专题01 二次函数与方程、不等式综合应用（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版九年级下册

专题01 二次函数与方程、不等式综合应用 题型一：抛物线与x轴的交点问题 题型二：利用二次函数图象确定方程根的情况 题型三：求x轴与抛物线的截线长 题型四：利用图象求一元二次方程的近似解 题型五：抛物线与x轴交点的四点比较问题 题型六：根据两函数交点确定不等式解集 题型一：抛物线与x轴的交点问题 方法技巧:令解一元二次方程求交点横坐标；由判别式判断交点个数，并结合对称轴、增减性求参数范围。 1．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线与轴的一个交点为． (1)求的值； (2)求此抛物线与轴另一个交点的横坐标． 3．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）关于的二次函数与轴没有交点，则的最小整数值是____________ 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围_______． 题型二：利用二次函数图象确定方程根的情况 方法技巧:方程的根即图象与x轴（或与某条直线）交点的横坐标；由图象位置、对称轴与交点坐标，判断根的个数与所在区间。 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24九年级上·湖南湘西·期中）如图是二次函数的函数图象，由图象可知一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 4．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）二次函数的图象如图所示，请根据图像回答下列问题： (1)直接写出关于的一元二次方程的两个根：__________； (2)如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，直接写出实数的取值范围：__________． (3)依据图中的信息，求代数式的值； 题型三：求x轴与抛物线的截线长 方法技巧:抛物线与x轴两交点横坐标之差的绝对值即截线长，用根与系数关系表示，结合图象平移、对称性求值或求参数。 1．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 3．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数， (1)该函数与轴有两个交点，求的范围； (2)该函数图像与轴相交于两点，，求． 4．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：无论取何值，函数图象与轴一定有交点； (2)若函数图象与轴有两个交点，分别为，，且，求的值． 题型四：利用图象求一元二次方程的近似解 方法技巧:观察图象与x轴交点所在区间，在函数值正负交替处取近似根，取区间中点反复逼近，使近似解满足精度要求。 5．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）由下表可知，关于的一元二次方程的一个近似根是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·江西新余·阶段检测）下表是函数的部分自变量与对应的函数值，根据此表，可以判断方程的一个解可能的取值范围是_________． 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.48 1.28 2.12 7．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数． (1)求二次函数与坐标轴的交点坐标； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)不解方程，利用此二次函数的图象，直接写出方程的近似根．（精确到0.1） 8．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知函数，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质： (1)自变量x的取值范围是______； (2)x与y的几组对应值如下表，请补全表格： x … 1 2 … y … 0 2 … 其中______． (3)下图中画出了函数的一部分图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象； (4)请写出这个函数的一条性质：______； (5)结合图象，直接写出方程的所有实数根（估算保留到0.1）：______． 题型五：抛物线与x轴交点的四点比较问题 方法技巧:把方程的根与图象与x轴交点横坐标结合，借助函数值符号、抛物线开口与平移变换，比较四点的大小顺序。 1．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知m，n()是一元二次方程的两个实数解，则a，b，m，n的大小关系可能为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，它是将抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，通过“以形助数”和“以数解形”实现问题解决．示例：若，（）是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是（        ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江宁波·三模）已知，恰好是关于的一元二次方程的两个实数根，若，请根据二次函数图象与轴的交点和一元二次方程的根之间的联系推断，，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，则函数与轴的交点横坐标为a，b，且，则（    ） A． B． C． D． 题型六：根据两函数交点确定不等式解集 方法技巧:由两图象交点横坐标分段，比较两函数值大小确定解集；注意交点处取等、开口方向与图象上下位置关系。 1．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（     ） A． B．或 C． D． 2．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点，则不等式的解集是（     ） A．或 B． C． D． 3．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图象写出关于的不等式的解集． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)当时，，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数与方程、不等式综合应用 题型一：抛物线与x轴的交点问题 题型二：利用二次函数图象确定方程根的情况 题型三：求x轴与抛物线的截线长 题型四：利用图象求一元二次方程的近似解 题型五：抛物线与x轴交点的四点比较问题 题型六：根据两函数交点确定不等式解集 题型一：抛物线与x轴的交点问题 方法技巧:令解一元二次方程求交点横坐标；由判别式判断交点个数，并结合对称轴、增减性求参数范围。 1．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】明确抛物线与轴交点的纵坐标为，通过令函数，求解对应的值，进而得到交点坐标． 【详解】解：令，得， ∵， ∴或，解得，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，． 2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线与轴的一个交点为． (1)求的值； (2)求此抛物线与轴另一个交点的横坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把交点坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出的值； （2）将求出的代入抛物线，得到完整解析式，令解一元二次方程，得到方程两个根，除去已知根，剩下即为另一个交点横坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点， 将代入解析式： ， ， ， ， ． （2）解：把代入抛物线解析式： ， 令，则， 因式分解:， 解得：， 已知一个交点横坐标是， 抛物线与轴另一个交点的横坐标为． 3．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）关于的二次函数与轴没有交点，则的最小整数值是____________ 【答案】 【分析】先整理二次函数为一般形式，根据二次函数定义得二次项系数不为0，再结合函数与轴无交点得判别式小于0，解不等式得到的取值范围，即可求出的最小整数值． 【详解】解：整理二次函数得： ∵ 该函数是关于的二次函数． ∴ 二次项系数不为0，即，解得． ∵ 二次函数与轴没有交点 ∴ 根的判别式 将，，代入得： 解得：． ∴的最小整数值是． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围_______． 【答案】 【分析】先根据对称轴公式求出的值，将一元二次方程在给定区间有实根转化为求二次函数在范围内的取值范围，即可得到的范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ∴ ∴ ∴抛物线 ∵二次项系数 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ∴当时，y取得最小值2 ∵关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根 ∴等价于在范围内有解，即求函数在的取值范围 当时，，当时， ∴的取值范围是，即的取值范围是． 题型二：利用二次函数图象确定方程根的情况 方法技巧:方程的根即图象与x轴（或与某条直线）交点的横坐标；由图象位置、对称轴与交点坐标，判断根的个数与所在区间。 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，根据图象即可求得关于的一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图象可知二次函数与轴的交点，， ∴关于的一元二次方程的解是，， 故选：． 2．（23-24九年级上·湖南湘西·期中）如图是二次函数的函数图象，由图象可知一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由抛物线与x轴的交点横坐标可得方向的解．解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【详解】解：由图像可得抛物线经过， ∴方程的解为． 故选：B． 3．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 【答案】 【分析】由图知，抛物线与x轴交于，代入求出a的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：． 4．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）二次函数的图象如图所示，请根据图像回答下列问题： (1)直接写出关于的一元二次方程的两个根：__________； (2)如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，直接写出实数的取值范围：__________． (3)依据图中的信息，求代数式的值； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）根据二次函数的对称轴公式计算即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可知，与轴交于和， 即关于的一元二次方程的两个根是，； （2）解：有两个不相等的实数根，等价于抛物线和直线有两个不同的交点． 由图可知抛物线开口向下，顶点纵坐标为2（即函数最大值为2）， 因此当时，直线和抛物线会产生两个不同交点， 即实数的取值范围是； （3）解：根据二次函数对称轴公式可知， 整理得． 题型三：求x轴与抛物线的截线长 方法技巧:抛物线与x轴两交点横坐标之差的绝对值即截线长，用根与系数关系表示，结合图象平移、对称性求值或求参数。 1．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 【答案】 【分析】先令得到一元二次方程，利用结合根与系数的关系列方程求解． 【详解】解：令，得一元二次方程 ， 设点，点，且， 故是一元二次方程的两个根， ，， 由题意得，且， ∴ ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规律得到平移后的解析式，令求出抛物线与轴交点的横坐标，再计算两点之间的距离即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为，即， 令，则，解得，， ∴抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为2018和2020， ∴． 3．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数， (1)该函数与轴有两个交点，求的范围； (2)该函数图像与轴相交于两点，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用二次函数图像与轴交点个数和判别式的关系列不等式求解； （2）结合根与系数的关系与轴上两点距离的计算方法建立方程求解． 【详解】（1） 解：∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得； （2）解：设点，，则方程的两根为，， 由根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ，即，解得． 4．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)求证：无论取何值，函数图象与轴一定有交点； (2)若函数图象与轴有两个交点，分别为，，且，求的值． 【答案】(1) 证明：对于二次函数，令，得一元二次方程， 其判别式， ∵ 无论取何值，， ∴，即， ∴ 无论取何值，函数图象与轴一定有交点； (2) 的值为或 【分析】（1）计算二次函数对应一元二次方程的判别式，证明其恒非负即可得证； （2）利用根与系数的关系，结合轴上两点距离为两根差的绝对值列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根为，， 由根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得或， 此时，符合题意． 题型四：利用图象求一元二次方程的近似解 方法技巧:观察图象与x轴交点所在区间，在函数值正负交替处取近似根，取区间中点反复逼近，使近似解满足精度要求。 5．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）由下表可知，关于的一元二次方程的一个近似根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表格可知方程的一个根在与之间，再比较对应的函数值哪个更接近，即可得出答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴方程的一个根在与之间， ∵，即对应的函数值更接近， ∴该方程的一个近似根为． 6．（26-27九年级上·江西新余·阶段检测）下表是函数的部分自变量与对应的函数值，根据此表，可以判断方程的一个解可能的取值范围是_________． 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.48 1.28 2.12 【答案】 【详解】解：由表可知，当时，；当时，，由于二次函数的图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在2.6和2.7之间，即． 7．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数． (1)求二次函数与坐标轴的交点坐标； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)不解方程，利用此二次函数的图象，直接写出方程的近似根．（精确到0.1） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，，进行求解即可； （2）将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，五点作图法画出函数图象即可； （3）图象法求出方程的根即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时， ， 解得， ∴二次函数与坐标轴的交点分别为． （2）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为； 画图略． （3）解：由图象可知，，即方程的近似根为. 8．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知函数，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质： (1)自变量x的取值范围是______； (2)x与y的几组对应值如下表，请补全表格： x … 1 2 … y … 0 2 … 其中______． (3)下图中画出了函数的一部分图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象； (4)请写出这个函数的一条性质：______； (5)结合图象，直接写出方程的所有实数根（估算保留到0.1）：______． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大； (5)，， 【分析】（1）根据函数的解析式可知，其中的取值范围即为整个解析式的取值范围； （2）代入自变量计算函数值即可； （3）先描点，然后用平滑的曲线连接各点； （4）可写增减性，也可写相应取值范围内的最值； （5）看作两个函数交点问题来解决即可． 【详解】（1）解：∵函数中不能等于0， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）略 （4）略 （5）解：∵， ∴， 如图， 由图可知，，，． 题型五：抛物线与x轴交点的四点比较问题 方法技巧:把方程的根与图象与x轴交点横坐标结合，借助函数值符号、抛物线开口与平移变换，比较四点的大小顺序。 1．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知m，n()是一元二次方程的两个实数解，则a，b，m，n的大小关系可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过构造二次函数，结合图象判断方程的解与a、b的位置关系． 【详解】解：设，其图象是开口向上的抛物线，与轴交点为、， 原方程可化为，即抛物线与直线的交点横坐标为、， ∵ 抛物线开口向上，当在、之间时，， ∴抛物线与直线的两个交点分别在、的外侧，即两个交点的横坐标中，一个小于，另一个大于， ∴，故选项A符合题意． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，它是将抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，通过“以形助数”和“以数解形”实现问题解决．示例：若，（）是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的关系；利用函数图像，将方程转化为抛物线与直线的交点问题，通过抛物线的开口方向和与轴的交点位置，判断根的分布范围． 【详解】解：如图 设，， ，是与轴的交点，且抛物线开口向上， 当或时，；当时，． 方程即求与抛物线的交点， ， 交点位于和． 又、为方程两根，且， ． 故选：C． 3．（2026·浙江宁波·三模）已知，恰好是关于的一元二次方程的两个实数根，若，请根据二次函数图象与轴的交点和一元二次方程的根之间的联系推断，，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用二次函数与一元二次方程的关系，将方程转化为二次函数，结合二次函数开口方向和函数值的大小判断根的位置． 【详解】解：设二次函数 ， ∵ 该二次函数二次项系数为， ∴抛物线开口向上，且抛物线与轴交于和； 由题意得 是方程的两个实数根， 即当时对应的值为； ∵ 当时，开口向上的抛物线在轴下方，即此时， ∴ 对应的两个自变量分别在区间两侧 ， 又∵， ， ∴ ，，即． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，则函数与轴的交点横坐标为a，b，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先画出函数的大致图象，再将其图象往上平移1个单位，并画出其大致图像，数形结合即可求解． 【详解】解：二次函数与x轴的交点横坐标为m，n， 将其图象往上平移1个单位长度可得出二次函数的图象， 如图所示观察图象，可知：． 故选：B． 题型六：根据两函数交点确定不等式解集 方法技巧:由两图象交点横坐标分段，比较两函数值大小确定解集；注意交点处取等、开口方向与图象上下位置关系。 1．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】解：由关于x的不等式可知：， ∴由函数图象及题意可知：关于x的不等式的解集为或． 2．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点，则不等式的解集是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式转化为，直接由图象进行求解． 【详解】解：将不等式转化为， 二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点， 由图象可知，的解集为或， 不等式的解集为或． 3．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图象写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，得， 解得， 当时，， 当时，， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定的值； （2）根据，，结合图象，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交于，． ∵直线经过A点， ∴， ∴； （2）解：，， 当或时，抛物线在直线的上方， ∴当时，或． ∵当时， ∴ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $