山东省淄博市高青县2024-2025学年六年级下学期期末数学试题（五四学制）

2024-2025学年山东省淄博市高青县六年级（下）期末数学试卷 （五四学制） 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1．（4分）如图，轩轩同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两条直线相交，只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．经过一点的直线有无数条 D．两点之间，线段最短 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A．x3+x5＝x8 B．x•x5＝x6 C．（x3）5＝x8 D．x6÷x3＝x2 3．（4分）如图，O是直线AB上的一点，作射线OC．若∠BOC＝56°48′，则∠AOC的度数为（　　） A．124°52′ B．124°12′ C．123°52′ D．123°12′ 4．（4分）小颖现有存款300元．为赞助“希望工程”，她计划今后每个月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（个月）之间的函数关系式是（　　） A．y＝20x B．y＝300+20x C．y＝300﹣20x D．y＝240x 5．（4分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 6．（4分）已知∠AOB＝75°，∠BOC＝35°，则∠AOC的度数为（　　） A．40° B．110° C．40°或110° D．无法确定 7．（4分）我国古代数学名著《算法统宗》中有一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折后去量竿，则绳索比竿短5尺．若设竿长为x尺，则可列方程为（　　） A．2（x+5）+5＝x B．x+5+2＝5﹣x C． D． 8．（4分）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面30m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（　　） A．5s时，两架无人机都上升了40m B．10s时，两架无人机的高度差为30m C．乙无人机上升的速度为6m/s D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m 9．（4分）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝52°，已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（　　） A．52° B．60° C．68° D．112° 10．（4分）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．（4分）已知5a+8b＝3b+10，利用等式性质可求得a+b的值是 　 　 ． 12．（4分）若一个多边形从一个顶点出发可以连出7条对角线，这个多边形的边数为　 　 ． 13．（4分）将一块直角三角板ABC按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若∠2＝52°，则∠1的度数为 　 　 ． 14．（4分）如图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地锄草，然后回家．已知菜地与青稞地的距离为a千米，小刚在青稞地锄草比在菜地浇水多用了b分钟，则ab的计算结果为　 　 ． 15．（4分）某古书记载有一个狡猾的地主，把一块边长为am的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把这块地的一边减少10m，另一边增加10m，变成长方形继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用学过的相关知识分析一下，马老汉租用的土地面积少了 　 　 m2． 三、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的解答过程。） 16．（1）解方程：6x﹣6＝20﹣7x； （2）计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）． 17．如图所示，OE是∠AOD的平分线，OC是∠BOD的平分线． （1）如果∠AOE＝45°，∠BOD＝40°，那么∠COE是多少度？ （2）如果∠AOB＝130°，∠COD＝20°，那么∠BOE是多少度？ 18．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积． 19．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y（元）与印刷数量x（张）之间关系如表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 收费y（元） … 15 30 45 60 … （1）表格体现了哪两个变量之间的关系？ （2）直接写出收费y（元）与印刷数量x（张）之间关系式； （3）若收费为300元，求印刷宣传单的数量． 20．如图，直线AF、DE，射线BC平分∠ABD交DE于点C． （1）若∠DBF＝54°，求∠2的度数； （2）若∠1+∠2＝180°，请说明：AB∥CD． 21．我校七，八年级准备组织观看电影《热辣滚烫》，由两个年级组长负责买票，每个年级人数都多于400人，票价每张25元，七年级组长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：400人以上的团体票有两种优惠方案可供选择．方案一：全体人员可打8折；方案二；若打9折，有50人可以免票． （1）若八年级有420名学生，则他选择哪个方案更优惠？ （2）七年级组长思考一会儿说，我们年级无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道七年级有多少人吗？ 22．根据图形，回答下列问题： （1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形、用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 　 　 ． （2）利用等量关系解决下面的问题： ①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值； ②已知，求的值． 23．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点G在AB和CD之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若∠BEF＝60°，FG是∠EFC的平分线，求∠GFC的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接EG，GF．求证：∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°； 【深入探究】 （3）如图3，连接EG，GF，若∠AEG＝60°，∠GFC＝40°，∠AEG和∠GFC的平分线交于点P，求∠P的度数． 2024-2025学年山东省淄博市高青县六年级（下）期末数学试卷（五四学制） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B D C D B B C 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1．（4分）如图，轩轩同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两条直线相交，只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．经过一点的直线有无数条 D．两点之间，线段最短 【分析】两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，根据线段的性质解答即可． 【解答】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故选：D． 【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A．x3+x5＝x8 B．x•x5＝x6 C．（x3）5＝x8 D．x6÷x3＝x2 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、x3+x5，无法计算，故此选项错误； B、x•x5＝x6，正确； C、（x3）5＝x15，故此选项错误； D、x6÷x3＝x23，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（4分）如图，O是直线AB上的一点，作射线OC．若∠BOC＝56°48′，则∠AOC的度数为（　　） A．124°52′ B．124°12′ C．123°52′ D．123°12′ 【分析】用180°减去∠BOC的度数可得到∠AOC的度数，再由1°＝60′即可得出结论． 【解答】解：∵∠BOC＝56°48′，∠BOC+AOC＝180°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝123°12′． 故选：D． 【点评】本题考查的是度分秒的换算，角的概念，熟知1°＝60′是解题的关键． 4．（4分）小颖现有存款300元．为赞助“希望工程”，她计划今后每个月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（个月）之间的函数关系式是（　　） A．y＝20x B．y＝300+20x C．y＝300﹣20x D．y＝240x 【分析】根据存款总金额＝现已存款300元+每月20元×月数，即可得出答案． 【解答】解：由题意得：存款总金额y（元）与时间x（个月）之间的函数关系式是y＝300+20x， 故选：B． 【点评】本题考查了函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出其中的函数关系式． 5．（4分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 【分析】根据面积相等，列出关系式即可． 【解答】解：由题意这两个图形的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键． 6．（4分）已知∠AOB＝75°，∠BOC＝35°，则∠AOC的度数为（　　） A．40° B．110° C．40°或110° D．无法确定 【分析】分两种情况讨论，一是OC在∠AOB内部，二是OC在∠AOB外部，利用角的和差关系计算即可． 【解答】解：分两种情况讨论， ①当OC在∠AOB内部时，如图1， ∵∠AOB＝75°，∠BOC＝35°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°； ②当OC在∠AOB外部时，如图2， ∵∠AOB＝75°，∠BOC＝35°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°， 综上可知，∠AOC为40°或110°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平面内角的运算，根据射线OC的位置不同，分类讨论是解题的关键． 7．（4分）我国古代数学名著《算法统宗》中有一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折后去量竿，则绳索比竿短5尺．若设竿长为x尺，则可列方程为（　　） A．2（x+5）+5＝x B．x+5+2＝5﹣x C． D． 【分析】设竿长x尺，绳索长（x+5）尺，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程5＝x，据此可得答案． 【解答】解：由题意得，5＝x， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．（4分）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面30m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（　　） A．5s时，两架无人机都上升了40m B．10s时，两架无人机的高度差为30m C．乙无人机上升的速度为6m/s D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【解答】解：由图象可得， A．5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了40﹣30＝10（m），故错误； B．10s时，两架无人机的高度差为：（8×10）﹣（30+2×10）＝30（m），故正确； C．甲无人机的速度为：40÷5＝8（m/s），乙无人机的速度为：（40﹣30）÷5＝2（m/s），故错误； D．10s时，甲无人机距离地面的高度是8×10＝80（m），故错误； 故选：B． 【点评】本题考查函数图象的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键． 9．（4分）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝52°，已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（　　） A．52° B．60° C．68° D．112° 【分析】由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝68°，再由三角形的内角和可求得∠ACB＝60°，再次利用平行线的性质即可求∠MAC的度数． 【解答】解：∵AB，CD都与地面平行，∠BCD＝68°， ∴∠ABC＝∠BCD＝68°， ∵∠BAC＝52°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°， ∵AM与CB平行， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 10．（4分）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【分析】观察图形，阴影部分除了在正方形中，还以正方形边长为直角边构造三角形，因此阴影部分可看作由不同三角形组成，每个阴影部分都与其所在三角形有关系，由此可逐个分析：首先令直线BF与直线CD的交点为O（如图），则可看出△BDO与△EFO、△BGF有关，用△BCD与▱ECGF的面积和减去△BGF的面积可得阴影部分△BDO与△EFO的面积，阴影部分△DEF和△CGF的面积可依据正方形的边长a与b各自求出．至此，阴影部分面积可计和求出，然后利用已知条件进行完全平方公式再代入计算数值． 【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O； 则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；① S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ② S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③ ∴阴影部分面积＝①+②+③ ＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2 ＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2 ＝（a2+b2）÷2，④ 由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式： （ a+b）2＝102， 解得a2+b2+2ab＝100， a2+b2＝100﹣2•20， 化简＝60代入④式， 得60÷2＝30， ∴S阴影部分＝30． 方法2：∵CF∥BD， ∴△BDF的面积＝△BCD的面积， ∴阴影部分的面积＝△BCD的面积+△CGF的面积（a2+b2）， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴（a2+b2）（a+b）2﹣ab＝50﹣20＝30； 故选：C． 【点评】本题考查了几何图形关系，即阴影部分面积与三角形面积和正方形面积的关系，同时考查了完全平方公式的运用和符号计算变化． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．（4分）已知5a+8b＝3b+10，利用等式性质可求得a+b的值是 　2　 ． 【分析】根据等式的性质，等式的两边同时减去3b，可得5a+5b＝10，再把等式的两边同时除以5即可． 【解答】解：5a+8b＝3b+10， 5a+8b﹣3b＝3b﹣3b+10， 5a+5b＝10， 5（a+b）＝10， a+b＝2． 给答案为：2． 【点评】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 12．（4分）若一个多边形从一个顶点出发可以连出7条对角线，这个多边形的边数为　10　 ． 【分析】根据多边形的对角线性质即可求得答案． 【解答】解：已知一个多边形从一个顶点出发可以连出7条对角线， 则这个多边形的边数为7+3＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查多边形的对角线，熟练掌握其性质是解题的关键． 13．（4分）将一块直角三角板ABC按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若∠2＝52°，则∠1的度数为 　142°　 ． 【分析】过A作AM∥a，得到AM∥b，推出∠MAB＝∠2＝52°，∠3+∠MAC＝180°，求出∠MAC＝38°，得到∠3＝142°，由对顶角的性质得到∠1＝∠3＝142°． 【解答】解：过A作AM∥a， ∵a∥b， ∴AM∥b， ∴∠MAB＝∠2＝52°，∠3+∠MAC＝180°， ∵∠MAC＝90°﹣∠MAB＝38°， ∴∠3＝142°， ∴∠1＝∠3＝142°． 故答案为：142°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠MAB＝∠2，∠3+∠MAC＝180°． 14．（4分）如图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地锄草，然后回家．已知菜地与青稞地的距离为a千米，小刚在青稞地锄草比在菜地浇水多用了b分钟，则ab的计算结果为　4　 ． 【分析】根据函数图象可以求得a、b的值，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， a＝1.5﹣1＝0.5， b＝（56﹣33）﹣（27﹣12）＝23﹣15＝8， ∴ab＝0.5×8＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．（4分）某古书记载有一个狡猾的地主，把一块边长为am的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把这块地的一边减少10m，另一边增加10m，变成长方形继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用学过的相关知识分析一下，马老汉租用的土地面积少了 　100　 m2． 【分析】根据平方差公式的定义和列代数式的方法进行计算． 【解答】解：原来的面积是：a2 （m2）， 后来的面积是：（a+10）（a﹣10）＝（a2﹣100）m2， ∵a2﹣（a2﹣100）＝100， ∴马老汉租用的土地面积少了100m2． 故答案为：100． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，列代数式，掌握平方差公式的定义和列代数式的方法是关键． 三、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的解答过程。） 16．（1）解方程：6x﹣6＝20﹣7x； （2）计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）． 【分析】（1）利用移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）利用完全平方及平方差公式展开，然后去括号，最后合并同类项即可． 【解答】解：（1）原方程移项得：6x+7x＝20+6， 合并同类项得：13x＝26， 系数化为1得：x＝2； （2）原式＝x2+2x+1﹣（x2﹣4） ＝x2+2x+1﹣x2+4 ＝2x+5． 【点评】本题考查整式的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键． 17．如图所示，OE是∠AOD的平分线，OC是∠BOD的平分线． （1）如果∠AOE＝45°，∠BOD＝40°，那么∠COE是多少度？ （2）如果∠AOB＝130°，∠COD＝20°，那么∠BOE是多少度？ 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠DOE、∠COD的度数，即可求出∠COE的度数； （2）根据角平分线的定义求出∠BOD的度数，结合∠AOB＝130°即可求出∠DOA的度数，于是求出∠DOE的度数，即可求出∠BOE的度数． 【解答】解：（1）∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠AOE＝∠DOE， ∵∠AOE＝45°， ∴∠DOE＝45°， ∵OC是∠BOD的平分线， ∴， ∵∠BOD＝40°， ∴∠COD＝20°， ∴∠COE＝∠DOE+∠COD＝45°+20°＝65°， 答：∠COE是65度； （2）∵OC是∠BOD的平分线， ∴∠BOC＝∠COD， ∵∠COD＝20°， ∴∠BOC＝20°， ∴∠BOD＝40°， ∵∠AOB＝130°， ∴∠DOA＝∠AOB﹣∠BOD＝130°﹣40°＝90°， ∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠DOE， ∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝40°+45°＝85°， 答：∠BOE是85度． 【点评】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 18．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积． 【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积； （2）代入a＝3，b＝2计算即可． 【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2 ＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝5a2+3ab； （2）当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）． 【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 19．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y（元）与印刷数量x（张）之间关系如表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 收费y（元） … 15 30 45 60 … （1）表格体现了哪两个变量之间的关系？ （2）直接写出收费y（元）与印刷数量x（张）之间关系式； （3）若收费为300元，求印刷宣传单的数量． 【分析】（1）根据题意可得表格体现了收费y（元）与印刷数量x（张）之间关系； （2）设函数关系式为y＝kx，把x＝100，y＝15代入上式，即可算出k的值，即可得出收费y（元）与印刷数量x（张）之间关系式； （3）把y＝300代入（2）中的关系即可得出答案． 【解答】解：（1）收费y（元）与印刷数量x（张）之间关系； （2）y＝0.15x； （3）当y＝300时， 300＝0.15x， 解得x＝2000， 收费为300元，求印刷宣传单的数量为2000张． 【点评】本题主要考查了函数的表示方法，变量与常量，函数关系式，熟练掌握函数的表示方法，变量与常量，函数关系式的表示方法进行求解是解决本题的关键． 20．如图，直线AF、DE，射线BC平分∠ABD交DE于点C． （1）若∠DBF＝54°，求∠2的度数； （2）若∠1+∠2＝180°，请说明：AB∥CD． 【分析】（1）根据平角定义及角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线定义及平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：（1）∵∠DBF＝54°，∠ABD+∠DBF＝180°， ∴∠ABD＝126°， ∵BC平分∠ABD， ∴； （2）∵BC平分∠ABD， ∴∠2＝∠ABC． ∵∠1+∠2＝180°，∠1＝∠BCE， ∴∠BCE+∠ABC＝180°， ∴AB∥CD． 【点评】此题考查了平行线的判定、角平分线定义等知识，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 21．我校七，八年级准备组织观看电影《热辣滚烫》，由两个年级组长负责买票，每个年级人数都多于400人，票价每张25元，七年级组长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：400人以上的团体票有两种优惠方案可供选择．方案一：全体人员可打8折；方案二；若打9折，有50人可以免票． （1）若八年级有420名学生，则他选择哪个方案更优惠？ （2）七年级组长思考一会儿说，我们年级无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道七年级有多少人吗？ 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以分别求出两种方案下的花费情况，然后比较大小即可； （2）根据二班无论选择哪种方案要付的钱都是一样的，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【解答】解：（1）（1）方案一：25×0.8×420＝8400（元）， 方案二：25×0.9×（420﹣50）＝8325（元）， ∵8400＞8325， ∴若八年级有420名学生，选择方案二更优惠； （2）设七年级有x人， 根据题意得：25×0.8x＝25×0.9（x﹣50）， 解得x＝450， 答：七年级有450人． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 22．根据图形，回答下列问题： （1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形、用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 　（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn　 ． （2）利用等量关系解决下面的问题： ①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值； ②已知，求的值． 【分析】（1）方法1，根据“S阴影＝图②中大正方形的面积一图①中长方形的面积”即可得出答案；根据图②中小正方形的边长为（m+n），S阴影＝小长方形的面积即可得出答案； （2）①由（1）中所得的等量关系得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，将a﹣b＝5，ab＝﹣6，代入即可得（a+b）2的值；再根据以（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1，据此可得所以a2+b2＝25+2ab＝25+2×（﹣6）＝13； ②将，配方得，进一步计算即可得出答案． 【解答】解：（1）方法1，因为图②中大正方形的边长为（m+n），所以图②中大正方形的面积为：（m+n）2，因为图①中长方形的长为2m、宽为2n，所以图①中长方形的面积为：2m×2n＝4mn， 因为S阴影＝图②中大正方形的面积一图①中长方形的面积，所以S阴影＝（m+n）2﹣4mn，方法2：由条件可知S阴影 ＝小长方形的面积＝（m﹣n）2， 所以等量关系是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn． 故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn． （2）由（1）得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn， ①所以（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 因为a﹣b＝5，ab＝﹣6， 所以（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1， 所以a2+b2﹣2ab＝25， 所以a2+b2＝25+2ab＝25+2×（﹣6）＝13； ②由， 可得， 即， 所以． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 23．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点G在AB和CD之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若∠BEF＝60°，FG是∠EFC的平分线，求∠GFC的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接EG，GF．求证：∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°； 【深入探究】 （3）如图3，连接EG，GF，若∠AEG＝60°，∠GFC＝40°，∠AEG和∠GFC的平分线交于点P，求∠P的度数． 【分析】（1）由AB∥CD，得到∠EFC＝∠BEF，结合已知的角度，得到结果； （2）通过作辅助线，得到AB∥CD∥GH，利用两直线平行，同旁内角互补，得到∠BEG+∠EGH＝180°，∠HGF+∠GFD＝180°，即可得到结果； （3）通过作平行线，得到∠EPM＝∠AEP，∠MPF＝∠PFC，结合角平分线，得到结果． 【解答】（1）解：图1，AB∥CD，∠BEF＝60°， ∴∠EFC＝∠BEF＝60°， ∵FG是∠EFC的平分线， ∴∠GFC∠EFC＝30°； （2）证明：图2，过点G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GH， ∴∠BEG+∠EGH＝180°，∠HGF+∠GFD＝180°， ∴∠BEG+∠EGH+∠HGF+∠GFD＝360° ∴∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°； （3）解：图3，过点P作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠EPM＝∠AEP，∠MPF＝∠PFC， ∵PE平分∠AEG，PF平分∠GFC，∠AEG＝60°，∠GFC＝40°， ∴∠AEP∠AEG＝30°，∠PFC∠GFC＝20°， ∴∠EPM＝30°，∠MPF＝20°， ∴∠EPF＝50°． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$