3.5确定圆的条件 同步作业 2025—2026学年北师大版数学九年级下册　

确定圆的条件 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（    ） A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1） 2．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 4．已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 5．如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为2，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（    ） A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，） 8．已知内接于，连接，，，设，，．则下列叙述中正确的有（    ） ①若，，且，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，，则． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 9．过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆． 10．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 ． 11．如图，，等边三角形的两个顶点、分别在、上移动，，则的最大值是 12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝ 45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是 三、解答题 13．如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 14．请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°． 求作：一个⊙O，使⊙O与AB、BC所在直线都相切，且圆心O在边AC上． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．、 (1)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴下方画出；点为内的一点，则点在内部的对应点的坐标为_______． (2)外接圆的圆心坐标为_______，外接圆的半径是_______． 16．如图，在中，，，用直尺和圆规画出的外接圆，并求的外接圆的直径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《确定圆的条件》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B D D C C A 1．A 【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心． 【详解】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心， ∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）． 故选：A 【点睛】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用． 2．B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 3．B 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用．如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，即可求解． 【详解】解：如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心， 由图得点D的坐标为． 故该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，是解决问题的关键． 【详解】解：已知是的外接圆，那么点O一定是的三边的垂直平分线的交点， 故选：D． 5．D 【分析】过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵O为三角形外心， ∴∠OAH=30°， ∴OH=OB=1， ∴BH=，AH=-AO+OH=2+1=3 ∴ ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 6．C 【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形， ∴直线是线段的垂直平分线， 记，的交点为，则为的外心， ∵，，， ∴直线为，，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴，即的外心坐标为：． 故选C． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键． 7．C 【分析】先由题意可知，点P在线段AB的垂直平分线上，可确定P的横坐标为4；设点P的坐标为（4，y），如图作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，运用勾股定理求得y即可． 【详解】解：∵⊙P经过点A、B、C， ∴点P在线段AB的垂直平分线上， ∴点P的横坐标为4， 设点P的坐标为（4，y）， 作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F， 由题意得：， 解得，y， 故选：C． 【点睛】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任意两点的线段的垂直平分线的交点． 8．A 【分析】①由得，再利用三角形内角和定理，可得到，故①正确； ②由可知：，再根据三角形内角和定理可得∶；故②正确； ③显然有，故，故③不正确； ④易得∶，故④不正确． 【详解】解：①如图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，故①正确； ②如图2， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③如图3， ∵， ∴， ∴， ∴，故③不正确； ④如图3，，故④不正确； 综上：①②正确， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆及圆心，圆周角定理，三角形内角和定理，解题关键要根据题意判断外接圆圆心的位置，画出正确图形． 9． 无数 无数 垂直平分线 一 【分析】利用过点作圆的个数即可求解． 【详解】解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆， 故答案为：无数；无数；垂直平分线；一． 【点睛】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 10．1个或3个或4个 【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑． 【详解】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆； （2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆； （3）当四个点共圆时，只能确定一个圆． 故答案为：1个或3个或4个． 【点睛】本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答． 11． 【分析】根据题意得到当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°的弧上运动，设A，B，O三点所在圆的圆心为M，当O，M，C三点共线时，OC的值最大，如图，连接AM，BM，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝2为定线，∠XOY＝45°为定角， ∴当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°的弧上运动， 设A，B，O三点所在圆的圆心为M， 当O，M，C三点共线时，OC的值最大， 如图，连接AM，BM， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC， ∵AM＝BM， ∴OC垂直平分AB， ∵∠AOB＝45°， ∴∠AMB＝90°， ∵AB＝2， ∴AM＝，DM＝AD＝BD＝1， ∴OM＝，CD＝， ∴OC＝DM＋OM＋CD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的作出图形是解题的关键． 12． 【分析】连接，过点作于，作于，根据圆周角定理可得，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，，可求． 【详解】解：连接，过点作于，作于， 是的外接圆，， ， ，， ， ， ，， ， ，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加适当辅助线，构造直角三角形利用勾股定理求解． 13．(1)见解析 (2)2 【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，得，根据三角形外角与内角的关系求出，结合已知可得，运用角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后由代入求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）由（1）可知，连接 又 故的半径为：2 【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，与三角形有关的角的计算以及“角所对的直角边等于斜边的一半”；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键． 14．见解析 【分析】先作∠ABC的平分线交AC于O点，然后以O点为圆心，OC为半径作圆即可． 【详解】解：作∠ABC的平分线交AC于O点，以O点为圆心，OC为半径作圆，则为所求作的圆． 【点睛】本题主要考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 15．(1) (2)， 【分析】(1)利用位似变换的性质分别做出各顶点的对应点即可，在利用位似变换的性质求出的坐标． (2)线段、的垂直平分线的交点即为所求，在利用勾股定理求出半径即可． 【详解】（1）解：如图 根据位似变换的性质， 故答案为 （2）解：如图，点即为所求， 点坐标为 半径 故答案为， 【点睛】本题考查了位似变换，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16．见解析，外接圆的直径为6 【分析】分别作线段、的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画圆，则就是的外接圆,连接AO，根据等腰三角形的性质得BD=CD，∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°，即AD垂直平分BC，再根据垂径定理的推论得到△ABC的外接圆的圆心O在AD的延长线上，连接OB，接着证明△OAB为等边三角形，则OB=AB=3，由此可确定△ABC的外接圆的直径． 【详解】解：分别作线段、的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画圆，则就是的外接圆，如下图所示： 如图，连接，知垂直平分，交于点， ∵， ∴，， 连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的外接圆的直径为6． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$