标 ． 9．（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如图所示，二次函数的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标，过点E且垂直x轴的直线交抛物线于点B，若，则 ． 10．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知二次函数的图象与轴交于点，过轴上的点作一条平行于轴的直线，交抛物线对称轴于点． ①如图，当时，的面积为 ； ②当时，的面积的最大值为 ． 11．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图为函数和的图象，则图中阴影部分的面积为 ． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与轴交于，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③使是等腰三角形的值有2个；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有 ．（填序号） 三、解答题 13．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与直线L：交于E，F两点． (1)直线L经过定点D，直接写出点D的坐标； (2)求面积的最小值． 14．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； 15．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． ②点P在抛物线上，且，求点P点坐标． 16．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． 17．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 经过点．点P在此抛物线上，其横坐标为m；连接并延长至点Q，使．当点 P 不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点 M． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当 的边经过此抛物线的最低点时，求点Q 的坐标． 18．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知二次函数（）的图象与轴相交于，两点，且点在点左侧，与轴相交于点，顶点为点，点，（）是此二次函数的图象上的两个动点． (1)若点的坐标为． ①求二次函数的解析式； ②如图，当点在直线上方，且时，过点作轴的垂线交轴于点，交线段于点，连接，，，求证：． (2)当四边形的面积为，且时，过点作轴的垂线交轴于点，连接，，若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据已知条件得到抛物线的顶点的坐标为，求得点的横坐标为2，把代入得，，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：抛物线的顶点的坐标为， 轴， 点的横坐标为2， 把代入得，， ， ， 的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．B 【分析】根据平移的性质和抛物线的对称性可知图中阴影部分的面积的面积． 【详解】】解：∵， ∴，， 则． 又当时，， 则， 故． ∴抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，抛物线由抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象平移问题，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，根据二次函数图象平移，利用割补法求解． 3．B 【分析】利用待定系数法即可求得，即可判断①；求得A、B的坐标，利用抛物线的对称性求得对称轴，即可判断②；利用抛物线的对称性、两点之间线段最短，点P为直线与抛物线对称轴的交点时，点P，B，C构成的三角形的周长取最小值，求得直线的解析式，进一步求得n的值，即可判断③；作轴，交与点Q，表示出Q点的坐标，然后根据得出，根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得，故①说法正确； 令，则， 解得或1， ∴抛物线抛物线与x轴的交点为，， ∴抛物线的对称轴为，故②说法正确； 连接，交对称轴为P，此时，， ∵是定值， ∴此时点P，B，C构成的三角形的周长最小， ∵，， ∴直线为， 当时，， ∴， ∴n=2，故③说法错误； 作轴，交与点Q， ∵点在抛物线上， ∴， 把代入直线的解析式得， ∴， ∴， ∴时，的面积最大，故④说法正确． 综上，正确的有①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，三角形的面积，根据题意求得A、B的坐标和对称轴是解题的关键． 4．D 【分析】利用待定系数法即可求得，即可判断①；求得、的坐标，利用抛物线的对称性求得对称轴，即可判断②；利用抛物线的对称性、两点之间线段最短，点为直线与抛物线对称轴的交点时，点，，构成的三角形的周长取最小值，求得直线的解析式，进一步求得的值，即可判断③；作轴，交与点，表示出点的坐标，然后根据得出，根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：抛物线经过点， ， 解得，故①说法正确； 令，则， 解得或1， 抛物线抛物线与轴的交点为，， 抛物线的对称轴为，故②说法正确； 连接，交对称轴为，此时，， 是定值， 此时点，，构成的三角形的周长最小， ，， 直线为， 当时，， ， ，故③说法错误； 作轴，交与点， 点在抛物线上， ， 把代入直线的解析式得， ， ， 时，的面积最大，故④说法正确． 故选：D．    【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，三角形的面积，根据题意求得、的坐标和对称轴是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．先将转化为，过点作轴的平行线交的延长线于点，得到，从而得到，将转化为，利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，点的坐标为，表示出的长，进而表示出，最后根据二次函数的图象与性质求得最大值． 【详解】解：由题知， 如图所示，过点作轴的平行线交的延长线于点， 轴， ， ， ， 对于函数， 令，则有， 解得，， ，， ， 令，则有， ， 设直线的函数解析式为，则有： ，解得， 直线的函数解析式为， ， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值为， 即的最大值为． 故选：B． 6．B 【分析】先用代数式表示出，，再求出当时，与的长，由此可判断①； 根据题意，用表示出的面积，配方后求出最大面积，由此可判断②； 先求出当的面积为四边形面积的时，的面积，再转化为关于的一元二次方程求解，由此可判断③． 【详解】解：∵点P从A出发，速度，沿向B运动， ∴， ∵点Q从B出发，速度，沿向C运动， ∴， ∴， 当时， ∴ 结论①错误； 是直角三角形，直角在点B处，底，高， ， ， ∴ ， ∵在范围内， ∴最大值在处，此时 结论②正确； ∵是直角三角形，，， ∴面积， ∴四边形的面积​， 设​，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴无实数解， ∴不存在任何t使得的面积为四边形面积的一半， 结论③错误， 综上所述，正确的结论个数为1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，动态几何问题(一元二次方程的应用)，的最值，面积问题(二次函数综合)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7． 【分析】本题涉及二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的最值问题以及三角形面积的计算． 我们先求出二次函数与一次函数的交点的坐标，然后设出点的坐标，进而得到点的坐标，再根据三角形面积公式底高来表示的面积，最后通过求函数的最值来得到面积的最大值． 【详解】联立二次函数与一次函数的方程： 解得：， ∴交点的坐标为，点坐标为． 设点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴点的坐标为． ∵轴交抛物线于点， ∴点的横坐标为， 将代入，可得点的坐标为． （是到的距离）， （是到的距离）， ∴， ∵是到的距离，是到的距离， ∴为点与点之间的水平距离， ∴， ∵点在点上方， ∴， ∴， ， 当时，取到最大值为． 故答案为：． 8． 或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数与面积的综合等知识． （1）令，即可求解； （2）待定系数法求出直线的解析式，设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E，则可求得点D的坐标，从而求得的面积；设，利用面积关系即可求解． 【详解】解：（1）令，解得：，； ∵点B在x轴正半轴上， ∴； 故答案为：； （2）在中，令，得， 即； 设直线的解析式为， 把B、A坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 设交y轴于点D，抛物线交x轴于点E； 在中，令，得， 则； ∴的面积为； ∵， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设； 当点P在上方时，， 即， 解得：， 故； 当点P在下方时，， 即， 解得：， 故； 综上，点P坐标为或； 故答案为：或． 9． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 10． 2 4 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质：包括抛物线的对称轴()、与轴交点(时的函数值)，以及求最值等． ①是以线段为底，点到的水平距离为高，利用“底高”计算面积； ②通过分析面积的函数表达式(含绝对值)，分区间讨论并求最大值． 【详解】①解：当时，二次函数解析式为， ∵点是抛物线与轴的交点，∴， ∵点坐标为， ∴=， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴点的坐标为， ∴的面积． 故答案为2； ②解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，点(轴交点)的坐标为， ∵点，直线交对称轴于， ∴点的坐标为， ∴的面积． 当时，， ∴， ∵该二次函数图象开口向下，对称轴为直线(在范围内)， ∴此时的最大值为； 当时，， ∴， ∵该二次函数图象开口向上，在范围内随增大而增大， ∴当时，． ∵， ∴当时，面积的最大值为． 故答案为：． 11．4 【分析】本题考查二次函数图象的平移、平行四边形的面积等知识，掌握相关知识是解题关键． 连接，根据平移的性质得出阴影部分的面积即可． 【详解】解：各点如图所示，连接， 根据抛物线的对称性和平移可得， 函数的图象是由的图象向上平移一个单位长度得到， ∴, ∴四边形为平行四边形， 由图可知，平行四边形的高为2， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：4． 12．①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；由函数的图象可知，，再由可知；分和两种情况求出，再代入，结合点求解即可；由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 【详解】∵抛物线与轴交于， ∴对称轴为直线，即，得到， 故①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，交轴的正半轴于点， ∴，， 又， ， 故，②正确，符合题意； 抛物线，由得 连接，则， 若，则，解得， 又过点， 代入得 解得：， 若，则，解得， 同理可得：， 又由图可知：， 使是等腰三角形的值有2个，③正确，符合题意； 将点代入， ∴， ∴， 过点Q作轴交于点P， 设直线:，过点，则 解得：， ∴直线: 又， ∴直线: ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴当时，的面积最大， 故④不正确，不符合题意； 故答案为：①②③ 13．(1) (2)16 【分析】（1）根据即可求解； （2）作轴交直线于D，设E、F点的横坐标分别为，，则，为方程的两根，可用，表示出，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵k为任意不为0的实数， ∴，， 解得: ，， ∴直线L经过定点D，其坐标为； （2）解：设E、F的横坐标分别为，， 则，为方程的两根， 整理得， ∴，， ∴， 当时，有最小值，最小值为8， 当时，， 解得：，， ∴， 作轴交直线于点D，如图， 则， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，的最值，求抛物线与x轴的交点坐标，面积问题(二次函数综合)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 14．(1) (2)点P (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质. （1）由待定系数法即可求解； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，然后求出点P的坐标即可； （3）过点Q作轴交于点H，求出直线的表达式为：，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：把代入得：， ∴， ∵， ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图所示： 则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， 则点P为所求点， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 即点； （3）解：过点Q作轴交于点H，如图所示： 令， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 15．(1) (2)①的最大值为；②或 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）①求出直线解析式为，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值； ②由抛物线解析式求解的坐标，可求的面积，根据，可求点坐标． 【详解】（1）解：∵过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， 当时，的最大值为． ②∵抛物线为， ∴当，则， 解得：，， ∴，即， ∵点，点， ∴， ， 设， ， ， ， ， 或． 16．(1) (2)最大值为； (3)点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求解析式，二次函数与面积综合，二次函数与等腰三角形综合等知识点； （1）把，代入后解方程即可； （2）先求出，再求出直线 解析式为，过作轴，交于点，设，则，再根据 求出最大值为； （3）设，根据，，表示出、、的长度，再根据当是以边为腰的等腰三角形时，或，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，解得， ∴， 设直线 解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线 解析式为， 过作轴，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为； （3）解：的对称轴为直线， ∴设抛物线的对称轴上有一动点， ∵，， ∴，，， 当是以边为腰的等腰三角形时，或， 当时，，即，解得，此时或； 当时，，即，解得，此时或， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴在直线上，即A、D、M三点共线，不符合题意； 综上所述，当是以边为腰的等腰三角形时，点坐标为或或． 17．(1) (2)不变， (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将代入，得：， 解得：， ∴此抛物线对应的函数解析式为：； （2）解：面积比保持不变，为；设交y轴于点 D，根据题意可得， ， ， ， ∴， ∴； （3）解：如图1，经过最低点，即经过顶点，该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为 ，该抛物线的顶点坐标为， ， ，且相似比为 ， 根据顶点纵坐标可得，， 则 ∵横坐标为， ∴纵坐标为， ∴， 即 解得 ， 当 时，如图1所示，此时 ， 点Q 在第四象限，故 ， 当 时，如图2所示，此时点 P 在第一象限，点Q 在第三象限，此时 ，故 ； 综上， 或 . 18．(1)①；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，三角形面积的计算，四边形面积的计算，分割思想的应用，熟练掌握性质是解题的关键． （1）①把代入解析式，确定a值即可求二次函数的表达式； ②由题意得：，，根据抛物线的解析式确定点，，设直线的解析式为．确定直线的解析式为．求出点，．确定，，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，根据三角形的面积公式解答即可． （2）由题意得，求得，进一步建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：①抛物线经过点， 解得：， 二次函数的解析式为； ②由题意得：，， 当时，， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 轴于点，交直线于点， ，， ，， 如图1，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、， 则，， ，， ． （2）解：， 抛物线顶点为， 当时，， ， ， 又， ， ， ， 解得：， ， 对称轴为直线，， ， ， 、关于直线对称 垂直平分， ， ， 过点作轴于点， ，， ，， 解得：或 ， 点在对称轴左侧， 或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $