第03讲 有理数的加减运算与大小比较（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第03讲 有理数的加减运算与大小比较（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数大小比较 典型例题二 有理数加法运算 典型例题三 有理数的减法运算 典型例题四 有理数加法运算律 典型例题五 利用数轴比较有理数的大小 典型例题六 有理数的加减混合运算 典型例题七 有理数加减中的简便运算 典型例题八 有理数加减混合运算的应用 典型例题九 有理数大小比较的实际应用 知识点01 有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，则的值为 ． 知识点02 运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（2025七年级上·安徽·专题练习）在计算时，■中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·全国·课堂例题）（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 知识点03 有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．2 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： ． 知识点04 有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若为有理数，定义运算符号“※”：当时，※；当时，※；当时，※．则根据定义，的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）将写成省略加号和的形式是 ；读作： （写出一种即可）； 【典型例题一 有理数大小比较】 【例1】（2025·安徽·模拟预测）以下各数中最大的是（   ） A．1 B．3 C．0 D． 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列各选项中的数最大的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在中，最小的数是 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，，且，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）用“>”“<”或“=”填空： ① 0.2 ② ③ 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）在数轴上表示以下各数：，，，，，，，， 并将它们的相反数用“”符号连接起来． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）正式排球比赛对所使用的排球的质量是有严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数，检查结果如下表（单位：克）： 1号球 2号球 3号球 4号球 5号球 哪一个排球质量最接近规定质量？用绝对值知识来说明． 【典型例题二 有理数加法运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算的结果（    ） A．1 B． C．5 D． 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）在古代数学名著里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示计算的过程，按照这种方法，图2的计算过程表示的算式为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽六安·期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将－6，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为 ． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（    ）个 ①；②；③若，且，则或； A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要 小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要 小时． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）探究规律，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的法则进行运算的算式： ；；； ；；． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的法则了．” 聪明的你看明白了吗？ (1)归纳※（加乘）的运算法则： ①非零两数进行※（加乘）运算时，______； ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______； (2)计算：______（括号的作用同在有理数运算中的作用）； (3)我们知道加法有交换律，请你判断加法交换律在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证（举一个例子即可）． 【典型例题三 有理数的减法运算】 【例1】（2025·安徽滁州·模拟预测）计算的结果等于（    ） A．7 B．10 C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期中）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，那么第7行第3个数字为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在下图中点A表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知点A与点B的距离是5个单位长度，则点B表示的数为 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，我们称为集合，若集合中的元素均相同，则只保留一个，如{4，4}记作{4}，其中的每一个数称为该集合的元素，若一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，86}是一个对称集合，以下结论正确的是（　　） ①集合是一个对称集合； ②若一个对称集合中最大的一个元素是2024，则该集合中最小的元素是1936； ③在所有的对称集合中，元素个数最少的集合是； ④若一个对称集合中有个元素，则这个元素的和为． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）小明用下图1直观解释，类似的，请你写出可用图直观解释的算式 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复．如果一个所有元素均为有理数的集合满足： 当有理数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如就是一个黄金集合． 回答问题： (1)集合___________黄金集合，集合___________黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） (2)请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）； (3)写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合． 【典型例题四 有理数加法运算律】 【例1】（24-25七年级上·安徽池州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）是应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与加法结合律 D．以上说法都不对 【例3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下面是嘉嘉计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据．其中错误的是（　　） 解：原式＝（有理数减法法则） ＝（乘法交换律） ＝（加法结合律） ＝（﹣5）+0（有理数加法法则） ＝﹣5 A．有理数减法法则 B．乘法交换律 C．加法结合律 D．有理数加法法则 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）学科素养·阅读理解，阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【典型例题五 利用数轴比较有理数的大小】 【例1】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，数轴上的数，，，中，小于的是（     ） A．a B．b C．c D．d 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）点A、B、C在数轴上的位置如图所示，已知B表示的数为0，点A、C分别表示有理数为a、c，则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）如下图，A、B、C、D、E表示的五个数中，A-E 0（填>或<）；B-C 0（填>或<）；A-C 0（填>或<）． 【例4】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）（）如图是一个不完整的数轴，请将数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来； ，，，，． （）将上述各数按从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若，且，则、、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 3． （24-25七年级上·安徽滁州·期中）请选择合适的比例画出数轴，并将，，2，，0五个数在数轴上表示出来，并用“”把它们的大小关系表示出来． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）数轴上点，，的位置如图所示．请回答下列问题： (1)表示有理数的是点 ，将点向左移动4个单位长度得到点，则点表示的有理数是 ； (2)在数轴上标出点D、E，其中点D、E分别表示有理数和； (3)将，0，，这四个数用“”号连接的结果是　　． 【典型例题六 有理数的加减混合运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）把算式写成省略加号的和的形式为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，在一条不完整的数轴上，点表示的数是2，点先向左移动6个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点．则点表示的数为（    ） A． B． C．6 D．2 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的有理数为 ． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)． 1．（24-25七年级上·全国·期末）根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A． B． C．1 D．4 2．（24-25七年级上·安徽·期末）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有：，这里“+”号表示数的加法．例如：．则 （1） ； （2） ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下面是小强同学计算的过程，请阅读并完成相应任务． 解： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 (1)第一步的依据是 （填运算律），第二步的依据是 （填运算律） (2)第 步开始出现错误． (3)写出正确的解答过程． 【典型例题七 有理数加减中的简便运算】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【例3】（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）错用运算律，可能会导致计算的结果出错 例如有同学计算时，得到的结果为，这位同学的计算过程如下： 解：    ①     ② ③ ④ 以上计算过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 . 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）小强根据学习“数与式”积累的经验，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 2．（2025七年级上·安徽·专题练习）利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ．（直接写答案） 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）在有些情况下，不需要计算出也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． (1)根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①______；②______． (2)计算：． 【典型例题八 有理数加减混合运算的应用】 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是，如图所示幻方中，字母所表示的数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）手机支付给生活带来便捷，如图是小王的姐姐某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小王的姐姐当天微信收支的最终结果是（   ） A．收入14元 B．收入31元 C．支出10元 D．支出3元 【例3】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）某文具店在某一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 310 287.3 288.7 768 表中星期日的盈亏数被墨水污染了，请你算出星期日的盈亏数为 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽池州·期末）库尔勒香梨皮薄肉嫩，汁多味甜受到大众的喜爱．春节将至，玲玲为了招待来家里的亲朋好友，要买6箱库尔勒香梨，以每箱5千克为标准，超过或不足的千克数分别用正．负数（单位：千克）来表示，记录如下： ，，，，， (1)与标准质量比较，这6箱库尔勒香梨总计超过或不足多少千克？ (2)若库尔勒香梨每千克售价6元，则买这6箱库尔勒香梨需要多少钱？ 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）2023年10月，某校在北京园博园开展“创建绿色城市家园”的学生实践活动.活动线路从永定塔到锦绣谷，共分为9个赛段路程，平均每个赛段路程为300米，以300米为基准，其中实际路程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为“里程波动值”.下表记录了9个赛段的部分“里程波动值” 赛段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 里程波动值 10 26 ？ ？ 13 （1）第7个赛段的实际路程为 米； （2）如果第6个赛段的“里程波动值”比第5个赛段的“里程波动值”的2倍少6米，那么第6个赛段实际路程为 米. 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）． （单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是-5，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 甲、乙两人同时出示“石头、剪子、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪子 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为_______； (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是_______（填“甲”或“乙”）： (3)若第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小，则乙第四局的手势是（填“石头”或“剪子”或“布”）； 【典型例题九 有理数大小比较的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）某校篮球社团负责人采购了一批篮球备用，现随机检测了4个篮球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足的克数记为负数．从质量上看，最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期末）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气 氢气 氮气 氧气 液化温度                     其中液化温度最低的气体是（   ） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【例3】（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）安徽加速“快递进村”步伐，全面推进乡村振兴，某快递货车要通过乡村的一座桥，该桥限制车重的标志如图所示，若该货车车重（包含货物），则该货车 （填“能”或“不能”）通过这座桥． 【例4】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）检测5个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，低于标准质量的克数记为负数，5个足球的质量如图所示． (1)其中，各表示什么？ (2)请说明哪个球的质量最接近标准质量； (3)最轻的一球是__________号球． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）下列各数中，比小的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）下表是我国4个城市某年1月份的平均气温，其中平均气温最低的城市是（    ） 北京 武汉 哈尔滨 南京 A．北京 B．武汉 C．哈尔滨 D．南京 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A、B、C、D、E、F，点A落在数轴上2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上的点是（   ） A．点C B．点D C．点E D．点F 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）比较大小： (填“”，“”或“”)． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某同学在计算时，误将看成了，从而算得的结果是5，则 ． 8．（2025七年级上·安徽·专题练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读下面文字：对于 可以如下计算：原式 ， 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，计算： ． 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【问题解决】 一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有多少人？ 解：画图分析如下： 将所有同学分成A，B，C，D四部分，答对第一题的有32人，即；答对第二题的有27人，即；两题都答对的有20人，即，因此，所以. 因此，两题都答错的有6人． 【类比迁移】 一次测试共有三道题，全班有50名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有30人，答对第三题的有28人，答对第一和第二题的有24人，答对第二和第三题的有23人，答对第一和第三题的有22人，三道题都答对的有20人，那么三道题都答错的有 人． 11．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·天津·期中）把下列各数表示在数轴上，并用“>”连接3，，，0，， 13．（2025七年级上·安徽·专题练习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 14．（24-25七年级上·安徽亳州·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 15．（24-25七年级上·安徽六安·期中）现有若干有理数排在多边形各边上，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都减去同一个有理数，其余各数不变．图①是小明两次操作的示意图，将三角形三边上的三个数变为了相同的数： (1)请画出相应的操作示意图，将图②三角形三边上的有理数都变为相同的数（箭头上标注具体操作） (2)如图③，若要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由； (3)能否将，，，这个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 有理数的加减运算与大小比较（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数大小比较 典型例题二 有理数加法运算 典型例题三 有理数的减法运算 典型例题四 有理数加法运算律 典型例题五 利用数轴比较有理数的大小 典型例题六 有理数的加减混合运算 典型例题七 有理数加减中的简便运算 典型例题八 有理数加减混合运算的应用 典型例题九 有理数大小比较的实际应用 知识点01 有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟悉掌握加法运算法则是解题的关键．根据加法运算法则运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的加法，先根据绝对值的非负性求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 知识点02 运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（2025七年级上·安徽·专题练习）在计算时，■中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法运算，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．根据有理数的加法运算法则判断，即可解题． 【详解】解：与同分母，且和为整数， 即 ； ■中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为， 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·全国·课堂例题）（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 【答案】 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：；． （2）； ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 知识点03 有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法，根据题意结合有理数的减法法则列式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，即比小1的数是， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了有理数的减法．直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：2． 知识点04 有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若为有理数，定义运算符号“※”：当时，※；当时，※；当时，※．则根据定义，的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的新定义，属于新定义题型，严格按照题目中定义求解，运算过程中细心即可．根据新定义运算进行运算即可求解． 【详解】解：根据题中的新定义得： ※[5+※(2-5)]=※[5+※(-3)]=※[5+(-3)]=※2=-2, 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）将写成省略加号和的形式是 ；读作： （写出一种即可）； 【答案】 6减3加7减2 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据利用减法法则整理即可得到结果． 【详解】将写成省略加号和的形式是， 读作：6减3加7减2， 故答案为：；6减3加7减2． 【典型例题一 有理数大小比较】 【例1】（2025·安徽·模拟预测）以下各数中最大的是（   ） A．1 B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需学生熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完成． 有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．据此比较即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数为3， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列各选项中的数最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则即可得解，熟练掌握有理数的大小比较法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在中，最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 利用有理数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查绝对值，以及有理数的大小比较，解题的关键在于正确掌握有理数的大小比较方法． （1）根据正数大于负数进行判断，即可解题； （2）根据两个负数绝对值大的反而小进行判断，即可解题； （3）根据两个负数绝对值大的反而小进行判断，即可解题； （4）先利用绝对值求出，再根据正数大于负数进行判断，即可解题． 【详解】（1）解：因为正数大于负数， 所以； （2）解：因为，，且， 所以； （3）解：因为，，且， 所以； （4）解：因为，， 所以． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，，且，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小、绝对值，根据已知条件可得，即可得出答案． 【详解】解：∵，，且， 画数轴如下： ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）用“>”“<”或“=”填空： ① 0.2 ② ③ 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较． ①根据正数大于负数判断即可． ②根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． ③先化简多重符号，再把分数化成小数比较即可． 【详解】解：①， 故答案为：； ②， ，， 则， 故答案为：； ③，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）在数轴上表示以下各数：，，，，，，，， 并将它们的相反数用“”符号连接起来． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，将题目中的数据标在数轴上，根据数轴左边的数总是小于右边的数将各数用大于号连接起来，正确表示出各数是解题的关键． 【详解】解：，， 在数轴上表示如下： 各数的相反数分别为：5，，，，，0.5，，， 它们的相反数用“”符号连接起来为：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）正式排球比赛对所使用的排球的质量是有严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数，检查结果如下表（单位：克）： 1号球 2号球 3号球 4号球 5号球 哪一个排球质量最接近规定质量？用绝对值知识来说明． 【答案】5号球，见解析 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的比较大小，比较各个数的绝对值的大小，从而可以解答本题． 【详解】解：因为， 所以5号球的质量最接近规定质量． 【典型例题二 有理数加法运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算的结果（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数．根据加法法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）在古代数学名著里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示计算的过程，按照这种方法，图2的计算过程表示的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数是解题的关键．先由图1可得白色表示正数，黑色表示负数，然后观察图2列式即可． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数， ∴图2表示的过程是在计算． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·安徽六安·期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将－6，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为 ． 【答案】或10 【分析】本题考查了有理数的加法，由所给数字结合题意可得横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和为4，从而求出，或，分别计算即可得解． 【详解】解：如图， ， ∵，横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等 ∴横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和为4， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，的值为或10， 故答案为：或10． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的计算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减运算法则及绝对值进行计算； （2）根据根据有理数加减运算法则进行计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（    ）个 ①；②；③若，且，则或； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义即可判断①②；当时，，则；当时，，则，据此可判断③． 【详解】解：①，原说法正确； ②，原说法错误； ③若，且，则当时，，则； 当时，， 则， ∴或，原说法错误； ∴说法正确的有1个， 故选：B． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要 小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要 小时． 【答案】 54 28 【分析】三种产品各个阶段所需时间相加即可；一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要28小时． 【详解】解：（小时）； 当由两位工人合作完成时，一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要（小时）． 故答案为：54；28． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数加法运算，有理数加减混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据有理数加法运算法则进行计算求解，即可解题； （2）根据有理数加法运算法则进行计算求解，即可解题； （3）根据有理数加减混合运算法则进行计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）探究规律，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的法则进行运算的算式： ；；； ；；． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的法则了．” 聪明的你看明白了吗？ (1)归纳※（加乘）的运算法则： ①非零两数进行※（加乘）运算时，______； ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______； (2)计算：______（括号的作用同在有理数运算中的作用）； (3)我们知道加法有交换律，请你判断加法交换律在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证（举一个例子即可）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)适用，举例见解析（答案不唯一） 【分析】此题考查了新定义运算，以及有理数的加法运算． （1）根据所给算式，归纳出※（加乘）运算的运算法则即可． （2）根据新定义，先算中括号里，再算中括号外即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳※（加乘）运算的运算法则： ①两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果等于这个数的绝对值． （2） ． 故答案为：； （3）加法交换律和加法结合律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 由※（加乘）运算的运算法则可知： ， ， 所以， 即加法交换律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 【典型例题三 有理数的减法运算】 【例1】（2025·安徽滁州·模拟预测）计算的结果等于（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法运算法则即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期中）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，那么第7行第3个数字为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法运算，读懂题意，根据“莱布尼兹调和三角形”的各个数字组成方法求出第六行数是 ；进而求出第七行数是 ；即可得到答案，理解“莱布尼兹调和三角形”的各个数字组成方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知， 第六行第一个数是，第二个数是，第三个数数，第四个数是，第五个数是，第六个数是， 第六行数是 ； 第七行第一个数是，第二个数是，第三个数数，第四个数是，第五个数是，第六个数是，第七个数是； 第七行数是 ； 第7行第3个数字为， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在下图中点A表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知点A与点B的距离是5个单位长度，则点B表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、有理数的减法，理解题意是解题的关键．根据题意，点B在点A的左侧，且点A与点B的距离是5个单位长度，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，点B表示的数为． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数加法计算法则求解即可； （3）根据有理数减法计算法则求解即可； （4））根据有理数减法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解；； （3）解：； （4）解；． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，我们称为集合，若集合中的元素均相同，则只保留一个，如{4，4}记作{4}，其中的每一个数称为该集合的元素，若一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，86}是一个对称集合，以下结论正确的是（　　） ①集合是一个对称集合； ②若一个对称集合中最大的一个元素是2024，则该集合中最小的元素是1936； ③在所有的对称集合中，元素个数最少的集合是； ④若一个对称集合中有个元素，则这个元素的和为． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了新定义及有理数的减法，理解定义是解题的关键． 根据对称集合的定义，即可判断①②③，根据对称集合的定义，可得集合中的元素，根据有理数的加法，即可判断④． 【详解】解：，， 集合是一个对称集合，故①正确； ， 若一个对称集合中最大的一个元素是2024，则该集合中最小的元素是，故②错误； ， 在所有的对称集合中，元素个数最少的集合是，故③正确； 若一个对称集合中有个元素，则有对和为的对应元素， 这个元素的和为，故④正确； 故选B． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）小明用下图1直观解释，类似的，请你写出可用图直观解释的算式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，根据图以及图所表示的算式，领会图中圆所表示的意义，根据图所表示的规律得到图表示的算式． 【详解】解：由图可知，左边有个带有“”号的圆，表示， 又增加了个带有“”号的圆，表示增加了， 然后与抵消， 还剩下个带“”号的圆，表示还剩下， 这个算式应表示为：． 故答案为： ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)67 (2) 【分析】本题考查了有理数的减法运算． （1）先去掉括号，根据有理数的加减运算法则从左到右进行计算； （2）先算中括号里面的减法，再算括号外面的减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复．如果一个所有元素均为有理数的集合满足： 当有理数x是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如就是一个黄金集合． 回答问题： (1)集合___________黄金集合，集合___________黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） (2)请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）； (3)写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合． 【答案】(1)不是，不是 (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题要求学生必须认真阅读题目，并能准确理解黄金集合的定义才能做出正确的判断． （1）根据黄金集合的定义判断即可； （2）根据黄金集合的定义求解即可； （3）根据黄金集合的定义求解即可 【详解】（1）解：根据黄金集合的定义，，而集合中没有9， 故集合不是黄金集合； 对于因为，而集合中没有0， 故集合不是黄金集合， 故答案为：不是，不是； （2）解：因为，， 所以是黄金集合， 因为，，，， 所以是黄金集合； （3）解：因为， 所以是元素个数最少的黄金集合． 【典型例题四 有理数加法运算律】 【例1】（24-25七年级上·安徽池州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，根据加法交换律逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形正确，符合题意； D、，原选项变形错误，不符合题意； 故选C． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）是应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与加法结合律 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数加法的运算律进行判断即可． 【详解】解：由题，可知，计算运用了加法交换律与加法结合律； 故选C． 【例3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【答案】②③ 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下面是嘉嘉计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据．其中错误的是（　　） 解：原式＝（有理数减法法则） ＝（乘法交换律） ＝（加法结合律） ＝（﹣5）+0（有理数加法法则） ＝﹣5 A．有理数减法法则 B．乘法交换律 C．加法结合律 D．有理数加法法则 【答案】B 【分析】根据题目中的解答过程，可以发现第二步的依据错误，然后即可判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：由题目中的解答过程可知，第二步的依据是加法的交换律，而不是乘法交换律， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和用到的哪些运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等）． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．先根据题意找到点表示的数，再根据线段长，确定的中点表示的数． 【详解】解：，点B表示的数为4 ∴点表示的数为5或3， 当点表示的数为5时，， ， ∴点C表示的数为； 当点表示的数为3时，， ， ∴点C表示的数为， ∴点C表示的数是或， 故答案为：或． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）学科素养·阅读理解，阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【典型例题五 利用数轴比较有理数的大小】 【例1】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，数轴上的数，，，中，小于的是（     ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，根据右边的数比坐标的大，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴小于的是， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）点A、B、C在数轴上的位置如图所示，已知B表示的数为0，点A、C分别表示有理数为a、c，则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，比较有理数的大小． 根据数轴上A、B的位置得到，利用相反数的几何意义逐一判断即可． 【详解】解：根据题意得：， A、，故正确，符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：A． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）如下图，A、B、C、D、E表示的五个数中，A-E 0（填>或<）；B-C 0（填>或<）；A-C 0（填>或<）． 【答案】 > > < 【分析】根据数轴得出，再比较即可． 【详解】解：从数轴可知：， ∴，，． 故答案为：>；>；<． 【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较等知识点，能根据数轴得出是解此题的关键． 【例4】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）（）如图是一个不完整的数轴，请将数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来； ，，，，． （）将上述各数按从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 【答案】（）数轴表示见解析；（） 【分析】（）先化简各数，再把各数在数轴上表示出来即可； （）根据数轴比较大小即可； 本题考查了利用数轴比较有理数的大小，正确画出数轴是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴各数在数轴上表示如下： （）由数轴可得，． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若，且，则、、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意可得，，进而即可得出答案． 【详解】，， ，，，， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，正负数，绝对值，判断出，，是解题的关键． 根据数轴得到，，进一步判断出，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，， ， 故答案为： 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）请选择合适的比例画出数轴，并将，，2，，0五个数在数轴上表示出来，并用“”把它们的大小关系表示出来． 【答案】数轴见解析，． 【分析】本题考查了有理数的大小比较、相反数和绝对值的化简，正确化简是解题的关键． 先化简，再在数轴上表示出各数，然后根据：在数轴上表示的数，右边的数总大于左边的，用不等号连接即可． 【详解】解：，， 在数轴上表示为：    大小关系为：． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）数轴上点，，的位置如图所示．请回答下列问题： (1)表示有理数的是点 ，将点向左移动4个单位长度得到点，则点表示的有理数是 ； (2)在数轴上标出点D、E，其中点D、E分别表示有理数和； (3)将，0，，这四个数用“”号连接的结果是　　． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，数轴等知识点， （1）根据图中的数轴，即可解答； （2）在数轴上准确找到各数对应的点，即可解答； （3）利用（2）的结论，即可解答； 准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知，表示有理数的点是点A．将点向左移动4个单位长度，得到点，则点表示的有理数是， 故答案为：A，； （2）解：如图所示， （3）解：由（2）可得：， 故答案为：． 【典型例题六 有理数的加减混合运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）把算式写成省略加号的和的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，在一条不完整的数轴上，点表示的数是2，点先向左移动6个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点．则点表示的数为（    ） A． B． C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的移动规律，掌握左减右加是解题的关键．根据数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加．求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 所以C点表示的数为6． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的有理数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算运算的应用，根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加减运算进行计算即可． 【详解】解：根据题意得， ． 故答案为：． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是有理数的加减混合运算，解题关键是掌握有理数的运算方法． （1）根据有理数的加法运算求解结果即可； （2）根据有理数的加减法结合律运算求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 1．（24-25七年级上·全国·期末）根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据运算程序图把代入得到，再二次代入进行运算得到1，即可得解，掌握运算程序图中运算顺序及运算法则是解题关键． 【详解】解：根据题意可知，， ， 把再次输入，得：， ∴输出的结果是1， 故选：． 2．（24-25七年级上·安徽·期末）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有：，这里“+”号表示数的加法．例如：．则 （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算． （1）先根据题意得到推出，据此求解即可； （2）将所求式子变形为，得出，得到，据此计算可得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先去绝对值，再运用加法交换律和结合律计算即可； （3）运用加法结合律将原式变形后计算即可； （4）先去括号，再运用加法结合律计算即可； （5）将小数统一化成分数，再从左到右进行计算即可； （6）先化简，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （7）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （8）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下面是小强同学计算的过程，请阅读并完成相应任务． 解： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 (1)第一步的依据是 （填运算律），第二步的依据是 （填运算律） (2)第 步开始出现错误． (3)写出正确的解答过程． 【答案】(1)加法交换律，加法的结合律； (2)三； (3)详见解析 【分析】（）根据材料提示的计算方法，可得第一步运用是的加法交换律，第二步是加法的结合律； （）根据有理数的减法运算可得第三步出错了； （）根据有理数的加减运算即可求解； 本题主要考查了有理数的加减运算法则，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据材料提示的运算方法可得，第一步运用是的加法交换律，第二步是加法的结合律， 故答案为：加法交换律，加法的结合律； （2）解：第二步中，，第三步中为， ∴第三步开始出错， 故答案为：三； （3）解： ， ， ， ． 【典型例题七 有理数加减中的简便运算】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减法中的简便运算，把小数转化成分数，然后根据同分母相加减计算即可． 【详解】解： 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握加法运算律是解题的关键． 先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解． 【详解】解：甲：； 正确； 乙：． 正确． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）错用运算律，可能会导致计算的结果出错 例如有同学计算时，得到的结果为，这位同学的计算过程如下： 解：    ①     ② ③ ④ 以上计算过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 . 【答案】② 【分析】根据有理数的加减运算和添括号法则可作出判断． 【详解】解： ， 第②步括号内没变符号导致错误，即开始出现错误的那一步对应的序号是②， 故答案为：②． 【点睛】本题考查有理数的加减，添括号法则，解题的关键是掌握添括号法则：所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变正负号，添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可以用去括号检验一下． 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）用提供提供的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）小强根据学习“数与式”积累的经验，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用拆项法解答即可求解，掌握拆项法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 故选：． 2．（2025七年级上·安徽·专题练习）利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ．（直接写答案） 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，变形套用公式是解题的关键： （1）利用公式拆项进行计算即可； （2）拆项，套用公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式1； 故答案为：． （2）原式 ； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）在有些情况下，不需要计算出也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． (1)根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①______；②______． (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了绝对值、有理数加减法的结合律，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）①根据去掉绝对值符号即可得； ②根据去掉绝对值符号即可得； （2）先去掉绝对值符号，再利用有理数加减法的结合律进行计算即可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：． （2）解： ． 【典型例题八 有理数加减混合运算的应用】 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是，如图所示幻方中，字母所表示的数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运用，根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可． 【详解】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，且三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15， 第二列第二个数为：， ． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）手机支付给生活带来便捷，如图是小王的姐姐某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小王的姐姐当天微信收支的最终结果是（   ） A．收入14元 B．收入31元 C．支出10元 D．支出3元 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数的应用、有理数的加减运算的应用等知识点，根据题意列出算式是解题的关键． 先根据有理数的加减进行计算，最后根据结果的正负即可解答． 【详解】解：依题意可得：，即支出3元． 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）某文具店在某一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 310 287.3 288.7 768 表中星期日的盈亏数被墨水污染了，请你算出星期日的盈亏数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正负数的应用，有理数加减混合运算，根据正负数的意义列式，再计算即可． 【详解】解： 元， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·安徽池州·期末）库尔勒香梨皮薄肉嫩，汁多味甜受到大众的喜爱．春节将至，玲玲为了招待来家里的亲朋好友，要买6箱库尔勒香梨，以每箱5千克为标准，超过或不足的千克数分别用正．负数（单位：千克）来表示，记录如下： ，，，，， (1)与标准质量比较，这6箱库尔勒香梨总计超过或不足多少千克？ (2)若库尔勒香梨每千克售价6元，则买这6箱库尔勒香梨需要多少钱？ 【答案】(1)超过千克 (2)元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的加减混合运算，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据记录数据列出算式，然后计算即可得解； （2）求出6箱库尔勒香梨的总质量，乘以6即可得． 【详解】（1）解：（千克） 答：与标准质量比较，这6箱库尔勒香梨总计超过千克． （2）解： （元） 答：买这箱库尔勒香梨需要元． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减法的应用，先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为7，再根据“方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，”即可求解． 【详解】解：∵九宫格数字总和为， ∴区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为， ∵， ∴阴影格子中最大数字可能是4， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期末）2023年10月，某校在北京园博园开展“创建绿色城市家园”的学生实践活动.活动线路从永定塔到锦绣谷，共分为9个赛段路程，平均每个赛段路程为300米，以300米为基准，其中实际路程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为“里程波动值”.下表记录了9个赛段的部分“里程波动值” 赛段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 里程波动值 10 26 ？ ？ 13 （1）第7个赛段的实际路程为 米； （2）如果第6个赛段的“里程波动值”比第5个赛段的“里程波动值”的2倍少6米，那么第6个赛段实际路程为 米. 【答案】 270 318 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）先求得5，6两个赛段的里程波动值之和，然后设第5个赛段的“里程波动值”为米，列得方程求得的值后列式计算即可． 【详解】解：（1）（米， 即第7个赛段的实际路程为270米， 故答案为：270； （2） （米， 即5，6两个赛段的里程波动值之和为30米， 设第5个赛段的“里程波动值”为米， 则， 解得：， 那么（米， 即第6个赛段实际路程为318米， 故答案为：318． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）． （单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)本周内最高价是每股元，最低价是每股元 (2)赚了元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义求得每天的实际股价，从而得出答案； （2）结合（1）中所求及已知条件列式计算即可． 【详解】（1）解：星期一的股价：元， 星期二的股价：元， 星期三的股价：元， 星期四的股价：元， 星期五的股价：元， 则本周内最高价是每股元，最低价是每股元； （2） 元， 即他的收益情况为赚了元． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是-5，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 甲、乙两人同时出示“石头、剪子、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪子 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为_______； (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是_______（填“甲”或“乙”）： (3)若第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小，则乙第四局的手势是（填“石头”或“剪子”或“布”）； 【答案】(1)0 (2)甲 (3)布 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及数轴上动点问题，有理数的加减的应用； （1）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算即可求解； （2）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算第二、三局，黑棋对应点数即可求解； （3）根据游戏规则可得黑棋和白棋相向运动，即可求解． 【详解】（1）解：∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第一局是平局， ∴， ∴第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为 故答案为：． （2）∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，4，则第二局是甲赢， ∴，， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，则第三局是甲赢， 故答案为：甲． （3）解：由（2）可得， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第三局是甲赢， ∴， 第三局结束时黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是， ∵第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小， 根据游戏规则可得黑棋和白棋相向运动，即甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度 ∴乙第四局的手势是布 【典型例题九 有理数大小比较的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）某校篮球社团负责人采购了一批篮球备用，现随机检测了4个篮球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足的克数记为负数．从质量上看，最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义和性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 先计算各选项的绝对值，再结合有理数的大小比较，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最接近标准的篮球是标记的篮球， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·安徽池州·期末）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气 氢气 氮气 氧气 液化温度                     其中液化温度最低的气体是（   ） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可． 【详解】解：， ∴液化温度最低的气体是氦气． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）安徽加速“快递进村”步伐，全面推进乡村振兴，某快递货车要通过乡村的一座桥，该桥限制车重的标志如图所示，若该货车车重（包含货物），则该货车 （填“能”或“不能”）通过这座桥． 【答案】能 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，由该桥限制车重的标志可知，小于就可通过，该货车车重（包含货物），进行比较即可解答． 【详解】解：由该桥限制车重的标志可知，小于就可通过， ， 该货车能通过这座桥， 故答案为：能． 【例4】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 【答案】(1)③ (2)样品①③④ 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较； （1）直接比较各个选项数据的绝对值，找出最接近标准的即可． （2）找出绝对值大于的不是正品，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，，， 而， ∴最符合要求是样品③； （2）∵规定零件误差的绝对值在之内是正品， 而，， ∴②⑤不符合题意； ∴正品是样品①③④． 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数以及绝对值的综合应用．解题的关键是熟练掌握求正负数的绝对值，比较有理数的大小． 求出四个选项中足球上面的数的绝对值，比较大小，超过或不足标准质量克数的绝对值越小越接近标准质量，可得答案． 【详解】解：A、 B、 C、 D、． ∵， ∴与标准质量偏差最小的是C． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 【答案】(1)6号实验器材的质量最接近标准质量； (2)2号，4号，6号，7号是合格品；3号是次品；1号，5号是废品． 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值： （1）找到与标准质量的差的绝对值最小的序号即可； （2）根据规定，进行判断即可． 【详解】（1）解：， ∴6号实验器材的质量最接近标准质量； （2）∵ ∴2号，4号，6号，7号是合格品； ∵， ∴3号是次品； ∵，， ∴1号，5号是废品． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）检测5个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，低于标准质量的克数记为负数，5个足球的质量如图所示． (1)其中，各表示什么？ (2)请说明哪个球的质量最接近标准质量； (3)最轻的一球是__________号球． 【答案】(1)表示超过标准质量，表示低于标准质量． (2)③号球最接近标准质量． (3)最轻的一球是① 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，掌握克数的绝对值越小就越接近标准是解题的关键． （1）根据题中各正负数所表示的实际意义即可解答； （2）先比较各数的绝对值，再根据克数的绝对值越小就越接近标准即可解答． （3）比较各数的大小，根据越小的数越轻即可解答． 【详解】（1）解：表示超过标准质量，表示低于标准质量． （2）解∶，，，，， ∵， ∴各球的质量的绝对值最小为0.6， ∴③号球最接近标准质量． （3）解：∵， ∴最轻的一球是①． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）下列各数中，比小的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的大小比较．正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴比小的数是． 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减法，根据有理数的加减法法则逐项判断即可，掌握有理数的加减法法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）下表是我国4个城市某年1月份的平均气温，其中平均气温最低的城市是（    ） 北京 武汉 哈尔滨 南京 A．北京 B．武汉 C．哈尔滨 D．南京 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的法则是解本题的关键．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵， ∴平均气温最低的是哈尔滨， 故选：C． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A、B、C、D、E、F，点A落在数轴上2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上的点是（   ） A．点C B．点D C．点E D．点F 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索，由于圆的周长为个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合． 【详解】解：由图形可知，每滚动一周，向数轴负方向前进6个单位长度，在第一次滚动过程中，点对应的数是1，点对应的数为0，点对应的数为，点对应的数据为，点对应的数为，点对应的数为，……， 以此类推，从数字2开始向左数，A、B、C、D、E、F与数轴上的整点依次对应，且A、B、C、D、E、F循环出现， ∵在数轴上到2的距离为，， ∴数轴上的点与对应的点相同，即点． 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了规律探究，解题关键是发现规律，本题的规律是第n个图形有个圆圈． 【详解】解：第①个图形中一共有个圆圈； 第②个图形中一共有个圆圈； 第③个图形中一共有个圆圈； 第⑦个图形中一共有个圆圈； 故选：B ． 6．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）比较大小： (填“”，“”或“”)． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握去括号法则和绝对值的性质．先把这两个数化简，然后进行比较即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某同学在计算时，误将看成了，从而算得的结果是5，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减法，根据题意列出算式，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 故答案为：9． 8．（2025七年级上·安徽·专题练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读下面文字：对于 可以如下计算：原式 ， 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，计算： ． 【答案】 【分析】仿照示解题过程，将整数部分相加减，分数部分相加减，再计算可得． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加减混合运算法则和运算律． 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【问题解决】 一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有多少人？ 解：画图分析如下： 将所有同学分成A，B，C，D四部分，答对第一题的有32人，即；答对第二题的有27人，即；两题都答对的有20人，即，因此，所以. 因此，两题都答错的有6人． 【类比迁移】 一次测试共有三道题，全班有50名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有30人，答对第三题的有28人，答对第一和第二题的有24人，答对第二和第三题的有23人，答对第一和第三题的有22人，三道题都答对的有20人，那么三道题都答错的有 人． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意正确列出算式是解题的关键． 根据题意列出算式，正确计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ， ， ∴三道题都答错的有人， 故答案为： ． 11．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减法，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数的加减法运算法则即可求解； （）根据有理数的加减法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：              ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·天津·期中）把下列各数表示在数轴上，并用“>”连接3，，，0，， 【答案】数轴表示见解析； 【分析】本题考查用数轴上的点表示数．先去括号，化简绝对值，再将各数在数轴上表示出来，根据数轴上的点表示的数从左到右依次增大，用“”连接即可． 【详解】解：，，数轴表示如下： 由图可知：． 13．（2025七年级上·安徽·专题练习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2550 【分析】本题主要考查了有理数加法中的简便计算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）将原式变形为，然后进行运算即可； （2）将原式变形为，然后进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·安徽亳州·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 15．（24-25七年级上·安徽六安·期中）现有若干有理数排在多边形各边上，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都减去同一个有理数，其余各数不变．图①是小明两次操作的示意图，将三角形三边上的三个数变为了相同的数： (1)请画出相应的操作示意图，将图②三角形三边上的有理数都变为相同的数（箭头上标注具体操作） (2)如图③，若要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由； (3)能否将，，，这个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过次操作，理由见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题中的操作规定，探索出数字之间的变化规律是解题的关键． （1）按照题中规定操作，即可求解； （2）如果只进行一次，只能改变相邻个数，剩下个数不相等，故至少次操作； （3）按照每次操作后，四个数的和是奇数（或偶数）的不变性，可以得出，，，不管以何种方式排列，通过若干次操作后都不能变成相等的个数． 【详解】（1）解：如图②即为所求； （2） 要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过次操作， 如果只进行次操作，只能改变相邻的两个数，剩下的两个数不相等，因此最少需要通过次操作； （3）解：不能，理由如下： 为奇数， 又操作一次，将相邻两个数都减去同一个数，其余数不变，即得到的四个数的和为奇数， 最终得到四个相同的数， 最后得到的四个数的和为偶数， 不能将，，，这个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数． 学科网（北京）股份有限公司 $$