第12讲 二元一次方程组的应用（4大知识点+15大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025－2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第12讲 二元一次方程组的应用（4大知识点+15大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 方案问题 典型例题二 行程问题 典型例题三 工程问题 典型例题四 数字问题 典型例题五 年龄问题 典型例题六 分配问题 典型例题七 销售、利润问题 典型例题八 和差倍分问题 典型例题九 几何问题 典型例题十 图表信息题 典型例题十一 古代问题 典型例题十二 新定义问题 典型例题十三 三元一次方程组的应用 知识点01 列方程组解应用题的基本思路 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）李老师为学校购买口罩，第一次用3350元购买医用外科口罩1000个，型口罩50个；第二次用5200元购买医用外科口罩1500个，型口罩100个．若两次购买的同类口罩单价相同，求这两种口罩的单价．（列方程组解） 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）甲、乙两蔬菜基地生产同一种蔬菜，都计划把全年的蔬菜销往重庆，这样两蔬菜基地的蔬菜就能占有重庆市场同类蔬菜的；由于疫情，实际情况并不理想，甲蔬菜基地仅有的蔬菜、乙蔬菜仅有的蔬菜销到了重庆，两蔬菜基地的蔬菜仅占了重庆市场同类蔬菜的，则甲蔬菜基地该蔬菜的年产量与乙蔬菜基地该蔬菜的年产量的比为 ． 知识点02 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 【即时训练】 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架．书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容积为3斛；大容器1个，小容器5个，总容积为2斛．问大、小容器的容积各是多少斛？”设大容器容积为斛，小容器容积为斛，则可列方程组为 ． 知识点03 列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【即时训练】 1．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）若一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字和为5，则这样的两位数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？（    ） A．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为100元和25元 B．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为120元和5元 C．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元 D．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为130元和6元 知识点04 二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·期中）某生产线现有个工人，一个工人每天可生产6个螺杆或个螺母，1个螺杆和2个螺母为一套，现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人生产螺杆，y个工人生产螺母，则列出正确的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽·期末）某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【典型例题一 方案问题】 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）小明到某文具店购买若干笔记本和中性笔共花费198元，已知笔记本每本5元，中性笔每支3元，设购买笔记本x本，购买中性笔y支，x，y均为正整数，则满足条件的购买方案有（   ） A．10种 B．11种 C．12种 D．13种 【例2】（23-24七年级上·安徽淮北·期中）为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有 种． 【例3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）某村为建设美丽乡村、为村民提供良好的休闲活动场所，采购了33吨路面砖准备铺设一个村民活动场所，现向某运输公司同时租赁A、B两种车型货车运送．已知用2辆A型车和1辆B型车装满一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车装满一次可运13吨路面砖． (1)求1辆A型车和1辆B型车都装满面砖一次可分别运多少吨？ (2)若A型车每辆租金为元/次，B型车每辆租金为元/次，33吨路面砖一次运完且恰好每辆车都装满．请求出较省钱的一种租车方案． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用180元购买A、B、C三种奖品（三种都买），A种每个10元，B种每个20元，C种每个40元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，共有几种购买方案（    ） A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．问：这批游客的人数是多少人？原计划租用多少辆45座客车？ 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）某校在2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元． (1)求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级10个班级的学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，具体写出共有多少种租车方案？哪种方案，花费最少？ 4．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； (2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请问有几种购买方案？ (3)若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果） 【典型例题二 行程问题】 【例1】（23-24七年级上·安徽阜阳·课后作业）A，B两地相距，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，后相遇，又经过后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，则甲、乙二人的速度分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】（24-25七年级上·山东滨州·期末）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为 里/小时． 【例3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 1．（2024·四川成都·模拟预测）从甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要，从乙地到甲地需．则从甲到乙地的全程是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·安徽阜阳·专题练习）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．则该轮船在静水中的速度为 千米/小时，水流速度为 米/小时． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）一个户外运动俱乐部的成员完成了两天的徒步运动．两天的徒步时间分别为和，共走了，且第一天比第二天少走，这个俱乐部的成员两天徒步的平均速度各是多少？ 4．（24-25七年级上·江苏南通·期中）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【典型例题三 工程问题】 【例1】（23-24七年级上·安徽阜阳·课后作业）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是 天，计划生产 辆电动车． 【例3】（2025·北京通州·模拟预测）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 1．（24-25七年级上·重庆北碚·阶段练习）甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树 小时后立即转到B地． 3．（23-24七年级上·吉林·期中）一家商场进行装修，若请甲、乙两个装修队同时施工，天可以完成，需付两个装修队费用共元；若先请甲装修队单独施工天，再请乙装修队单独施工天也可以完成，需付两个装修队费用共元． (1)求甲、乙两个单独装修一天，商场各应付多少元？ (2)若只选一个装修队单独完成，从节约开支角度考虑，应选______装修队，比另一装修队少花______元． 4．（23-24七年级上·江西九江·期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成． (1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________； (2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 【典型例题四 数字问题】 【例1】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，的网格内填了一些数与式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则的值是（   ） 3 2 A． B．0 C．1 D．2 【例2】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 【例3】（24-25七年级上·天津西青·期末）将9个数填入正方形的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图①就是填好的一个正方形，图②中已经填好一部分数字．    （1）图②中是否存在正整数x，y满足上述条件？ （填“是”或“否”）． （2）若图②中存在正整数x，y满足上述条件，请写出x与y的乘积：若不存在，请说明理由． ． 1．（2025·广东广州·模拟预测）如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（   ） y 6 5 x 7 8 A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆潼南·期中）已知m为任意的两位数，若m的各位数字不同且不为0，这样的两位数学称为“异同数”．把一个“异同数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以11的商记为．例如对调后的两位数为54，这两个数的和为99，，所以．计算： ．若a，b都是“异同数”，（，x，y为整数）当时，则的最大值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 4．（2025·安徽亳州·模拟预测）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【典型例题五 年龄问题】 【例1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【例2】（23-24七年级上·安徽阜阳·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 【例3】（23-24七年级上·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 2．（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 3．（24-25六年级下·上海静安·课后作业）一名学生问老师：“您今年多大？”老师说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了。”问：老师、学生今年多大了． 4．（2025七年级上·安徽阜阳·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【典型例题六 分配问题】 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒．现有40张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板若做了竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字比略大些，是，，，，中某个数字，则这个数字是 ，按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多 个    【例3】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 2．（24-25七年级上·河南许昌·期末）第十四届三国文化旅游周吸引了大量的游客，游客们品读三国文化，赏鉴花都美景，感受许昌盛情，共赴了一场“许”久“魏”见的美好时光，旅游周期间，一家酒店接待了一个35人的旅游团，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚140元（说明：三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付140元）．已知该旅游团一晚的住宿房费为1740元，则他们租住了 间一人间． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）优秀文化是文创产品的灵魂．西安肉夹馍、天水麻辣烫本身就是“圈粉”需求的地方代表性特色美食，以其为原型和载体创新文创产品“绒馍馍”和“麻辣烫”，生动展示了本土美食的独特韵味．一盒“绒馍馍”234元，一锅“麻辣烫”108元，某网友一次购买相应规格的“绒馍馍”和“麻辣烫”共10盒（锅），两种产品均享受七五折的优惠，共花费1188元，则该网友购买“绒馍馍”多少盒，购买“麻辣烫”多少锅？ 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【典型例题七 销售、利润问题】 【例1】（2025·广西钦州·模拟预测）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进x套，第二次购进y套，根据题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·山西朔州·期末）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A绣球花、B祥云两种图案组合而成．因制作工艺不同，A，B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为 元． 【例3】（24-25七年级上·山东威海·期中）某村部分青年返乡创业生产销售A，B两种茶叶，去年年初制订的计划是完成总销售利润200万元．经过努力，其中生产销售A种茶叶的利润比原计划增加5%，生产销售B种茶叶的利润比原计划增加15%，实际生产销售的总利润为225万元，他们去年生产销售A，B两种茶叶实际完成的销售利润各多少万元？ 1．（23-24七年级上·江西南昌·期末）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下，那么购买一支笔和一本笔记本应共付（    ）． 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本 售货员：好的，那你应付款52元 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元 A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 2．（2025七年级上·安徽阜阳·专题练习）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．则成人票每张原价为 元，儿童票每张原价 元． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）小欣打算购买气球装扮好朋友小岩的生日派对现场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于布置的需要，购买时以一束（个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为多少元？ 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．一家商店连续两个月销售规格为“”的“冰墩墩”和“雪容融”摆件，销售情况如下表所示． 销售量/件 销售额/元 冰墩墩 雪容融 第1个月 100 40 12320 第2个月 160 60 19360 分别求“冰墩墩”和“雪容融”摆件的零售价格． 【典型例题八 和差倍分问题】 【例1】（2025·青海·模拟预测）为响应“科教兴国”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需34800元，设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，则到云水涧旅游的人数为 ． 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·假期作业）在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（    ） A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8 2．（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 3．（24-25七年级上·重庆云阳·期中）阅读是人类进步的阶梯，现在的中小学生是祖国的未来，“用阅读点燃中国梦”，某校为更丰富读书内容，又新购进书册若干件，为让同学更早更快阅读，初二年级组织了86名同学搬书．为便于管理，把其中50名同学分成A、B两组，另外的36名同学分成C、D两组．A、C两组把书搬到甲地点，B、D两组把书搬到乙地点，A组搬书的人均件数比B组的人均件数多2件，C、D两组人均件数相同，且是B组搬书的人均件数的2.5倍，甲、乙两个地点的人均搬书件数相同，且比A组搬书的人均件数高25%，已知搬书的人均件数为整数．则这次该校又新购进书册共 件． 4．（24-25七年级上·广东珠海·期中）某校积极开展课外兴趣活动．已知七年级一班同学中，参加球类项目的学生与参加艺术类项目的学生共32人，且参加球类项目的学生比参加艺术类项目的学生多4人．求参加球类和艺术类项目的学生各多少人． 解：题中的相等关系有： 参加球类项目的学生人数+_参加艺术类项目的学生_______＝32；_参加球类项目的学生人数_____﹣参加艺术类项目的学生人数＝4．若设参加球类项目的学生有x人，参加艺术类项目的学生有y人，则根据题意，列出方程组并求解． 【典型例题九 几何问题】 【例1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图，周长为的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则一个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，小明准备将78张形状、大小完全相同的小长方形（长是宽的3倍）卡片，既不重叠又无空隙地放在一个长方形（长与宽的比为）的蛇年插画边沿，则得到的新长方形的长与宽的比为 . 【例3】（2025·陕西西安·模拟预测）在长方形中放入七个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中空白部分的面积之和． 1．（24-25七年级上·北京·期中）现有如图①的小长方形纸片若干，如图②的图形若干，用3个如图②的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为12，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长为18，宽为8的长方形如图2，则图2中（1）部分的面积是 ． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度． 4．（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）． (1)若该厂购进正方形纸板1500张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 【典型例题十 图表信息题】 【例1】（24-25七年级上·山东临沂·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些代数式，若图中横行、竖行及斜行上的三个数之和都相等，则x－y的值为（    ） x 2y -2 y 6 0 A．4 B．6 C．8 D．10 【例2】（23-24七年级上·湖北黄石·期末）每年5月的第二个星期日为母亲节．母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知一束鲜花的价格是 元； 【例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行各列到及对角线上的三个数之和都相等，则（    ） A．5 B．4 C．6 D．8 2．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位．已知第一、二束气球的价格如图所示（图示：第一束气球价格14元，第二束18元），则第三束气球的价格为 ． 3．（24-25七年级上·北京昌平·期中）用方程或方程组解决问题： 某校初一1班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，捐款情况如下表： 捐款/元 2 5 10 15 人数 5 10 表格中捐款5元和10元的人数被墨水污染了，问：捐5元和10元的人数各是多少？ 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·假期作业）在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图，那么小明的得分是多少？请写出解答过程． 【典型例题十一 古代问题】 【例1】（2025·广东河源·模拟预测）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空：二人共车、九人步、人与车各几何？其意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．人与车各多少？若设有人，车辆，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·北京延庆·期中）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？（利用二元一次方程组求解） 1．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱x，乙需带钱y，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北黄冈·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则绳长多少尺？木长多少尺？ 答：（1）绳长 尺；（2）木长 尺． 3．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问旅店店主李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房． (1)该店客房有多少间？房客有多少人？ (2)假设旅店店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费200钱，且每间客房最多住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按八折优惠．若诗中众客再次一起入住，他们如何订房比较合算？ 4．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 【典型例题十二 新定义问题】 【例1】（24-25七年级上·贵州铜仁·阶段练习）对于有理数，定义新运算：，其中，是常数．已知，，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·四川乐山·期末）定义一种新运算“”：．若有，，则 ． 【例3】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）对于实数、规定一个新运算，（、是常数），已知，． (1)求、的值； (2)计算的值． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示． 【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元． 【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？ 3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在数轴上，对于不重合的三点、、，我们给出如下定义： 若点到点、的距离之和为，我们就把点、叫做点的“伴随点”． 例如：如图1，若点表示的数为，点到表示数的点与表示数的点的距离之和为，则点、为点的“伴随点”． 已知：不重合的点、、在数轴上，点表示数． (1)数轴上有三点、、，它们表示的数分别为、、，其中，有两个点为点的“伴随点”，则这两个点分别是______； (2)如图2，若点表示的数为，点、为点的“伴随点”． ①请直接写出：点的“伴随点”在数轴上对应的数为______；（直接写出结果） ②若在点的左侧，点表示的数比点表示的数大，点、为点的“伴随点”，求点表示的数： (3)若点、为点的“伴随点”，点在点的左侧，点到点、的距离相等，点到点、的距离相等，若点到点距离为，请问这样的点是否存在？若存在，请直接写出点在数轴上表示的数，若不存在，请说明理由． 4．（24-25七年级上·山西临汾·期中）有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的整体思想． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，_______； （2）“战疫情，我们在一起”，爱心公社计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么求的值．                                                               【典型例题十三 三元一次方程组的应用】 【例1】（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平右边应放“▲”的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若是从1，0，这三个数中取值的一列数，，，问中有 个0． 【例3】（24-25七年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 1．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则x的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·课后作业）甲、乙两种商品原来的单价之和为元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后两种商品的单价的和为元，甲、乙两种商品原来的单价相差 元． 3．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）现有标着，0，2的三张卡牌可供抽取（抽取后放回），若第一次抽出的卡牌数字记为，第二次抽出的卡牌数字记为，以此类推，后经统计发现，，且，则中0的个数为 个． 4．（2025·海南·模拟预测）海南某芒果种植基地为推进智慧农业，采用A、B两款无人机协同喷洒生态农药．已知A型无人机每小时可喷洒12公顷，但电池续航为5小时；B型无人机每小时喷洒10公顷，续航可达6小时．某日，A、B两型无人机共同完成一片芒果园的喷洒任务，总作业面积360公顷，且所有无人机累计飞行35小时．问：A、B两款无人机各出动多少架？ 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）在文具店，若买个橡皮、支铅笔共需元；若买个橡皮、支铅笔共需元，则买一个橡皮和一支铅笔共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，如图，则关于“□”“◯”“△”质量的大小关系，下列说法正确的是 （      ） A．△最重 B．◯最重 C．□最重 D．无法比较 3．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（　　） A．106cm B．110cm C．114cm D．116cm 4．（2025·广东广州·模拟预测）如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（   ） y 6 5 x 7 8 A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图，周长为的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则一个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期中）小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是 ． 7．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 8．（2025·浙江绍兴·模拟预测）《算法统宗》中有这样一个问题：今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱．问上、下禾每束价各几何？小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱，则符合题意的二元一次方程组是 ． 9．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 ． 10． （24-25七年级上·浙江湖州·期末）同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地 千米． 11．（24-25七年级上·安徽阜阳·假期作业）某工厂现有某种原料，可以用来生产两种产品，每生产A种产品需这种原料，生产费用为900元；每生产种产品需这种原料，生产费用为1000元．可用来生产这两种产品的资金为53万元，两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完？先列表分析数量关系再解答． A种产品 种产品 总量 产品原料 产品费用 900元 1000元 53万元 12．（重庆市荣昌区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题）今年“五一”假期，荣昌旅游爆火出圈．“五一”当天，夏布小镇某商品店销售A，B两种夏布产品共450件，仅这两种夏布产品的销售额就达到6万元，已知A产品销售单价为每件150元，B产品销售单价为每件120元． (1)求A，B销售数量各多少件？ (2)今年“端午节”期间，荣昌旅游持续火爆．该店对A，B这两种夏布产品进行降价促销，其中A产品每件降价m元，B产品每件降价20元，该店“端午节”第一天销售A，B这两种夏布产品数量比“五一”当天明显增加，其中A产品销售数量增加，B产品多销售件，这样，“端午节”第一天该店这两种夏布产品的销售额就比“五一”当天的销售额增长．求m的值． 13．（24-25七年级上·河南濮阳·期末）星期天，小华的妈妈计划乘坐出租车带小华去郊外游玩在出发前，小华收集了以下信息： 小华和妈妈外出乘车：行驶7公里，支付了元的车费； 小华和妈妈返回乘车：行驶13公里，支付了28元的车费． (1)请帮助小华计算出租车的起步价和超过3公里后的里程费收费标准（用方程或方程组解答）； (2)如果行驶路程为公里，则应付的车费为 元（用含x的代数式表示）． 14．（24-25七年级上·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 二元一次方程组的应用（4大知识点+15大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 方案问题 典型例题二 行程问题 典型例题三 工程问题 典型例题四 数字问题 典型例题五 年龄问题 典型例题六 分配问题 典型例题七 销售、利润问题 典型例题八 和差倍分问题 典型例题九 几何问题 典型例题十 图表信息题 典型例题十一 古代问题 典型例题十二 新定义问题 典型例题十三 三元一次方程组的应用 知识点01 列方程组解应用题的基本思路 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）李老师为学校购买口罩，第一次用3350元购买医用外科口罩1000个，型口罩50个；第二次用5200元购买医用外科口罩1500个，型口罩100个．若两次购买的同类口罩单价相同，求这两种口罩的单价．（列方程组解） 【答案】医用外科口罩单价为3元，型口罩单价为7元 【分析】设医用外科口罩的单价为x元/个，KN95型口罩的单价为y元/个，根据“第一次用3350元购买医用外科口罩1000个，KN95型口罩50个；第二次用5200元购买医用外科口罩1500个，KN95型口罩100个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设医用外科口罩单价为x元，型口罩单价为y元，依题意，得 ： ， 解方程组，得，   答：医用外科口罩单价为3元，型口罩单价为7元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）甲、乙两蔬菜基地生产同一种蔬菜，都计划把全年的蔬菜销往重庆，这样两蔬菜基地的蔬菜就能占有重庆市场同类蔬菜的；由于疫情，实际情况并不理想，甲蔬菜基地仅有的蔬菜、乙蔬菜仅有的蔬菜销到了重庆，两蔬菜基地的蔬菜仅占了重庆市场同类蔬菜的，则甲蔬菜基地该蔬菜的年产量与乙蔬菜基地该蔬菜的年产量的比为 ． 【答案】/2 【分析】根据相等关系列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲、乙蔬菜基地该蔬菜的年产量分别为x，y，将重庆市场同类蔬菜年产量看做单位1， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是找出相等关系，列出方程． 知识点02 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 【即时训练】 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，属于古代问题，由题意，根据等量关系：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，列出方程组即可． 【详解】解：苦果有x个，甜果有y个， 则根据九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，得方程； 根据四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，得方程； 故得方程组：； 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架．书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容积为3斛；大容器1个，小容器5个，总容积为2斛．问大、小容器的容积各是多少斛？”设大容器容积为斛，小容器容积为斛，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系．设大容器容积为斛，小容器容积为斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容积为3斛；大容器1个，小容器5个，总容积为2斛”列出方程组即可． 【详解】解：设大容器容积为斛，小容器容积为斛， 那么有， 故答案为：． 知识点03 列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【即时训练】 1．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）若一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字和为5，则这样的两位数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据题意列举出符合条件的数字即可解得． 【详解】解：一个两位数，个位上的数字和十位上的数字合起来是5，这样的两位数有：50，14，41，23，32． 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？（    ） A．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为100元和25元 B．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为120元和5元 C．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元 D．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为130元和6元 【答案】C 【分析】根据图表得出等量关系可列出方程进而组成方程组求出即可． 【详解】解：设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元， 根据题意得： 解得： 所以一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知得出等量关系可列出方程是解题关键． 知识点04 二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·期中）某生产线现有个工人，一个工人每天可生产6个螺杆或个螺母，1个螺杆和2个螺母为一套，现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人生产螺杆，y个工人生产螺母，则列出正确的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设安排x个工人生产螺杆，y个工人生产螺母，根据“生产线现有个工人”、“现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套而没有剩余”列出方程组即可． 【详解】解：设安排x个工人生产螺杆，y个工人生产螺母， 根据题意得：， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽·期末）某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，根据1个底面和4个侧面可以做成一个包装箱，列出方程组，即可解答． 【详解】解：设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，可得： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 【典型例题一 方案问题】 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）小明到某文具店购买若干笔记本和中性笔共花费198元，已知笔记本每本5元，中性笔每支3元，设购买笔记本x本，购买中性笔y支，x，y均为正整数，则满足条件的购买方案有（   ） A．10种 B．11种 C．12种 D．13种 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解答本题的关键． 设购买笔记本本，水性笔支，根据题意得，即，再结合、都是正整数，即可求解． 【详解】解：设购买笔记本x本，购买中性笔y支， 根据题意得：，即， 、都是正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 有13种购买方案， 故答案为：D． 【例2】（23-24七年级上·安徽淮北·期中）为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有 种． 【答案】4 【分析】设购买个跳绳，个呼啦圈，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出购买方案的数量．本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设购买个跳绳，个呼啦圈， 依题意得：， ． ，均为正整数， 为3的倍数， 或或或， 该班级共有4种购买方案． 故答案为：4． 【例3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）某村为建设美丽乡村、为村民提供良好的休闲活动场所，采购了33吨路面砖准备铺设一个村民活动场所，现向某运输公司同时租赁A、B两种车型货车运送．已知用2辆A型车和1辆B型车装满一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车装满一次可运13吨路面砖． (1)求1辆A型车和1辆B型车都装满面砖一次可分别运多少吨？ (2)若A型车每辆租金为元/次，B型车每辆租金为元/次，33吨路面砖一次运完且恰好每辆车都装满．请求出较省钱的一种租车方案． 【答案】(1)1辆A型车一次可运3吨，1辆B型车一次可运5吨 (2)较省钱的一种租车方案为租A型车1辆，B型车6辆 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）根据设1辆A型车装满路面砖一次可运x吨，1辆B型车装满路面砖一次可运y吨，已知用2辆A型车和1辆B型车一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车一次可运13吨路面砖．列方程求解即可； （2）设计划同时租用A型车a辆，B型车b辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满一次可运x吨路面砖，1辆B型车装满一次可运y吨路面砖， 由题意得：，解得：， 答：1辆A型车装满一次可运3吨路面砖，1辆B型车装满一次可运5吨路面砖； （2）设租用A型车a辆，B型车b辆，由题意得：，整理得：， ∵a，b均为正整数，∴或，∴有2种租车方案： ①租A型车6辆，B型车3辆，方案租金：（元）， ②租A型车1辆，B型车6辆，方案租金：（元）， ∵， ∴较省钱的一种租车为方案②：A型车1辆，B型车6辆． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用180元购买A、B、C三种奖品（三种都买），A种每个10元，B种每个20元，C种每个40元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，共有几种购买方案（    ） A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 【答案】C 【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数购买B种奖品钱数购买C种奖品钱数；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解． 【详解】解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个， 当C种奖品个数为1个时， 根据题意得， 整理得：， ∵m、n都是正整数，， ∴，2，3，4，5，6； 当C种奖品个数为2个时， 根据题意得， 整理得：， ∵m、n都是正整数，， ∴，2，3，4； ∴有种购买方案，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．问：这批游客的人数是多少人？原计划租用多少辆45座客车？ 【答案】这批游客的总人数是240人，原计划租用45座客车5辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设这批游客的总人数是x人，原计划租用45座客车y辆，结合题意进行列方程组，再进行求解，即可作答． 【详解】解：设这批游客的总人数是x人，原计划租用45座客车y辆， 依题意，得， 解得． 答：这批游客的总人数是240人，原计划租用45座客车5辆． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）某校在2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元． (1)求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级10个班级的学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，具体写出共有多少种租车方案？哪种方案，花费最少？ 【答案】(1)租用A型号客车，每辆车租金是300元、租用B型号客车，每辆车租金是500元 (2)一共有四种租车方案：方案一，租用A型客车辆，租用B型客车辆；方案二，租用A型客车9辆，租用B型客车4辆；方案三，租用A型客车6辆，租用B型客车6辆；方案四，租用A型客车3辆，租用B型客车8辆；租用A型客车辆，租用B型客车辆，花费最少． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． （1）设租用A型号客车，每辆车租金是元、租用B型号客车，每辆车租金是元，根据“租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元”列方程求解即可； （2）设租用A型客车辆，租用B型客车辆，，得到关于、的二元一次方程，求出正整数解，可得方案． 【详解】（1）解：设租用A型号客车，每辆车租金是元；租用B型号客车，每辆车租金是元， 由题意得：， 解得：， 答：租用A型号客车，每辆车租金是300元；租用B型号客车，每辆车租金是500元； （2）解：设租用A型客车辆，租用B型客车辆， 由题意得，， ∴， 、都是正整数， ∴是正整数， 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； ∴一共有四种租车方案：方案一，租用A型客车辆，租用B型客车辆；方案二，租用A型客车9辆，租用B型客车4辆；方案三，租用A型客车6辆，租用B型客车6辆；方案四，租用A型客车3辆，租用B型客车8辆；租用A型客车辆，租用B型客车辆，花费最少． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； (2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请问有几种购买方案？ (3)若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果） 【答案】(1)A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元 (2)有4种购买方案：①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯；②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯；③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯；④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯； (3)B款加料的奶茶买了8杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了268元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 解得：， 、n均为正整数， ，，，， ∴有4种购买方案： ①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯； ②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯； ③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯； ④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ，，均为正整数， ， ， 解得：， ，， ， 答：B款加料的奶茶买了8杯． 【典型例题二 行程问题】 【例1】（23-24七年级上·安徽阜阳·课后作业）A，B两地相距，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，后相遇，又经过后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，则甲、乙二人的速度分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设甲、乙二人的速度分别是和，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：，， 设甲、乙二人的速度分别是和， 根据题意，可得， 解得， 即甲、乙二人的速度分别是和． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·山东滨州·期末）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为 里/小时． 【答案】60 【分析】设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：戴宗顺风行走的速度为：（里小时）， 戴宗逆风行走的速度为：（里小时）， 设戴宗的速度为里小时，风速为里小时， 由题意得：， 解得：， 设戴宗的速度为60里小时， 答：戴宗的速度为60里小时． 故答案为：60． 【点睛】本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系． 【例3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，先设平路为千米，坡路为千米，依题意，列式，再解方程，即可作答． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米，根据题意得： 解得 故（千米）． 答：从甲到乙的路程是9千米． 1．（2024·四川成都·模拟预测）从甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要，从乙地到甲地需．则从甲到乙地的全程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是， 故选：D． 2．（2025七年级上·安徽阜阳·专题练习）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．则该轮船在静水中的速度为 千米/小时，水流速度为 米/小时． 【答案】 12 3 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 则该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时． 故答案为：12，3． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）一个户外运动俱乐部的成员完成了两天的徒步运动．两天的徒步时间分别为和，共走了，且第一天比第二天少走，这个俱乐部的成员两天徒步的平均速度各是多少？ 【答案】这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度为，第二天徒步的平均速度为 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意找出等量关系． 根据题意找出等量关系，列方程组，求解即可． 【详解】解：设这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度为，第二天徒步的平均速度为，则 根据题意可得，， 解得，， 答：这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度为，第二天徒步的平均速度为． 4．（24-25七年级上·江苏南通·期中）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，该轮胎报废，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，列一个关于x，y的方程； (3)当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2) (3)万公里 【分析】本题主要二元一次方程组的应用： （1）根据“汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，”即可得到答案； （2）根据用汽车行驶x万公里之后前轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后前轮的磨损程度为1，即可求解； （3）根据用汽车行驶x万公里之后后轮的磨损程度加上继续行驶了y万公里后后轮的磨损程度为1，再结合（2）中的方程，得到方程组即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为； 故答案为： （2）解：根据题意得：， （3）解：根据题意得： ，解得：， 答：当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 【典型例题三 工程问题】 【例1】（23-24七年级上·安徽阜阳·课后作业）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨，根据表格列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨． 根据题意，得，解得：； 答：每节火车车皮平均装物资50吨，每辆汽车平均装物资6吨． 故选B 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．该制造厂生产这批电动车的预定期限是 天，计划生产 辆电动车． 【答案】 6 220 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，依据题意列出方程组是正确解答此题的关键． 设预定期限为天，计划生产辆汽车，然后依据每天生产35辆，则差10辆才能完成任务，每天生产40辆，则可超额生产20辆，列出方程组，接下来解这个关于、的方程组即可． 【详解】解：设预定期限为天，计划生产辆汽车， 根据题意得：， 解这个方程组得：， 故答案为：6，220． 【例3】（2025·北京通州·模拟预测）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 1．（24-25七年级上·重庆北碚·阶段练习）甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲工程队每天比乙工程队多施工3米，可得方程，根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得，选择符合题意的选项即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得， 可列方程组， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，明确题意，列出相应的方程组是解题的关键． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树 小时后立即转到B地． 【答案】17 【分析】先设A地需要植树棵，B地需要植树棵，根据题意可建立方程，化简可得，再设乙应在A地植树小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程，求 即可得出答案． 【详解】设A地需要植树棵，B地需要植树棵，由题可得： ， ， 设乙应在A地植树小时后立即转到B地，由题可得： ， 化简得：， 解得：． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，恰当设出未知数，解题关键在于根据题意找出等量关系式进行求解． 3．（23-24七年级上·吉林·期中）一家商场进行装修，若请甲、乙两个装修队同时施工，天可以完成，需付两个装修队费用共元；若先请甲装修队单独施工天，再请乙装修队单独施工天也可以完成，需付两个装修队费用共元． (1)求甲、乙两个单独装修一天，商场各应付多少元？ (2)若只选一个装修队单独完成，从节约开支角度考虑，应选______装修队，比另一装修队少花______元． 【答案】(1)元，元 (2)乙， 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）设甲每天费用为元，乙每天费用为元，根据题意可得等量关系：①甲、乙两个工程队同时施工，天可以完成，需付两队费用共元；②甲队单独做天，再请乙队单独做天可以完成，需付两队费用共元，根据费用列出方程组，解方程组即可； （2）设甲每天完成，乙每天完成，根据题意可得等量关系：①甲和乙天的工作量，②甲天的工作量乙天的工作量，根据等量关系列出方程组，求解可得甲和乙的工作效率，再求费用即可． 【详解】（1）解：设甲每天费用为元，乙每天费用为元，由题意得： ， 解得． 答：甲每天的费用为元，乙每天的费用为元． （2）解：设甲每天完成，乙每天完成，由题意得： ， 解得， 所以甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成． 甲单独做需要元，乙单独做需要元． ∴只选一个装修队单独完成，从节约开支角度考虑，应选乙装修队，比另一装修队少花元 4．（23-24七年级上·江西九江·期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成． (1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________； (2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 【答案】(1)甲队修路的天数；乙队修路的天数；； (2)乙队修建了8天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）根据方程组等式的意义进行判断即可； （2）依题意得，，计算求解可得，然后根据乙队修建的天数，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，x表示甲队修路的天数，y表示乙队修路的天数；该方程组中△处的数应是，□处的数应是， 故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数；；； （2）解：依题意得，， 解得，， ∴乙队修建的天数（天）． 答：乙队修建了8天． 【典型例题四 数字问题】 【例1】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，的网格内填了一些数与式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则的值是（   ） 3 2 A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； ∴， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． (2)第一次他们拼成的两位数为45． 【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 【例3】（24-25七年级上·天津西青·期末）将9个数填入正方形的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图①就是填好的一个正方形，图②中已经填好一部分数字．    （1）图②中是否存在正整数x，y满足上述条件？ （填“是”或“否”）． （2）若图②中存在正整数x，y满足上述条件，请写出x与y的乘积：若不存在，请说明理由． ． 【答案】 是 4 【分析】（1）设图②中间的数为，第三行第一个数字为，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，列出二元一次方程组，求出，即可解决问题； （2）用求出，代入可得答案． 【详解】解：设图②中间的数为，第三行第一个数字为， 由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 存在正整数，满足上述条件； （2）存在，， 故答案为：是；4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 1．（2025·广东广州·模拟预测）如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（   ） y 6 5 x 7 8 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为，根据题意建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为， 由题意得：，即， 解得， 故选：B． 2．（24-25七年级上·重庆潼南·期中）已知m为任意的两位数，若m的各位数字不同且不为0，这样的两位数学称为“异同数”．把一个“异同数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以11的商记为．例如对调后的两位数为54，这两个数的和为99，，所以．计算： ．若a，b都是“异同数”，（，x，y为整数）当时，则的最大值为 ． 【答案】 7 136 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，理解新定义是解题的关键．根据题目中的新定义求解第一空；根据“异同数”的定义列出代数式，得出方程，结合方程的整数解可求解． 【详解】解：； ， ， ， ，x，y为整数， ∴当时，，此时，则， 当时，，此时，不符合题意，舍去， 当时，，此时，不符合题意，舍去， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 当时，，此时．则， ∴的最大值为， 故答案为：7，136． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 【答案】填写的数字分别为2，9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y，根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y． 根据题意，得：， 整理，得， 解得：， 故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2，9． 4．（2025·安徽亳州·模拟预测）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 【典型例题五 年龄问题】 【例1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 【例2】（23-24七年级上·安徽阜阳·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 【例3】（23-24七年级上·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 【答案】 28 21 【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁， 由题意得：， 解得：， 即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁， 故答案为：28，21． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 3．（24-25六年级下·上海静安·课后作业）一名学生问老师：“您今年多大？”老师说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了。”问：老师、学生今年多大了． 【答案】老师今年24岁，学生今年12岁． 【分析】设老师现在的年龄是x，学生现在的年龄是y，不论怎么样变化年龄差是不会变的，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是x，学生现在的年龄是y， 解得：， 答：老师现在的年龄是24，学生现在的年龄是12． 【点睛】本题二元一次方程组的应用，考查学生的理解题意能力，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 4．（2025七年级上·安徽阜阳·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 【典型例题六 分配问题】 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒．现有40张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“共有40张铁皮，且制作的盒底总数是盒身的2倍”，即可得出关于， 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据共有40张铁皮， 得：， 根据每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，且制作的盒底与盒身恰好配套，即制作的盒底总数是盒身的2倍， ．根据题意可列方程组， 故选： C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）用如图中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板若做了竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字比略大些，是，，，，中某个数字，则这个数字是 ，按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多 个    【答案】 2005 197 【分析】设做了竖式纸盒个，横式纸盒个，有张长方形纸板．根据所需正方形纸板和长方形纸板的张数列出方程组，再根据未知数均为整数的特点，判断出为的倍数，进而求解． 【详解】解：设张长方形纸板，根据题意列得， ， 得， ， ， 是的倍数， ． ， 解得， 横式纸盒比竖式纸盒多个． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，正确列出二元一次方程组，再根据未知数的特点，判断出长方形纸板的张数正好是的倍数是解题的关键． 【例3】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 【答案】(1)见解析 (2)克，克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键， （1）根据题意正确列出代数式即可； （2）设每餐需甲原料x克、乙原料y克，根据题意列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解： 项目 甲原料x克 乙原料y克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） 其中所含铁质（单位） （2）解：设每餐需甲原料x克、乙原料y克， 根据题意，得， 化简，得 解这个方程组得． 所以每餐甲、乙两种原料分别是克、克时恰好满足运动员的需要． 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【答案】C 【分析】根据两台印刷机完成该任务共需和资料计划印制10000份，即可列出二元一次方程组． 【详解】解：∵两台印刷机完成该任务共需， ∴可列方程； ∵资料计划印制10000份， ∴可列方程， ∴甲和乙列的方程组都正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（24-25七年级上·河南许昌·期末）第十四届三国文化旅游周吸引了大量的游客，游客们品读三国文化，赏鉴花都美景，感受许昌盛情，共赴了一场“许”久“魏”见的美好时光，旅游周期间，一家酒店接待了一个35人的旅游团，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚140元（说明：三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付140元）．已知该旅游团一晚的住宿房费为1740元，则他们租住了 间一人间． 【答案】2 【分析】设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费=100×租住一人间的间数+140×租住三人间的间数，可得关于x，y的二元一次方程，结合x均为自然数且，即可得出结论； 【详解】设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，依题意 ， ， 又， 此时只有符合题意， 所以他们租住了2间一人间； 故答案为：2 【点睛】本题考查了二元一次方程整数解得应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程是解题的关键． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）优秀文化是文创产品的灵魂．西安肉夹馍、天水麻辣烫本身就是“圈粉”需求的地方代表性特色美食，以其为原型和载体创新文创产品“绒馍馍”和“麻辣烫”，生动展示了本土美食的独特韵味．一盒“绒馍馍”234元，一锅“麻辣烫”108元，某网友一次购买相应规格的“绒馍馍”和“麻辣烫”共10盒（锅），两种产品均享受七五折的优惠，共花费1188元，则该网友购买“绒馍馍”多少盒，购买“麻辣烫”多少锅？ 【答案】该网友购买“绒馍馍”4盒，购买“麻辣烫”6锅 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设该网友购买“绒馍馍”盒，购买“麻辣烫”锅，根据题意建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设该网友购买“绒馍馍”盒，购买“麻辣烫”锅， 由题意得：， 解得， 答：该网友购买“绒馍馍”4盒，购买“麻辣烫”6锅． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 【典型例题七 销售、利润问题】 【例1】（2025·广西钦州·模拟预测）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进x套，第二次购进y套，根据题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键．该书店第一次购进x套，则第二次购进y套，根据两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，列方程组． 【详解】解：∵该书店第一次购进x套，第二次购进y套，两次购进该漫画册共3500套，两次进价都是40元/套．第二次的总价比第一次多20000元， ∴． 故选：C． 【例2】（23-24七年级上·山西朔州·期末）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A绣球花、B祥云两种图案组合而成．因制作工艺不同，A，B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为 元． 【答案】22 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元，根据2个A和4个B的成本价为64元，1个A和3个B的成本价为42元列出方程组求出A、B的成本价，进而求出造型3的成本价即可． 【详解】解；设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：造型3的成本是22元． 【例3】（24-25七年级上·山东威海·期中）某村部分青年返乡创业生产销售A，B两种茶叶，去年年初制订的计划是完成总销售利润200万元．经过努力，其中生产销售A种茶叶的利润比原计划增加5%，生产销售B种茶叶的利润比原计划增加15%，实际生产销售的总利润为225万元，他们去年生产销售A，B两种茶叶实际完成的销售利润各多少万元？ 【答案】他们去年生产销售，两种茶叶实际完成的销售利润分别为万元，万元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，熟练根据题意正确列出等式是解题的关键． 设去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，分别利用“去年年初制订的计划是完成总销售利润万元”和“生产销售种茶叶的利润比原计划增加，生产销售种茶叶的利润比原计划增加，实际生产销售的总利润为万元”进行列式即可． 【详解】解：设去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元，去年生产销售种茶叶计划完成的销售利润为万元， 根据题意得：， 解得：， ∴（万元），（万元）， 答：他们去年生产销售，两种茶叶实际完成的销售利润分别为万元，万元． 1．（23-24七年级上·江西南昌·期末）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下，那么购买一支笔和一本笔记本应共付（    ）． 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本 售货员：好的，那你应付款52元 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元 A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据题意列得，求解即可 【详解】解：设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元， ， 解得， ∴购买一支笔8元，一本笔记本4元， 购买一支笔和一本笔记本应共付（元） 故选：B 2．（2025七年级上·安徽阜阳·专题练习）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．则成人票每张原价为 元，儿童票每张原价 元． 【答案】 40 25 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，根据第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，由题意得： ， 解得：， 所以，成人票每张原价40元，儿童票每张原价25元． 故答案为：40，25． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）小欣打算购买气球装扮好朋友小岩的生日派对现场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于布置的需要，购买时以一束（个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为多少元？ 【答案】第三束气球的价格为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设一个笑脸气球元，一个爱心气球元，依题意得，然后解方程即可求解，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设一个笑脸气球元，一个爱心气球元， 依题意得：， 解得：， ∴第三束气球的价格为， 答：第三束气球的价格为元． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．一家商店连续两个月销售规格为“”的“冰墩墩”和“雪容融”摆件，销售情况如下表所示． 销售量/件 销售额/元 冰墩墩 雪容融 第1个月 100 40 12320 第2个月 160 60 19360 分别求“冰墩墩”和“雪容融”摆件的零售价格． 【答案】“冰墩墩”摆件的零售价格为元/件，“雪容融”摆件的零售价格为元/件． 【分析】本题可通过设未知数，根据两个月的销售数量和销售额列出二元一次方程组，然后求解方程组得到“冰墩墩”和“雪容融”摆件的零售价格．本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列出方程组并求解是解题的关键． 【详解】解：设“冰墩墩”摆件的零售价格为元/件，“雪容融”摆件的零售价格为元/件． ， 解得 答：“冰墩墩”摆件的零售价格为元/件，“雪容融”摆件的零售价格为元/件． 【典型例题八 和差倍分问题】 【例1】（2025·青海·模拟预测）为响应“科教兴国”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需34800元，设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需3480元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，则到云水涧旅游的人数为 ． 【答案】67 【分析】设到云水涧旅游的人数为，到花果岭的人数为，根据题意，列出二元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：设到云水涧旅游的人数为，到花果岭的人数为，由题意，得： ， 解得：； ∴到云水涧旅游的人数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出二元一次方程组，是解题的关键． 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 【答案】树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子，根据“如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子．根据题意，得 ， 解得． 答：树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子． 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·假期作业）在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（    ） A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8 【答案】B 【解析】略 2．（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 【答案】该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩，根据题中关系列出二元一次方程组即可解答，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩， 根据题意，得， 解得． 答：该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩． 3．（24-25七年级上·重庆云阳·期中）阅读是人类进步的阶梯，现在的中小学生是祖国的未来，“用阅读点燃中国梦”，某校为更丰富读书内容，又新购进书册若干件，为让同学更早更快阅读，初二年级组织了86名同学搬书．为便于管理，把其中50名同学分成A、B两组，另外的36名同学分成C、D两组．A、C两组把书搬到甲地点，B、D两组把书搬到乙地点，A组搬书的人均件数比B组的人均件数多2件，C、D两组人均件数相同，且是B组搬书的人均件数的2.5倍，甲、乙两个地点的人均搬书件数相同，且比A组搬书的人均件数高25%，已知搬书的人均件数为整数．则这次该校又新购进书册共 件． 【答案】860 【分析】可设组分得人，则组分得人，全部人均搬书件，则组人均搬书件，组人均搬书件，、两组人均搬书件，根据组搬书的件数组搬书的件数、两组搬书的件数一共搬书的件数，列出方程，再根据整数的性质即可求解． 【详解】解：设组分得人，则组分得人，全部人均搬书件，则组人均搬书件，组人均搬书件，、两组人均搬书件，依题意有， ， 整理得：， 则， 书的件数是正整数， ，是正整数，是5的倍数， ，是正整数， ，， （件． 故一共有书860件． 故答案为：860． 【点睛】考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 4．（24-25七年级上·广东珠海·期中）某校积极开展课外兴趣活动．已知七年级一班同学中，参加球类项目的学生与参加艺术类项目的学生共32人，且参加球类项目的学生比参加艺术类项目的学生多4人．求参加球类和艺术类项目的学生各多少人． 解：题中的相等关系有： 参加球类项目的学生人数+_参加艺术类项目的学生_______＝32；_参加球类项目的学生人数_____﹣参加艺术类项目的学生人数＝4．若设参加球类项目的学生有x人，参加艺术类项目的学生有y人，则根据题意，列出方程组并求解． 【答案】参加球类项目的学生有18人，参加艺术类项目的学生有14人 【分析】本题主要考查根据题意列二元一次方程解应用题的问题，解答本题的关键是根据题意得到题中的等量关系要解答此题． 首先应该理清题意，读懂题干，再根据题中所给信息进行解答即可得出答案．此题属于简单题，解答时需要细心． 【详解】解：由题意，得， 解得． 答：参加球类项目的学生有18人，参加艺术类项目的学生有14人 【典型例题九 几何问题】 【例1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图，周长为的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则一个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据大长方形周长公式结合小长方形长和宽的关系建立方程组求解即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， ∴一个小长方形的面积为， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，小明准备将78张形状、大小完全相同的小长方形（长是宽的3倍）卡片，既不重叠又无空隙地放在一个长方形（长与宽的比为）的蛇年插画边沿，则得到的新长方形的长与宽的比为 . 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设在长上放了x张小长方形卡片，在宽上放了y张小长方形卡片，设小长方形的长为，宽为，根据四边共放了张小长方形卡片且长与宽的比为，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再求出长、宽之比即可． 【详解】解：设在长上放了x张小长方形卡片，在宽上放了y张小长方形卡片，小长方形的长为，宽为， 依题意，得：， 解得：， ∴新长方形的长与宽的比为： 故答案为：． 【例3】（2025·陕西西安·模拟预测）在长方形中放入七个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中空白部分的面积之和． 【答案】图中空白部分的面积之和为52 【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，根据图形，找到边和边的关系是解答的关键．设小长方形的长为y、宽为x，用x、y表示出大长方形的长和宽，结合所给数据列方程组求得x、y，再用大长方形的面积减去7个小长方形的面积即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为y、宽为x， 从图中可以得到两个等量关系： 水平方向上：， 竖直方向上：， 联立可得：， 解之得： ∴ 答：图中空白部分的面积之和为52． 1．（24-25七年级上·北京·期中）现有如图①的小长方形纸片若干，如图②的图形若干，用3个如图②的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为12，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意、结合图形可以得到方程组，解出，的值，再表示出阴影面积和整个图形的面积，求出比值即可．关键是看懂图示，找出题目中的等量关系，求出和． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 大长方形的宽为， ， 根据图③可得， 组成方程组， 解得， 阴影面积为，整个图形的面积为：， 阴影部分面积与整个图形的面积之比为， 故选：C． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长为18，宽为8的长方形如图2，则图2中（1）部分的面积是 ． 【答案】104 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据“图1中的小长方形的长等于图2中大长方形的宽，图1中大长方形的长与小长方形的宽等于图2中大长方形的长，”列二元一次方程组求得a、b的值，即可求解． 【详解】解：由图可得，， 由得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴图2中（1）部分的面积是， 故答案为：104． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度． 【答案】每本书籍厚度为，桌子的高度为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每本书籍厚度为，则每本书籍的厚度为，桌子高度为，根据3本A书籍与桌子的高度和为，5本B书籍与桌子的高度和为建立方程组求解即可． 【详解】解：设每本书籍厚度为，则每本书籍的厚度为，桌子高度为， 由题意，得， 解得：， 答：每本书籍厚度为，桌子的高度为． 4．（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）． (1)若该厂购进正方形纸板1500张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 【答案】(1)加工竖式纸盒300个，加工横式纸盒600个，恰好能将购进的纸板全部用完 (2)在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合即可求出a的值，此题得解． 【详解】（1）解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：，解得：． 答：加工竖式纸盒300个，加工横式纸盒600个，恰好能将购进的纸板全部用完． （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个， 根据题意得：， ． ，a为正整数， 为5的倍数， 又， 满足条件的a为：155，160，165，170． 答：在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170． 【典型例题十 图表信息题】 【例1】（24-25七年级上·山东临沂·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些代数式，若图中横行、竖行及斜行上的三个数之和都相等，则x－y的值为（    ） x 2y -2 y 6 0 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据图中横行、竖行及斜行上的三个数之和都相等，即可得关于x，y的二元一次方程，变形后即可得出x-y的值． 【详解】解：依题意得：x-2+0=-2+y+6， ∴x-y=6． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【例2】（23-24七年级上·湖北黄石·期末）每年5月的第二个星期日为母亲节．母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知一束鲜花的价格是 元； 【答案】15 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设一束鲜花的价格为x元，一个礼盒的价格为y元，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设一束鲜花的价格为x元，一个礼盒的价格为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：一束鲜花的价格为15元． 故答案为：15 【例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【答案】捐5本的有20人，捐8本的有12人，理由见详解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确运用方程表示出数量关系并求解是解题的关键． 根据该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，由此列式求解即可． 【详解】解：该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人， ∴， 解得，， ∴捐5本的有20人，捐8本的有12人． 1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行各列到及对角线上的三个数之和都相等，则（    ） A．5 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据图中各行、各列上的三个数之和都相等，即可得出关于的二元一次方程组，求解后即可得出的值． 【详解】解：依题意得：， 解得， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位．已知第一、二束气球的价格如图所示（图示：第一束气球价格14元，第二束18元），则第三束气球的价格为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识点，审清题意、列二元一次方程组是解题的关键， 设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，然后根据第一、二束列出方程组求得x、y的值，最后根据第三束气球状况列代数式并求值即可． 【详解】解：设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个， 由题意得：，解得：， ∴第三束气球的价格为（元）． 故答案为16． 3．（24-25七年级上·北京昌平·期中）用方程或方程组解决问题： 某校初一1班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，捐款情况如下表： 捐款/元 2 5 10 15 人数 5 10 表格中捐款5元和10元的人数被墨水污染了，问：捐5元和10元的人数各是多少？ 【答案】捐5元有2人，捐10元有13人 【分析】设捐5元有人，捐10元有人，根据总人数为30人，总捐款为300元，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设捐5元有人，捐10元有人， 由题意得：， 解得， 答：捐5元有2人，捐10元有13人． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·假期作业）在某学校组织的“科学艺术节”活动中，掷飞镖游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分，若掷在圆周上或大圆外重新掷一次，掷中一次记一个点．有效次数共八次．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下图，那么小明的得分是多少？请写出解答过程． 【答案】76分 【分析】设掷中A区得x分，掷中B区得y分，根据小华和小芳的得分列出二元一次方程组，再通过变形直接得到小明的得分． 【详解】解：设掷中A区得x分，掷中B区得y分， 依题意，得， ，得． 答：小明的得分为76分． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际问题，解决此题的关键是读懂题目，理清数量之间的关系． 【典型例题十一 古代问题】 【例1】（2025·广东河源·模拟预测）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空：二人共车、九人步、人与车各几何？其意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．人与车各多少？若设有人，车辆，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意可列出方程组． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·北京延庆·期中）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程，是解题的关键．设共有人，有辆车，根据每3人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，列出方程组即可． 【详解】解：设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为： ， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·课后作业）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？（利用二元一次方程组求解） 【答案】李三公家有间客房，来了位房客． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理清题意，根据等量关系列方程是解题关键． 设有间客房，位房客，根据等量关系建立二元一次方程组，解方程，即可求解． 【详解】解：设李三公家的店有间客房，来了位房客， 根据题意，得， 解得：， 李三公家有间客房，来了位房客． 1．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱x，乙需带钱y，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．得到等量关系，列二元一次方程组即可． 【详解】解：设甲需带钱x，乙带钱y， 根据题意，得：， 答案：D． 2．（2024·湖北黄冈·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则绳长多少尺？木长多少尺？ 答：（1）绳长 尺；（2）木长 尺． 【答案】 11 6.5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设绳子长尺，木长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：设绳子长尺，木长尺， 根据题意得：， 解得， 故答案为：11，6.5． 3．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：“我问旅店店主李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房． (1)该店客房有多少间？房客有多少人？ (2)假设旅店店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费200钱，且每间客房最多住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按八折优惠．若诗中众客再次一起入住，他们如何订房比较合算？ 【答案】(1)该店客房有间，房客有人 (2)他们再次入住定间房时更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． （1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房18间，求出所需付费，进行比较， 【详解】（1）解：（1）设客房有x间，房客有y人， 根据题意可得：， 解得： 答：该店客房有8间，房客有63人． （2）如果每4人一个房间，需要，需要16间客房，总费用为（钱）， 如果定18间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用（钱）3200钱， 所以他们再次入住定18间房时更合算． 答：他们再次入住定18间房时更合算． 4．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 【答案】(1)牛每头值金两，羊每头值金两 (2)①消元②数据如图， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及消元思想，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设牛每头值金两，羊每头值金两，根据有牛头、羊头，共值金10两；牛头、羊头，共值金两；列出二元一次方程组，解方程即可； （2）①根据题意即可得出结论； ②根据“方程术”推算即可． 【详解】（1）解：设牛每头值金两，羊每头值金两，由题意得： ， 解得：， 答：牛每头值金两，羊每头值金两； （2）① “遍乘”是用一个数去乘方程两边，“直除”是通过相减消去一个未知数，这体现了解二元一次方程组的消元思想． 故答案为：消元； ②因为右方羊的数量是，左方羊的数量是，所以用右羊数遍乘左方各数． 左方原来牛、羊、金，遍乘后：牛，羊，金，得到遍乘后的左方数据为牛、羊10、金16，右方数据不变（牛、羊、金10）． 然后进行直除，要消去羊，右方羊是，左方羊是10，，用左方各数减去右方对应数的倍． 牛：；羊：；金： ． 所以最终图填写如下： 【典型例题十二 新定义问题】 【例1】（24-25七年级上·贵州铜仁·阶段练习）对于有理数，定义新运算：，其中，是常数．已知，，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新运算的定义、两个已知等式的值可得一个关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，再根据新运算的定义即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解新运算的定义是解题关键． 【例2】（23-24七年级上·四川乐山·期末）定义一种新运算“”：．若有，，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．根据已知新运算列二元一次方程组，求出、的值，得到，再计算求值即可． 【详解】解：，，， ，解得：， ， ， 故答案为：11 【例3】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）对于实数、规定一个新运算，（、是常数），已知，． (1)求、的值； (2)计算的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查定义新运算和解二元一次方程组，看懂定义的运算是解决本题的关键 ． （1）根据定义的新运算可得方程组，解出方程组即可求出、的值； （2）根据定义的新运算以及、的值计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 解得：， ，； （2） ． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②－①，得， 解方程组得． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示． 【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元． 【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；任务2：有3种购买方案；任务3：B款加料的奶茶买了11杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得： ， 解得：； 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得： ， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、均为正整数， ∴， ∴； 答：B款加料的奶茶买了11杯． 3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在数轴上，对于不重合的三点、、，我们给出如下定义： 若点到点、的距离之和为，我们就把点、叫做点的“伴随点”． 例如：如图1，若点表示的数为，点到表示数的点与表示数的点的距离之和为，则点、为点的“伴随点”． 已知：不重合的点、、在数轴上，点表示数． (1)数轴上有三点、、，它们表示的数分别为、、，其中，有两个点为点的“伴随点”，则这两个点分别是______； (2)如图2，若点表示的数为，点、为点的“伴随点”． ①请直接写出：点的“伴随点”在数轴上对应的数为______；（直接写出结果） ②若在点的左侧，点表示的数比点表示的数大，点、为点的“伴随点”，求点表示的数： (3)若点、为点的“伴随点”，点在点的左侧，点到点、的距离相等，点到点、的距离相等，若点到点距离为，请问这样的点是否存在？若存在，请直接写出点在数轴上表示的数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、 (2)①或；②的值为或 (3)点在数轴上表示的数为或 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，数轴上两点间的中点，解含有绝对值的一元一次方程．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据“伴随点”的定义，即可得出答案； （2）①设点对应的数是，根据点、是点的“伴随点”可得，建立方程求解即可； ②根据点、为点的“伴随点”，可得，即，解方程即可求出的值； （3）设点对应的数为，点对应的数为，根据中点公式可得：点表示的数为，点表示的数为，由，建立方程求解可得，再根据点、为点的“伴随点”，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ∴、为点的“伴随点”， 故答案为：、． （2）解：①设点对应的数是， ∵点、为点的“伴随点”， ∴， 即， 解得：或， 故答案为：或； ②∵在点的左侧， ∴点表示， 设点表示的数为，则点表示的数为， ∴，， ∵点、为点的“伴随点”， ∴， ∴， Ⅰ．当时，， 解得：； Ⅱ．当时，， 此时无解； Ⅲ．当时，， 解得：； 综上，的值为或． （3）解：已知点表示数．设点对应的数为，点对应的数为， ∵点到点、的距离相等，点到点、的距离相等， 即点为的中点，点为的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点到点距离为， 即， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∵点、为点的“伴随点”， ∴， 即， 解得：或， 故点在数轴上表示的数为或． 4．（24-25七年级上·山西临汾·期中）有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的整体思想． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，_______； （2）“战疫情，我们在一起”，爱心公社计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么求的值． 【答案】（1），5；（2）购买这批防疫物资共需6700元；（3）-11 【分析】（1）直接把两个方程相加或相减，即可求出答案； （2）根据题意，列出方程组，然后利用整体思想代入计算，即可得到答案； （3）根据题意，利用新定义进行计算，然后利用整体的思想即可求出的值． 【详解】解：（1）， 由②-①得：，①+②得：， ∴， 答案：，5；                      （2）设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元， 由题意得：，                            由①+②得：， ∴， 答：购买这批防疫物资共需6700元；                       （3）由题意得：，                   由3×①-2×②可得：， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程的方法，以及利用整体的思想进行解题，解题的关键是熟练掌握利用整体思想进行解题． 【典型例题十三 三元一次方程组的应用】 【例1】（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平右边应放“▲”的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意设■，●，▲分别为，根据题干图列出关于的等式找出等量关系即为本题答案． 【详解】解：设■，●，▲分别为， 根据题意得：第一个天平：， 第二个天平：， 即：， 解得：， ∴第三个天平：，即第三个天平左边为一个时，右边为个， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若是从1，0，这三个数中取值的一列数，，，问中有 个0． 【答案】133 【分析】本题考查了数字规律题，三元一次方程组的应用，根据题意找出规律列方程组是解题关键．设1，0，这三个数的各数分别为、、，利用总个数为建立方程，根据这三个数的特点，由总和得出，由平方和得出，再解三元一次方程组即可． 【详解】解：设1，0，这三个数的各数分别为、、， 根据题意得：， 由得：， 由得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 即中有133个0， 故答案为：133． 【例3】（24-25七年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 1．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则x的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组，解一元一次方差，根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，得出，进而出，即可解答． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等， ∴， 整理得：， 则， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·课后作业）甲、乙两种商品原来的单价之和为元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后两种商品的单价的和为元，甲、乙两种商品原来的单价相差 元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设甲商品原来的单价为元，乙商品原来的单价为元，根据“甲、乙两种商品原来的单价之和为元，调价后两种商品的单价的和为元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲商品原来的单价为元，乙商品原来的单价为元， 根据题意得， 解得， ， 故答案为：． 3．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）现有标着，0，2的三张卡牌可供抽取（抽取后放回），若第一次抽出的卡牌数字记为，第二次抽出的卡牌数字记为，以此类推，后经统计发现，，且，则中0的个数为 个． 【答案】625 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设抽到，0，2的三张卡牌的次数分别为a，b，c，根据题意得出，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设抽到，0，2的三张卡牌的次数分别为a，b，c， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 即， 根据题意列方程： 解得：， 故中0的个数为625， 故答案为：625 4．（2025·海南·模拟预测）海南某芒果种植基地为推进智慧农业，采用A、B两款无人机协同喷洒生态农药．已知A型无人机每小时可喷洒12公顷，但电池续航为5小时；B型无人机每小时喷洒10公顷，续航可达6小时．某日，A、B两型无人机共同完成一片芒果园的喷洒任务，总作业面积360公顷，且所有无人机累计飞行35小时．问：A、B两款无人机各出动多少架？ 【答案】型无人机出动架，型无人机出动架 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设型无人机出动架，型无人机出动架，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设型无人机出动架，型无人机出动架， 由题意可得：， 解得：， ∴型无人机出动架，型无人机出动架． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）在文具店，若买个橡皮、支铅笔共需元；若买个橡皮、支铅笔共需元，则买一个橡皮和一支铅笔共需（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设买一个橡皮元，买一支铅笔元，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设买一个橡皮元，买一支铅笔元， 由题意得，， ①②，得， ∴， 即买一个橡皮和一支铅笔共需元， 故选：． 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，如图，则关于“□”“◯”“△”质量的大小关系，下列说法正确的是 （      ） A．△最重 B．◯最重 C．□最重 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据两个托盘的质量相等列出方程组是解题的关键．设“□”“◯”“△”质量的大小分别为x，y，z，通过理解题意，可知本题的等量关系为．即，根据等量关系求解即可． 【详解】解：设“□”“◯”“△”质量的大小分别为x，y，z， 根据题意可得， 解得， ∴ 即“□”最重， 故选：C． 3．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（　　） A．106cm B．110cm C．114cm D．116cm 【答案】A 【分析】通过观察图形，可知题中有两个等量关系：单独一个纸杯的高度加上3个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加上8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm， 则，解得 则99x+y＝99×1+7＝106 即把100个纸杯整齐的叠放在一起时的高度约是106cm． 故选：A． 【点睛】本题以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，这是近年来比较流行的一种命题形式，主要考查信息的收集、处理能力．本题易错点是误把当作3个纸杯的高度，把当作8个纸杯的高度． 4．（2025·广东广州·模拟预测）如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（   ） y 6 5 x 7 8 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为，根据题意建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为， 由题意得：，即， 解得， 故选：B． 5．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图，周长为的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则一个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据大长方形周长公式结合小长方形长和宽的关系建立方程组求解即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， ∴一个小长方形的面积为， 故选：B． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期中）小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设第一个加数为x，第二个加数为y，根据在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72建立方程组求解即可． 【详解】解：设第一个加数为x，第二个加数为y， 由题意得，， 得：， ∴， 故答案为：18． 7．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 8．（2025·浙江绍兴·模拟预测）《算法统宗》中有这样一个问题：今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱．问上、下禾每束价各几何？小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱，则符合题意的二元一次方程组是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确找出等量关系是解题的关键．小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱， 根据“今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱”即可列出方程组． 【详解】解：小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱， 根据题意得：． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 ． 【答案】100 【分析】此题考查方程组的应用问题，解题的关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组，并弄清小长方形的长与宽的关系．由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长小长方形的宽，小长方形的长小长方形宽的4倍小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小长方形的长与宽，最后求得小长方形的面积． 【详解】解：设一个小长方形的长为，宽为， 则可列方程组， 解得， 则一个小长方形的面积， 故答案为：100． 10．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地 千米． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完，根据题意得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可求解，理清题中的数量关系，正确列出方程组是解题的关键. 【详解】解：设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完， 如图，设，， 根据题意得，， 解得， ∴最远为千米， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·安徽阜阳·假期作业）某工厂现有某种原料，可以用来生产两种产品，每生产A种产品需这种原料，生产费用为900元；每生产种产品需这种原料，生产费用为1000元．可用来生产这两种产品的资金为53万元，两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完？先列表分析数量关系再解答． A种产品 种产品 总量 产品原料 产品费用 900元 1000元 53万元 【答案】生产A种产品，生产B种产品，才能使库存原料和资金恰好用完 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，审清题意、列出方程组是解题的关键． 设A产品生产，B产品生产，根据生产A、B两种产品需要的原料是和费用为53万元建立方程组求解即可． 【详解】解：设A产品生产，B产品生产， 由题意得，解得． 答：生产A种产品，生产B种产品，才能使库存原料和资金恰好用完． 12．（重庆市荣昌区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题）今年“五一”假期，荣昌旅游爆火出圈．“五一”当天，夏布小镇某商品店销售A，B两种夏布产品共450件，仅这两种夏布产品的销售额就达到6万元，已知A产品销售单价为每件150元，B产品销售单价为每件120元． (1)求A，B销售数量各多少件？ (2)今年“端午节”期间，荣昌旅游持续火爆．该店对A，B这两种夏布产品进行降价促销，其中A产品每件降价m元，B产品每件降价20元，该店“端午节”第一天销售A，B这两种夏布产品数量比“五一”当天明显增加，其中A产品销售数量增加，B产品多销售件，这样，“端午节”第一天该店这两种夏布产品的销售额就比“五一”当天的销售额增长．求m的值． 【答案】(1)A，B销售数量各200，250件 (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，弄懂题意，确定相等关系是解题的关键． （1）设A，B销售数量各x，y件，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）设A，B销售数量各x，y件 根据题意得， 解得 ∴A，B销售数量各200，250件； （2）根据题意得， 解得． 13．（24-25七年级上·河南濮阳·期末）星期天，小华的妈妈计划乘坐出租车带小华去郊外游玩在出发前，小华收集了以下信息： 小华和妈妈外出乘车：行驶7公里，支付了元的车费； 小华和妈妈返回乘车：行驶13公里，支付了28元的车费． (1)请帮助小华计算出租车的起步价和超过3公里后的里程费收费标准（用方程或方程组解答）； (2)如果行驶路程为公里，则应付的车费为 元（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)出租车的起步价为10元，超出3公里的里程费为每公里元 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）设出租车的起步价为x元，，超出3公里的里程费为每公里y元，根据行驶7公里，支付了元的车费；行驶13公里，支付了28元的车费建立方程组求解即可； （2）用起步价加上超出3公里的里程费即可得到答案． 【详解】（1）解：设出租车的起步价为x元，，超出3公里的里程费为每公里y元， 由题意得，， 解得， 答：出租车的起步价为10元，超出3公里的里程费为每公里元； （2）解：由题意得，如果行驶路程为公里，则应付的车费为元， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·重庆·期中）春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工25人，女工65人 (2)安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设该工厂有男工x名，女工y名，根据题意列出方程组，即可得出答案； （2）设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套，根据题意列出方程组，即可得出答案． 【详解】（1）解：设该工厂有男工x名，女工y名， 根据题意，得， 解得：， 答：设该工厂有男工25人，女工65人． （2）解：设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套， 根据题意，得， 解得：， 答：安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【答案】（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解电费由高峰用电费用和低谷用电费用组成是解决本题的关键．掌握最多用电量和最贵电费的求法是解决本题的易错点． （1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据第一档共产生电费1354.88元列出方程求解可得高峰用电量，加上低谷用电量即为的值； （2）根据高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元和高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．列出方程组求解即可得到和的值； （3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，那么最多需要的电费高峰电价，所以需要节约用电，尽量控制高峰用电． 【详解】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时． ． ． ． ． ； （2）由题意得：． 解得：． 答：，； （3）（千瓦时）． （元． 答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $$