第11讲 二元一次方程组及其解法（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025－2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第11讲 二元一次方程组及其解法（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 二元一次方程的定义 典型例题二 判断是否是二元一次方程组 典型例题三 判断是否是二元一次方程组的解 典型例题四 代入消元法 典型例题五 加减消元法 典型例题六 三元一次方程组的定义及解 典型例题七 二元一次方程组的特殊解法 典型例题八 构造二元一次方程组求解 典型例题九 已知二元一次方程组的解求参数 典型例题十 二元一次方程组的错解复原问题 典型例题十一 方程组同解问题 典型例题十二 二元一次方程组的新定义问题 知识点01 二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的识别，根据二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①由两个一次方程组成；②共有两个未知数，由此即可求解． 【详解】解：A. 第一个方程中，为分式，导致方程不是整式方程，更非一次方程，故A不符合； B. 方程组含三个未知数、、，不符合“二元”条件，故B不符合； C. 两个方程和均为关于、的一次方程，且仅有这两个未知数，符合定义，故C正确； D. 第二个方程含二次项，不是一次方程，故D不符合； 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）解二元一次方程组 的最优方法是 的方法．（填“代入”或“加减”） 【答案】代入 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据“代入法”，“加减法”的意义进行判断即可． 【详解】解：解二元一次方程组的最优方法是代入法，此时可消去， 故答案为：代入． 知识点02 二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（23-24七年级上·安徽马鞍山·期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程法解法，加减消元法，即可． 【详解】A、得，，不符合题意； B、得，，不符合题意； C、得，，不符合题意； D、得，，符合题意； 故选：D． 【即时训练】 2．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）开放性试题  写出一个解为的二元一次方程组 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据解构建二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组解的定义，数的四则运算，是解题的关键． 先围绕列一组算式，如，，然后用x，y替换，得 （答案不唯一，符合题意即可）． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故签案为：（答案不唯一）． 知识点03 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）解二元一次方程组时，由可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法．根据加减消元法即可得． 【详解】解：得：， 即， 故选：D． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）对于解二元一次方程组①；②．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 ． 【答案】丙 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，求解过程需要根据不同题目特点选择合适解题方法，变量之间其中一个已由另一个表示，利用代入法更为便捷；若变量系数相同或为相反数，加减法更为便捷，据此可得答案． 【详解】解：①利用代入消元法解方程组较为简便； ②利用加减消元法解方程组较为简便； 综上，丙所说的方法比较简便； 故答案为：丙． 知识点04 三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的方程组，叫做三元一次方程组．根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证． 【详解】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组． A、满足三元一次方程组的定义，故A选项正确； B、，未知量的次数为2次，不是三元一次方程，故B选项错误； C、，未知量的次数为2次，不是三元一次方程，故C选项错误； D、不是整式方程，故D选项错误； 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解 ． 【答案】或或 【分析】利用“适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解”即可得出答案． 【详解】解：当时，成立； 当时，成立； 当时，成立； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解，熟练掌握概念是解题的关键． 【典型例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：由二元一次方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是二元一次方程， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）方程是二元一次方程，请你推断m的值属于下列情况中的（    ） A．不可能是 B．不可能是 C．不可能是1 D．不可能是2 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，其中含x的一次项的系数不等于0，注意首先要化为一般形式．二元一次方程就是只含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的整式方程，根据定义求解． 【详解】方程可化为即， 根据题意，得， 则的值一定不可能是． 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）若是关于x和y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义可得 ，求出的值，再解即可． 【详解】解：根据题意： ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若方程是关于的二元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是关于的二元一次方程， ∴且， ∴且， 解得， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握系数不等于且次数等于的知识点是解题关键． 根据二元一次方程的定义可得、项的系数不等于且次数等于从而得到关于、的不等式及方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得或， 又， ， ，的值分别为，． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）（1）已知方程是关于x，y的方程．当k为何值时，方程为二元一次方程？ （2）解方程组：． 【答案】（1）且；（2） 【分析】此题考查了二元一次方程的定义和解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的定义和解法是解题的关键． （1）根据二元一次方程的定义得到，即可求出答案； （2）利用代入法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：若方程是二元一次方程，则 所以当）且时，原方程是二元一次方程． （2）解： 由①得③， 把③代入②中，得，解得． 把代入③中，得． 故原方程组的解为 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______． (2)若方程中x，y的值满足表： x 0 y 0 2 求方程的共轭二元一次方程． (3)若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． （1）由题意得，，解方程即可得到答案； （2）将x与y的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程； （3）将代入，得出，解关于的二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组为共轭方程组， ∴，， ∴解得，； （2）解：由题意得， 解得， ∴原方程为：， ∴这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解：； 理由：将代入， 得， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 【典型例题二 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（   ） A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“①只有两个未知数；②未知数的项最高次数都应是一次；③都是整式方程”．据此即可判断． 【详解】解：①，符合二元一次方程组的概念； ②，符合二元一次方程组的概念； ③中，中含未知数的项的次数不是一次，不符合二元一次方程组的概念； ④中，不是整式方程，不符合二元一次方程组的概念； ⑤，符合二元一次方程组的概念； 综上，①②⑤是二元一次方程组． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的有（   ） ①②③④⑤⑥ A．①③⑤ B．①③④ C．①②③ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定． 【详解】①是含有3个未知数，故不符合题意； ②，含未知数的项最高次数是2次，故不是二元一次方程组，故不符合题意； ③是二元一次方程组，故符合题意； ④是二元一次方程组，故符合题意； ⑤中有方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意； ⑥，含未知数的项最高次数是2次，故不是二元一次方程组，故不符合题意； 故是二元一次方程组是③④， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·课后作业）把含有相同未知数的 个 联立在一起组成的方程组叫作二元一次方程组．我们把二元一次方程组中两个方程的 叫作二元一次方程组的解． 【答案】 两 二元一次方程 公共解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组是由两个含有相同未知数的二元一次方程组成的，且方程组的解是使二元一次方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此可得答案． 【详解】解：把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起组成的方程组叫作二元一次方程组．我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解． 故答案为：两；二元一次方程；公共解． 1．（2025七年级上·浙江·专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）已知方程组是二元一次方程组，求m的值． 【答案】m=5 【详解】解：依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0， 解得：m=5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方程． 3．（2025七年级上·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (2)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (3)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (4)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (5)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (6)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 【分析】（1）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （2）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （3）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （4）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （5）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （6）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． 【详解】（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （3）中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （6）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是关键． 【典型例题三 判断是否是二元一次方程组的解】 【例1】（24-25七年级上·河南新乡·期中）若关于的二元一次方程组的解为则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目给出一个二元一次方程组，其中第二个方程为多项式，要求找出可能的，由于题目未明确给出解的具体值，需结合选项及方程进行推断．本题考查了二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：方程组为，其解需同时满足两个方程， ∴假设解为，（满足），代入各选项验证： A、，不成立，故该选项不符合题意； B、，不成立，故该选项不符合题意； C、，成立，故该选项符合题意； D、，不成立，故该选项不符合题意； 故选：C 【例2】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·单元测试）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了以解为条件构造方程组，熟练掌握方程组的意义是解题的关键． 以x，y为主元素，任意构造即可． 【详解】解：二元一次方程组的解为的方程组有无数个， 如： 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】 （24-25七年级上·安徽滁州·课后作业）有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·随堂练习）已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 【答案】(1)②④是方程的解． (2)③④是方程的解． (3)④是方程组的解． 【分析】本题考查二元一次方程的解和二元一次方程组的解，方程（组）的解是满足方程（组）的未知数的值，掌握该知识点是解题的关键． （1）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （2）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （3）两方程的公共解即为方程组的解，据此即可解答题目. 【详解】（1）解：将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 故②④是方程的解． （2）解：将代入，不成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，成立； ③④是方程的解． （3）解：由（1）（2），可知，④是两个方程公共解 所以④是方程组的解． 2．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 3．（23-24七年级上·广东中山·期中）新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析 (2)或6 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据方程，即可得到，即可得出结论； （2）先解二元一次方程组，根据新定义，得到关于的绝对值方程，进行求解即可． 【详解】（1）具有“邻好关系”．理由如下：方程组 由②得． 所以方程组的解具有“邻好关系”； （2）解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即． 所以或， 所以或6． 【典型例题四 代入消元法】 【例1】（23-24七年级上·安徽滁州·课后作业）已知与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同类项及二元一次方程组的解法，熟练掌握同类项及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得：； 故选B． 【例2】（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图，小颖用两种方法在两个天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，两个天平都保持平衡．若“■”与“●”的质量分别为x，y，则x，y之间的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，首先设“▲”的质量是，根据两个天秤可得两个等式，，等量代换可得与的关系． 【详解】解：设“▲”的质量是， 根据第一个天秤可得：， 根据第二个天秤可得：，即 把代入， 得到：， 故选：D． 【例3】 （24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知方程，用含y的代数式表示x，则 ； 【答案】 【分析】此题考查解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数求出x．将y看作已知数，先移项再系数化为1，即可求出x． 【详解】解： ， 故答案为： 【例4】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x，y的方程组则 （用含x的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，准确计算．由得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·贵州黔西·阶段练习）方程组的解为则被遮盖的两个数，分别为（    ） A．1，2 B．1，3 C．2，4 D．1，5 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程组的解的概念和解方程，解题的关键是理解方程组的解的定义，并且会代入求值． 把的值代入原方程组中的第二个方程，解方程求出的值，把和的值代入原方程组中的第一个方程，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为， ∴， ∴为， 故选：D． 2．（24-25七年级上·北京·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为“友好二元一次方程”，其中；由这两个方程组成的方程组叫做“友好方程组”． （1）若关于、的方程组为“友好方程组”，则 ， ； （2）若关于、的“友好方程组”的解为整数，则整数的值为 ． 【答案】 2 1 0或或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解的情况求参数，正确理解友好方程组”的定义是解题的关键。 （1）根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）先解原方程组得到，再根据原方程组的解为整数求解即可． 【详解】解：（1）∵关于、的方程组为“友好方程组”， ∴， 解得， 故答案为：2；1； （2）解方程组得， ∵关于、的“友好方程组”的解为整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或（舍去）， ∴整数的值为0或或， 故答案为：0或或． 3．（24-25七年级上·河北唐山·期中）老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解． 琪琪同学进行了板演，过程如图： 解：把①变形为：③…………第一步 把③代入②中得：…………第二步 解这个方程，得第三步…………第三步 把代入①中，得…………第四步 所以，方程组的解为…………第五步 (1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法； (2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)代入 (2)第一步 (3) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组求解作答即可； （2）根据代入消元法解二元一次方程组求解过程作答即可； （3）根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：琪琪在解方程组时，使用代入消元法， 故答案为：代入； （2）解：琪琪在解方程组时，首次出现错误在第一步，移项没有变号， 故答案为：第一步； （3）解：把①变形为：③ 把③代入②中得： 解这个方程，得第三步 把代入①中，得 所以，方程组的解为． 【典型例题五 加减消元法】 【例1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）已知实数x、y、k满足，则代数式的值是（    ） A．4 B．6 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，观察方程组中未知数的系数特点，通过将两个方程相加即可消去参数k，直接得到所求代数式的值。 【详解】解：将方程组中的两个方程相加： 得： 化简后得到： 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·福建泉州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加减消元法，二元一次方程组的特殊解法，理解题意，得方程组的，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的 则得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知关于的方程组，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据解二元一次方程组的方法，利用加减消元法解方程组，用含k的式子表示出x，y，然后代入计算即可． 【详解】解：， ，得， ，得， 把代入①，得， 去括号，得， 解得：， ． 故答案为：4． 【例4】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）关于、的方程组的解满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，观察方程组，结合方程组的解所满足的关系等式，采用合适的解法是解题关键． 先将方程组中的两个方程相加可得的值，再根据方程组的解满足可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， 这个方程组的解满足， ， 解得， 故答案为：1． 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减法消元解二元一次方程组，解题关键是掌握加减法消元． （1）直接利用加减法求解； （2）先将第1个方程变形后，再利用加减法求解． 【详解】（1）解： 得，解得：， 将代入①，得， 解得：， 所以方程组的解为； （2） ，得， ，得，解得：， 将代入①，得， 解得：， 所以方程组的解为． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下面是两个同学解方程组时，不完整的解题过程： 甲同学：①－②得，． 乙同学：由①得③，将③代入②得， (1)甲和乙两位同学的解题过程中，出现错误的同学是______； (2)请你对一个同学的错误解题过程改正并完善． 【答案】(1)甲和乙 (2)选甲同学时，原方程组的解为；或选乙同学时，原方程组的解为；见解析 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键： （1）根据解二元一次方程组的步骤即可得出答案； （2）选甲同学时，①－②得，求出y的值，再代入求解即可；选乙同学时，由①得③，先求出y的值再代入即可得出答案． 【详解】（1）解：甲和乙两位同学的解题过程中，出现错误的同学是甲和乙， 故答案为：甲和乙 （2）解：选甲同学时，①－②得，   ， 把代入， 解得，， 原方程组的解为， 选乙同学时，由①得③， 将③代入②得， ， ， 把代入③可解得，， 原方程组的解为． 3．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下面是小华同学解二元一次方程组的过程，请仔细观察回答下面问题． 解：，得（1） ，得（2） 将代入，得（3） 所以原方程组的解是（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在 步（填序号），第二次出错在 步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 【答案】(1)（1），（2） (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，关键是键是能熟练运用加减消元法． （1）根据加减消元法的步骤判断即可； （2）利用加减消元法正确求解即可． 【详解】（1）解：第一次出错在（1）步， 第二次出错在（2）步， 故答案为：（1），（2）； （2）解：正确的过程为： 解方程组：， ，得， ，得， 解得：， 将代入，得， 所以原方程组的解为． 【典型例题六 三元一次方程组的定义及解】 【例1】（24-25七年级上·甘肃天水·期中）已知则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】利用整体思想，把三个方程相加，得，解得，解答即可． 本题考查了三元一次方程组的整体解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，把三个方程相加，得， 解得． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·安徽滁州·假期作业）如果○、囗、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、囗、△的值．正确的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了三元一次方程的解法，通过加减消元法求出△和○的值，再代入第三个方程求囗的值． 【详解】解：由 和 相加， 得：，代入，得： 将代入，得：． 综上，，， 故选：A 【例3】（23-24七年级上·四川成都·期末）已知x、y、z满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键． 把两个方程相加，可得，据此可得；①3②4，可得，据此可得，进而得出答案． 【详解】解：， ①②，得， 即， ∴； ①3②4，得， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·重庆·期中）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ． 【答案】17 【分析】此题考查了解三元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新运算法则列出方程组，用含b的式子表示出a和c的值，再根据新运算法则计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， ②﹣①得：，即， ②+①得：，即， 则原式． 故答案为：17． 1．（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组及二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解各方程组即可； （2）利用加减消元法解各方程组即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）解： 得：④， 得：⑤， 得：， 解得：， 将代入⑤得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）已知，且，求、、的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了解三元一次方程组．设，得出，，，进而根据，求得的值，即可求解． 【详解】解：设， 则，，， ，，， ， ， 解得：， ，，． 3．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 【答案】（1）18；（3）3；（3）5分 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用等知识，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）由整体思想求值即可； （2）由整体思想求值即可； （3）先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：（1）， 得：， 得：， ∴的值为18； （2）， 得，， ∴， 得，， ∴； （3）设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分， 由于总分不变，得：， 由①得： ， 将②代入③得：， 解得：， 则原来一等奖比二等奖平均分多6分， 又调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分， 则调整后一等奖比二等奖平均分数多（分）． 【典型例题七 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（24-25七年级上·新疆省直辖县级单位·期中）已知a，b满足方程组则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，直接将两方程相加进而得出的值． 【详解】解：， 两式相加得：， 两边同时除以2，得：， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·四川内江·期中）已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组解的定义．先将原方程组整理，再运用整体的思想，得，解得． 【详解】解：由题意，方程组的解为， 方程组整理得：， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义解题即可． 【详解】解：把方程组变形为： ， ∵方程组的解为， ∴， 解得：， ∴方程组的解为． 故答案为： ． 【例4】（24-25六年级下·上海·阶段练习）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为 ． 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．观察表格得知能使得两个方程都成立，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）关于二元一次的方程组，已知 (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)27 【分析】本题考查了根据方程组解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． （1）将方程组的两个方程相加，可得到，代入，即可解答； （2）将代入原方程组，再求解方程组，求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)2，16 (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握“整体思想”是解题的关键． （1）参照题干中小逸的作法求解； （2）由，得出，即可求解． 【详解】（1）解： 由，可得， 由，可得． 故答案为：2，16； （2）解： 由，可得， 方程组的解满足， ， 解得． 【典型例题八 构造二元一次方程组求解】 【例1】（24-25七年级上·江苏南通·期中）对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入②得：， ∴， 则， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 结论Ⅰ：的值是一个定值16； 结论Ⅱ：若m的值为6，则x的值是1； 上述结论正确的是（    ） A．结论Ⅰ B．结论Ⅱ C．两个结论都正确 D．两个结论都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了了解二元一次方程组，根据题意得出，，，则可求出，即可判定结论Ⅰ，若m的值为6，则，则可得，解方程组即可判定结论Ⅱ． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， ∴，故结论Ⅰ错误； 若m的值为6，则， ∴， 解得，故结论Ⅱ正确， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 根据方程组的解是，可知的解是，解得出方程组的解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴的解是， 即． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如表中的信息满足关于的二元一次方程，则 … … 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将表格中的两组数据代入二元一次方程中，得到关于、的二元一次方程组，解方程求出、的值，即可得解． 【详解】解：将，代入二元一次方程中， 得， ，得， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·重庆·期中）对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新定义，列出二元一次方程组，进行求解即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选A． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·自主招生）已知正实数，，，，满足，，如图是以，，，为边长作正方形或矩形．若图1阴影部分的面积为6，求图2阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意由图形1得，联立方程组，解得，，由方程组得，即可得，从而可得图2阴影部分的面积． 【详解】解：根据题意得图1阴影部分的面积为， ∴， ∵正实数，，，，满足，， ∴联立方程组得， 解得，， 由方程组得 ∴， ∴， ∴图2阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 3．（23-24七年级上·安徽滁州·课后作业）我们定义一个新运算：，如．已知，分别求出x和y的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程组的解法，根据新定义建立方程组，再解方程组即可． 【详解】解：， ，， ，， ，即， 得：，解得：， 将代入，得， 解得： 解得：． 【典型例题九 已知二元一次方程组的解求参数】 【例1】（24-25七年级上·河南周口·期中）在解关于x，y的二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m与n之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法，解题关键是掌握加减消元法． 直接利用加减消元法求解，结合可直接消去未知数y，得出m与n之间的数量关系． 【详解】解：， ，得， 可直接消去未知数y， 所以， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·福建福州·期中）已知关于，的二元一次方程组（其中是常数），不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，将方程组中的两个方程联立消掉m是解题的关键．将方程组中的两个方程变形后消掉m即可得出结论． 【详解】解：， ，得， ∵代数式（是常数）的值始终不变， ∴． 故选D． 【例3】（24-25七年级上·天津·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据方程组的解法得出，再根据得到，求出k的值即可． 【详解】解：， 得，， ∴， 又， ， ． 故答案为：10． 【例4】（23-24七年级上·安徽滁州·课后作业）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确结果，后来发现●，★处被墨水污损了，●，★两处的值分别是 ． 【答案】2，1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，一元二次方程组的解的定义，设●表示的数为a，把把代入原方程组得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设●表示的数为a， 把代入原方程组得， 解得， ∴●，★两处的值分别是2，1， 故答案为：2，1． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键． 将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数据即可求解． 【详解】解：变形为 由题意得：， 解得： 故选：B 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论：①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用x表示y，则；④无论a取什么实数，的值始终不变．其中正确的结论有 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． ①解含有字母参数a的二元一次方程组求出x、y，然后根据方程组的解x，y互为相反数，列出关于a的方程求解即可判定①；②把a=1代入已知条件中的方程组求得x、y，再把x、y代入方程的左右两边，通过计算进行判断即可判断②；③由①可得：，即，则，然后整理即可判断③；④由①可得：，再代入化简即可判断④． 【详解】解：， 得：，即， 把代入②得：， ∴该方程组的解为 ∵这个方程组的解x、y的值互为相反数时，， ∴，解得：，即①正确； 当时，把代入关于x、y的二元一次方程组 ，解得：， 当时，方程为， 把代入，左边，右边，左边右边， ∴当时，方程组的解不是方程的解，即②错误； 由①可得：，即， ∴，整理得：．即③正确； ∵由①可得：， ∴，即无论a取什么实数，的值始终不变，即④正确． 综上，结论正确的序号为①③④． 故答案为：①③④． 3．（24-25七年级上·北京西城·期中）关于，的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足＝，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③④． (2)若关于，的方程组是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解“美好”方程组的定义是解题的关键； （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：． 【典型例题十 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了，解得，则、、正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： ， 把代入得：， 联立得：，解得：， 由，得到， 故选：A． 【例2】（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（   ） A．3 B．5 C．-3 D．-5 【答案】B 【分析】本题考查已知二元一次方程组的错解求参数，将代入方程②，将代入方程①即可求解； 【详解】解：将代入方程②：； 化简得：； 将代入方程①：； 化简得：； ∴， 故选：B 【例3】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意得，是方程的解，代入得到，即可求出的值． 【详解】解：由题意得，是方程的解， 代入得到， 即， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级上·湖南娄底·期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键． 将与代入可得，然后解方程组可得的值，然后求出，然后代入计算即可得． 【详解】解：把与代入得：， 得， 将代入①得， 把代入得：， 解得：， 则． 故答案为：． 1．（23-24七年级上·安徽滁州·课后作业）已知关于的方程组甲看错了方程①中的a得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要查了二元一次方程组的解．把代入，可得，再把把代入，可得到，即可求解． 【详解】解：把代入，得： ，解得：， 把代入，得： ，解得：， ∴． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组，熟练掌握方程的解的定义是解题关键． （1）甲由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，那么他的解对②还是正确的，把他的解代入②中解得；乙看错了②中的得到方程组的解为，那么他的解对①也是正确的，把他的解代入①中，解得； （2）解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 将代入②得， 将代入①得， ，． （2）解：由（1）得，， 原方程组为， ①2②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 原方程组的解为：． 3．（2025七年级上·浙江·专题练习）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值； （2）把m与n的值代入方程组求解即可得到答案． 本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键． 【详解】（1）解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴，； （2）解：把，代入方程组得：， 得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 【典型例题十一 方程组同解问题】 【例1】（24-25七年级上·山东泰安·期中）关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，先求出的解，再将解代入中求出a，b，即可求解． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·甘肃天水·阶段练习）如果关于的二元一次方程组的解与二元一次方程组的解相同，那么a、b的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题． 根据题意，把代入，得到一个关于a、b的方程组，再利用加减消元法求解即可． 【详解】解：由题意可知，把代入， 可得：，解得：， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意， 得：， 将代入①得：， 将代入得： ， 得：， 将代入④得：， 当时， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，设，，即可得，解方程组即可求解，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·四川内江·期中）关于，的方程组和的解相同，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解方程，本题通过联立公共解的方程，求出，的具体值，再代入含参数的方程组，最终转化为关于，的方程组求解，体现了消元思想的应用． 【详解】解：联立不含，的方程， 将第一个方程组的第一个方程与第二个方程组的第一个方程联立，得到新的方程组： ， 解得：， 将代入第一个方程组的第二个方程和第二个方程组的第二个方程，得到： ， 解得：． 2．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据题意得到方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得 把代入，得 解得 ． 3．（24-25七年级上·云南临沧·期中）已知关于x和y的二元一次方程组和有相同的解． (1)求方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同解方程组，加减消元法，解题的关键是熟练掌握方程组解的定义． （1）根据和有相同的解，解方程组，即可得出答案； （2）把代入方程组得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵和有相同的解， ∴， 解得：， ∴方程组的解为． （2）解：由（1）知，是方程组的解， ∴， 解得， ∴． 【典型例题十二 二元一次方程组的新定义问题】 【例1】（24-25七年级上·安徽滁州·单元测试）对于任意有理数、，定义新运算：（其中、是常数）．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．11 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义和解二元一次方程组及代数式求值，解题关键是理解新定义的含义．根据已知条件和新定义，列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入求解即可． 【详解】解：，且，， 即 解得 ． 故选B． 【例2】（24-25七年级上·山东威海·期中）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到，再代入求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即， ∴. 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于、定义一种新运算“”：，其中、为常数，已知，，那么 ． 【答案】19 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知等式利用题中的新定义化简，计算求出与的值，即可求出所求． 【详解】解：利用题中的新定义化简得：， 解得：， ． 故答案为：19． 【例4】（24-25七年级上·陕西西安·期末）对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：1． 1．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：．例如：．若，求x，y的值． 【答案】x，y的值分别为 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题中的定义列出二元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：根据题中的定义，得， ，得， ③． ，得，解得：． ，得，解得：． 故x，y的值分别为． 2．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）对于有理数定义一种新运算“”：．例如：． (1)若，求的值． (2)在（1）的条件下，试说明：． 【答案】(1) (2)详见解析 【详解】解：（1）由题意，得解得 （2）因为，所以，所以 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 1．（24-25七年级上·云南·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，判断各选项是否满足以下条件：①共含两个未知数；②每个方程都是整式方程且含未知数的项的次数为一次． 【详解】A：第二个方程不是整式方程，不符合题意； B：方程组含三个未知数x、y、z，不符合“共两个未知数”的条件，不符合题意； C：两个方程和均为整式方程，且仅含x、y两个未知数，次数均为一次，符合题意； D：第一个方程含二次项，次数不为一次，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·海南海口·期中）若，满足方程组，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过解方程组，求出x和y的值，再代入计算的值． 【详解】解： 由得，， 将代入，得：， 解得， ， 因此， 故选D． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，理解题意，掌握二元一次方程组的解是关键． 通过比较系数法，将新方程组与原方程组的解结合，利用已知解代入变形后的方程，解出未知数． 【详解】解：已知原方程组的解为，，代入得： ， 将新方程组中的和替换为和，得： ， 比较左右两边、和、的系数，得： ，， 解得，． 4．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，换元法解二元一次方程组是解题的关键．由得，令，，得，此时，则，即可求解 ． 【详解】解：由得， 令，， 将可变为， ∵如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足： ， ∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足， 即， 故选：B ． 5．（24-25七年级上·北京·期中）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 1 -2 … 则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同解的二元一次方程组．将待求的方程组整理成与已知方程组的形式相同，即可得新的二元一次方程组，再求出解即可． 【详解】解：∵从两个表格中可知，是关于x，y的二元一次方程和关于m，n的二元一次方程的公共解， 将整理为， ∴， 解得：， ∴关于的二元一次方程组的解是， 故选：A． 6．（24-25七年级上·山东东营·期中）若方程组的解是，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查了方程组的解．将代入方程组，计算即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 由②得，， 将代入①，得， 解得：， 故答案为：1；． 7．（24-25七年级上·重庆·期中）若是一个关于x，y的二元一次方程，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，即可得出答案． 【详解】解：是一个关于x，y的二元一次方程， ，， 解得：． 故答案为：． 8．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查解二元一次方程组的拓展，把代入原方程组，化简后，利用加减消元法求解． 【详解】解：把代入原方程组，得： ， 化简，得， ，得． 故答案为：2023． 9．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是根据方程组求出．先根据方程组求出，再根据，得出关于k的方程，解关于k的方程即可． 【详解】解：方程组， 得：， 整理得：， ， ， 解得：． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于，的二元一次方程的解如表： 关于，的二元一次方程的解如表： 则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，将原方程进行正确地变形是解题的关键． 根据表格数据可得方程组的解为，然后将关于，的二元一次方程组变形后根据方程组的解的意义得到关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由表格数据可得方程组的解为， 已知关于，的二元一次方程组， 整理得：， 则， 解得：， 即关于，的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·山东东营·期中）用合适的方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 12．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的核心思想是消元，有加减消元法和代入消元法．是方程组中每个方程都成立的未知数的值，是方程组的解． （1）根据两方程组解相同，联立①和③，再用加减消元法求解即可； （2）把方程组的解代入②和④，联立求解出a和b的值，再代入即可． 【详解】（1）解：∵方程组与方程组的解相同， ∴联立①和③得：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：把代入②和④得：， 由得：， 解得：， 把代入⑤得：， 解得：， 把，代入得：． 13．（24-25七年级上·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 14．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）综合与探究 已知关于x，y的二元一次方程组， (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解x，y满足等式，求k的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组时，将中的b看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，请你根据这些条件直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）当时，化成具体方程组，解答即可． （2）求得原方程组的解，结合，求k的值即可． （3）根据，把方程组进行化简，后根据题意，解方程组即可． 本题考查了解方程组，方程组看错问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程组变形为， 整理，得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 故方程组的解为． （2）解：方程为， 整理，得， 得， 解得， 把代入得， 故方程组的解为． 由得， 解得． （3）解：根据题意，得， 故方程组变形为， 整理，得， 根据题意，方程组的解为，方程组的解为， 故； 解得， 此时方程组变形为， 解得， 故． 15．（24-25七年级上·福建·阶段练习）我们把关于x、y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程：二元一次方程组，叫做关于x、y共轭二元一次方程组.例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于x、y共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组. (1)若关于x、y的方程组，为共轭方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x、y的值满足下列表格： 则这个方程的共轭二元一次方程是 . (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为 . (4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请化简. 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题时要熟练掌握并能灵活运用加减消元计算是关键. （1）依据题意，由定义可得 ，求出，的值即可； （2）依据题意，将代入得到，从而可得二元一次方程为 ，进而可以判断得解； （3）依据题意，使用加减消元法计算即可得解； （4）依据题意，方程组是共轭方程组，从而，即可得到，进而可得然后代入计算解题. 【详解】（1）解：由定义可得： ， ， ∴， ， 故答案为：，； （2）解：将， 代入， 得，解得， ∴二元一次方程为， ∴共轭二元一次方程为：， 故答案为：； （3）解： ①②得： ， 即③， ①③得： ， 解得， 将代入③得， ∴方程组的解为： ， 故答案为： ； （4）解：∵由定义可得 ∴ ∵方程组是共轭方程组， ∴， ①②得， ， 又∵方程组的解是， ，即， . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 二元一次方程组及其解法（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 二元一次方程的定义 典型例题二 判断是否是二元一次方程组 典型例题三 判断是否是二元一次方程组的解 典型例题四 代入消元法 典型例题五 加减消元法 典型例题六 三元一次方程组的定义及解 典型例题七 二元一次方程组的特殊解法 典型例题八 构造二元一次方程组求解 典型例题九 已知二元一次方程组的解求参数 典型例题十 二元一次方程组的错解复原问题 典型例题十一 方程组同解问题 典型例题十二 二元一次方程组的新定义问题 知识点01 二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）解二元一次方程组 的最优方法是 的方法．（填“代入”或“加减”） 知识点02 二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（23-24七年级上·安徽马鞍山·期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）开放性试题  写出一个解为的二元一次方程组 知识点03 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）解二元一次方程组时，由可得（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）对于解二元一次方程组①；②．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 ． 知识点04 三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解 ． 【典型例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）方程是二元一次方程，请你推断m的值属于下列情况中的（    ） A．不可能是 B．不可能是 C．不可能是1 D．不可能是2 【例3】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）若是关于x和y的二元一次方程，则 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若方程是关于的二元一次方程，则的值是 ． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）（1）已知方程是关于x，y的方程．当k为何值时，方程为二元一次方程？ （2）解方程组：． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______． (2)若方程中x，y的值满足表： x 0 y 0 2 求方程的共轭二元一次方程． (3)若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系． 【典型例题二 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（   ） A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤ 【例2】（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的有（   ） ①②③④⑤⑥ A．①③⑤ B．①③④ C．①②③ D．③④ 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·课后作业）把含有相同未知数的 个 联立在一起组成的方程组叫作二元一次方程组．我们把二元一次方程组中两个方程的 叫作二元一次方程组的解． 1．（2025七年级上·浙江·专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）已知方程组是二元一次方程组，求m的值． 3．（2025七年级上·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【典型例题三 判断是否是二元一次方程组的解】 【例1】（24-25七年级上·河南新乡·期中）若关于的二元一次方程组的解为则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·单元测试）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 ． 【例4】 （24-25七年级上·安徽滁州·课后作业）有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·随堂练习）已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 2．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 3．（23-24七年级上·广东中山·期中）新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【典型例题四 代入消元法】 【例1】（23-24七年级上·安徽滁州·课后作业）已知与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图，小颖用两种方法在两个天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，两个天平都保持平衡．若“■”与“●”的质量分别为x，y，则x，y之间的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【例3】 （24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知方程，用含y的代数式表示x，则 ； 【例4】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x，y的方程组则 （用含x的式子表示） 1．（24-25七年级上·贵州黔西·阶段练习）方程组的解为则被遮盖的两个数，分别为（    ） A．1，2 B．1，3 C．2，4 D．1，5 2．（24-25七年级上·北京·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为“友好二元一次方程”，其中；由这两个方程组成的方程组叫做“友好方程组”． （1）若关于、的方程组为“友好方程组”，则 ， ； （2）若关于、的“友好方程组”的解为整数，则整数的值为 ． 3．（24-25七年级上·河北唐山·期中）老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解． 琪琪同学进行了板演，过程如图： 解：把①变形为：③…………第一步 把③代入②中得：…………第二步 解这个方程，得第三步…………第三步 把代入①中，得…………第四步 所以，方程组的解为…………第五步 (1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法； (2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步； (3)请写出正确的解答过程． 【典型例题五 加减消元法】 【例1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）已知实数x、y、k满足，则代数式的值是（    ） A．4 B．6 C．5 D．7 【例2】（24-25七年级上·福建泉州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知关于的方程组，则 ． 【例4】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）关于、的方程组的解满足，则的值是 ． 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下面是两个同学解方程组时，不完整的解题过程： 甲同学：①－②得，． 乙同学：由①得③，将③代入②得， (1)甲和乙两位同学的解题过程中，出现错误的同学是______； (2)请你对一个同学的错误解题过程改正并完善． 3．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下面是小华同学解二元一次方程组的过程，请仔细观察回答下面问题． 解：，得（1） ，得（2） 将代入，得（3） 所以原方程组的解是（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在 步（填序号），第二次出错在 步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 【典型例题六 三元一次方程组的定义及解】 【例1】（24-25七年级上·甘肃天水·期中）已知则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（24-25七年级上·安徽滁州·假期作业）如果○、囗、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、囗、△的值．正确的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例3】（23-24七年级上·四川成都·期末）已知x、y、z满足，则 ． 【例4】（24-25七年级上·重庆·期中）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ． 1．（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组： (1) (2) 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）已知，且，求、、的值． 3．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 【典型例题七 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（24-25七年级上·新疆省直辖县级单位·期中）已知a，b满足方程组则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25七年级上·四川内江·期中）已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． 【例4】（24-25六年级下·上海·阶段练习）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为 ． 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）关于二元一次的方程组，已知 (1)求的值 (2)求 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 【典型例题八 构造二元一次方程组求解】 【例1】（24-25七年级上·江苏南通·期中）对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【例2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 结论Ⅰ：的值是一个定值16； 结论Ⅱ：若m的值为6，则x的值是1； 上述结论正确的是（    ） A．结论Ⅰ B．结论Ⅱ C．两个结论都正确 D．两个结论都不正确 【例3】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如表中的信息满足关于的二元一次方程，则 … … 1．（24-25七年级上·重庆·期中）对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·自主招生）已知正实数，，，，满足，，如图是以，，，为边长作正方形或矩形．若图1阴影部分的面积为6，求图2阴影部分的面积为 ． 3．（23-24七年级上·安徽滁州·课后作业）我们定义一个新运算：，如．已知，分别求出x和y的值． 【典型例题九 已知二元一次方程组的解求参数】 【例1】（24-25七年级上·河南周口·期中）在解关于x，y的二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m与n之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·福建福州·期中）已知关于，的二元一次方程组（其中是常数），不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【例3】（24-25七年级上·天津·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则 ． 【例4】（23-24七年级上·安徽滁州·课后作业）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确结果，后来发现●，★处被墨水污损了，●，★两处的值分别是 ． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论：①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用x表示y，则；④无论a取什么实数，的值始终不变．其中正确的结论有 ．（填写序号） 3．（24-25七年级上·北京西城·期中）关于，的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足＝，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③④． (2)若关于，的方程组是“美好”方程组，求的值． 【典型例题十 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了，解得，则、、正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（   ） A．3 B．5 C．-3 D．-5 【例3】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是 ． 【例4】（23-24七年级上·湖南娄底·期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ． 1．（23-24七年级上·安徽滁州·课后作业）已知关于的方程组甲看错了方程①中的a得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求的值． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解． 3．（2025七年级上·浙江·专题练习）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 【典型例题十一 方程组同解问题】 【例1】（24-25七年级上·山东泰安·期中）关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·甘肃天水·阶段练习）如果关于的二元一次方程组的解与二元一次方程组的解相同，那么a、b的值是（  ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ． 【例4】（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为 ． 1．（24-25七年级上·四川内江·期中）关于，的方程组和的解相同，求，的值． 2．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，求的值． 3．（24-25七年级上·云南临沧·期中）已知关于x和y的二元一次方程组和有相同的解． (1)求方程组的解； (2)求的值． 【典型例题十二 二元一次方程组的新定义问题】 【例1】（24-25七年级上·安徽滁州·单元测试）对于任意有理数、，定义新运算：（其中、是常数）．已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．11 D．15 【例2】（24-25七年级上·山东威海·期中）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【例3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于、定义一种新运算“”：，其中、为常数，已知，，那么 ． 【例4】（24-25七年级上·陕西西安·期末）对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为 ． 1．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：．例如：．若，求x，y的值． 2．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）对于有理数定义一种新运算“”：．例如：． (1)若，求的值． (2)在（1）的条件下，试说明：． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 1．（24-25七年级上·云南·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·海南海口·期中）若，满足方程组，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·北京·期中）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 4 1 -2 … 则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东东营·期中）若方程组的解是，则 ， ． 7．（24-25七年级上·重庆·期中）若是一个关于x，y的二元一次方程，那么 ． 8．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）已知，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k值为 ． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于，的二元一次方程的解如表： 关于，的二元一次方程的解如表： 则关于，的二元一次方程组的解是 ． 11．（24-25七年级上·山东东营·期中）用合适的方法解下列方程组 (1) (2) 12．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的解． (2)求的值． 13．（24-25七年级上·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 14．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）综合与探究 已知关于x，y的二元一次方程组， (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解x，y满足等式，求k的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组时，将中的b看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，请你根据这些条件直接写出的值． 15．（24-25七年级上·福建·阶段练习）我们把关于x、y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程：二元一次方程组，叫做关于x、y共轭二元一次方程组.例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于x、y共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组. (1)若关于x、y的方程组，为共轭方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x、y的值满足下列表格： 则这个方程的共轭二元一次方程是 . (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为 . (4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请化简. 学科网（北京）股份有限公司 $$