第10讲 一元一次方程的应用（2大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025－2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第10讲 一元一次方程的应用（2大知识点+14大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 配套问题 典型例题二 工程问题 典型例题三 销售盈亏问题 典型例题四 比赛积分问题 典型例题五 方案选择问题 典型例题六 数字问题 典型例题七 几何问题 典型例题八 动点问题 典型例题九 和差倍分问题 典型例题十 电费和水费问题 典型例题十一 行程问题 典型例题十二 比例分配问题 典型例题十三 日历问题 典型例题十四 古代问题 知识点01 用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·期中）洋葱学园张老师一年前存入一笔钱，年利率为，到期共获得本息和为71365元，求张老师一年前存入银行的本金是多少元？ 【即时训练】 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）樱桃是安徽特产水果，每年月成熟上市，这种水果圆润香甜，富含维生素C，具有生津止渴功效．某果农将采摘的樱桃分装为大箱和小箱销售，已知2个大箱和3个小箱共装樱桃千克，4个大箱和1个小箱共装樱桃千克，求每个大箱和每个小箱各装多少千克的樱桃． 知识点02 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）某礼品制造厂接了一批玩具熊的订单，按计划天数生产，若每天生产20个玩具熊，则最终比订单少生产100个；若每天生产23个玩具熊，则最终比订单多生产20个．原计划几天完成订单？ 【即时训练】 2．（23-24七年级上·安徽池州·期中）区域需要将一段长为120米的绿化带进行整修，整修任务由甲、乙两个工程队先后接力共同完成．已知甲工程队每天可以整修8米，乙工程队每天可以整修6米，两个工程队共用了18天，问甲、乙两个工程队整修绿化带分别参加了几天？ 【即时训练】 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）随着3D打印技术越来越成熟，家用3D打印机也逐步走进各家各户．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用3D打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高1000元，若购买3台甲型打印机和2台乙型打印机共花费1.8万元．求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？ 【典型例题一 配套问题】 【例1】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材，最多可以制作（   ）张桌子． A．10 B．40 C．160 D．200 【例2】（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）某车间有30名工人，平均每人每天可制作5个茶壶或15个茶杯．已知1个茶壶与6个茶杯配成一套，如果要使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，那么应该安排多少名工人制作茶壶？设安排名工人制作茶壶，则可列方程 ． 【例3】（24-25七年级上·安徽六安·期末）七（1）班共有学生52人，其中男生人数比女生人数少6人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底28个． (1)七（1）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划男生负责做盒身，女生负责做盒底，1个盒身和2个盒底配套，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定女生去支援男生，问有多少女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 名工人生产螺钉，其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套． 1．（2024七年级上·安徽合肥·专题练习）某加工厂利用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），焊接成如图2所示的A型铁盒与B型铁盒，两种铁盒均无盖．现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，若这些铁片恰好用完，则可制作A型、B型两种铁盒各多少个？ 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）小红和小军假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有21张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答） (2)现有33张白板纸，问最多可做几个包装盒？ 为了解决这个问题，小红和小军各设计了一种解决方案： 小红：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖； 小军：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小红和小军设计的方案，谁做出的包装盒最多？ 【典型例题二 工程问题】 【例1】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．现在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，则这次小峰打扫的时间是 h． 【例3】（24-25七年级上·四川乐山·期末）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了360亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）某排水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要18天、12天完成．现在先由两队从两端同时施工6天，然后由甲队单独施工完成，甲队还需要 天． 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）某电视台正在进行春节晚会的筹备工作，甲工作组单独做需要12天完成，乙工作组单独做需要15天完成，丙工作组单独做需要20天完成，现在甲、乙两个工作组共同工作了5天之后去做其他的工作，剩下的筹备工作由丙工作组单独做，那么还需要多少天才能完成筹备工作？ 4．（2025·云南昆明·模拟预测）学校开展“生活中的数学问题”学习活动，某小组选择“汽车轮胎换位问题”为研究方向． 【问题背景】随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议． 【数据信息】 1、汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到6万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到8万公里时报废． 2、轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程． 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为___________； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（同时报废：两对轮胎的总磨损量均为1） 【典型例题三 销售盈亏问题】 【例1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）一家商店将某种服装按成本价提高20元后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利10元，这种服装每件的成本是多少元？设成本价为元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）据云南网报道以“年货盛宴，滇味传承”为主题的2024云南网上年货节正式启动，活动从1月18日一直持续至2月17日．某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为了扩大营销，某网店准备打折销售，若使利润率为，则商店应打 折． 【例3】（24-25七年级上·重庆·自主招生）商店以80元一件的价格购进一批衬衫，售价为100元，由于售价太高，几天过去后还有150件没卖出去，于是商店九折出售衬衫，又过了几天，经理统计了一下，一共售出了180件，于是将最后的几件衬衫按进货价售出，最后商店一共获利2300元．求商店一共进了多少件衬衫？ 1．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）某商场以50元每件的价格购进一批衬衫，以标价75元的价格进行销售．赶上换季，商场进行打折销售，每件仍可获利10元，则商场是以_____折进行销售（   ） A．八五 B．七五 C．八 D．七 2．（2025·福建泉州·模拟预测）下表是友谊商场某品牌电脑的记账单，其中进价一栏被墨迹污染，则该品牌电脑的进价是 元． 进价（商品的进货价格） 标价（商品的预售价格） 6800元 折扣 8折 利润（实际销售后的利润） 440元 3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）一家商店因换季将某种服装打折销售．如果每件服装按标价的5折出售，将亏本30元；如果按标价的8折出售，将盈利60元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 4．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）2024年天猫平台“双十一”促销活动如火如荼地进行．小明发现天猫平台甲、乙两家店铺在销售同一款标价均为元的杯子．假设小明均一次性购买，但两家的促销方式不同，具体优惠信息如下： 店铺 优惠信息 是否包邮 甲 任买一件商品先享受九折优惠，同时参加平台每满元减元活动 是 乙 若购买数量不超过个，则不打折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打九折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打八折；若购买数量超过个，则超过个部分打七折．注：不参加平台满减活动． 是 (1)若小明想买个该款杯子，请你帮小明分别计算一下甲、乙两家店铺优惠后的实际价格，再挑选哪家店铺购买更优惠？ (2)若小明想从乙店铺购买个该款杯子，请用含的代数式表示优惠后购买的总价； (3)若小明想花费元在乙店铺来购买该款杯子且钱恰好用完，则他能买多少个该款杯子？ 【典型例题四 比赛积分问题】 【例1】（23-24七年级上·云南昆明·期中）一份数学试卷共23道选择题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小丽得了90分，设小丽做对了道题．则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）某足球队在足球赛中共赛22场得39分；若胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知该足球队共负7场，则该足球队共胜 场． 【例3】（2025·安徽六安·模拟预测）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校开展了一场知识竞赛，规定答对一道题得10分，答错一道题扣5分，不答扣2分，八（1）班和八（2）班答对、答错、不答的题数如下表： 班级 答对 答错 不答 八（1）班 15 4 1 八（2）班 13 八（1）班最终得分比八（2）班多21分，求八（2）班答错了几道题． 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）足球比赛记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分，若设胜场次数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山西长治·阶段练习）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了场，可列方程为 ．    3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？（列方程求解） 4．（2024·河北·模拟预测）某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 【典型例题五 方案选择问题】 【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）某商场在“十一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法： 如果不超过元，则不予优惠； 如果超过元，但不超过元，则按购物总额给予折优惠； 如果超过元，则其中元给予折优惠，超过元的部分给予折优惠． 促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款元和元；若合并付款，则她们总共只需付款 元．（请用含的代数式表示） 【例3】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题： 方式一 方式二 月租费 30元／月 0 本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟 (1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ (2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？ 1．（23-24七年级上·重庆丰都·期末）如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购买相差6元的2种快餐各1份，结账时，店员说：“你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样．”这位同学想了想说：“我还是只多买1瓶指定饮料吧，麻烦您以最便宜的方式给我结账，谢谢！”这位同学要付的金额是（    ） A．55 B．54 C．58 D．61 2．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价都一样． 甲商场：全场均打八五折； 乙商场：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元，一律打八八折；超过500元时，其中的500元打八八折，超过500元的部分打八折． （1）某顾客要购买商品的总标价为600元，该顾客选择 （填“甲”或“乙”）商场更划算； （2）当购物总额是 元时，甲、乙两商场实付款相同． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·假期作业）游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳元会员费，每次游泳另外收费元（一年内有效）． (1)爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程． (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程． 4．（24-25七年级上·吉林松原·期中）某校七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 【典型例题六 数字问题】 【例1】（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试） 与 的和为 ，则 （   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·湖北·模拟预测）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由9个数组成一个的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得 ． 【例3】（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，数学兴趣小组编写了一道数学谜题：．其中，“○”和“□”各表示一个数字，且两个数字之和为9，请求出“○”和“□”各表示的数字． 1．（2025·河北唐山·模拟预测）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．或 D．1或 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图1是由10个小三角形构成的图形，如果在10个小三角形内填入数或式，使得每4个小三角形构成的大三角形的和相等，那么我们称这个由10个小三角形构成的图形为“十美图形”．图2也是“十美图形”，若阴影部分的和是50，则①中填入的是 ．（用含的式子表示） 3．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）把的数字如图排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87．如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数分别是多少？ 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图①是“洛书”，数出图①中各处的圆圈和圆点个数，并按照图①中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图②所示），每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为．        (1)①如图③，若每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值； ②若将，，，，，，，，这个数填入图④的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值； (2)将幻方迁移到月历：如图⑤是今年月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的个数的和可以是．”该同学的说法是否正确，请说明理由． (3)如图⑥，有个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将，，，，，，，，，，，这个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的个顶点的“○”中的数的和都相等．求的值． 【典型例题七 几何问题】 【例1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，一块正方形的纸片，边长为，裁下一块长，宽的长方形，余下的部分用阴影表示．当阴影部分面积为时，的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，平行四边形的面积是，被分成甲、乙、丙三个三角形，乙三角形的面积是 ． 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·随堂练习）如图，小王计划利用长为的竹篱笆，围成一个一边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为，现有两个方案： 方案甲：围成的养鸡场的长比宽多； 方案乙：围成的养鸡场的长比宽多． 请问：这两个方案哪个能实现？如果能实现，这个养鸡场的面积是多少？    1．（24-25七年级上·四川达州·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示“优美矩形”的周长为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段；剪15刀，绳子变为 段．若绳子剪开后，正好剪得103段，则剪了 刀． 3．（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图是由一些火柴棒搭成的图案： (1)摆第①个图案用____根火柴棒，摆第②个图案用____根火柴棒，摆第③个图案用____根火柴棒； (2)按照这种方式摆下去，摆第n个图案用_____根火柴棒； (3)计算一下摆根火柴棒时，是第几个图案？ 4．（24-25七年级上·四川成都·期末）规定：在同一直线上依次有A，B，C，D四点，且，那么称与互为“对称线段”．如图，若与互为“对称线段”，其中． (1)求线段的长度； (2)动点M，N分别从A，D同时出发，点M以的速度从点A向右运动到点D，点N以的速度从点D向左运动到点A，当点M，N中任意一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ①当N在线段上，若与互为“对称线段”，求运动时间为多少秒； ②当点M在线段（不包括端点）上时，用点B，C，M，N组成两组线段，它们互为“对称线段”，求运动时间为多少秒． 【典型例题八 动点问题】 【例1】（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且若动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，当运动时间为（    ）秒时，P、Q相距3个单位长度． A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 【例2】（24-25七年级上·上海·期末）点表示的数是，点表示的数是8，点从点出发，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，速度为每秒1个单位长度，都同时往轴正方向运动，运动 秒时，． 【例3】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为、、1． (1)请在图中标出点B、C的位置； (2)一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E，求点E对应的数． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为秒，当点到、两点距离之和为40时，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． （1）写出点C表示的数为 ； （2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒；当时，则t的值为 ． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点，在同一数轴上，数轴的单位长度为1，且点，表示的数互为相反数． (1)求的长度； (2)点，为同一数轴上两个动点，两点同时出发．点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． （ⅰ）用含的代数式表示点，表示的数； （ⅱ）若，求的值． 4．（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知数轴上有三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点表示的数分别为_______、_______、_______； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，经过多少秒时，之间的距离恰好等于？ (3)如图2，若动点同时从出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动．已知点的速度是个单位长度/秒，点的速度是点速度的倍，点的速度是点速度的倍少个单位长度．经过秒时，三点中恰好有一点为其余两点的中点．请直接写出的值． 【典型例题九 和差倍分问题】 【例1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）某幼儿园阿姨给小朋友分苹果，每人分3个则剩1个；每人分4个则差2个；问有多少个苹果？ 设有个苹果，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ． 【例3】（23-24七年级上·山西临汾·期中）根据下面的对话，算出小亮今年的年龄． 1．（2024·浙江台州·模拟预测）在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处人，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南周口·期中）图书馆新进故事书和科技书共650本，故事书的和科技书的相等，新进故事书 本，科技书 本． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）某校为参加校庆开幕式表演的学生购置演出服．经了解，某服装店男演出服每套元，女演出服每套元，购买套演出服共需元．求该校购买的男演出服和女演出服各多少套？ 4．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）某购物中心销售甲、乙两种产品，甲种产品每件进货成本为40元，售价为60元；乙种产品每件售价为48元，其利润率高达． (1)若该购物中心同时购进甲、乙两种产品共50件，恰好总进价为1700元，则该商场购进甲种商品多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过200元 不优惠 超过200元，不超过300元 按总金额打八折 超过300元 其中300元及以下的部分打八折，超过300元的部分优惠 按上述优惠条件，若一次性购买甲、乙商品若干件，实际付款324元，求此打折前的甲、乙商品总金额． 【典型例题十 电费和水费问题】 【例1】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费元；超过5吨，超过部分每吨加收3元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·山东枣庄·期中）为了节约用水，某市规定：每户居民每月用水不超过15立方米，按每立方米元收费，超过15立方米，则超过部分按每立方米2.4元收费．小明家六月份交水费元，则小明家六月份实际用水 立方米． 【例3】（23-24七年级上·云南昭通·期末）某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 1．（2025七年级·安徽合肥·专题练习）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（    ）元． 汽车修理费x元 赔偿率 0＜x≤500 60% 500＜x≤1000 70% 1000＜x≤3000 80% … … A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5 2．（24-25七年级上·山东德州·期末）某地居民每月用水收费标准如图：李阿姨家11月份用水5立方米，交水费16元．若李阿姨12月份交水费39.6元，则李阿姨12月份的用水量是 立方米 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 3．（24-25七年级上·安徽合肥·假期作业）为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按5.2元一吨收费；超过15吨，其超出的吨数按7元一吨收费． (1)文文家上月共交水费92元，他家上月用水多少吨？ (2)红红家上月共用水23吨，应交水费多少元？ 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）随着水资源的浪费越来越严重，近几年大力促进水资源节约，某市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如下表： 某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米） 收费方式 年用水量（单位：立方米） 费用（单位：元/立方米） 第一阶梯 4.5 第二阶梯 6 第三阶梯 8 若某户居民去年用水量为260立方米，则其应缴纳水费为（元）． (1)若小亮家年用水量为立方米，则小亮家应交水费________元（用含a的代数式表示）； (2)若小亮家年水费为930元，则小亮家年用水量为多少立方米？ (3)小亮家去年和今年共用水480立方米，共缴纳水费2810元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小亮家去年和今年各用水多少立方米？ 【典型例题十一 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）甲、乙两车从相距的两地相向而行，经过3小时后相遇，甲的速度：乙的速度，甲的速度是（   ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，从上查到一辆公交车与自己的距离为，此时他要去A公交站乘车，假设小明距A公交站．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明步行的速度至少是公交车速度的 倍． 【例3】（2025七年级上·河南·专题练习）如图是两张不同类型火车的车票（ “次”表示动车，“次”表示高铁）： (1)已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求两地之间的距离； (2)在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距． 1．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图是一辆自行车上的前、后齿轮，前齿轮有齿，后齿轮有齿．当前齿轮转圈时，后齿轮转（　　）圈． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）小明和小丽家相距千米，有一天小明与小丽同时从各自家里出发，向对方家走去，小明家的狗和小明一起出发，小狗先跑去和小丽相遇，又立刻回头跑向小明，相遇后又立刻跑向小丽如此小狗一直在小明与小丽之间跑动．已知小明的速度是米分，小丽的速度是米分，小明家的狗的速度为米分，当小明与小丽相遇时，小狗一共跑了 米． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期中）甲、乙两车分别从，两地出发同向而行，乙车在甲车前面．甲车每小时行驶，乙车每小时行驶，已知，两地相距． (1)若两车同时开出，则甲车经过多少小时追上乙车？ (2)若两车同时开出，经过多少小时两车相距？ 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）2018年12月26日，响水县高铁站正式启用．为了提高市民出行便利性，政府部门特别增设了一条从二汽南站直达高铁站的8号公交线路，该线路全长13800米．公交车在这条线路上的平均速度为每分钟600米．某日，小明和他的父亲驾驶轿车沿8号公交线路前往高铁站接亲戚．当他们经过二汽南站5分钟后，有一辆公交车从高铁站出发前往二汽南站．已知轿车的平均速度为每分钟1000米． (1)请问公交车出发后多少分钟时与轿车相遇？ (2)小明和父亲到达高铁站接到亲戚后立即（亲戚上车时间忽略不计）按原速原路返回，他们多少分钟追上这辆公交车？ 【典型例题十二 比例分配问题】 【例1】（23-24七年级上·安徽淮北·期末）幼儿园的老师给班上的小朋友分发糖果每人分发4个糖果还多了5个，每人分发5个糖果还缺10个，则小朋友的数量和糖果的数量分别是（　　） A．10，45 B．15，65 C．10，65 D．20，85 【例2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x和2.5，则x的值为 ． 【例3】（24-25七年级上·福建泉州·期中）2025年红五月校园文化艺术节现场书法比赛即将开启，学校决定将综合实践活动教室布置为比赛场地，如图，这是该教室第一排5张课桌的布置示意图．布置说明：桌子与桌子、桌子与墙之间的距离均相等，课桌的桌宽均相等，且间距：桌宽，现测得该教室内南墙到北墙之间的距离是6米，请计算出该教室布置的间距与桌宽． 1．（2024七年级上·安徽合肥·专题练习）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·重庆·期中）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植A、B、C三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的种植C经济作物，则C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，则该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是 ． 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 4．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱__________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是__________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） 【典型例题十三 日历问题】 【例1】（2024七年级上·安徽合肥·专题练习）生活情境·日历小王在某月的日历上圈出了如图所示的四个数a、b、c、d，已知这四个数的和等于34，则a等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在2021年11月份的日历上，任意框出正方形排列的四个数，若这四个数的和是80，则最大的数是 ． 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 【例3】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，将1，2，3，…，40这40个数按照下表进行排列，现用一个Z字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)请用含x的代数式表示框中4个数的和； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 1．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）一个由若干奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出它们的和．移动这个框，框住四个数的和可能是（   ） A．114 B．122 C．220 D．84 2．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）下列是有规律的一组数． 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 … … … … … … （1）若按图1的方式在这组数中框出四个数，且这四个数的和为70，则位于左下角的数是 ． （2）若按图2的方式在这组数中框出五个数，这五个数的和为215，则位于正中间的数是 ． 3．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图是某月的日历表，在此日历表上用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，在某年四月的日历表若圈出5个数，是否存在这5个数的和为120，请说明理由． 日 一 二 三 四 五 六 1 二十 2 廿一 3 廿二 4 廿三 5 廿四 6 廿五 7 廿六 8 立冬 9 廿八 10 廿九 11 三十 12 十月 13 初二 14 初三 15 初四 16 初五 17 初六 18 初七 19 初八 20 初九 21 初十 22 小雪 23 十二 24 十三 25 十四 26 十五 27 十六 28 十七 29 十八 30 十九 4．（24-25七年级上·四川南充·期中）数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘． 在某月的日历上圈出个数， (1)用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为___________（用含字母的式子表示）． (2)用图2方框圈出的四个数的和是32，求这四个数中最小的那个数． (3)①用图3斜框圈出的四个数的和是42，求这四个数中最大的那个数． ②若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．（提示：设第一个偶数为2n） 【典型例题十二 古代问题】 【例1】（24-25七年级上·江苏南通·期中）《九章算术》中“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．设人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 【例3】（23-24七年级上·河南商丘·期末）“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个士兵，水位在标记位置不变．每块条形石的重量都是280斤，设每个士兵的体重是斤． 孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》 (1)可列出等量关系：“20块条形石的重量”+“3个士兵的体重”=“______块条形石的重量”+“______个士兵的体重”； (2)求； (3)象的重量是______斤． 1．（2025·广西来宾·模拟预测）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图所示是一位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到43个野果，则第2根绳子上的打结个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·湖北荆门·模拟预测）《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷．下卷记载有这样一道题：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八，问甲、乙二人原持钱各几何？”译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的钱数加上甲的钱数的，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱． 答：甲的钱数是 ，乙的钱数是 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·假期作业）《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六． 问：人数、鸡价各几何？ 译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元．有几人？鸡的价格是多少元？ 4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）列方程应用题.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何?”原文的意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺. (1)绳子、长木各长多少尺? (2)皓元同学对（1）中所用的长木和绳子进行了一定条件下燃烧速度的实验.他分别截取了等长的木头和绳子各两根.先取出木头和绳子各一根，将其浸没在油中，一段时间后取出.从一端点燃后，他发现燃烧完一根木头需要40分钟，燃烧完一根绳子需要10分钟.随后，他同时点燃了剩下的等长的木头和绳子，一段时间后，同时都被风吹灭，这时他发现木头的长是绳子的长的4倍，问第二次木头燃烧的时间为多少分钟? 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某村去年玉米的产量为20万吨，比前年减产二成，前年玉米的产量是（   ） A．25万吨 B．24万吨 C．16万吨 D．20万吨 2．（2025·天津·模拟预测）某学校组织七年级学生共200人去参加两项科技体验活动，参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1，求参加“深海探幽”活动的人数是多少？设参加“深海探幽”活动的人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买钢琴的预算是（    ） 栗栗：小齐，你之前提到的钢琴买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多2000元呢！ 栗栗：这台钢琴现在正在打8折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少800元！ A．9000元 B．10000元 C．11000元 D．12000元 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有个，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024七年级·安徽合肥·竞赛）如图，有一张面积为的长方形纸片，正面是白色，背面是灰色．现沿图1中虚线将纸片裁成甲、乙两个部分，并将甲纸片背面朝上黏贴到乙纸片上，上、下边与乙纸片重合，如图2所示，若图2中灰色部分与白色部分的面积之比为，则乙纸片的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍， 年后，爸爸年龄是小惠的3倍． 7．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 8．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）阅读下列材料： 将0.3转化为分数：设①，则②，由②①得：，即，所以由以上材料得到的启发，把化成分数为 ． 9．（23-24七年级上·河北·阶段练习）七年级（1）班要出有关“红心向党迎国庆”的黑板报，小鹏同学单独做需6小时完成，小天同学单独做需4小时完成．现由小鹏同学先干1小时后，再由小鹏、小天同学合作完成该黑板报，设小鹏、小天同学合作了小时． （1）根据题意可列方程为 ； （2）的值为 ． 10．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，已知数轴上有三点，，，，，点对应的数是20．动点，同时从点，出发向右运动，同时动点从点出发向左运动，已知点的速度是点的速度的3倍，点的速度是点速度的2倍，经过2秒，点，之间的距离与点，之间的距离相等，动点的速度为 个单位长度/秒． 11．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 12．（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）小王在某网店中选中，两款玩具，决定从该网店进货并销售两款玩具的进货价和销售价如下表： 价格 类别 款玩具 款玩具 销售价（元/个） 进货价（元/个） (1)第一次小王用元购进了，两款玩具共个，求两款玩具各购进多少个？ (2)小王第二次进货时，决定购进两款玩具共个，当他这两次购进的玩具全部售完后，获得的利润为元，则他第二次进货时，款玩具购进了多少个？ 13．（24-25七年级上·陕西西安·期末）运用一元一次方程解答：旬邑苹果是旬邑县的特产，以其个大形正、色泽鲜艳、香甜可口而闻名．佳乐水果超市第一次用2850元购进瑞雪、秦脆这两种箱装苹果，其中瑞雪的箱数是秦脆箱数的2倍，这两种苹果的进价和售价如下表所示： 瑞雪 秦脆 进价（元/箱） 70 50 售价（元/箱） 90 60 (1)分别求出该超市第一次购进这两种苹果的箱数； (2)该超市第一次购进的这两种苹果售完后，第二次又以第一次的进价购进这两种苹果，其中瑞雪的箱数是第一次的2倍，秦脆箱数不变．瑞雪按第一次的售价打折销售，秦脆按第一次的售价销售，当第二次两种苹果都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多，第二次瑞雪是按第一次的售价打几折销售的？ 14．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）方程是一类常见的重要的数学模型，无论方程的类型如何变化，方程模型本质上表示的都是一种相等关系，即方程两边的式子表达的是同一个量从不同角度的刻画． 【问题呈现】 李明和刘伟分别从、两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发后两人相遇，相遇时李明比刘伟多行驶，相遇后李明到达地．求两人每小时分别行驶多少千米？ 分析：可以用示意图来分析本题中的数量关系， 结合图形分析题意可得相等关系有： ①刘伟行驶的路程李明行驶的路程． ②李明行驶的路程比刘伟行驶的路程多． 【解决问题】 (1)由②可知，李明与刘伟的速度关系是：李明的速度刘伟的速度； 可设刘伟的速度是，则李明的速度是， 用两种方式表示出“刘伟行驶的路程”，根据①列方程为：______． (2)类比（1）的分析，由①可知李明与刘伟的速度关系是：______； 请你尝试根据②列方程解决问题． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）校园进行改造，决定将一块长方形场地设计成学生农场，为15米，为17米．根据农作物的种植需要，场地中设计一条垂直于且宽度为米的道路（此时），场地右侧再设计一条垂直于且宽度为2米的道路，将场地分割出可用于农场实践的甲，乙，丙三个长方形区域． (1)用关于的代数式表示甲区域的边的长． (2)用关于的代数式表示用于农场实践的三个区域的总面积． (3)设乙区域的边的长度为米，要求满足以下所有条件： ①用于农场实践总面积为整个场地的． ②甲、乙区域的面积之和恰好是丙区域的3倍． 请直接写出符合条件的，的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 一元一次方程的应用（2大知识点+14大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 配套问题 典型例题二 工程问题 典型例题三 销售盈亏问题 典型例题四 比赛积分问题 典型例题五 方案选择问题 典型例题六 数字问题 典型例题七 几何问题 典型例题八 动点问题 典型例题九 和差倍分问题 典型例题十 电费和水费问题 典型例题十一 行程问题 典型例题十二 比例分配问题 典型例题十三 日历问题 典型例题十四 古代问题 知识点01 用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·期中）洋葱学园张老师一年前存入一笔钱，年利率为，到期共获得本息和为71365元，求张老师一年前存入银行的本金是多少元？ 【答案】张老师一年前存入银行的本金是元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设张老师一年前存入银行的本金是元，根据利息等于本金乘以利率，本息和等于本金加上利息，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设张老师一年前存入银行的本金是元，由题意，得： ， 解得：； 答：张老师一年前存入银行的本金是元． 【即时训练】 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）樱桃是安徽特产水果，每年月成熟上市，这种水果圆润香甜，富含维生素C，具有生津止渴功效．某果农将采摘的樱桃分装为大箱和小箱销售，已知2个大箱和3个小箱共装樱桃千克，4个大箱和1个小箱共装樱桃千克，求每个大箱和每个小箱各装多少千克的樱桃． 【答案】每个大箱装千克的樱桃，每个小箱装千克的樱桃 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据等量关系列出方程组． 设每个大箱装千克的樱桃，每个小箱装千克的樱桃，根据“2个大箱和3个小箱共装樱桃千克”、“4个大箱和1个小箱共装樱桃千克”列出方程组求解． 【详解】解：设每个大箱装千克的樱桃，每个小箱装千克的樱桃， 则，解得：， 答：每个大箱装千克的樱桃，每个小箱装千克的樱桃． 知识点02 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）某礼品制造厂接了一批玩具熊的订单，按计划天数生产，若每天生产20个玩具熊，则最终比订单少生产100个；若每天生产23个玩具熊，则最终比订单多生产20个．原计划几天完成订单？ 【答案】原计划40天完成任务． 【分析】设原计划x天完成任务，利用“订货任务的数量”作为相等关系列方程求解． 【详解】解：设原计划x天完成任务， 由题意得：20x+100=23x-20， 解得：x=40， 答：原计划40天完成任务． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·安徽池州·期中）区域需要将一段长为120米的绿化带进行整修，整修任务由甲、乙两个工程队先后接力共同完成．已知甲工程队每天可以整修8米，乙工程队每天可以整修6米，两个工程队共用了18天，问甲、乙两个工程队整修绿化带分别参加了几天？ 【答案】甲工程队整修绿化带参加了6天，乙工程队整修绿化带参加了12天 【分析】设甲工程队整修绿化带参加了x天，则乙工程队整修绿化带参加了天，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设甲工程队整修绿化带参加了x天，则乙工程队整修绿化带参加了天，依题意有： ， 解得， 则． 故甲工程队整修绿化带参加了6天，乙工程队整修绿化带参加了12天． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 【即时训练】 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）随着3D打印技术越来越成熟，家用3D打印机也逐步走进各家各户．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用3D打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高1000元，若购买3台甲型打印机和2台乙型打印机共花费1.8万元．求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？ 【答案】每台甲型打印机的进价为4000元，每台乙型打印机的进价为3000元． 【分析】此题考查一元一次方程的应用．根据总价=数量×单价，设每台乙型打印机的进价为元，则每台甲型打印机的进价为元，由若购买3台甲型打印机和2台乙型打印机共花费1.8万元列方程即可， 【详解】解：设每台乙型打印机的进价为元，则每台甲型打印机的进价为元， 依题意得：，解得， 每台甲型打印机的进价为， 答：每台甲型打印机的进价为4000元，每台乙型打印机的进价为3000元． 【典型例题一 配套问题】 【例1】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材，最多可以制作（   ）张桌子． A．10 B．40 C．160 D．200 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键． 设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿，利用制作桌腿的总数量是制作桌面总数量的4倍，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入20x中，即可解答． 【详解】解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴最多可以制作200张桌子． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）某车间有30名工人，平均每人每天可制作5个茶壶或15个茶杯．已知1个茶壶与6个茶杯配成一套，如果要使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，那么应该安排多少名工人制作茶壶？设安排名工人制作茶壶，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设安排名工人制作茶壶，则安排名工人制作茶杯，根据1个茶壶与6个茶杯配成一套，可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：设安排名工人制作茶壶，则安排名工人制作茶杯， 根据题意得： ， 故答案为：． 【例3】（24-25七年级上·安徽六安·期末）七（1）班共有学生52人，其中男生人数比女生人数少6人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底28个． (1)七（1）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划男生负责做盒身，女生负责做盒底，1个盒身和2个盒底配套，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定女生去支援男生，问有多少女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【答案】(1)七（1）班有男生23人，女生29人 (2)需要5名女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设女生人数为人，表示男生人数，根据总人数相等列出方程，求出解； 对于（2），设名女生去支援男生，再根据使这节课制作的盒身和盒底刚好配套列出一元一次方程，求出解. 【详解】（1）解：设女生人数为人，则男生人数为人， 根据题意得，， 解得， 则， 答：七（1）班有男生23人，女生29人； （2）解：设名女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意得，， 解得， 答：需要5名女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 名工人生产螺钉，其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握列一元一次方程的方法； 设安排x人生产螺母，则人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设安排x人生产螺母，则人生产螺钉，由题意得： ， 解得：， ， 则应安排10人生产螺钉， 故答案为：10． 1．（2024七年级上·安徽合肥·专题练习）某加工厂利用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），焊接成如图2所示的A型铁盒与B型铁盒，两种铁盒均无盖．现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，若这些铁片恰好用完，则可制作A型、B型两种铁盒各多少个？ 【答案】可制作A型铁盒10个，B型铁盒20个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系列出一元一次方程是解题关键；设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个，再由长方形铁片100张，列方程，解方程即可解答． 【详解】解：设可制作A型铁盒x个，则可制作B型铁盒个， 根据题意得：； 解得， 则． 答：可制作A型铁盒10个，B型铁盒20个． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 【答案】(1)安排木材制作桌面，则安排制作桌腿 (2)每张餐桌的进价是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿，根据一个桌面配4个桌腿列出方程求解即可； （2）设每张餐桌的进价是y元，则每张餐桌的售价为元，再根据销售额等于售价乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿， 由题意得， 解得， ∴， 答：安排木材制作桌面，则安排制作桌腿； （2）解；设每张餐桌的进价是y元， 由题意得，， 解得， 答：每张餐桌的进价是500元． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）小红和小军假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有21张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答） (2)现有33张白板纸，问最多可做几个包装盒？ 为了解决这个问题，小红和小军各设计了一种解决方案： 小红：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖； 小军：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小红和小军设计的方案，谁做出的包装盒最多？ 【答案】(1)用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒 (2)小军做出的包装盒更多，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是列方程的关键 （1）设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒列出方程即可解答； （2）分别按小红和小军设计的方案列出方程解答，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据题意得： ， 解得：， 则， 答：用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒； （2）解：小红的方案，设张做盒身，则有张做盒盖， 根据题意得：， 解得：； 小军的方案，设余下的纸板张做盒身， 根据题意得：， 解得：， ， 则小军做出的包装盒更多． 【典型例题二 工程问题】 【例1】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．现在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，把工作总量看做单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，再根据工作总量等于工作效率乘以工作时间分别求出甲、乙的工作总量，二者的和为1，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，则这次小峰打扫的时间是 h． 【答案】2 【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 故答案为：2． 【例3】（24-25七年级上·四川乐山·期末）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了360亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 【答案】(1)一名工人每小时完成18亩,一架无人机每小时完成108亩 (2)可以完成，见解析 【分析】（1）设一名工人每小时完成亩,一架无人机每小时亩,根据题意，得，解方程即可． （2）计算完成的总工作量，与1000亩比较，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是理解题的关键． 【详解】（1）解：设一名工人每小时完成亩,一架无人机每小时完成亩, 根据题意，得， 解得， 故． 答：一名工人每小时完成18亩,一架无人机每小时完成108亩． （2）解：根据题意，得（亩）， 大于1000亩， 故可以完成． 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 将这项工程的工程量看作为“1”，从而可得甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为，再根据题意列出方程即可得． 【详解】解：将这项工程的工程量看成“1”，则甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为， 由题意得： 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）某排水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要18天、12天完成．现在先由两队从两端同时施工6天，然后由甲队单独施工完成，甲队还需要 天． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、列出方程是解题的关键． 设甲队还需要x天完成，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲队还需要x天完成， 由题意可得：，解得：． 所以甲队还需要3天． 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）某电视台正在进行春节晚会的筹备工作，甲工作组单独做需要12天完成，乙工作组单独做需要15天完成，丙工作组单独做需要20天完成，现在甲、乙两个工作组共同工作了5天之后去做其他的工作，剩下的筹备工作由丙工作组单独做，那么还需要多少天才能完成筹备工作？ 【答案】5天 【分析】本题考查了工程问题．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 将工作总量看作单位“1”，根据甲、乙合作５天完成的工作量，丙x天完成剩余工作量，列方程解答即可． 【详解】解：设丙工作组单独做还需要x天才能完成， ， 解得． 答：剩下的筹备工作由丙工作组单独做，还需要5天才能完成． 4．（2025·云南昆明·模拟预测）学校开展“生活中的数学问题”学习活动，某小组选择“汽车轮胎换位问题”为研究方向． 【问题背景】随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议． 【数据信息】 1、汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到6万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到8万公里时报废． 2、轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程． 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为___________； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（同时报废：两对轮胎的总磨损量均为1） 【答案】(1) (2)万公里 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键． （1）根据前轮在汽车行驶达到6万公里时报废，即可求得前轮在行驶1万公里时的磨损量； （2）前轮的磨损量为，后轮的磨损量为，设行驶x万公里时，前后轮交换后两对轮胎同时报废，前轮剩余的磨损量为，后轮剩余的磨损量为，根据两轮胎同时报废的时间相同，即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由于前轮在汽车行驶达到6万公里时报废，则前轮在行驶1万公里时的磨损量为； 故答案为：． （2）解：设行驶x万公里时，前后轮交换后两对轮胎同时报废，前轮剩余的磨损量为，后轮剩余的磨损量为， 根据交换后两对轮胎报废的时间相同得：， 解得：（万公里）； 答：应在汽车行驶里程达到万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废． 【典型例题三 销售盈亏问题】 【例1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）一家商店将某种服装按成本价提高20元后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利10元，这种服装每件的成本是多少元？设成本价为元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据利润=售价−成本，列方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）据云南网报道以“年货盛宴，滇味传承”为主题的2024云南网上年货节正式启动，活动从1月18日一直持续至2月17日．某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为了扩大营销，某网店准备打折销售，若使利润率为，则商店应打 折． 【答案】八 【分析】设商店应打x折，根据某种商品每件的进价为120元，标价为180元，利润率为，根据题意列方程,进行求解即可．本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设商店应打x折， 由题意可得， 解得 ∴商店应打八折， 故答案为：八． 【例3】（24-25七年级上·重庆·自主招生）商店以80元一件的价格购进一批衬衫，售价为100元，由于售价太高，几天过去后还有150件没卖出去，于是商店九折出售衬衫，又过了几天，经理统计了一下，一共售出了180件，于是将最后的几件衬衫按进货价售出，最后商店一共获利2300元．求商店一共进了多少件衬衫？ 【答案】商店一共进了200件衬衫． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设商店一共进了x件衬衫，则第一次卖出去，则二次售出件，根据商店一共获利2300元列出一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设商店一共进了x件衬衫，则第一次卖出去，则二次售出件， 根据题意可知： ， 整理得：， 解得：， 答：商店一共进了200件衬衫． 1．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）某商场以50元每件的价格购进一批衬衫，以标价75元的价格进行销售．赶上换季，商场进行打折销售，每件仍可获利10元，则商场是以_____折进行销售（   ） A．八五 B．七五 C．八 D．七 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设商场打折出售，根据售价-进价列方程求解即可． 【详解】解：设商场打折出售，根据题意得， ， 解得，， 即商场打八折出售， 故选：C 2．（2025·福建泉州·模拟预测）下表是友谊商场某品牌电脑的记账单，其中进价一栏被墨迹污染，则该品牌电脑的进价是 元． 进价（商品的进货价格） 标价（商品的预售价格） 6800元 折扣 8折 利润（实际销售后的利润） 440元 【答案】5000 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该品牌电脑的进价是x元，利用利润=标价×折扣率-进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该品牌电脑的进价是x元， 根据题意得：， 解得：， ∴该品牌电脑的进价是5000元． 故答案为：5000． 3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）一家商店因换季将某种服装打折销售．如果每件服装按标价的5折出售，将亏本30元；如果按标价的8折出售，将盈利60元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 【答案】(1)每件服装的标价是300元 (2)9折 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每件服装的标价是元，根据成本相同，列出方程即可； （2）设打折销售能恰好保证利润率为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装的标价是元，根据题意得：， 解得，经检验，符合题意． 每件服装的标价是300元； （2）设打折销售能恰好保证利润率为， 根据题意得：， 解得，经检验，符合题意． 答：打9折销售能恰好保证利润率为． 4．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）2024年天猫平台“双十一”促销活动如火如荼地进行．小明发现天猫平台甲、乙两家店铺在销售同一款标价均为元的杯子．假设小明均一次性购买，但两家的促销方式不同，具体优惠信息如下： 店铺 优惠信息 是否包邮 甲 任买一件商品先享受九折优惠，同时参加平台每满元减元活动 是 乙 若购买数量不超过个，则不打折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打九折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打八折；若购买数量超过个，则超过个部分打七折．注：不参加平台满减活动． 是 (1)若小明想买个该款杯子，请你帮小明分别计算一下甲、乙两家店铺优惠后的实际价格，再挑选哪家店铺购买更优惠？ (2)若小明想从乙店铺购买个该款杯子，请用含的代数式表示优惠后购买的总价； (3)若小明想花费元在乙店铺来购买该款杯子且钱恰好用完，则他能买多少个该款杯子？ 【答案】(1)选择甲店铺优惠后的实际价格为元，选择乙店铺优惠后的实际价格为元，选择甲店铺购买更优惠 (2)元 (3)个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合甲、乙两家店铺给出的优惠方案，可求出选择甲、乙两家店铺优惠后的实际价格，比较后，即可得出结论； （2）利用总价单价数量，结合乙店铺给出的优惠方案，即可用含的代数式表示优惠后购买的总价； （3）根据在乙店铺优惠后购买的总价为元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：元，元， 选择甲店铺优惠后的实际价格为元； 选择乙店铺优惠后的实际价格为元． ， 选择甲店铺购买更优惠； （2）根据题意得：元． 答：优惠后购买的总价为元； （3）根据题意得：， 解得：． 答：他能买个该款杯子． 【典型例题四 比赛积分问题】 【例1】（23-24七年级上·云南昆明·期中）一份数学试卷共23道选择题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小丽得了90分，设小丽做对了道题．则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设小丽做对了道题，则不选或答错了道题，根据小丽得了90分，每道题选对得5分，不选或错选倒扣1分，列出一元一次方程即可． 【详解】解：设小丽做对了道题，则不选或答错了道题， 由题意得：， 即， 故选：A． 【例2】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）某足球队在足球赛中共赛22场得39分；若胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知该足球队共负7场，则该足球队共胜 场． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，得到总分的等量关系是解决本题的关键． 设该足球队共胜x场，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】设该足球队共胜x场 根据题意得， 解得 ∴该足球队共胜12场． 故答案为：12． 【例3】（2025·安徽六安·模拟预测）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校开展了一场知识竞赛，规定答对一道题得10分，答错一道题扣5分，不答扣2分，八（1）班和八（2）班答对、答错、不答的题数如下表： 班级 答对 答错 不答 八（1）班 15 4 1 八（2）班 13 八（1）班最终得分比八（2）班多21分，求八（2）班答错了几道题． 【答案】答错了3道题 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．设八（2）班答错了道题，则不答的题数为，根据题意列出一元一次方程即可求出结论． 【详解】解：由题意可知，共有道题，八（2）班答错或不答的题数， 设八（2）班答错了道题，则不答的题数为． 由题意可得， 解得． 答：八（2）班答错了3道题． 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）足球比赛记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分，若设胜场次数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一方程的实际应用，设该队胜了x场，根据题中的等量关系：平场得分胜场得分分，列出方程，即可解题 【详解】解：设该队胜了x场，则该队平了场， 胜场得分是分，平场得分是分． 根据等量关系列方程得：． 故选：B． 2．（23-24七年级上·山西长治·阶段练习）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了场，可列方程为 ．    【答案】 【分析】设该队胜了场，则该队平的场数为：场，根据“胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，赛了9场，只负了2场，共得17分”即可列出方程． 【详解】解：设该队胜了场，则该队平的场数为：场， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？（列方程求解） 【答案】小芳做对了17道 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设她答对了x道题，则答错道题．根据“本次竞赛中获得了76分”列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设她答对了x道题，则答错道题． 根据题意，得， 整理得，， 解得， 所以小芳做对了17道． 4．（2024·河北·模拟预测）某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)E同学答对16道，答错4道 (2)比赛不可能得了73分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设E同学答对x道，可得，即可解得E同学答对16道，答错4道； （2）设D同学答对m道，若，得，不符合题意，故比赛不可能得了73分． 【详解】（1）解：设E同学答对x道，则答错道， 根据表格数据可得， 解得， ， 答：E同学答对16道，答错4道； （2）解：不可能，理由如下： 设D同学答对m道，则答错道， 若得了73分，则， 解得， ∵m是整数， ∴不符合题意， ∴比赛不可能得了73分． 【典型例题五 方案选择问题】 【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决． 【详解】解：设合伙人数为x，则可列方程为 ； 故选：A 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【例2】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）某商场在“十一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法： 如果不超过元，则不予优惠； 如果超过元，但不超过元，则按购物总额给予折优惠； 如果超过元，则其中元给予折优惠，超过元的部分给予折优惠． 促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款元和元；若合并付款，则她们总共只需付款 元．（请用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】根据题意知付款元，其实际标价为元或元，付款元，其实际标价为元，分两种情况分别计算出合并购买总标价元或元的商品应付款即可． 【详解】解：由题意知付款元，实际标价为或元， 付款元，实际标价为， 若合并付款总标价为元，应付款： 元， 若合并付款总标价为元，应付款： 元， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是列代数式，寻找题中数量关系是解题关键． 【例3】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题： 方式一 方式二 月租费 30元／月 0 本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟 (1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？ (2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解掌握统计表的特点及作用，并根据统计表提供的信息，解决有关实际问题． （1）根据题意和表格中的数据可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：方式一：（元）， 方式二：（元）， 答：一个月内在本地通话分钟,按方式一需交费元，按方式二需交费元. （2）解：设分钟两种计费方式收费一样多， 根据题意得，， 解得， 答：当通话分钟时，两种计费方式收费一样. 1．（23-24七年级上·重庆丰都·期末）如图为某快餐店促销活动的内容，某同学到该快餐店购买相差6元的2种快餐各1份，结账时，店员说：“你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样．”这位同学想了想说：“我还是只多买1瓶指定饮料吧，麻烦您以最便宜的方式给我结账，谢谢！”这位同学要付的金额是（    ） A．55 B．54 C．58 D．61 【答案】A 【分析】设价格较低的快餐的单价为x元，则价格较高的快餐的单价为（x+6）元，根据“你多买2瓶指定饮料，按促销活动优惠价的金额，和你只买2份快餐的金额一样”即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其价格较高的快餐搭配1瓶指定饮料，求出该同学应付金额即可得出结论． 【详解】解：设价格较低的快餐的单价为x元，则价格较高的快餐的单价为（x+6）元， 依题意得：x+（x+6）=29×2， 解得：x=26， ∴x+6=26+6=32， ∴这位同学要付的金额是x+29=26+29=55． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价都一样． 甲商场：全场均打八五折； 乙商场：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元，一律打八八折；超过500元时，其中的500元打八八折，超过500元的部分打八折． （1）某顾客要购买商品的总标价为600元，该顾客选择 （填“甲”或“乙”）商场更划算； （2）当购物总额是 元时，甲、乙两商场实付款相同． 【答案】 甲 【分析】（1）根据两商场的促销方案，即可求出哪家商场更划算； （2）设购物总额是x元时，甲、乙两商场实付款相同，选择适当的等量关系列出一元一次方程解方程求解即可 【详解】解：（1）甲商场需要：（元） 乙商场需要：（元） 该顾客选择甲商场更划算； 故答案为：甲 （2）设购物总额是元时，甲、乙两商场实付款相同， 当时，，此方程无解， 当时，则，此方程无解 当时 依题意， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·假期作业）游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳元会员费，每次游泳另外收费元（一年内有效）． (1)爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程． (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程． 【答案】(1)年卡；过程见详解 (2)次 【分析】本题考查了购票问题及列方程解决问题，找到等量关系是解题的关键． （1）已知爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次，则一年游泳次．方式一：单次卡，每次收费30元；根据“单价×数量=总价”，求出办单次卡爸爸游泳一年所需的费用；方式二：办理会员年卡，每次游泳另外收费元，那么游泳次需另收费元，再加上年卡的费用，即是办年卡爸爸游泳一年所需的费用；再比较两种方式所需的费用，得出哪种方式更划算． （2）根据题意，设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等，等量关系为：单次卡每次的费用次数年卡的费用每次游泳另外的收费次数，据此列出方程，并求解． 【详解】（1）解：爸爸一年游泳：（次）， 单次卡：（元）， 年卡：（元）， ， 答：他选择年卡更划算． （2）设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等， 答：一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等． 4．（24-25七年级上·吉林松原·期中）某校七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 【答案】(1)704； (2)44人； (3)45人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，有理数乘法的实际应用，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以即可； （2）设2班有x人，列方程，求解即可得到答案； （3）设3班有a人，列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有44人； （3）解：设3班有人，由题意得， 解得， 答：3班有45人． 【典型例题六 数字问题】 【例1】（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试） 与 的和为 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的运用，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， 解得， 故选：C． 【例2】（2025·湖北·模拟预测）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由9个数组成一个的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等列出关于x，a的方程，消去a后，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：如图，可得， 解得， 故答案为：． 【例3】（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，数学兴趣小组编写了一道数学谜题：．其中，“○”和“□”各表示一个数字，且两个数字之和为9，请求出“○”和“□”各表示的数字． 【答案】3；6 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意，找准等量关系列方程求解即可得到答案，理解题意，由等量关系列一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设“○”表示的数字为，则“□”表示的数字为， 根据题意得， 解这个方程得， ， 则“○”表示的数字为3，“□”表示的数字为6． 1．（2025·河北唐山·模拟预测）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程．由于八个数的和是，所以需满足内外两个正方形顶点上的4个数字之和都是，横、竖的和也是．列方程可得结论． 【详解】解：设小正方形顶点上的数为x，大正方形顶点上的数为y， ， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴内外两个正方形顶点上的4个数字之和都是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图1是由10个小三角形构成的图形，如果在10个小三角形内填入数或式，使得每4个小三角形构成的大三角形的和相等，那么我们称这个由10个小三角形构成的图形为“十美图形”．图2也是“十美图形”，若阴影部分的和是50，则①中填入的是 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先分别表示，， ，再代入，化简计算，即可作答． 【详解】解：如图，分别用①，②，…，⑦表示相应位置应填入的式子， 则由题意知： ， ， ． ， 解得． ①中填入的是． 故答案为： 3．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）把的数字如图排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87．如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数分别是多少？ 【答案】这六个数分别是135，136，137，142，143，144 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据长方形框中数字的规律，横的两数相差1，纵的两数相差7；设长方形框中第一个数为x，则其它五个数依次为，，，，，根据框出的六个数的和是837，列出一元一次方程解答即可． 【详解】解：设长方形框中第一个数为x，则其它五个数依次为，，，，， 根据题意得：， 解得：， 则第二个数是， 第三个数是， 第四个数是， 第五个数是， 第六个数是． 答：这六个数分别是135，136，137，142，143，144． 4．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图①是“洛书”，数出图①中各处的圆圈和圆点个数，并按照图①中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图②所示），每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为．        (1)①如图③，若每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值； ②若将，，，，，，，，这个数填入图④的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值； (2)将幻方迁移到月历：如图⑤是今年月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的个数的和可以是．”该同学的说法是否正确，请说明理由． (3)如图⑥，有个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将，，，，，，，，，，，这个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的个顶点的“○”中的数的和都相等．求的值． 【答案】(1)①；② (2)不正确，理由见解析 (3)的值为或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据幻方的特点，得到每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，是解题的关键： （1）①根据题意，列出方程进行计算即可；②根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的倍，列出方程进行求解即可． （2）设阴影方框的中央位置的数为．根据题意，列方程求解即可； （3）根据题意，列出方程求出的值，根据题意，进行判断即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得． 解得． ②如图，将“三阶”幻方中的个数字分别用字母，d，e，f，g，h，l，r，s表示，其中“中心数”为，将每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和用字母表示． 根据题意，得． 又因为， 即， 所以，所以，即每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和是“中心数”的倍． 所以． 解得． c s （2）解：不正确． 理由如下： 设阴影方框的中央位置的数为． 根据题意，得． 解得． 不存在阴影方框，其中央数字为． 故该同学的说法不正确， （3）解：因为每个正方形的个顶点的“○”中的数的和为 ， 所以，解得， ，解得． ， 根据等式的性质，得． 又因为，，，，，，，，，，，这个数字填入恰当的位置（数字不重复使用）， 所以可能是或． 所以或． 综上所述，的值为或． 【典型例题七 几何问题】 【例1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，一块正方形的纸片，边长为，裁下一块长，宽的长方形，余下的部分用阴影表示．当阴影部分面积为时，的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题：根据几何图形的面积可列得一元一次方程，解得即可； 【详解】解：由题可得该正方形的面积为：， 剪下的长方形的面积为：， ∵阴影部分面积为， ， 解得：， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，平行四边形的面积是，被分成甲、乙、丙三个三角形，乙三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设平行四边形的底边的高为，根据平行四边形面积计算公式建立方程求出对应的高，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：设平行四边形的底边的高为， 由题意得，， 解得， ∴平行四边形的高为， ∴乙三角形的面积是， 故答案为：18． 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·随堂练习）如图，小王计划利用长为的竹篱笆，围成一个一边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为，现有两个方案： 方案甲：围成的养鸡场的长比宽多； 方案乙：围成的养鸡场的长比宽多． 请问：这两个方案哪个能实现？如果能实现，这个养鸡场的面积是多少？    【答案】方案甲不能实现，方案乙能实现，围成的养鸡场的面积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．先分别求出两种方案中长方形的长和宽，然后再进行判断即可． 【详解】解：方案甲：设的养鸡场平行墙的一边为，则另外一边长为，根据题意得： ， 解得：， ∵， ∴此方案不能实现； 方案乙：设的养鸡场平行墙的一边为，则另外一边长为，根据题意得： ， 解得：， ∵， ∴此方案能实现， ∴围成的养鸡场的面积为：． 1．（24-25七年级上·四川达州·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示“优美矩形”的周长为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求得，，，故可列式，计算求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵结合图形可得，，， ∴，，， ∴“优美矩形”的周长为， 又∵“优美矩形”的周长为， ∴， 解得：， ∴正方形的边长为， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段；剪15刀，绳子变为 段．若绳子剪开后，正好剪得103段，则剪了 刀． 【答案】 46 34 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，根据剪法，可得出剪n（n为正整数）刀时，绳子变成段，代入，可求出剪15刀时绳子的段数，由剪得103段，可列出关于n的一元一次方程，解之可得出n的值． 【详解】解：观察图形，可得出：每剪1刀，绳子的段数增加3段， ∴剪n（n为正整数）刀时，绳子变成段． 当时，（段）； 当剪得103段时，， 解得：． ∴剪15刀，绳子变为46段；若绳子剪开后，正好剪得103段，则剪了34刀． 故答案为：46，34． 3．（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图是由一些火柴棒搭成的图案： (1)摆第①个图案用____根火柴棒，摆第②个图案用____根火柴棒，摆第③个图案用____根火柴棒； (2)按照这种方式摆下去，摆第n个图案用_____根火柴棒； (3)计算一下摆根火柴棒时，是第几个图案？ 【答案】(1)5；9；13 (2) (3) 【分析】本题主要考查了规律型图形变化类和一元一次方程求解，准确计算是解题的关键． （1）分别算出前面几个图形中的根数即可； （2）由前面几个图形的过程即可得出规律； （3）根据（2）得出的结果计算即可； 【详解】（1）解：由题可得：第①个图案所用的火柴数：， 第②个图案所用的火柴数：， 第③个图案所用的火柴数：， 故答案为：5；9；13； （2）解：由（1）的方法可得：，，， 第个图案中所用的火柴数为：， 故答案为：； （3）解：根据（2）计算得到的规律可知：得，； 4．（24-25七年级上·四川成都·期末）规定：在同一直线上依次有A，B，C，D四点，且，那么称与互为“对称线段”．如图，若与互为“对称线段”，其中． (1)求线段的长度； (2)动点M，N分别从A，D同时出发，点M以的速度从点A向右运动到点D，点N以的速度从点D向左运动到点A，当点M，N中任意一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ①当N在线段上，若与互为“对称线段”，求运动时间为多少秒； ②当点M在线段（不包括端点）上时，用点B，C，M，N组成两组线段，它们互为“对称线段”，求运动时间为多少秒． 【答案】(1)线段的长度为 (2)①运动时间为2秒；②运动时间为4秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程和多种情况讨论． （1）根据“对称线段”的定义以及线段和的长度，通过设未知数建立方程求解的长度． （2）①根据动点的速度和运动时间表示出和的长度，再依据“对称线段”的定义建立方程求解运动时间． ②需要分多种情况讨论点M、N的位置，根据“对称线段”的定义建立方程求解运动时间． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， 即． ∴． 所以线段的长度为． （2）解：①设运动时间为t秒． 点M的速度为，则；点N的速度为，， ∵， ∴． ∵与互为“对称线段”， ∴， ∴． ∴． 所以运动时间为2秒． ②， 点M从A到C所需时间为秒，点N从D到A所需时间为秒． 设运动时间为t秒，． 情况一：若， ，则，方程两边同时减6得：，此方程无解． 情况二：若， ． 由得，方程两边同时加得：，即，解得，不满足，舍去． 情况三：若， ． 由得，无解； 由得，无解． 情况四：若， ， 由得． 解得：． 【典型例题八 动点问题】 【例1】（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且若动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，当运动时间为（    ）秒时，P、Q相距3个单位长度． A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含的代数式表示、表示的数并列方程解决问题是解题的关键．根据可得，，由已知条件可得表示的数是，表示的数是，而、两点相距3个单位长度，故可列方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，设运动时间为秒， 表示的数是，表示的数是， 根据题意可得： ， 即：， 解得：或3， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·上海·期末）点表示的数是，点表示的数是8，点从点出发，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，速度为每秒1个单位长度，都同时往轴正方向运动，运动 秒时，． 【答案】8或16 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离， 根据A，B两点表示的数求出，再设运动的时间是t，分两种情况讨论：并根据相遇前，后列出方程，求出解即可． 【详解】解：∵A，B两点表示的数为， ∴． 设运动的时间是t，可知，则点P，Q表示的数是， 当相遇前距离是4时，， 解得； 当相遇后距离是4时，， 解得． 所以运动8或16秒时，． 故答案为：8或16． 【例3】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为、、1． (1)请在图中标出点B、C的位置； (2)一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E，求点E对应的数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了用数轴上点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上点的特点． （1）根据、B、所对应的数，为原点，确定和B的位置即可； （2）利用两点间的距离公式，分点在点的右侧时或点在点的左侧，两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵点C为原点， ∴点C在点D左侧1个单位处， ∵点B表示的数为， ∴点B在点C的坐标2个单位处， 点B、C的位置，如图所示． （2）解：∵一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E， ∴点E表示的数为． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为秒，当点到、两点距离之和为40时，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，设点P表示的数为n，可得，再解方程并进一步解答即可. 【详解】解：设点P表示的数为n， ∴，， ∵点到、两点距离之和为40，即， 当时，， 当时， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故选：B 2．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． （1）写出点C表示的数为 ； （2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒；当时，则t的值为 ． 【答案】 4 或 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点的距离、一元一次方程的几何应用，运用数形结合思想求解是解答的关键． （1）直接利用数轴求解即可； （2）先用t表示出点P、Q，再根据数轴上两点距离公式列方程，然后解方程即可． 【详解】解：（1）由数轴可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为4， 故答案为：4； （2）由题意，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：1或． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点，在同一数轴上，数轴的单位长度为1，且点，表示的数互为相反数． (1)求的长度； (2)点，为同一数轴上两个动点，两点同时出发．点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． （ⅰ）用含的代数式表示点，表示的数； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）表示的数为，表示的数为；（ⅱ） 【分析】本题考查的数轴，相反数的定义，绝对值的含义，一元一次方程的应用； （1）由数轴上的位置可得； （2）（ⅰ）根据向右移动用加法，向左移动用减法表示即可；（ⅱ）结合（ⅰ）得：，，利用，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：（ⅰ）∵，点，表示的数互为相反数． ∴表示，表示， ∵点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． ∴表示的数为，表示的数为； （ⅱ）结合（ⅰ）得：，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）， 综上：． 4．（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知数轴上有三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点表示的数分别为_______、_______、_______； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，经过多少秒时，之间的距离恰好等于？ (3)如图2，若动点同时从出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动．已知点的速度是个单位长度/秒，点的速度是点速度的倍，点的速度是点速度的倍少个单位长度．经过秒时，三点中恰好有一点为其余两点的中点．请直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)秒或秒 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，解题的关键是用含字母的式子表示相关点所表示的数． （1）由，得，，解，得，即表示的数为； （2）设运动时间为秒，根据点，之间的距离恰好等于，得，即可解得答案； （3）运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 ，分三种情况列方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，即表示的数为， 故答案为：；；； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为， 点，之间的距离恰好等于， ， 即或， 解得或， 经过秒或秒时，点，之间的距离恰好等于； （3）根据题意，点的运动速度为每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， 运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 ， 若为的中点，则， 解得 若为的中点，则， 解得(舍去) 若为的中点，则， 解得(此时点的速度为，不符合题意，舍去)； 综上所述，的值为 【典型例题九 和差倍分问题】 【例1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）某幼儿园阿姨给小朋友分苹果，每人分3个则剩1个；每人分4个则差2个；问有多少个苹果？ 设有个苹果，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，注意根据两种分法中小朋友的人数相等列方程．设有个苹果，根据两种分法中小朋友的人数相等列方程． 【详解】解：设有个苹果，若每个小朋友分3个则剩1个，小朋友的人数为：； 若每个小朋友分4个则差2个，小朋友的人数为：， ∴， 故选：B． 【例2】（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是本题的关键．应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人，根据甲处的人数是乙处人数的3倍，列出方程即可． 【详解】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人． 根据“甲处的人数是乙处人数的3倍”列方程得：， 故答案为：． 【例3】（23-24七年级上·山西临汾·期中）根据下面的对话，算出小亮今年的年龄． 【答案】小亮今年的年龄为岁． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设小亮今年的年龄为岁，则爸爸的年龄为岁，根据题意列出方程，然后解方程即可，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，则爸爸的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， 答：小亮今年的年龄为岁． 1．（2024·浙江台州·模拟预测）在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处人，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应调往甲处人，那么调往乙处的人数是人，调动后甲处的人数是人，乙处的人数是人，根据在甲处劳动的人数为乙处人数的2倍，就可以列出方程即可． 【详解】解：设应调往甲处人，那么调往乙处的人数是人， 根据题意得：． 故选：D． 2．（23-24七年级上·河南周口·期中）图书馆新进故事书和科技书共650本，故事书的和科技书的相等，新进故事书 本，科技书 本． 【答案】 400 250 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设新进故事书x本，则科技书为本，根据题意，得，解方程即可． 【详解】设新进故事书x本，则科技书为本，根据题意， 得， 解得， 故=250． 故答案为：400，250． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）某校为参加校庆开幕式表演的学生购置演出服．经了解，某服装店男演出服每套元，女演出服每套元，购买套演出服共需元．求该校购买的男演出服和女演出服各多少套？ 【答案】男演出服套和女演出服套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该校购买的男演出服x套，则女演出服套，根据购买套演出服共需元，列方程求解即可． 【详解】解：设该校购买的男演出服x套，则女演出服套，根据题意，得 ， 解得：， ∴． 答：该校购买的男演出服套和女演出服套． 4．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）某购物中心销售甲、乙两种产品，甲种产品每件进货成本为40元，售价为60元；乙种产品每件售价为48元，其利润率高达． (1)若该购物中心同时购进甲、乙两种产品共50件，恰好总进价为1700元，则该商场购进甲种商品多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过200元 不优惠 超过200元，不超过300元 按总金额打八折 超过300元 其中300元及以下的部分打八折，超过300元的部分优惠 按上述优惠条件，若一次性购买甲、乙商品若干件，实际付款324元，求此打折前的甲、乙商品总金额． 【答案】(1)20件 (2)420元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用乙种产品每件进货成本售价利润率），可求出乙种产品每件进货成本，设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，利用进货总价进货单价购进数量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设打折前的甲、乙商品的总金额为元，利用实际付款金额超过300元的部分，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：乙种产品每件进货成本为（元． 设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得：． 答：该商场购进甲种商品20件； （2）解：设打折前的甲、乙商品的总金额为元， 根据题意得：， 解得：． 答：打折前的甲、乙商品的总金额为420元． 【典型例题十 电费和水费问题】 【例1】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费元；超过5吨，超过部分每吨加收3元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ， 化简，得 ， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据题中的数量关系列出方程． 【例2】（24-25七年级上·山东枣庄·期中）为了节约用水，某市规定：每户居民每月用水不超过15立方米，按每立方米元收费，超过15立方米，则超过部分按每立方米2.4元收费．小明家六月份交水费元，则小明家六月份实际用水 立方米． 【答案】19 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，由题意可得出小明家六月份超过15立方米，设小明家六月份实际用水x立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴小明家六月份超过15立方米， 设小明家六月份实际用水x立方米， 根据题意得： 解得： 则小明家六月份实际用水19立方米． 故答案为：19． 【例3】（23-24七年级上·云南昭通·期末）某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 【答案】(1)； (2)当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及列代数式，理解题意，列出代数式是解题关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得用“亲情卡”要收费元；用“校园卡”要收费元， 故答案为：； （2）根据题意得： 解得： 答：当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样． 1．（2025七年级·安徽合肥·专题练习）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（    ）元． 汽车修理费x元 赔偿率 0＜x≤500 60% 500＜x≤1000 70% 1000＜x≤3000 80% … … A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5 【答案】B 【分析】根据表可以首先确定此人的修理费应该大于1000元，并且小于3000元，则赔偿率是80%，则若修理费是x元，则在保险公司得到的赔偿金额是(x-1000) ×0.8+300+350元 ，就可以列出方程，求出x的值． 【详解】解：∵500×60%＝300（元）， （1000﹣500）×70%＝500×70%＝350（元）， （3000﹣1000）×80%＝2000×80%＝1600（元）， 且300＜2000，300+350＝650＜2000，300+350+1600＝2350＞2000， ∴此人的汽车修理费x的范围是：1000＜x≤3000， 可得，300+350+（x﹣1000）×80%＝2000， 解得x＝2687.5， ∴此人的汽车修理费是2687.5元， 故选：B． 【点睛】解决问题的关键是读懂题意，确定修理费的范围，正确表示出赔偿金额是解决本题的关键． 2．（24-25七年级上·山东德州·期末）某地居民每月用水收费标准如图：李阿姨家11月份用水5立方米，交水费16元．若李阿姨12月份交水费39.6元，则李阿姨12月份的用水量是 立方米 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，可知，根据李阿姨12月份交水费38.8元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为立方米，列出方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费16元， 所以， 解得， ∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米， 设李阿姨家12月份用水量为立方米， 则， 解得， 所以李阿姨家12月份用水量是12立方米． 故答案为：12． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·假期作业）为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按5.2元一吨收费；超过15吨，其超出的吨数按7元一吨收费． (1)文文家上月共交水费92元，他家上月用水多少吨？ (2)红红家上月共用水23吨，应交水费多少元？ 【答案】(1)17吨； (2)134元 【分析】本题考查一元一次方程分段计费问题，解题的关键是根据不同的计费段分别计算费用或用水量． （1）根据题意可知，水费分两部分，一部分是15吨（含15吨）水费是5.2元一吨，一部分是超过15吨，一吨是7元，设：文文家上月用水吨，去掉15吨，15吨水费元，剩下的水是吨，就是1吨7元的水，剩下的水费是元，一共是92元，列方程：，解方程，即可解答； （2）红红家上月共用水23吨，其中有15吨是5.2元一吨水费，15吨是元，剩下的用水是吨水，每吨是7元，8吨是元，再把15吨水费钱数和8吨水费钱数相加，就是红红家应缴的水费，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，文文家用水超过15吨， 设文文家上月用水吨， ， 答：他家上个月用水17吨； （2） （元）， 答：应交水费134元． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）随着水资源的浪费越来越严重，近几年大力促进水资源节约，某市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如下表： 某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米） 收费方式 年用水量（单位：立方米） 费用（单位：元/立方米） 第一阶梯 4.5 第二阶梯 6 第三阶梯 8 若某户居民去年用水量为260立方米，则其应缴纳水费为（元）． (1)若小亮家年用水量为立方米，则小亮家应交水费________元（用含a的代数式表示）； (2)若小亮家年水费为930元，则小亮家年用水量为多少立方米？ (3)小亮家去年和今年共用水480立方米，共缴纳水费2810元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小亮家去年和今年各用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)小亮家年用水量为200立方米． (3)小亮家去年和今年各用水80和400立方米 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用： （1）根据收费方式列出代数式即可； （2）设小亮家年用水量为x立方米，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小亮家去年用水y立方米，则今年用水立方米，分和，两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，小亮家应交水费为（元）； 故答案为：． （2）设小亮家年用水量为x立方米． 年用水量为180立方米时，应交水费（元）， 年用水量为240立方米时，应交水费（元）， ， ， ， 解得； 答：小亮家年用水量为200立方米． （3）设小亮家去年用水y立方米，则今年用水立方米． 去年和今年共用水480立方米，且今年的用水量超过去年的用水量， ，， ①当时， ， 解得， ． 答：小亮家去年和今年各用水80和400立方米． ②当时， ， 解得（舍）； 综上所述：小亮家去年和今年各用水80和400立方米 【典型例题十一 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）甲、乙两车从相距的两地相向而行，经过3小时后相遇，甲的速度：乙的速度，甲的速度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系，相遇问题中路程的关系，是解题的关键． 设乙的速度为，则甲的速度为．根据两车相向而行，总路程为，相遇时间为，列方程解答． 【详解】设乙的速度为，则甲的速度为． 两车相向而行，总路程为，相遇时间为， 故有：． 解得：． ∴． ∴甲的速度是． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，从上查到一辆公交车与自己的距离为，此时他要去A公交站乘车，假设小明距A公交站．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明步行的速度至少是公交车速度的 倍． 【答案】/0.2 【分析】本题考查了解一元一次方程的实际应用，根据题意列方程是解题的关键． 设小明步行的速度至少是公交车速度的x倍，再根据题意列方程，解方程即可解答． 【详解】解：设小明步行的速度至少是公交车速度的x倍， ∵公交车与小明的距离为，小明距A公交站． ∴公交车距A公交站的距离为， 小明步行的速度至少是公交车速度： 解得：． 故答案为：． 【例3】（2025七年级上·河南·专题练习）如图是两张不同类型火车的车票（ “次”表示动车，“次”表示高铁）： (1)已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求两地之间的距离； (2)在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距． 【答案】(1) (2)12:00时或10:30时两车相距 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． （1）设两地之间的距离为，由等量关系得到方程，解方程即可得到答案； （2）由两车相距，分三种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设两地之间的距离为， 由题意可得：， 解得， 答：两地之间的距离为； （2）解：由两车相距，分三种情况： 当高铁、动车在路上行驶时， 设高铁出发小时， ①， 解得； 即高铁出发后，两车相距； ②， 解得； 在（1）的条件下，， 即高铁仅需到达地，不符合实际，舍去； ③当动车在路上行驶，高铁没有出发时， 设动车出发小时， 即， 解得， 即高铁未动，动车出发后，两车相距； 综上所述，12:00时或10:30时两车相距． 1．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图是一辆自行车上的前、后齿轮，前齿轮有齿，后齿轮有齿．当前齿轮转圈时，后齿轮转（　　）圈． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程解应用题，设后齿轮转圈，根据前齿轮的齿数前齿轮转的圈数后齿轮的齿数后齿轮转的圈数列出方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题关键． 【详解】解：设后齿轮转圈， 则， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）小明和小丽家相距千米，有一天小明与小丽同时从各自家里出发，向对方家走去，小明家的狗和小明一起出发，小狗先跑去和小丽相遇，又立刻回头跑向小明，相遇后又立刻跑向小丽如此小狗一直在小明与小丽之间跑动．已知小明的速度是米分，小丽的速度是米分，小明家的狗的速度为米分，当小明与小丽相遇时，小狗一共跑了 米． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过分钟两人相遇，根据两人的速度之和时间小明和小美家的距离，即可得出一元一次方程，解之即可求得两人相遇时间，再利用路程速度时间，即可求出小狗跑的距离． 【详解】设经过分钟两人相遇， 依题意，得：， 解得：， 所以小狗跑的距离为米 故答案为：． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期中）甲、乙两车分别从，两地出发同向而行，乙车在甲车前面．甲车每小时行驶，乙车每小时行驶，已知，两地相距． (1)若两车同时开出，则甲车经过多少小时追上乙车？ (2)若两车同时开出，经过多少小时两车相距？ 【答案】(1)甲列车经过5小时追上乙列车 (2)经过2小时或8小时两车相距72千米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程求解，需要注意进行分类讨论． （1）设甲列车经过小时追上乙列车，根据甲列车行驶的路程等于乙列车行驶的路程加上120千米，列出方程求解； （2）设经过小时两车相距72千米，分情况讨论，甲追上乙之前和甲追上乙之后，列出方程求解． 【详解】（1）解：设甲列车经过小时追上乙列车，根据题意得， ， 解得， 答：甲列车经过5小时追上乙列车； （2）设经过小时两车相距72千米， 甲追上乙之前， ，解得； 甲追上乙之后， ，解得， 答：经过2小时或8小时两车相距72千米． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）2018年12月26日，响水县高铁站正式启用．为了提高市民出行便利性，政府部门特别增设了一条从二汽南站直达高铁站的8号公交线路，该线路全长13800米．公交车在这条线路上的平均速度为每分钟600米．某日，小明和他的父亲驾驶轿车沿8号公交线路前往高铁站接亲戚．当他们经过二汽南站5分钟后，有一辆公交车从高铁站出发前往二汽南站．已知轿车的平均速度为每分钟1000米． (1)请问公交车出发后多少分钟时与轿车相遇？ (2)小明和父亲到达高铁站接到亲戚后立即（亲戚上车时间忽略不计）按原速原路返回，他们多少分钟追上这辆公交车？ 【答案】(1)分钟 (2)分钟 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程成为解题的关键． （1）设公交车出发后x分钟时与轿车相遇，根据相遇问题列一元一次方程求解即可； （2）设他们y分钟追上这辆公交车，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设公交车出发后x分钟时与轿车相遇， 由题意可得：，解得：． 答：公交车出发后分钟时与轿车相遇． （2）解：设他们y分钟追上这辆公交车， 由题意可得：，解得：． 答：他们分钟追上这辆公交车． 【典型例题十二 比例分配问题】 【例1】（23-24七年级上·安徽淮北·期末）幼儿园的老师给班上的小朋友分发糖果每人分发4个糖果还多了5个，每人分发5个糖果还缺10个，则小朋友的数量和糖果的数量分别是（　　） A．10，45 B．15，65 C．10，65 D．20，85 【答案】B 【分析】设小朋友的数量是x人，则糖果的数量为（4x+5）颗，再根据每人分发5个糖果还缺10个，列出方程求解即可． 【详解】解：设小朋友的数量是x人，则糖果的数量为（4x+5）颗， 由题意得：， 解得， ∴小朋友的数量为15人， ∴糖果的数量是4×15+5=65颗， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系进行求解． 【例2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x和2.5，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查比例的基本性质：内项之积等于外项之积． 【例3】（24-25七年级上·福建泉州·期中）2025年红五月校园文化艺术节现场书法比赛即将开启，学校决定将综合实践活动教室布置为比赛场地，如图，这是该教室第一排5张课桌的布置示意图．布置说明：桌子与桌子、桌子与墙之间的距离均相等，课桌的桌宽均相等，且间距：桌宽，现测得该教室内南墙到北墙之间的距离是6米，请计算出该教室布置的间距与桌宽． 【答案】0.5米，0.6米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设间距为米，则桌宽为米，根据课桌的布置示意图列方程求解即可． 【详解】解：设间距为米，则桌宽为米， 由题意得：， 解得， ， 答：该教室布置的间距为0.5米，桌宽为0.6米． 1．（2024七年级上·安徽合肥·专题练习）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，由甲、乙、丙三村按出工，可得出工人数之间的关系，再根据计划出工84人列出方程，注意所设未知数不同时，所列方程也不同． 【详解】解：①正确， ②应得方程， ③应得， ④应得． 故选：A． 2．（23-24七年级上·重庆·期中）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植A、B、C三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的种植C经济作物，则C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，则该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是 ． 【答案】2:3 【分析】设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，根据三种经济作物的面积之比以及单位面积产值之比可得该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济作物单位面积产值为2n，种植C经济作物单位面积产值为2n，设余下的面积为z，增加种植C经济作物，可列方程，可得z=3m，设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需种植B两种经济作物的面积，利用A、B、C三种经济作物的总产值提高了，列方程，解方程即可． 【详解】解：设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n， ∵该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2， ∴该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济作物单位面积产值为2n，种植C经济作物单位面积产值为2n， 设余下的面积为z， ∴增加种植C经济作物， ∴， 解得z=3m， 设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需种植B两种经济作物的面积3m-a-， A作物面积：，B作物面积：，C作物面积：， A、B、C三种经济作物的总产值为， = =， A、B、C三种经济作物的原总产值=， ∴， 解得，， 该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是， 故答案为：2:3． 【点睛】本题考查代数式表示数，代数式在生活中运用，利用一元一次方程，仔细阅读抓住等量关系C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，列方程解决问题是关键． 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 【答案】桶内水深12厘米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确没入水中的长度即是水深并由此设未知数列出方程是解题的关键． 由两根铁棒没如水中部分的长度相等，设桶内水深为x厘米，则第一根铁棒的长度为，第二根铁棒法长度为，又知两根铁棒的长度之和是31厘米列方程求解即可． 【详解】解：设桶内水深为x厘米， ， ， ， ， ， ． 答：桶内水深12厘米． 4．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱__________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是__________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，； 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． 【典型例题十三 日历问题】 【例1】（2024七年级上·安徽合肥·专题练习）生活情境·日历小王在某月的日历上圈出了如图所示的四个数a、b、c、d，已知这四个数的和等于34，则a等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用含a的代数式表示出是解题的关键． 用含a的代数式表示出b，c，d的值，将四个数相加可得出，由a为正整数结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：依题意，可知：， ∴，即． 解得： ， 故选：C． 【例2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在2021年11月份的日历上，任意框出正方形排列的四个数，若这四个数的和是80，则最大的数是 ． 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 【答案】24 【分析】此题考查一元一次方程的实际应用，设最大的数是x，则其余三个数分别为，根据四个数的和是80列一元一次方程求解，正确表示四个数，理解题意列得方程是解题的关键． 【详解】设最大的数是x，则其余三个数分别为， 由题意得 解得， 故答案为：． 【例3】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，将1，2，3，…，40这40个数按照下表进行排列，现用一个Z字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)请用含x的代数式表示框中4个数的和； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 【答案】(1) (2)框中4个数的和能是124，最小的数为25，理由见解析 【分析】（1）根据框中数的规律写出其他三个数分别为，和，相加即可； （2）根据第一问结论列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵框中最小的数为x， ∴另外3个数为，和． ∴4个数的和为； （2）框中4个数的和能是124， 根据题意得：， 解得， ∴最小的数为25． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据列表找到框中四个数的规律． 1．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）一个由若干奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出它们的和．移动这个框，框住四个数的和可能是（   ） A．114 B．122 C．220 D．84 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意，可以设中间的数字为x，从而可以得到这四个数字的和，然后再根据各个选项中的数据，求出x的值，即可解答本题． 【详解】解：设中间的数字为x，则其它数字为，，， 这四个数字之和为， 令，得，是第四排第一个，不符合实际，舍去； 令，得，符合实际； 令，得，不符合实际，舍去； 令，得，不符合实际，舍去； 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）下列是有规律的一组数． 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 … … … … … … （1）若按图1的方式在这组数中框出四个数，且这四个数的和为70，则位于左下角的数是 ． （2）若按图2的方式在这组数中框出五个数，这五个数的和为215，则位于正中间的数是 ． 【答案】 25； 43． 【分析】（1）观察表格，可以发现横行上相邻的两数差为3，竖列上相邻的两数差为18．设左下角的数为x，则另3个数分别为：x-18，x-15，x+3，然后列方程求解即可； （2）设中间一个数为x，表示出其它4个数解方程求解即可． 【详解】解：（1）设左下角的数为x，则另3个数分别为：x-18，x-15，x+3， 根据题意得：x+(x-18)+x+(x-15) +(x+3)=70， 解得：x=25， 所以位于左下角的数是25． （2）设中间一个数为x，则另4个数分别为：x-3，x+3，x+18，x-18， 根据题意得：(x-3)+(x+3)+x+(x+18) +(x-18)=215， 解得：x=43， 所以位于正中间的数是43． 故答案为：（1）25；（2）43． 【点睛】此题的关键找到题中隐含的条件：横行上相邻的两数差为3，竖列上相邻的两数差为18，要注意细心观察得出规律． 3．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图是某月的日历表，在此日历表上用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，在某年四月的日历表若圈出5个数，是否存在这5个数的和为120，请说明理由． 日 一 二 三 四 五 六 1 二十 2 廿一 3 廿二 4 廿三 5 廿四 6 廿五 7 廿六 8 立冬 9 廿八 10 廿九 11 三十 12 十月 13 初二 14 初三 15 初四 16 初五 17 初六 18 初七 19 初八 20 初九 21 初十 22 小雪 23 十二 24 十三 25 十四 26 十五 27 十六 28 十七 29 十八 30 十九 【答案】不存在这5个数的和为120，理由见解答． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用-日历中数字的规律，根据练掌握日历中左右相邻的两个数字相差1，上下相邻的两个数字相差7．设第二行中间数，表示出其他几个数，列出方程即可求解，再根据日历的特点确定是否能选中． 【详解】解：不能，理由如下： 设第二行中间数为x，则其他四个数分别为，，，， 根据题意：这个数的和为，则， 解得， 即圈出个数分别为，，，． 由于该月没有31号，所以不能圈出5个数字的和为120． 4．（24-25七年级上·四川南充·期中）数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘． 在某月的日历上圈出个数， (1)用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为___________（用含字母的式子表示）． (2)用图2方框圈出的四个数的和是32，求这四个数中最小的那个数． (3)①用图3斜框圈出的四个数的和是42，求这四个数中最大的那个数． ②若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．（提示：设第一个偶数为2n） 【答案】(1) (2)4 (3)①；②见解析． 【分析】此题考查了列代数式、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据日历表上下两个数相差7即可得到答案； （2）设第一个数是x，表示出其余三个数，根据四个数的和是32列方程，解方程即可得到答案； （3）①设最大的数是x，表示出其余三个数，根据四个数和是42列方程，解方程即可得到答案；②设这四个数中最小的数是n，表示出其余三个数，得到，根据且n为偶数分析即可得到结论． 【详解】（1）解：由日历可知，用图1方框圈2个数，?位置的数可表示为， 故答案为： （2）设最小的那个数是x， 则， 解得， 即最小的那个数是4， 故答案为：4 （3）①解：设最大的数是x，则 ， 解得， 即最大的数是， 故答案为： ②设这四个数中最小的数是n， 则， ∵且n为偶数， ∴一定是正整数， ∴是8的整数倍． 即用图3斜框圈出4个数，则这四个数的和是8的整数倍． 【典型例题十二 古代问题】 【例1】（24-25七年级上·江苏南通·期中）《九章算术》中“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．设人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：A． 【例2】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 【例3】（23-24七年级上·河南商丘·期末）“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个士兵，水位在标记位置不变．每块条形石的重量都是280斤，设每个士兵的体重是斤． 孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》 (1)可列出等量关系：“20块条形石的重量”+“3个士兵的体重”=“______块条形石的重量”+“______个士兵的体重”； (2)求； (3)象的重量是______斤． 【答案】(1)21，1 (2) (3)6020 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系是解题关键， （1）根据题意得增加1块条石留下1个士兵即相等，完成解答； （2）根据等量关系列方程并解方程即可解决； （3）根据象的重量等于20块等重的条形石加上3个体重相同的士兵重量之和计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：“20块条形石的重量”+“3个士兵的体重”=“21块条形石的重量”+“1个士兵的体重”， 故答案为：21，1； （2）解：由题意得： ， 解得：； （3）解：象的重量斤， 故答案为：6020． 1．（2025·广西来宾·模拟预测）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图所示是一位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到43个野果，则第2根绳子上的打结个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x，根据题意得：， 解得， 即在第2根绳子上的打结数是3， 故选：C． 2．（2024·湖北荆门·模拟预测）《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷．下卷记载有这样一道题：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八，问甲、乙二人原持钱各几何？”译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的钱数加上甲的钱数的，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱． 答：甲的钱数是 ，乙的钱数是 ． 【答案】 36 24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲原有x钱，则乙原有钱，根据题意可得甲所有钱的乙的钱，据此列方程可求解． 【详解】解：设甲原有x钱，则乙原有钱，根据题意，得： ， 解得， 则， 故答案为：36，24． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·假期作业）《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六． 问：人数、鸡价各几何？ 译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元．有几人？鸡的价格是多少元？ 【答案】9人；70元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意可知，鸡的总价、总人数是不变的，总人数元元=总人数元元，设一共有x人，列方程为，然后解出方程即可． 【详解】解：设一共有x人．根据题意得： ， 解得， ∴（元） 答：有9人；鸡的价格是70元． 4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）列方程应用题.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何?”原文的意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺. (1)绳子、长木各长多少尺? (2)皓元同学对（1）中所用的长木和绳子进行了一定条件下燃烧速度的实验.他分别截取了等长的木头和绳子各两根.先取出木头和绳子各一根，将其浸没在油中，一段时间后取出.从一端点燃后，他发现燃烧完一根木头需要40分钟，燃烧完一根绳子需要10分钟.随后，他同时点燃了剩下的等长的木头和绳子，一段时间后，同时都被风吹灭，这时他发现木头的长是绳子的长的4倍，问第二次木头燃烧的时间为多少分钟? 【答案】(1)绳子、长木分别是11尺和6.5尺； (2)第二次木头燃烧的时间为8分钟． 【分析】（1）设木头长尺，则绳子长尺，根据题意列一元一次方程，求解即可得出答案； （2）设第二次木头燃烧的时间为分钟，截取的木头和绳子的长为单位“1”， 根据题意列一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设木头长尺，则绳子长尺， 根据题意得：， 解得：， ∴绳子长为， 答：绳子、长木分别是11尺和6.5尺； （2）解：设第二次木头燃烧的时间为分钟，截取的木头和绳子的长为单位“1”， 根据题意得：， 解得： 答：第二次木头燃烧的时间为8分钟． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程正确求解是解题的关键． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某村去年玉米的产量为20万吨，比前年减产二成，前年玉米的产量是（   ） A．25万吨 B．24万吨 C．16万吨 D．20万吨 【答案】A 【分析】本题主要考查 一元一次方程的应用，设前年产量为x吨，去年产量比前年减产二成，即去年产量为前年的，根据去年玉米的产量为20万吨，列方程求解即可． 【详解】解：设前年产量为x万吨，根据题意得： ， 解得：， 即前年玉米的产量是25万吨， 故选：A． 2．（2025·天津·模拟预测）某学校组织七年级学生共200人去参加两项科技体验活动，参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1，求参加“深海探幽”活动的人数是多少？设参加“深海探幽”活动的人数为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程． 设参加“深海探幽”活动的人数为，则参加“九天揽月”活动的人数为，再根据七年级学生共200人列方程即可． 【详解】解：设参加“深海探幽”活动的人数为， ∵参加“九天揽月”活动的人数比参加“深海探幽”活动的人数的2倍少1， ∴参加“九天揽月”活动的人数为， ∴可列方程为， 故选：B． 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买钢琴的预算是（    ） 栗栗：小齐，你之前提到的钢琴买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多2000元呢！ 栗栗：这台钢琴现在正在打8折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少800元！ A．9000元 B．10000元 C．11000元 D．12000元 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意、找到等量关系是解题的关键． 设小齐买钢琴的预算是x元，则钢琴原售价为元，再根据等量关系“打8折比我的预算还要少800元”列方程求解即可． 【详解】解：设小齐买钢琴的预算是x元，则钢琴原售价为元， 由题意得：，解得：， 答：小齐买钢琴的预算是12000元． 故选：D． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有个，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了一元一次方程的实际应用．设杏有个，根据3人一组，每组5个杏，则多10个杏；4人一组，每组8个杏，则多2个杏，由人数相等列出方程，即可求解． 【详解】解：设杏有个，根据题意得：， 故选：B． 5．（2024七年级·安徽合肥·竞赛）如图，有一张面积为的长方形纸片，正面是白色，背面是灰色．现沿图1中虚线将纸片裁成甲、乙两个部分，并将甲纸片背面朝上黏贴到乙纸片上，上、下边与乙纸片重合，如图2所示，若图2中灰色部分与白色部分的面积之比为，则乙纸片的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例问题在解实际问题中的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程求出每一份的面积是关键．设每一份为x，则图②中白色的面积为，灰色部分的面积为，再建立方程，求出其解即可． 【详解】解：设每一份为x，则图②中白色的面积为，灰色部分的面积为， 由题意，得 ， 解得：， ∴乙纸片的面积为：． 故选A． 6．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍， 年后，爸爸年龄是小惠的3倍． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设x年后，爸爸年龄是小惠的3倍，分别表示出x年后两人的年龄，进而建立方程求解即可． 【详解】解：设x年后，爸爸年龄是小惠的3倍， 由题意得，， 解得， ∴6年后，爸爸年龄是小惠的3倍， 故答案为：6． 7．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，根据甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍列方程即可． 【详解】解：设调配到甲煤厂x吨，则调配到乙煤厂吨， 依题意，得， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）阅读下列材料： 将0.3转化为分数：设①，则②，由②①得：，即，所以由以上材料得到的启发，把化成分数为 ． 【答案】 【分析】本题借助无限循环小数化分数的知识点考查了一元一次方程的解法，关键是读懂题意，能仿照题中给出的思路求解． 仿照题中给出的例子进行运算即可求解． 【详解】解：设， 则①式两边同时乘以10，得到：， ②-①式得到：， 解得：， ∴ 故答案为：． 9．（23-24七年级上·河北·阶段练习）七年级（1）班要出有关“红心向党迎国庆”的黑板报，小鹏同学单独做需6小时完成，小天同学单独做需4小时完成．现由小鹏同学先干1小时后，再由小鹏、小天同学合作完成该黑板报，设小鹏、小天同学合作了小时． （1）根据题意可列方程为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据工作时间乘以工作效率等于工作量，以两人工作量之和等于单位量1为等量关系，列出方程即可； （2）根据（1）所列方程，求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得 故答案为：； （2）由（1）知： 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 10．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，已知数轴上有三点，，，，，点对应的数是20．动点，同时从点，出发向右运动，同时动点从点出发向左运动，已知点的速度是点的速度的3倍，点的速度是点速度的2倍，经过2秒，点，之间的距离与点，之间的距离相等，动点的速度为 个单位长度/秒． 【答案】60或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． 根据，，得出，利用点A对应的数是20，即可得出点C对应的数；假设点R速度为v个单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵点对应的数是20， ∴点对应的数是． 假设点的速度为个单位长度/秒，则点的速度是个单位长度/秒，点的速度是个单位长度/秒， ∴2秒后点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为：，，， 由当时，，得：． 有两种情况：， 解得：． 或， 解得：． ∴或． 则或． 故答案为：60或． 11．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）新华书店新进一种畅销书，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多20本，书店还剩140本这种书，新华书店新进这种肠销书多少本？ 【答案】新华书店新进这种畅销书600本 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设新华书店新进这种畅销书x本，由总数减去两次销售的数量等于140，再建立方程求解即可． 【详解】解：设新华书店新进这种畅销书x本． ， ， ， 答：新华书店新进这种畅销书600本． 12．（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）小王在某网店中选中，两款玩具，决定从该网店进货并销售两款玩具的进货价和销售价如下表： 价格 类别 款玩具 款玩具 销售价（元/个） 进货价（元/个） (1)第一次小王用元购进了，两款玩具共个，求两款玩具各购进多少个？ (2)小王第二次进货时，决定购进两款玩具共个，当他这两次购进的玩具全部售完后，获得的利润为元，则他第二次进货时，款玩具购进了多少个？ 【答案】(1)购进款玩具个，购进款玩具个 (2)他第二次进货时，款玩具购进了个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设购进款玩具个，则购进款玩具个，得到方程，解出，即可； （2）设第二次购进款玩具个，则购进款玩具个，先求出第一次玩具的利润，再根据两次的利润为，则方程为，解出，即可． 【详解】（1）解：设购进款玩具个，则购进款玩具个， ∴， 解得：， ∴购进款玩具（个）． 答：购进款玩具个，购进款玩具个． （2）解：设第二次购进款玩具个，则购进款玩具个， 第一次购进的利润为（元）， 第二次购进的利润为（元）， ∵两次利润共元， ∴， 解得：． 答：他第二次进货时，款玩具购进了个． 13．（24-25七年级上·陕西西安·期末）运用一元一次方程解答：旬邑苹果是旬邑县的特产，以其个大形正、色泽鲜艳、香甜可口而闻名．佳乐水果超市第一次用2850元购进瑞雪、秦脆这两种箱装苹果，其中瑞雪的箱数是秦脆箱数的2倍，这两种苹果的进价和售价如下表所示： 瑞雪 秦脆 进价（元/箱） 70 50 售价（元/箱） 90 60 (1)分别求出该超市第一次购进这两种苹果的箱数； (2)该超市第一次购进的这两种苹果售完后，第二次又以第一次的进价购进这两种苹果，其中瑞雪的箱数是第一次的2倍，秦脆箱数不变．瑞雪按第一次的售价打折销售，秦脆按第一次的售价销售，当第二次两种苹果都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多，第二次瑞雪是按第一次的售价打几折销售的？ 【答案】(1)该超市第一次购进瑞雪30箱，秦脆15箱 (2)9折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设第一次购进秦脆箱，则购进瑞雪箱，根据题意列出方程即可求解； （2）先求出第一次购进苹果售完以后获得的总利润，设第二次瑞雪是按第一次的售价打折销售的，根据“第二次两种苹果都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多”，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进秦脆箱，则购进瑞雪箱， 由题意得，， 解得：， 则， 答：该超市第一次购进瑞雪30箱，秦脆15箱． （2）解：第一次购进苹果售完以后获得的总利润：（元）， 设第二次瑞雪是按第一次的售价打折销售的， 由题意得，， 解得：， 答：第二次瑞雪是按第一次的售价打9折销售的． 14．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）方程是一类常见的重要的数学模型，无论方程的类型如何变化，方程模型本质上表示的都是一种相等关系，即方程两边的式子表达的是同一个量从不同角度的刻画． 【问题呈现】 李明和刘伟分别从、两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发后两人相遇，相遇时李明比刘伟多行驶，相遇后李明到达地．求两人每小时分别行驶多少千米？ 分析：可以用示意图来分析本题中的数量关系， 结合图形分析题意可得相等关系有： ①刘伟行驶的路程李明行驶的路程． ②李明行驶的路程比刘伟行驶的路程多． 【解决问题】 (1)由②可知，李明与刘伟的速度关系是：李明的速度刘伟的速度； 可设刘伟的速度是，则李明的速度是， 用两种方式表示出“刘伟行驶的路程”，根据①列方程为：______． (2)类比（1）的分析，由①可知李明与刘伟的速度关系是：______； 请你尝试根据②列方程解决问题． 【答案】(1) (2)李明的速度刘伟的速度；李明的速度为，李明的速度是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）用两种方式表示出“刘伟行驶的路程”，列出方程即可求解； （2）由①可知李明与刘伟的速度关系是：李明的速度刘伟的速度，根据李明行驶的路程比刘伟行驶的路程多，列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据①列方程为： 故答案为：． （2）解：由①可知李明与刘伟的速度关系是：李明的速度刘伟的速度； 可设刘伟的速度是，则李明的速度是 根据②李明行驶的路程比刘伟行驶的路程多，列方程为： 解得：， 答：李明的速度为，李明的速度是 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）校园进行改造，决定将一块长方形场地设计成学生农场，为15米，为17米．根据农作物的种植需要，场地中设计一条垂直于且宽度为米的道路（此时），场地右侧再设计一条垂直于且宽度为2米的道路，将场地分割出可用于农场实践的甲，乙，丙三个长方形区域． (1)用关于的代数式表示甲区域的边的长． (2)用关于的代数式表示用于农场实践的三个区域的总面积． (3)设乙区域的边的长度为米，要求满足以下所有条件： ①用于农场实践总面积为整个场地的． ②甲、乙区域的面积之和恰好是丙区域的3倍． 请直接写出符合条件的，的值． 【答案】(1)（米） (2)平方米 (3)；． 【分析】本题主要考查了列代数式以及一元一次方程的应用，能根据题意用含有a，b的式子分别表示出图中三个区域的面积是解题的关键． （1）根据题意用含的代数式表示出的长即可． （2）根据题意用含的代数式表示出三个区域的总面积即可． （3）根据题意建立关于a，b的的等式，据此进行求解即可． 【详解】（1）解：由题知， 米，米，且， （米）； （2）解：由题知，三个区域的总面积可表示为： 平方米； （3）由题知， 解得， ， ． 由甲，乙区域的面积之和恰好是丙区域的3倍得， 解得， 的值为，的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$