第05讲 有理数的乘方与近似数（2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第05讲 有理数的乘方与近似数（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用科学记数法表示绝对值大于1的数 典型例题二 求一个数的近似数 典型例题三 有理数幂的概念理解 典型例题四 求近似数的精确度 典型例题五 有理数的乘方运算 典型例题六 有理数乘方逆运算 典型例题七 算“24”点 典型例题八 乘方运算的符号规律 典型例题九 含乘方的有理数混合运算 典型例题十 程序流程图与有理数计算 典型例题十一 乘方的应用 典型例题十二 有理数乘方的新定义运算 知识点01 有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 知识点03 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）用电量被视为经济运行的“风向标”之一．国家能源局最新公布的数据显示，今年前三季度，全社会用电量累计约亿千瓦时，同比增长．传统产业转型升级，新兴产业蓬勃发展，新兴生产力加快形成，多项电力指标折射出经济运行的新动能、新趋势．数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ） A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识点04近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）用四舍五入法把9.99精确到十分位得到的近似数是（    ） A．10 B．10.0 C．10.00 D．9.0 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田．则10.75亿这个数值精确到（   ） A．亿位 B．十亿位 C．千万位 D．百万位 【典型例题一 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例1】（2025·安徽六安·模拟预测）一张A4纸的规格为，它的面积为平方毫米．将数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽池州·模拟预测）（深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是 ． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 1．（2025·安徽·模拟预测）2025年1月24日下午，2024年安徽全省经济运行情况新闻发布会举行．根据地区生产总值统一核算结果．2024年安徽省地区生产总值为50625亿元．其中数据“50625亿”用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）将用科学记数法表示为 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）现需要将长为，宽为，高为的大理石运往某地修建革命历史博物馆． (1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了2000块大理石，每块大理石约重3500千克，估计这列火车总共运送了多少吨大理石． 4．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）“十·一”期间，沭阳虞姬生态公园在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．若9月30日的游客人数为1万人 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化 单位：万人 +1.6 +0.8 +0.4 −0.4 −0.8 +0.2 −1.2 (1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？请说明理由． (2)建生态公园的目的一般有两个，一方面是给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面是拉动内需，促进消费．如果进园的人每人平均消费10元，问“十·一”期间所有在园人员在生态园的总消费是多少元？ 【典型例题二 求一个数的近似数】 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）精确到百分位的近似数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）将5.807用四舍五入法精确到百分位为 ． 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)1.596（精确到0.01） (2)0.03057（精确到千分位） (3)2345000（精确到万位） (4)60290（保留两个有效数字） 1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是4.00．则这个三位小数最小是（    ） A．4.004 B．3.995 C．3.994 D．3.95 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列对取近似数，其中描述正确的是 ．（填序号） ①取近似数是精确到万位； ②取近似数是精确到个位； ③精确到十万位得到的近似数为； ④精确到百位得到的近似数为． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法，把下列各数按括号内的要求取近似值． （1）0.2595（精确到千分位）；      （2）3.592（精确到0.01）； （3）20049（精确到百位）；         （4）2330万（精确到百万位）． 4．（2025七年级上·浙江·专题练习）把一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得的数字四舍五入到百位，然后再把所得的数字四舍五入到千位，这时的数字是4×103，你能说出这个数的最大值和最小值吗？它们的差是多少？ 【典型例题三 有理数幂的概念理解】 【例1】（2025·河北唐山·模拟预测）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 【例3】（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法：①若，则；②若x为有理数，且，则；③若，且，则；④若，则；⑤（a为正整数）．其中说法正确的是 ．（填序号） 3．（24-25七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【典型例题四 求近似数的精确度】 【例1】（2025·山东潍坊·模拟预测）某市2025年参加中考的学生数大约为人，下列关于这个近似数说法正确的是（   ） A．精确到百位，有3个有效数字 B．精确到百位，有5个有效数字 C．精确到百分位，有3个有效数字 D．精确到百分位，有5个有效数字 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）扬州是全国文化历史名城，世界美食之都．扬州包子，扬州炒饭，扬州三头宴等特色美食吸引着全国各地的游客，据统计，刚刚过去的国庆假期，扬州共接待游客约万人次，万精确到 位． 【例3】（2025七年级上·浙江·专题练习）指出下列各近似值精确到哪一位． (1)56.3 (2)5.630 (3) (4)5.630万 (5)0.017 (6)3800． 1．（24-25七年级上·河南鹤壁·期中）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到 B．近似数精确到百分位 C．近似数精确到万分位 D．近似数精确到 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数据1.44×106是四舍五入得到的近似数，其精确的数位是 ． 3．（2025七年级·全国·专题练习）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 4．（2025七年级上·江苏·专题练习）下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ (1)小红的体重为千克； (2)小明的妈妈的年薪约为5万元； (3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米． 【典型例题五 有理数的乘方运算】 【例1】（24-25七年级上·四川乐山·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【例3】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 1．（鼎成大联考2025年河南省普通高中招生考试试卷（三）数学）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 3．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以． (1)______，［____－8］； (2)令，，，，……，则［－2，______］，［－2，______］； (3)令，，，若，求的值． 4．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）阅读下列材料，解决问题． 材料一：对于任意有理数a，b，定义新运算“”：． 例如：； 材料二：规定表示大于x的最小整数，例如：，，根据上述材料解答下列问题： (1)______；______． (2)求的值． (3)若有理数p，q满足，求的值． 【典型例题六 有理数乘方逆运算】 【例1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 【例3】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，那么 ； 的立方等于． 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若有理数x，y满足，，且，求的值． ，________． ，________． 又，________0． 当________时，________； 当________时，________． 【典型例题七 算“24”点】 【例1】（24-25七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【例2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【例3】（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图，现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题． (1)①从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为____________； ②从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为____________． (2)从中任意取出4张卡片（每张卡片上的数字只能用一次），使这4张卡片上的数字运算结果为24，写出两个不同的等式． 1．（24-25七年级上·福建宁德·期中）小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）有1、3、4、6四个数字，通过加、减、乘、除四则运算，可以使用括号，怎么样能得到24点 ． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）笑笑从一副扑克牌中抽出如下四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，使得运算结果为24或，请你帮她写出两个符合要求的算式．    4．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【典型例题八 乘方运算的符号规律】 【例1】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·广东揭阳·期末）计算： 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 2．（2025七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 3．（24-25七年级上·江苏·周测）已知，且 (1)求A等于多少？ (2)试比较与的大小． 4．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）要求的值等于多少，直接求非常困难，因为是一个非常大的数．因此，我们可以用方程的方法来做． 设， 则有， 即， 作简单的变形：， 则． 请你在理解基础上，模仿上述方法求下式的值： (1)． (2)． 【典型例题九 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（24-25七年级上·江西宜春·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（    ）天 A．514 B．511 C．513 D．510 【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算机使用的“二进制记数法”具有划时代的意义．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．例如，就是二进制数的简单写法，将它转换成十进制数为：．那么将转换成十进制数，这个十进制数是 ． 【例3】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：．例如：．则 ． 3．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【典型例题十 程序流程图与有理数计算】 【例1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）按如图所示的运算程序，输入x的值为1，则输出的y的值为（   ） A． B． C．11 D．116 【例2】（24-25七年级上·上海·期中）如图所示，若输入的分数是，则输出的分数是 ． 【例3】（24-25七年级上·山西朔州·期中）数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图，若输入的数为1，则输出的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为 ． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是； (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据P，Q，K的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： ． 计算： 原式＝ ． 【典型例题十一 乘方的应用】 【例1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌． 【例3】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图所示的长方体的容器， 且这个容器的容积为192立方分米．求这个长方体容器底面边长的长为多少分米？ 1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图，某种细胞每过便由个分裂成个．经过，这种细胞能由个分裂成（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）如图，将一个边长为2的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为2的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则图中阴影部分以外的面积是 ． 3．（24-25七年级上·江西景德镇·期中）在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． (1)______； (2)请你计算： 4．（24-25七年级上·山东泰安·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 【典型例题十二 有理数乘方的新定义运算】 【例1】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·重庆·期末）定义新运算：，例如：，则 ． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）中考新考法·新定义现规定一种新的运算“★”．例如，．计算下列各式： (1)； (2)． 1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）学习情境·新定义  定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）（中考新趋势•新定义）用符号表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下： ，，，，… ，，，… 利用以上规律计算： (1)； (2)． 4．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，写作，读作“的圈次方”．一般地，把记作：，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ； ； （2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈次方都等于 B．任何非零数的圈次方都等于它的倒数 C．圈次方等于它本身的数是或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 E．互为相反数的两个数的圈次方互为相反数 F．互为倒数的两个数的圈次方互为倒数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）据农业农村部乡村产业高质量发展会议指出，到2025年，预计乡村休闲旅游年接待游客人数超过40亿人次，将40亿用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东德州·期中）一个数精确到十分位的结果是，那么这个数的范围满足（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 4．（2025·安徽池州·模拟预测）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，那么表示9班学生的识别图案是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果为 ． 7．（2025七年级上·广东汕头·专题练习）一个三位小数用“四舍五入”法取近似值是，这个三位小数最大是 ，最小是 ． 8．（2025七年级·全国·专题练习）算一算： ， ， ， ；指数与运算结果中的的个数的关系： ；指数与运算结果的数位的关系： ． 9．（24-25七年级上·安徽·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空： ； （2）若，，则 ． 10．（24-25七年级上·山东青岛·期中）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折2021次，可以得到 条折痕． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级·全国·假期作业）车间接受了两根轴的任务，车间主任交给小明去完成，小明记图纸一看，轴长是2.60m，他用了3天时间，把任务完成了，可把轴交给主任验收后，主任很不高兴，板着脸说，长度都不合格，只能报废！小明不信，又跟主任一起把加工好了的两根轴的长度量了又量，确定无疑，一根长2.56m，另一根长2.62m，小明说，这两个长度应该合格．主任明白了，原来小明把图纸上的长度2.60m看成2.6m，近似2.6m的要求是精确到0.1m，而2.60m的要求是精确到0.01m，两个近似数2.60与2.6的差别很大，主任把情况一讲，小明服气了．由于出了废品，小明不但自己的奖金没有了，而且也使国家的财产遭受了损失．小明的失误就是把两个精确度不同的数2.6与2.60混为一谈了，从而使个人和国家都蒙受了损失．请你想一想，近似数2.6与2.60到底有什么不同？ 13．（24-25七年级上·河北保定·期中）嘉琪有6张写有不同数值的卡片，请按下列要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数乘积最大，最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，最小值是多少？ (3)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数的倒数最大和最小，这两数的倒数分别是多少？ (4)从中取出非负数的卡片组成一个最大的数，用科学记数法表示； (5)算24点游戏：从中取出四张卡片，用学过的“、、、”进行运算，使结果为24．写出1个算式即可（运算算式可以加括号）． 14．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘方与近似数（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用科学记数法表示绝对值大于1的数 典型例题二 求一个数的近似数 典型例题三 有理数幂的概念理解 典型例题四 求近似数的精确度 典型例题五 有理数的乘方运算 典型例题六 有理数乘方逆运算 典型例题七 算“24”点 典型例题八 乘方运算的符号规律 典型例题九 含乘方的有理数混合运算 典型例题十 程序流程图与有理数计算 典型例题十一 乘方的应用 典型例题十二 有理数乘方的新定义运算 知识点01 有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键． 根据有理数的乘方的定义和运算法则计算，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．，此选项错误； B．，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项正确； 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题有理数的运算，根据有理数的四则混合运算，乘除混合运算，有理数乘方对各选项进行计算即可作出判断．解题的关键是掌握相应的运算法则，运算顺序和运算律． 【详解】解：A．∵，， ∴，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 知识点02 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则和顺序计算后即可得到答案． 【详解】A、， 故A不符合题意； B、， 故B不符合题意； C、， 故C符合题意； D、， 故D不符合题意； 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．根据题目信息，设，求出，然后错位相减计算即可得解． 【详解】解：设，则， ， ， ， 故选：C． 知识点03 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）用电量被视为经济运行的“风向标”之一．国家能源局最新公布的数据显示，今年前三季度，全社会用电量累计约亿千瓦时，同比增长．传统产业转型升级，新兴产业蓬勃发展，新兴生产力加快形成，多项电力指标折射出经济运行的新动能、新趋势．数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：亿． 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ） A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法表示原数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 则原数中数字“3”后“0”的个数为5， 故选：C 知识点04近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）用四舍五入法把9.99精确到十分位得到的近似数是（    ） A．10 B．10.0 C．10.00 D．9.0 【答案】B 【分析】本题考查了近似数和四舍五入法，解题的关键是明确十分位的位置，并依据四舍五入规则进行近似取值． 找到9.99百分位上的数字，根据四舍五入法判断是“舍”还是“入”，进而得到精确到十分位的近似数． 【详解】小数点后第一位是十分位，第二位是百分位．在9.99中，十分位是9，百分位也是9． 因为9.99百分位上的数字9比5大，所以要把尾数舍去并且向十分位进“1”，此时十分位变成，满十则再向个位进1，十分位写0占位，得到10.0． 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田．则10.75亿这个数值精确到（   ） A．亿位 B．十亿位 C．千万位 D．百万位 【答案】D 【分析】本题考查精确度的定义，根据精确度的定义求解，即可解题． 【详解】解：在百万位上， 10.75亿这个数值精确到百万位， 故选：D． 【典型例题一 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例1】（2025·安徽六安·模拟预测）一张A4纸的规格为，它的面积为平方毫米．将数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值大于1的数的科学记数法，表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此求解即可． 【详解】解：∵， 故选：C． 【例2】（2025·安徽池州·模拟预测）（深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：2360亿； 故答案为：． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用； （1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量, 再用科学记数法表示最终结果； （2）先用除法计算出这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍，再用科学记数法表示最终结果. 【详解】（1）解：． （2）． 故这块橡皮的质量是的氢气质量的倍． 1．（2025·安徽·模拟预测）2025年1月24日下午，2024年安徽全省经济运行情况新闻发布会举行．根据地区生产总值统一核算结果．2024年安徽省地区生产总值为50625亿元．其中数据“50625亿”用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将“50625亿”写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：“50625亿”． 故选D． 2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）现需要将长为，宽为，高为的大理石运往某地修建革命历史博物馆． (1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了2000块大理石，每块大理石约重3500千克，估计这列火车总共运送了多少吨大理石． 【答案】(1) (2)7000吨 【分析】本题主要考查了长方体的体积公式，科学记数法的表示方法，及同底数的幂的乘法．解题的关键是明确同底数幂的乘法和除法的运算法则． （1）根据长方体的体积=长×宽×高，先求出它的体积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数； （2）根据总重量÷大理石块数=每块大理石的重量列出代数式即可． 【详解】（1）根据题意．得每块大理石的体积， 答：每块大理石的体积为． （2）根据题意，得（千克）（吨） 答：这列火车总共运选了约7000吨大理石． 4．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）“十·一”期间，沭阳虞姬生态公园在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．若9月30日的游客人数为1万人 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化 单位：万人 +1.6 +0.8 +0.4 −0.4 −0.8 +0.2 −1.2 (1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？请说明理由． (2)建生态公园的目的一般有两个，一方面是给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面是拉动内需，促进消费．如果进园的人每人平均消费10元，问“十·一”期间所有在园人员在生态园的总消费是多少元？ 【答案】(1)7天内游客人数最多的是10月3日 (2)“十·一”期间所有在园人员在生态园的总消费是元 【分析】（1）求出10月1到7日的人数，即可做出判断； （2）求出7天的人数之和，乘以30，即可得到结果． 【详解】（1）∵9月30日的游客人数为1万人， ∴7天的游客人数分别为2.6万、3.4万、3.8万、3.4万、2.6万、2.8万、1.6万， 则7天内游客人数最多的是10月3日； （2）由（1）得7天的游客人数分别为2.6万、3.4万、3.8万、3.4万、2.6万、2.8万、1.6万， 则“十·一”期间门标收入为： (2.6+3.4+3.8+3.4+2.6+2.8+1.6)×10 =20.2×10 =202(万元) =元， 则“十·一”期间所有在园人员在生态园的总消费是元． 【点睛】此题考查了有理数的加法计算，正负数的实际应用，科学记数法的表示，正确理解题意，根据题意正确列式计算即可． 【典型例题二 求一个数的近似数】 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）精确到百分位的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数和有效数字，利用四舍五入法解答是解题的关键． 利用四舍五入法将精确到百分位得到，即可得到答案． 【详解】解：精确到百分位的近似数是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）将5.807用四舍五入法精确到百分位为 ． 【答案】5.81 【分析】本题考查了近似数，根据将5.807用四舍五入法精确到百分位，就观察千分位的数是否大于，大于等于就进一，否则舍去，即可作答． 【详解】解：依题意，5.807的千分位的数为， 则5.807用四舍五入法精确到百分位为5.81， 故答案为：5.81 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)1.596（精确到0.01） (2)0.03057（精确到千分位） (3)2345000（精确到万位） (4)60290（保留两个有效数字） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示：一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （1）根据近似数的定义求解即可； （2）根据近似数的定义求解即可； （3）根据近似数的定义求解即可； （4）根据有效数字的定义求解即可． 【详解】（1）解：1.596精确到0.01为； （2）解：0.03057精确到千分位为； （3）解：2345000精确到万位为； （4）解：60290保留两个有效数字为． 1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是4.00．则这个三位小数最小是（    ） A．4.004 B．3.995 C．3.994 D．3.95 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入的知识即可求解． 【详解】解：一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是．则这个三位小数最小是 故选：B 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列对取近似数，其中描述正确的是 ．（填序号） ①取近似数是精确到万位； ②取近似数是精确到个位； ③精确到十万位得到的近似数为； ④精确到百位得到的近似数为． 【答案】① 【分析】本题考查了科学记数法与近似数，形如，其中为整数，表示数的方法叫科学记数法，近似数：经过四舍五入得到的数称为近似数．根据近似数的精确度分别进行判断． 【详解】解：①取近似数是精确到万位，故原说法正确； ②取近似数不是精确到个位，故原说法错误； ③精确到十万位得到的近似数为，故原说法错误； ④精确到百位得到的近似数为，故原说法错误； 故答案为：①． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法，把下列各数按括号内的要求取近似值． （1）0.2595（精确到千分位）；      （2）3.592（精确到0.01）； （3）20049（精确到百位）；         （4）2330万（精确到百万位）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2330万． 【分析】由四舍五入取近似值时，由精确的那个数位起，如果后面一位上的数字大于等于5，则向前入一个，如果后面一位上的数字小于5，则马上舍去． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）2330万． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，科学计算法，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示． 4．（2025七年级上·浙江·专题练习）把一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得的数字四舍五入到百位，然后再把所得的数字四舍五入到千位，这时的数字是4×103，你能说出这个数的最大值和最小值吗？它们的差是多少？ 【答案】最大值是4444，最小值是3445，差是999． 【分析】把一个数四舍五入到十位，要将这个数的个位数字四舍五入． 【详解】解：因为一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得数四舍五入到百位，然后又把所得的数四舍五入到千位，这时的数为4×103， 所以这个数最大时千位上的数字为4，最小时千位上的数字为3， 当千位上的数字为3时， 3.445×103四舍五入到十位后的结果为3.45×103， 3.45×103四舍五入到百位后的结果为3.5×103， 3.5×103四舍五入到千位后的结果为4×103， 所以4×103可能是由3445取近似值得到的； 类似的，当千位上的数字为4时， 4×103可能是由4444取近似值得到的， 所以这个数的最大值是4444，最小值是3445， 差：4444﹣3445＝999． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 【典型例题三 有理数幂的概念理解】 【例1】（2025·河北唐山·模拟预测）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 【详解】解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 【答案】 3 5 2 5的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．在中，a是底数，n是指数．利用乘方的意义即可得到结果． 【详解】解：（1）在中，底数是，指数是3； （2）在中，底数是，指数是2，意义是5的平方的相反数； 故答案为：，3；，2，5的平方的相反数． 【例3】（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【答案】(1)底数是，指数是3 (2)底数是，指数是4 (3)底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据自然数的定义（自然数为非负整数，包括0和所有的正整数）、有理数的定义（整数和分数统称为有理数）、有理数幂的定义（在中，叫做底数，叫做指数）、相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）逐个判断即可得． 【详解】解：（1）0是最小的自然数；则原说法错误； （2）整数和分数统称为有理数，正数和负数不一定都是有理数，则原说法错误； （3）的底数是3，则原说法错误； （4）、互为相反数，则，原说法正确； （5）当时，，则原说法错误； 综上，正确的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了自然数、有理数、有理数幂、相反数，熟记各概念是解题关键． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法：①若，则；②若x为有理数，且，则；③若，且，则；④若，则；⑤（a为正整数）．其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】③⑤ 【分析】此题考查了有理数的乘方，绝对值，倒数，以及有理数的加法，各式利用绝对值，倒数的定义，乘方的意义，以及加法法则判断即可． 【详解】解：若，即，则；故①错误； 若x为有理数，且，则或或，故②错误； 若，且，则，故③正确； 若，则，故④错误； ，故⑤正确． 故答案为：③⑤． 3．（24-25七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 【答案】（1）①225，225；②36，36；（2）a³b³；（3）(ab)n＝，理由见解析 【分析】（1）①②根据有理数的乘方运算分别计算即可； （2）（3）根据乘方的意义以及乘法交换律计算即可； 【详解】(1)计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52；       解：(3×5)2＝15²＝225 32×52＝9×25＝225 ②[(－2)×3]2与(－2)2×32； [(－2)×3]2＝(－6)²＝36 (－2)2×32＝4×9＝36 (2) (ab)3＝ 故答案为： (3) (ab)n＝． 理由如下： (ab)n＝＝＝ 【点睛】本题考查了有理数的乘方的计算，理解乘方的意义是解题的关键． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】初步探究（1）；；（2）C；深入思考（1），，；（2）；（3）． 【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果． 【详解】初步探究 解：初步探究 （1）， 故答案为：，； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 深入思考 （1）； ； ； 故答案为：，，． （2）． 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 【典型例题四 求近似数的精确度】 【例1】（2025·山东潍坊·模拟预测）某市2025年参加中考的学生数大约为人，下列关于这个近似数说法正确的是（   ） A．精确到百位，有3个有效数字 B．精确到百位，有5个有效数字 C．精确到百分位，有3个有效数字 D．精确到百分位，有5个有效数字 【答案】A 【分析】此题主要考查科学记数法与有效数字，解答的关键是明确用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法． 在标准形式中的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是，且其展开后可看出精确到的是百位． 【详解】解：，所以有 3 个有效数字，，精确到百位． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）扬州是全国文化历史名城，世界美食之都．扬州包子，扬州炒饭，扬州三头宴等特色美食吸引着全国各地的游客，据统计，刚刚过去的国庆假期，扬州共接待游客约万人次，万精确到 位． 【答案】千 【分析】本题主要考查近似数的精确位数，熟练掌握近似数的精确度的确定方法是解题关键．根据近似数的精确位数即可得出结果． 【详解】解：万， ∴万是精确到了千位， 故答案为：千． 【例3】（2025七年级上·浙江·专题练习）指出下列各近似值精确到哪一位． (1)56.3 (2)5.630 (3) (4)5.630万 (5)0.017 (6)3800． 【答案】(1)56.3精确到十分位； (2)5.630精确到千分位； (3)精确到万位； (4)5.630万精确到十位； (5)0.017精确到千分位； (6)3800精确到个位 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （1）所给数的数位最小到十分位，据此解答即可． （2）所给数的数位最小到千分位，据此解答即可． （3）所给数的数位最小到万位，据此解答即可． （4）所给数的数位最小到十位，据此解答即可． （5）所给数的数位最小到千分位，据此解答即可． （6）所给数的数位最小到个位，据此解答即可． 【详解】（1）解：56.3精确到十分位； （2）解：5.630精确到千分位； （3）解：精确到万位； （4）解：5.630万精确到十位； （5）解：0.017精确到千分位； （6）解：3800精确到个位． 1．（24-25七年级上·河南鹤壁·期中）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到 B．近似数精确到百分位 C．近似数精确到万分位 D．近似数精确到 【答案】B 【分析】近似数：指与准确数相近的一个数，即经过四舍五入、进一法或者去尾法等方法得到的一个与原始数据相差不大的一个数，判断即可． 【详解】解：A、近似数精确到，故该选项错误； B、近似数精确到百分位，故该选项正确； C、近似数精确到千分位，故该选项错误； D、近似数精确到千位，故该选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查近似数的概念，熟记相关概念是关键． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数据1.44×106是四舍五入得到的近似数，其精确的数位是 ． 【答案】万位 【分析】把题目中数据1.44×106还原为1440000，从而可以得到题目中的数据精确到万位，问题得解． 【详解】解：因为1.44×106=1440000， ∴近似数01.44×106精确到万位． 故答案为：万位． 【点睛】本题考查了近似数和科学记数法，熟知近似数的意义并准确将近似数还原为原数是解题关键． 3．（2025七年级·全国·专题练习）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 【答案】(1)万位 (2)百位 (3)千万位 (4)千位 【分析】（1）根据近似数的精确度求解； （2）根据近似数的精确度求解； （3）根据近似数的精确度求解； （4）根据近似数的精确度求解． 【详解】（1）解：∵600万的末尾为万位， ∴600万精确到万位； （2）解：∵7.03万的末尾为百位， ∴7.03万精确到百位； （3）解：∵5.8亿的末尾为千万位， ∴5.8亿精确到千万位； （4）解：∵3.30×105的末尾为千位， ∴3.30×105亿精确到千位； 【点睛】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键． 4．（2025七年级上·江苏·专题练习）下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ (1)小红的体重为千克； (2)小明的妈妈的年薪约为5万元； (3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米． 【答案】(1)精确到十分位，有3个有效数字； (2)精确到万位，有1个有效数字； (3)精确到百位，有4个有效数字 【分析】本题考查了近似数的精确度和有效数字的概念． （1）、（2）、（3）近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；有效数字，即从数字的左边第一个不是0的数字起，所有的数字都是有效数字．据此求解即可． 【详解】（1）解：近似数，数字0所在是位是十分位，则精确到十分位，有3个有效数字； （2）解：近似数5万，数字5所在的位是万，则精确到万位，有1个有效数字； （3）解：近似数，右边的数字5所在的位是百位，则精确到百位，有4个有效数字． 【典型例题五 有理数的乘方运算】 【例1】（24-25七年级上·四川乐山·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键． 根据有理数的乘方的定义和运算法则计算，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．，此选项错误； B．，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项正确； 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例3】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【答案】(1)相等； (2)； (3)1 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据运算法则进行计算后，判断即可； （2）利用（1）中规律即可得出结论； （3）利用规律得到，计算即可． 【详解】（1）解：相等： ， ∴； ，， ∴； （2）由（1）可得： （3）． 1．（鼎成大联考2025年河南省普通高中招生考试试卷（三）数学）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘方、乘法的定义，列代数式，熟练掌握乘方的定义是解题的关键． 利用乘方的定义，乘法的定义列出代数式，即可解答． 【详解】，，∴． 故选A． 2．（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘方，计算出，，，即可解答，数熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ，，， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以． (1)______，［____－8］； (2)令，，，，……，则［－2，______］，［－2，______］； (3)令，，，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义运算，结合有理数的乘方运算即可求解； （2）根据新定义运算，结合有理数的乘方运算即可求解； （3）根据新定义运算，结合有理数的乘方运算即可求解． 【详解】（1） 故答案为：； （2），，，， ， ， 故答案为：； （3），， 4．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）阅读下列材料，解决问题． 材料一：对于任意有理数a，b，定义新运算“”：． 例如：； 材料二：规定表示大于x的最小整数，例如：，，根据上述材料解答下列问题： (1)______；______． (2)求的值． (3)若有理数p，q满足，求的值． 【答案】(1)，25 (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，乘方运算，有理数的加减混合运算，理解和的定义是解题的关键． （1）根据和的定义计算即可； （2）根据的定义，原式可变形为，再进行加减运算即可； （3）根据可得，进而可得求出p的值，再根据的定义计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，25； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ． 【典型例题六 有理数乘方逆运算】 【例1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴填写的数为4或， 故答案为；4或． 【例3】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，那么 ； 的立方等于． 【答案】 【分析】本题考查的是乘方运算的逆运算，由平方与立方的逆运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的立方等于； 故答案为：， 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键． （1）根据规定，进行求解即可； （2）先根据规定，求出，再进行加法运算即可； 【详解】（1）解：因为，所以． 故答案为： （2）因为，所以． 又因为， 所以． 所以． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若有理数x，y满足，，且，求的值． ，________． ，________． 又，________0． 当________时，________； 当________时，________． 【答案】；；；；6；； 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数乘方的逆运算，有理数减法计算，根据绝对值的意义得到，根据乘方的逆运算法则得到，再由绝对值的非负性得到，则或，据此求解即可． 【详解】解：， ． ， ． 又， ． 当时，； 当时，． 故答案为：；；；；6；；． 【典型例题七 算“24”点】 【例1】（24-25七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【例2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 【例3】（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图，现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题． (1)①从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为____________； ②从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为____________． (2)从中任意取出4张卡片（每张卡片上的数字只能用一次），使这4张卡片上的数字运算结果为24，写出两个不同的等式． 【答案】(1)①；②6 (2)见解析，答案不唯一 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）①选取两个最小的数，相加即可；②选取绝对值的最大数和绝对值的最小数相除即可； （2）任意取出4张卡片，得出结果即可． 【详解】（1）解：①取出2张卡片为 和的最小值为 故答案为：； ②取出2张卡片为 商的最大值为 故答案为：6； （2）解：答案不唯一， 如：第一种：抽，，2，， 第二种：抽，，，， ． 1．（24-25七年级上·福建宁德·期中）小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用运算符号将四个数字连接，使其结果为24或-24，即可得出答案. 【详解】A：(5-2)×8×(-1)=-24，故A错误； B：(8-3)×5+(-1)=24，故B错误； C：(8-4)×[5-(-1)]=24，故C错误； D：无法组成24点，故D正确； 故答案选择：D. 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，需要熟练掌握有理数的运算法则. 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）有1、3、4、6四个数字，通过加、减、乘、除四则运算，可以使用括号，怎么样能得到24点 ． 【答案】 【分析】此题考查24点游戏．进一步考查学生的对算式符号的熟练运用．在四个数之间使用加减乘除符号，使列出的算式结果等于24，通常可以根据算式：，进行“两两组合”或者“一三组合”，即分别选择其中两个数组成一组，另外两个数为一组，使其最后算式的结果为24；同理，分别选择其中三个数组成一组，另外一个数为一组，使其最后算式的结果为24；由此列出算式即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）笑笑从一副扑克牌中抽出如下四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，使得运算结果为24或，请你帮她写出两个符合要求的算式．    【答案】；（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键． 利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解：； ． 4．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 【典型例题八 乘方运算的符号规律】 【例1】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 【例2】（24-25七年级上·广东揭阳·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 【答案】 82 45 88 【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答． 【详解】解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为； ∵， ∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数， ∵第45行共有：个数， ∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数； 故答案为：82；45；88． 3．（24-25七年级上·江苏·周测）已知，且 (1)求A等于多少？ (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，非负数的性质，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）由已知可知，，将代入化简，即可得到答案； （2）将，代入，化简得到，根据偶次方的非负性，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， （2）解：，， ， ， ， ． 4．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）要求的值等于多少，直接求非常困难，因为是一个非常大的数．因此，我们可以用方程的方法来做． 设， 则有， 即， 作简单的变形：， 则． 请你在理解基础上，模仿上述方法求下式的值： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则有，依照例题求解即可； （2）设，则有，依照例题求解即可． 【详解】（1）设 则有， 即， 作简单的变形：， 则 ∴； （2）设 则有， 即， 作简单的变形： 则 ∴． 【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，有理数的乘方运算，解题的关键是仿照例子计算．本题属于基础题，难度不大． 【典型例题九 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（24-25七年级上·江西宜春·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（    ）天 A．514 B．511 C．513 D．510 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，类比于现在我们的十进制“满十进一”表示数的方法，用7的乘方与该数位上数字的积的和，列式计算即可． 【详解】解：； 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算机使用的“二进制记数法”具有划时代的意义．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．例如，就是二进制数的简单写法，将它转换成十进制数为：．那么将转换成十进制数，这个十进制数是 ． 【答案】14 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确二进制数转化为十进制数的方法． 根据题意，可知转换成十进制数为：，然后计算即可． 【详解】解：转换成十进制数为： ． 故答案为：14． 【例3】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算； （1）先把减法化为加法，再计算即可； （2）先把除法化为乘法，再计算即可； （3）把分母相同的两数先加，再进一步的计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的加法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据个相加的和为，个相乘是，即可得到答案． 【详解】解：个相加的和为，个相乘是，那么原式 故选：A． 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：．例如：．则 ． 【答案】3 【分析】本题考查新定义运算，有理数混合运算．理解新定义是解题的关键． 根据新定义的运算得到，再根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可； （3）利用有理数的乘除法则计算即可； （4）利用乘法分配律计算即可； （5）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （6）先算乘方，再算括号里面的，然后算乘除，最后算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据除方运算的计算法则计算． （1）根据即可解答； （2）根据即可解答；根据定义即可解答． （3）按照除方的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）； ． （3） ． 【典型例题十 程序流程图与有理数计算】 【例1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）按如图所示的运算程序，输入x的值为1，则输出的y的值为（   ） A． B． C．11 D．116 【答案】C 【分析】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，正确理解程序图中的程序并列式计算是解题的关键．利用程序图中的程序列式计算即可． 【详解】解：输入x的值为1，则， 重新输入x的值为，则， ∴输出的y的值为11． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·上海·期中）如图所示，若输入的分数是，则输出的分数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3代入进行计算，若小于或等于，再代入计算即可求解． 【详解】解：当输入的数值为时，输出结果为： ． 故答案为：． 【例3】（24-25七年级上·山西朔州·期中）数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 【答案】(1)22 (2)16 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，列出算式，得出运算结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，输入7，运算一次后的结果为： ； （2）解：∵每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1， ∴这个同学们输入的数为：． 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图，若输入的数为1，则输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对程序设计的理解和有理数的运算顺序，再代入计算求值即可． 【详解】解：根据题意可知，开始输入a的值为1， ∴； ∴输出的结果为． 故选：A． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序框图，含乘方的有理数的混合运算．理解程序框图中的运算规则是解题的关键． 由题意知，第一次输入的数是，则，由，可知第二次输入的数是，则，由，可输出结果． 【详解】解：由题意知，第一次输入的数是， ∴， ∵， ∴第二次输入的数是， ∴， ∵， ∴输出结果为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是； (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ 【答案】(1)，， (2)或(为自然数) (3)负数 【分析】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题关键是审清题意，根据已知条件进行解答. （1）先判断出3、、与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）由此程序可知，当输出时，因为的相反数及绝对值均为，所以应输入或的正整数倍； （3）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律． 【详解】（1）解：因为 所以输入时的程序为， 所以的相反数是,的倒数是， 所以当输入时，输出； 当输入时，， 所以的相反数是的绝对值是， 所以当输入时，输出； 当输入时,, 所以的相反数是,的倒数是， 所以当输入时，输出； （2）解：为输出结果是，的相反数及绝对值均为， 当输入的正整数倍时输出结果是； 所以应输入或(为自然数)； （3）解：因为无论输入什么有理数，经过“有理数转换器”的转换，“为正”时输出的倒数为正数，“非正”时输出的绝对值为或正数，所以这个“有理数转换器”不可能输出负数． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据P，Q，K的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： ． 计算： 原式＝ ． 【答案】(1)①9；②6 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）①根据题意列式计算即可； ②根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：①按的顺序，所给数字为“”时， ； ②按的顺序，所给数字为“”时， ； （2）解：若给出某个数，按的顺序运算的结果为14， 则 ， 即符合条件的数为． 【典型例题十一 乘方的应用】 【例1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第6次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌． 【答案】 【分析】本题考查乘方的应用．先根据题意求出分裂的次数，再根据有理数的乘方进行计算即可． 【详解】解：分裂次数为：（次）， 1个这种细菌经过5个小时可以分裂成的细胞为：个， 故答案为：． 【例3】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图所示的长方体的容器， 且这个容器的容积为192立方分米．求这个长方体容器底面边长的长为多少分米？ 【答案】分米 【分析】本题主要考查了有理数乘方的实际应用，设分米，则分米，根据长方体体积计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设分米，则分米， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 答：这个长方体容器底面边长的长为分米． 1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图，某种细胞每过便由个分裂成个．经过，这种细胞能由个分裂成（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，由细胞每过便由个分裂成个可知分裂次，即得小时分裂次.，再由一个细胞第次分裂成个，即个，第次分裂成个，即个， 第次分裂成个， 即个，据此即可求解，掌握细胞分裂的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵细胞每过便由个分裂成个， ∴分裂次， ∴小时分裂次.， 一个细胞第次分裂成个，即个， 第次分裂成个，即个， 第次分裂成个， 即个， 由上述规律可知，此细胞分裂次分裂成个， 故选：． 2．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）如图，将一个边长为2的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为2的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则图中阴影部分以外的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化以及乘方的应用，根据题意和图形中的数据，可以得到阴影部分的面积，并计算出空白的面积． 【详解】解：部分①是边长为2的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半， 阴影部分的面积是， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江西景德镇·期中）在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． (1)______； (2)请你计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2），， ． 4．（24-25七年级上·山东泰安·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了乘方的应用，根据所给图形发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题意，阴影部分的面积占正方形总面积的，于是得解； （2）的和，可以看成是部分的面积总和，它等于总面积减去阴影部分面积，于是得解； （3）阴影部分面积占总面积的，总面积减去阴影部分面积，就等于，于是得解． 【详解】（1）解：根据题意可得，阴影部分面积占总面积的比例为： ， 阴影部分的面积是：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ； （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【典型例题十二 有理数乘方的新定义运算】 【例1】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新定义对各式进行运算，然后判断即可． 【详解】解：A．，，故推断正确； B．， ， ∴故推断不正确； C．， ， ∴，故推断不正确； D．， ， ∴，故推断不正确． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·重庆·期末）定义新运算：，例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数运算，理解新定义下运算是解题关键．根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：根据新定义，可得， ∴． 故答案为：． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）中考新考法·新定义现规定一种新的运算“★”．例如，．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据新定义列出算式，进行计算即可； （2）根据有理数混合运算法则和新定义运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据运算法则可得从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为，据此即可求解，找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，当时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， ， ∴从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为， ∴第次“运算”的结果是， 故选：． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）学习情境·新定义  定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据新定义进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）（中考新趋势•新定义）用符号表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下： ，，，，… ，，，… 利用以上规律计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，熟练掌握有理数乘方混合运算是解题关键． （1）先研究对整数的运算规律为，对分数的运算规律是，再按的运算法则转换为常规运算，把转化为，再按有理数运算法则计算即可； （2）转化为，再按有理数除法和乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，， 原式； （2）解：原式； 4．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，写作，读作“的圈次方”．一般地，把记作：，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ； ； （2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈次方都等于 B．任何非零数的圈次方都等于它的倒数 C．圈次方等于它本身的数是或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 E．互为相反数的两个数的圈次方互为相反数 F．互为倒数的两个数的圈次方互为倒数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【答案】（）；；（）；（）；（）． 【分析】（）利用的圈次方的意义，进行计算即可解答； （）利用的圈次方的意义，逐一判断即可解答； （）利用的圈次方的意义计算即可； （）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答； 本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键. 【详解】解：（）， ， 故答案为：；； （）.因为，所以任何非零数的圈次方都等于，正确； .因为，所以任何非零数的圈次方都等于它的倒数，正确； .圈次方等于它本身的数是，说法错误，， .根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； .互为相反数的两个数的圈次方不一定互为相反数，错误，圈偶数次方相等，如 ，； .互为倒数的两个数的圈次方互为倒数，正确，如，， 故答案为：； （）， 故答案为：； （）原式 ． 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）据农业农村部乡村产业高质量发展会议指出，到2025年，预计乡村休闲旅游年接待游客人数超过40亿人次，将40亿用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将40亿用科学记数法表示为． 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东德州·期中）一个数精确到十分位的结果是，那么这个数的范围满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由近似数推断真值的范围，根据四舍五入的近似法则，应看数位上的数字，据此即可得到答案，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：一个数精确到十分位的结果是，那么这个数的范围满足， 故选：． 3．（24-25七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 4．（2025·安徽池州·模拟预测）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，那么表示9班学生的识别图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、有理数的乘方及用数字表示事件，理解题中所给身份识别系统是解题的关键．根据题中所给身份识别系统，依次求出选项中识别图案所表示的班级即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，即A选项的识别图案表示6班学生． 故A选项不符合题意． ，即B选项的识别图案表示10班学生． 故B选项不符合题意． ，即C选项的识别图案表示9班学生． 故C选项符合题意． ，即D选项的识别图案表示7班学生． 故D选项不符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；仿照二进制与十进制之间的转换的方法进行计算即可求解． 【详解】解：方法一：∵ 所以． 方法二 所以． 故选：C． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了科学计算器的使用和有理数的混合运算，根据按键的顺序得出算式，然后再进行计算即可． 【详解】解：根据按键顺序可知：． 故答案为：10． 7．（2025七年级上·广东汕头·专题练习）一个三位小数用“四舍五入”法取近似值是，这个三位小数最大是 ，最小是 ． 【答案】 【分析】根据四舍五入的基本原则和意义解答即可． 本题考查了四舍五入的应用，正确理解意义是解题的关键． 【详解】解：用“四舍五入”法取近似值是，这个三位小数最大是，最小是． 故答案为：，． 8．（2025七年级·全国·专题练习）算一算： ， ， ， ；指数与运算结果中的的个数的关系： ；指数与运算结果的数位的关系： ． 【答案】 指数等于运算结果中的个数 指数等于运算结果的数位减 【分析】根据乘方的意义变形，计算得到结果，观察即可得到结论． 【详解】解：，，，；指数与运算结果中的的个数的关系：指数等于运算结果中的个数；指数与运算结果的位数的关系：指数等于运算结果的数位减． 故答案为：；；；；指数等于运算结果中的个数；指数等于运算结果的数位减． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，乘方的计算：就是个相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算，（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数，的任何次幂都是．熟练掌握有理数乘方运算是解本题的关键． 9．（24-25七年级上·安徽·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空： ； （2）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解题的关键． （）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出，的值然后解题即可． 【详解】解：（）∵， ∴， 故答案为： （）∵，， ∴（负值舍去），， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·山东青岛·期中）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折2021次，可以得到 条折痕． 【答案】/ 【分析】通过第一次折，第二次折，第三次折，...可以发现折痕数是以2为底，以折叠次数为指数的乘方再减去1． 【详解】由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕， 第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕， 第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕， 所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕， …， 依此类推，第次对折，把纸分成部分，条折痕． 对折2021次，可以得到折痕条． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的应用，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的加法运算，有理数的乘法运算，有理数的乘方运算，正确运算是解题的关键． （1）按照有理数的加减法法则，把算式写成省略括号的和的形式，再进行加减运算； （2）先进行绝对值，有理数的乘法与乘方运算，最后算加减． 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ， ． 12．（24-25七年级·全国·假期作业）车间接受了两根轴的任务，车间主任交给小明去完成，小明记图纸一看，轴长是2.60m，他用了3天时间，把任务完成了，可把轴交给主任验收后，主任很不高兴，板着脸说，长度都不合格，只能报废！小明不信，又跟主任一起把加工好了的两根轴的长度量了又量，确定无疑，一根长2.56m，另一根长2.62m，小明说，这两个长度应该合格．主任明白了，原来小明把图纸上的长度2.60m看成2.6m，近似2.6m的要求是精确到0.1m，而2.60m的要求是精确到0.01m，两个近似数2.60与2.6的差别很大，主任把情况一讲，小明服气了．由于出了废品，小明不但自己的奖金没有了，而且也使国家的财产遭受了损失．小明的失误就是把两个精确度不同的数2.6与2.60混为一谈了，从而使个人和国家都蒙受了损失．请你想一想，近似数2.6与2.60到底有什么不同？ 【答案】精确度不同 【分析】2.6与2.60在大小上相等，但前者表示26的十分之一，而后者表示260个百分之一，即精确度不同，据此即可解答． 【详解】解：由分析可知：近似数2.6与2.60大小相等，但精确度不同． 【点睛】本题考查近似数和有效数字，解题的关键是正确理解小数的位数不同，它们表示的计数单位就不同，意义也不同． 13．（24-25七年级上·河北保定·期中）嘉琪有6张写有不同数值的卡片，请按下列要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数乘积最大，最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，最小值是多少？ (3)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数的倒数最大和最小，这两数的倒数分别是多少？ (4)从中取出非负数的卡片组成一个最大的数，用科学记数法表示； (5)算24点游戏：从中取出四张卡片，用学过的“、、、”进行运算，使结果为24．写出1个算式即可（运算算式可以加括号）． 【答案】(1)18 (2) (3)1， (4) (5)（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，倒数的性质，科学记数法． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据倒数的性质即可确定； （4）根据科学记数法的定义解答即可； （5）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【详解】（1）解：∵从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，则取同号两张卡片， ∴都抽取负数，即卡片是、，乘积的为18，都抽取正数，即卡片是、，乘积的为16， ∴抽取的2张卡片是、，乘积的最大值为18； （2）解：∵从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则选取异号两数， ∴我抽取的2张卡片是、1，商的最小值； （3）解：∵各张卡片的倒数分别为，，，，，0没有倒数， ∴倒数最大是，最小是， ∴我抽取的2张卡片是1、，这两数的倒数分别是1、； （4）解：∵中取出非负数的卡片组成一个最大的数， ∴抽取的卡片是0、2、8、1，最大的数是8210， 用科学记数法表示为：； （5）解：抽取的卡片是、、8、1， 结果为24的算式． 14．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①8；②82 (2)存在，2或6或 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①直接根据新定义进行运算即可；②直接根据新定义进行运算即可； （2）现根据新定义列式得出，再进行分类讨论求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵m，n为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴或或或， ∴的值为2或6或． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【答案】(1)128 (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（根） ∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根． （2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是． ∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀， ∴8次后，平均每一根面条横截面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$