精品解析：重庆市黔江区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2025年春八年级（下）学业质量达标监测试卷 数学（华师版） 数学测试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，函数的图象会经过第（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 5. 在体育封闭训练期间，甲、乙、丙、丁四位跳远选手在一周同样的训练中，跳远成绩的平均分相等，方差分别为，，，，则甲、乙、丙、丁四位跳远选手这一周跳远成绩波动最小的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，，则△的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 14 7. 把分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的一半 8. 下列不属于矩形的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 四个角都相等 C. 每一条对角线平分一组内角 D. 两条对角线相等 9. 如图，在边长为8的正方形中，点E是边的中点，在对角线上任取一点M，连接、，当时，的面积为（ ） A. 16 B. 12 C. D. 10. 已知整式，其中均为整数，为正整数，n为自然数，且满足．则下列说法： ①当时，满足条件的整式M中有1个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M是二次三项式； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 已知一组数据2，x，1，4的平均数是2，则这组数据中的x的值是__________． 12. 如图，在矩形中，，E为边中点，连接，则__________． 13. 若点都在一次函数的图象上，则__________（用“”“”或“”填空）． 14. 如图，在菱形中，连接交于点，为上一点，连接．若，，，则______． 15. 已知是正整数，关于的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有正整数的和为________． 16. 若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足百位数字的平方恰好等于千位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“何方神数”，例如四位数2459，因为，所以2459是“何方神数”．若，A是“何方神数”，则A的最大值为__________．若是“何方神数”，将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数N，规定，，若为整数，且除以7余数是2，则满足条件的M的最小值为__________． 三、解答题：（本大题9个小题，17题、18题每个小题8分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算： （2）解方程：． 18. 小育同学在学习了平行四边形的知识后，思考：如何在平行四边形里面作出一个菱形？他发现：通过角平分线构造平行四边形，再利用平行四边形边的关系可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）在中，用尺规作的角平分线交于点，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：中，，的角平分线交于，在上截取，连接．证明：四边形是菱形． 证明：平分 ①______． 四边形为平行四边形， ， ②______， ， ③______． ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 是菱形．（④______） 19. 学校团委举行以“传承五四精神，展现青春风采”为主题的团史知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析（成绩得分用表示，单位：分，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），共分成四组：A．；B．；C．；D．，部分信息如下：七年级20名学生的竞赛成绩为：75，77，78，79，79，81，85，87，87，87，89，90，91，93，93，94，95，96，97，98： 八年级20名学生的成绩在组的数据是：； 七、八年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 88 八年级 91 八年级所抽学生成绩扇形统计图 （1）上述图表中______，______，_______； （2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的团史基础知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有1600名学生、八年级有1000名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与一次函数的图象交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E，当时，求的长． 22. 某牛肉干有五香味和麻辣味两种类型，小新打算购买若干袋五香味和麻辣味牛肉干． （1）小新花费4300元购买了40袋五香味牛肉干和50袋麻辣味牛肉干，已知10袋五香味牛肉干和9袋麻辣味牛肉干的售价相同，求每袋五香味牛肉干和麻辣味牛肉干的售价分别是多少元？ （2）由于市场供不应求，五香味和麻辣味牛肉干的价格均有上涨，其中每袋麻辣味牛肉干的售价是每袋五香味牛肉干售价的1.2倍，小新分别花费了1800元和3500元购买麻辣味牛肉干和五香味牛肉干，一共购买了100袋，求每袋五香味牛肉干的售价． 23. 如图，在菱形中，对角线交于点O，，．动点P从O点出发，沿路线运动，到达点A时停止运动，设，的面积的为，的长度与x的比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）如图2，将直线向上平移，过y轴上的点G且经过反比例函数图象上的点，，过点E作轴于点M，连接，动点N为y轴上一点，若，请求出所有满足条件的N点的坐标． 25. 在平行四边形中，． （1）如图1，若，，求四边形的面积； （2）如图2，，点E为边上一点，连接，点F为上一点，连接交于点G，连接，若，求证：； （3）如图3，已知，，点P与点Q分别为线段与上的动点，满足，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春八年级（下）学业质量达标监测试卷 数学（华师版） 数学测试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征．根据原点对称的性质，两个对称点的横纵坐标均互为相反数，直接计算即可得出答案． 【详解】解：点关于原点对称时，其横坐标变为，纵坐标变为， ∴对称点的坐标为， 故选：C． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上，据此求解. 【详解】解：∵， ∴点在反比例函数的图象上， 故选：D. 4. 在平面直角坐标系中，函数的图象会经过第（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟悉一次函数的性质是解答本题的关键． 根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴图象经过第一、第三、第四象限， 故选C． 5. 在体育封闭训练期间，甲、乙、丙、丁四位跳远选手在一周同样的训练中，跳远成绩的平均分相等，方差分别为，，，，则甲、乙、丙、丁四位跳远选手这一周跳远成绩波动最小的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了方差的意义，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，据此求解即可． 【详解】解：四位选手的平均分相同，因此只需比较方差的大小． ∵甲的方差最小，说明甲的成绩波动最小，最稳定． 故选：A． 6. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，，则△的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得CO= AO= 2，BO= DO= 3，即可求解． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CO=AO==2，BO=DO==3， ∴△BOC的周长 = BO+CO+ BC= 2+3+4= 9， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 7. 把分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的一半 【答案】A 【解析】 【分析】将x，y的值用代替，根据分式的性质化简． 【详解】解：； 故选：A． 【点睛】本题考查分式的基本性质；掌握分式的性质是解题的关键． 8. 下列不属于矩形的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 四个角都相等 C. 每一条对角线平分一组内角 D. 两条对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质分别进行判断即可． 【详解】解：A．两组对边分别平行属于矩形的性质，故选项不符合题意； B．四个角都相等属于矩形的性质，故选项不符合题意； C．每一条对角线平分一组内角不属于矩形的性质，故选项符合题意； D．两条对角线相等属于矩形的性质，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 9. 如图，在边长为8的正方形中，点E是边的中点，在对角线上任取一点M，连接、，当时，的面积为（ ） A. 16 B. 12 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过M作交于F，交于G，作交于H，证明，根据勾股定理得到，设，由等面积法求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过M作交于F，交于G，作交于H， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵在边长为8的正方形中，点E是边的中点， ∴， 解得：， 设， ∵， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10. 已知整式，其中均为整数，为正整数，n为自然数，且满足．则下列说法： ①当时，满足条件的整式M中有1个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M是二次三项式； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式的分类讨论，结合绝对值和非负整数的性质，分情况讨论各n的可能情况，并验证各说法的正确性即可． 【详解】解：∵整式，且满足 ∴： ⇒ （唯一情况），（单项式）． ： ⇒ ．． ∵为正整数，可能取1、2、3： 时， ⇒ （2种二项式）． 时， ⇒ （2种二项式）． 时， ⇒ （1种单项式）． 共5种，其中仅1个单项式（）． ： ⇒ ．； 为正整数，可能取1或2： 时，其他系数为0 ⇒（1种单项式）． 时，： ，（2种二项式）． ，（2种二项式）． 共5种，无三次项． ： ⇒ ，其他系数为0 ⇒（1种单项式）． ：不满足条件． 验证说法： ①当时，有1个单项式：正确（仅）． ②不存在二次三项式：正确（时，系数绝对值之和为1，无法形成三个非零项）． ③总共有14个整式：错误（实际总数为种）． 综上，正确的说法为①和②，共2个， 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 已知一组数据2，x，1，4的平均数是2，则这组数据中的x的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平均数求未知数据的值，根据平均数计算公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一组数据2，x，1，4的平均数是2， ∴， ∴， 故答案为：1． 12. 如图，在矩形中，，E为边中点，连接，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和等腰直角三角形的判定和性质，得出是解题的关键； 根据矩形的性质可得三角形是等腰直角三角形，可得，同理可得，进而求解． 【详解】解：∵E为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 同理， ∴， 故答案为：90． 13. 若点都在一次函数的图象上，则__________（用“”“”或“”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数的函数值大小，根据解析式可得y随x增大而减小，再由于，即可得到． 【详解】解：一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，连接交于点，为上一点，连接．若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质可得，，再根据勾股定理求出即可，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知是正整数，关于的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有正整数的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，解题关键是熟练掌握分式方程解的定义和解分式方程的一般步骤．先解关于的分式方程，再根据分式方程有非负整数解，列出关于的方程，解方程求出，然后根据是正整数，求出满足条件的所有正整数的值，再求出它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 分式方程有非负整数解， 且， 且， 是正整数， 或3， 满足条件的所有正整数的和为：， 故答案为：8． 16. 若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足百位数字的平方恰好等于千位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“何方神数”，例如四位数2459，因为，所以2459是“何方神数”．若，A是“何方神数”，则A的最大值为__________．若是“何方神数”，将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数N，规定，，若为整数，且除以7余数是2，则满足条件的M的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算，整式的加减，根据是“何方神数”，得到，然后根据题意结合要取最大值即可求出A的最大值；由是“何方神数”，得到，然后表示出，根据为整数得到，然后表示出，根据除以7余数是2得到或，然后结合要求M的最小值和“何方神数”的定义求解即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：是“何方神数”，则， 一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0， 当或1时，符合题意， 又A要最大， 要取最大值， 当时，（负值舍去）， 故这个数最大为； 是“何方神数”， ， ， 为整数，， 结合题意，， 将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数， ， ， ∴ ， ∴ 除以7余数是2， ∴为7的倍数， ∵， ∴或 ∴或 ∵要求M的最小值 ∴ ∵ ∴当时， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0 ∴当时，，此时， ∴，不符合题意，应舍去； 当时，，此时， ∴，符合题意 综上，的最小值为， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题9个小题，17题、18题每个小题8分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程 ，分式的减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先合并，再利用平方差公式把分子分解因式，最后约分即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 18. 小育同学在学习了平行四边形的知识后，思考：如何在平行四边形里面作出一个菱形？他发现：通过角平分线构造平行四边形，再利用平行四边形边的关系可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）在中，用尺规作的角平分线交于点，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：中，，的角平分线交于，在上截取，连接．证明：四边形是菱形． 证明：平分 ①______． 四边形为平行四边形， ， ②______， ， ③______． ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 是菱形．（④______） 【答案】（1） 如图所示： （2），，，一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图—角平分线，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线的做法进行作图，得出点E，再以点为圆心，以的长为半径，画弧交于一点，即为，进行作答即可； （2）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，得出，再通过等角对等边得，结合，则，再证明四边形是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 学校团委举行以“传承五四精神，展现青春风采”为主题的团史知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析（成绩得分用表示，单位：分，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），共分成四组：A．；B．；C．；D．，部分信息如下：七年级20名学生的竞赛成绩为：75，77，78，79，79，81，85，87，87，87，89，90，91，93，93，94，95，96，97，98： 八年级20名学生的成绩在组的数据是：； 七、八年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 88 八年级 91 八年级所抽学生成绩扇形统计图 （1）上述图表中______，______，_______； （2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的团史基础知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校七年级有1600名学生、八年级有1000名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），，； （2）我认为八年级学生的竞赛成绩更好， 理由如下：因为八年级学生竞赛成绩的众数91分，大于七年级学生竞赛成绩的众数87分，所以八年级学生的竞赛成绩更好．（理由合理即可） （3）估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有620人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据众数的意义可得出结论； （3）用总数乘以优秀学生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：∵七年级20名学生的竞赛成绩中，出现次数最多的是， ∴， 由题意得：， ∴， 八年级中A组的人数为：（人）， B组的人数为：（人）， C组的人数为：（人）， D组的人数为：（人）， ∴八年级20名学生的竞赛成绩排在中间两个数为， ∴中位数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：我认为八年级学生的竞赛成绩更好． 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有620人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值以及实数的混合运算，熟练掌握分式的化简方法是解题的关键． 先对括号里的式子进行通分，接着运用公式法对后面式子的分子因式分解，将除号变为乘号，化简，再利用实数的混合运算求出x的值，代入前式即可． 【详解】解：原式 原式 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与一次函数的图象交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E，当时，求的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合． （1）由待定系数法求解即可； （2）设，则代入，求出，再代入，求出，最后由求解． 【小问1详解】 解：将点，代入，得 解得 则； 【小问2详解】 解：设，由知，E的纵坐标， 则代入 有 解得， 所以D点横坐标为6， 代入， 得， 所以． 22. 某牛肉干有五香味和麻辣味两种类型，小新打算购买若干袋五香味和麻辣味牛肉干． （1）小新花费4300元购买了40袋五香味牛肉干和50袋麻辣味牛肉干，已知10袋五香味牛肉干和9袋麻辣味牛肉干的售价相同，求每袋五香味牛肉干和麻辣味牛肉干的售价分别是多少元？ （2）由于市场供不应求，五香味和麻辣味牛肉干的价格均有上涨，其中每袋麻辣味牛肉干的售价是每袋五香味牛肉干售价的1.2倍，小新分别花费了1800元和3500元购买麻辣味牛肉干和五香味牛肉干，一共购买了100袋，求每袋五香味牛肉干的售价． 【答案】（1）每袋五香味牛肉干和香辣味牛肉干的售价分别是元、元 （2）每袋五香味牛肉干的售价为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设每袋五香味牛肉干售价元，每袋香辣味牛肉干售价元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设每袋五香味牛肉干售价为元，则每袋香辣味牛肉干为元，根据题意列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 设每袋五香味牛肉干售价元，每袋香辣味牛肉干售价元， 由题意得： 解得 答：每袋五香味牛肉干和香辣味牛肉干的售价分别是元、元． 【小问2详解】 设每袋五香味牛肉干售价为元，则每袋香辣味牛肉干为元，由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：每袋五香味牛肉干的售价为元． 23. 如图，在菱形中，对角线交于点O，，．动点P从O点出发，沿路线运动，到达点A时停止运动，设，的面积的为，的长度与x的比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 如图所示，即为所求； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，则可得到，据此根据三角形面积公式可得； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：联立，解得或， ∴由函数图象可得，当时，． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）如图2，将直线向上平移，过y轴上的点G且经过反比例函数图象上的点，，过点E作轴于点M，连接，动点N为y轴上一点，若，请求出所有满足条件的N点的坐标． 【答案】（1） （2）4 （3）点坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）求出B、C的坐标，根据列式求解即可； （3）求出，，则可得到直线的解析式为，进而可得，，证明，得到，则；连接，可证明，得到，则，故点即为点N的一个位置，在轴上取点满足，则此时，则满足题意． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ， 当时，， ， 将代入中，解得， ∴反比例函数的表达式为 【小问2详解】 解：在中，当时，，当时，， ，， ∴； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ， 当时，， ， 设直线为，将代入中，得， 直线的解析式为， 在中，当，， ∵轴， ， ∴， ∴， 又∵， ， 连接， ∵， ∴， ， ， 点即为点N的一个位置， 在轴上取点满足， 则此时， ∴满足题意， 综上，点坐标为或． 25. 在平行四边形中，． （1）如图1，若，，求四边形的面积； （2）如图2，，点E为边上一点，连接，点F为上一点，连接交于点G，连接，若，求证：； （3）如图3，已知，，点P与点Q分别为线段与上的动点，满足，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：作，交于点 ，， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 在和中， ． ，， 在和中 ． ， ； （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）过点D作于点H，证明，结合，，从而可得答案； （2）作，交于点，证明，可得，证明，，可得，进一步可得； （3）过点A作，使，证明，，，求解，再证明，可得，当B、P、R三点共线时，的值最小，最小值为的长度，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：过点D作于点H， ， ， 在中，，， ； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的最小值为，理由如下： 过点A作，使， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 当B、P、R三点共线时，的值最小，最小值为的长度， ∵， ∴； ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $