2025年中考数学三轮热点专题复习不等式与不等式组的应用

2025年中考数学三轮热点专题复习不等式与不等式组的应用 1．国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元． (1)求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？ 2．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 3．垫江柚子以其卓越的品质，成为了我国柚类栽培中的优良品种，至今已有170余年的栽种历史．垫江柚子有白柚和红柚两种，已知5千克白柚和8千克红柚的售价相同，若购买30千克白柚和25千克红柚，共需365元． (1)求每千克白柚和红柚的售价？ (2)某公司准备购买垫江柚子发放给员工，计划购买白柚的数量比红柚的3倍还多10千克（白柚、红柚的数量都为正整数），白柚的数量不少于300千克．购买总金额不超过2980元，请你帮该公司设计有几种购买方案，并说明哪种方案最省钱． 4．2025年泌阳花菇国际产业创新大会在泌阳县文化艺术中心大剧院举行，真正把泌阳花菇产业带到了一个新高度，也让泌阳全体人民看到了花菇产业发展的新希望．同时也大大拓宽了花菇的销售渠道，真正实现了花菇畅销，人民增收．下面是某网店购进了甲、乙两种花菇进行网络直播销售，信息如下： ①用800元购进甲种花菇的袋数与用400元购进乙种花菇袋数相同； ②甲种花菇每袋进价比乙种花菇每袋进价多40元； (1)求甲、乙两种花菇每袋的进价. (2)在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种花菇共600袋，且甲种花菇的数量不低于乙种花菇数量的2倍，现将甲、乙两种花菇分别以100元/袋，80元/袋的价格进行销售，若购进的这批全部售完，当购进甲种花菇多少袋时，该店所获总利润最大？请求出最大总利润． 5．某中学开展“数学文化节”活动，八年（1）班负责准备活动奖品，计划购买定制的数学主题笔记本和徽章．已知购买6本笔记本和2个徽章需花费78元，购买11本笔记本和10个徽章需花费238元． (1)求每本笔记本和每个徽章的价格； (2)该班级计划购买笔记本和徽章共60件作为奖品，总费用不超过600元，那么该班级最多可以购买多少个徽章？ 6．某经销商从市场得知如下信息： 类别 A品牌计算器 B品牌计算器 进价（元／台） 200 100 售价（元／台） 300 160 他计划用1.5万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进A品牌计算器台，这两种品牌计算器全部销售完后获得的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若要求全部销售完后获得的利润不少于7900元，该经销商有哪几种进货方案？ (3)选择哪种进货方案，该经销商获利最大？最大利润是多少元？ 7．我省的冰雪旅游已进入爆发式增长，某旅游商品经销店欲购进A，B两种冰雪纪念品，若用380元可以购进A 种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件， B种纪念品6件． (1)求A，B两种纪念品的进价分别为多少元； (2)若该经销店每件A 种纪念品售价25元，每件B种纪念品售价39元，该经销店准备购进A，B两种纪念品共40件， 且这两种纪念品全部售出后总获利不低于300元，该经销店最多可购进A 种纪念品多少件． 8．某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈周边设置了、两个智能停车场．停车场有100个普通车位和60个充电桩车位，B停车场有80个普通车位和50个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，且A停车场的车位建设总成本比停车场多15万元． (1)求每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？ (2)为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈周边再新建一个总车位数为120个的智能停车场，为确保该停车场的建设成本不超过停车场的建设成本的，问新建停车场最多配备多少个充电桩车位？ 9．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 10．某大型商场推出分时段促销：礼盒A每盒480元，礼盒B每盒280元，礼盒C每盒180元．其中—为特惠时段，所有商品降价100元． (1)小红在特惠时段购买礼盒A与礼盒B共7盒，总花费为1860元，礼盒A和礼盒B各买了多少盒？ (2)若计划在非特惠时段内购买礼盒A与礼盒C共10盒，且预算不超过2100元，礼盒C最少购买多少盒？ (3)小明在特惠时段购买礼盒B与礼盒C若干盒，共花费1620元，有哪些购买方案？ 11．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且购买4台A型充电桩费用与购买3台B型充电桩的费用相等． (1)A、B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买A、B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的，共有哪几种购买方案？ 12．围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．我市某学校为丰富学生课余生活，计划到超市购买一批象棋和围棋．已知购买3副象棋和2副围棋共需140元，购买1副象棋和4副围棋共需130元． (1)求每副象棋和围棋的单价； (2)若学校准备购买象棋和围棋共100副，总费用不超过2700元，那么最多能购买多少副象棋？ 13．为鼓励购买和使用新能源汽车，某停车场加快公共区域充电基础设施建设，计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买个、型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，则共有几种购买方案？哪种购买方案所需总费用最少？ (3)在“2024年元旦”促销活动中，每购买一个型充电桩厂家对顾客让利万元，在（2）的条件下，直接写出当为何值时，满足条件的上述购买方案所需费用均相同． 14．在一次科技创新大赛中，评委从创新性（）、技术难度（）、展示效果（）三个方面为项目打分，各项得分按百分制计分（得数为整数）后计算综合成绩．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示： 选手 创新性 技术难度 展示效果 90 80 85 85 90 (1)计算选手的综合成绩； (2)若选手要在综合成绩上超过选手，则展示效果成绩至少多少分？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)每件“哪吒”纪念品的进价是30元，每件“敖丙”纪念品的进价是20元 (2)最多购进“哪吒”纪念品70件 【分析】（1）设每件“哪吒”纪念品的进价是x元，每件“敖丙”纪念品的进价是y元，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进“哪吒”纪念品m件，则“敖丙”纪念品件，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过3100元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设每件“哪吒”纪念品的进价是x元，每件“敖丙”纪念品的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件“哪吒”纪念品的进价是30元，每件“敖丙”纪念品的进价是20元； （2）解；设购进“哪吒”纪念品m件，则“敖丙”纪念品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为70． 答：最多购进“哪吒”纪念品70件． 2．(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 (2)至少需要134张正方形硬纸片 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 3．(1)每千克白柚和红柚的售价分别为元、元； (2)共有四种购买方案，购买红柚千克，白柚千克，最省钱 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组解答． （1）设每千克白柚和红柚的售价分别为x元、y元，5千克白柚和8千克红柚的售价相同，若购买30千克白柚和25千克红柚，共需365元．据此列方程组并解方程组即可得到答案； （2）设购买红柚的数量为a千克，则购买白柚的数量为千克，购买白柚的数量比红柚的3倍还多10千克（白柚、红柚的数量都为正整数），白柚的数量不少于300千克．据此列出不等式组，解不等式组，即可求出方案和最省钱方案． 【详解】（1）解：设每千克白柚和红柚的售价分别为x元、y元， ， 解得，， 答：每千克白柚和红柚的售价分别为元、元； （2）解：设购买红柚的数量为a千克，则购买白柚的数量为千克， 根据题意可得， 解得，， ∵白柚、红柚的数量都为正整数， ∴或或或， 当时，（元）， 当时，（元）， 当时，（元）， 当时，（元）， 共有四种购买方案，购买红柚千克，白柚千克，最省钱 答：共有四种购买方案，购买红柚千克，白柚千克，最省钱． 4．(1)甲、乙两种花菇每袋的进价分别是80元和40元 (2)当购进甲种花菇400袋时，该店所获总利润最大，最大总利润为16000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数性质的应用，正确列式并准确解答时解题的关键． （1）设甲种花菇每袋进价是x元，则乙种香菇每袋进价是元，根据用800元购进甲种花菇的袋数与用400元购进乙种花菇袋数相同，建立分式方程求解即可； （2）设该店购进m袋甲种花菇，则购进袋乙种花菇，根据甲种花菇的数量不低于乙种花菇数量的2倍，建立一元一次不等式，求出的范围，设该店购进的这批花菇全部售完后获得的总利润为w元，再求出，根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设甲种花菇每袋进价是x元，则乙种香菇每袋进价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意.（元）． 答：甲、乙两种花菇每袋的进价分别是80元和40元； （2）解：设该店购进m袋甲种花菇，则购进袋乙种花菇， 根据题意，得 解得； 设该店购进的这批花菇全部售完后获得的总利润为w元， 则. ∵， ∴w随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为（元）. 答：当购进甲种花菇400袋时，该店所获总利润最大，最大总利润为16000元． 5．(1)每本笔记本8元，每个徽章15元 (2)该班级最多可以购买17个徽章 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设每本笔记本元，每个徽章元，根据购买6本笔记本和2个徽章需花费78元，购买11本笔记本和10个徽章需花费238元列出方程组求解即可； （2）设该班级可以购买a个徽章，则购买笔记本本，根据总费用不超过600元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每本笔记本元，每个徽章元， 根据题意得， 解得：， 答：每本笔记本8元，每个徽章15元． （2）解：设该班级可以购买a个徽章，则购买笔记本本， 根据题意得， 解得：， 取整数， 的最大值为17 答：该班级最多可以购买17个徽章． 6．(1) (2)经销商有以下三种进货方案：方案一、A品牌购进48台，B品牌购进52台；方案二、A品牌购进49台，B品牌购进51台；方案三、A品牌和B品牌各购进50台 (3)选择“A品牌和B品牌各购进50台”的方案，该经销商获利最大，最大利润是8000元 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润 y与购进空调x的函数关系式是解题的关键，在解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． （1）根据利润（售价进价）乘品牌计算器的数量（售价进价）乘品牌计算器的数量，即可列出关系式，再根据总资金万元得出的取值范围即可； （2）全部销售后利润不少于元，得到一元一次不等式，求出满足题意的的正整数值即可； （3）利用与的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可． 【详解】（1）解：， 其中，得， 即的取值范围是， 则与之间的函数关系式为； （2）解：令， 解得，， 又， ， 经销商有以下三种进货方案： 方案一、A品牌购进48台，B品牌购进52台； 方案二、A品牌购进49台，B品牌购进51台； 方案三、A品牌和B品牌各购进50台． （3）解：∵对于，随的增大而增大， ∴当时，取最大值，且最大值为（元）． ∴选择“A品牌和B品牌各购进50台”的方案，该经销商获利最大，最大利润是8000元． 7．(1)A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元 (2)15件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，熟练掌握解 ，解不等式是解题的关键． （1）设A、B两种纪念品的进价分别为x元、y元，由题意得  解方程组即可． （2）设该经销店购进A种纪念品a件， 则购进B种纪念品件，由题意，得，解答即可． 【详解】（1）解：设A、B两种纪念品的进价分别为x元、y元． 由题意得  ， 解得 答：A、B两种纪念品的进价分别为20 元、30元． （2）解；设该经销店购进A种纪念品a件， 则购进B种纪念品件， 由题意，得， 解得， 答：该经销店最多可购进A种纪念品15件． 8．(1)每个普通车位的建设成本是万元，每个充电桩车位的建设成本是万元 (2)新建停车场最多可配备个充电桩车位 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程组和不等式求解即可． （1）设每个普通车位的建设成本为万元，则充电桩车位为万元，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设新建停车场配备个充电桩车位，根据“总成本不超过万元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个普通车位的建设成本为万元，则充电桩车位为万元， 根据题意列方程：， 解得， 故充电桩车位成本为万元， 答：每个普通车位的建设成本是万元，每个充电桩车位的建设成本是万元． （2）解：设新建停车场配备个充电桩车位， 列不等式： 解得 ， 答：新建停车场最多可配备个充电桩车位． 9．(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； (2)该公司最少需花费元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 10．(1)礼盒A买了3盒，礼盒B买了4盒． (2)礼盒C最少购买9盒 (3)共有两种购买方案：①礼盒B买了1盒，礼盒C买了18盒；②礼盒B买了5盒，礼盒C买了9盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及二元一次方程的应用， （1）设礼盒A买了x盒，礼盒B买了y盒．根据“小红在特惠时段购买礼盒A与礼盒B共7盒，总花费为1860元”列出方程组，求解即可； （2）设礼盒C买了a盒，则礼盒A买了盒．根据“预算不超过2100元”列出不等式，求解即可； （3）设礼盒B买了m盒，礼盒C买了n盒．根据“共花费1620元”列出二元一次方程，求出其整数解即可． 【详解】（1）解：设礼盒A买了x盒，礼盒B买了y盒．根据题意，得， 解得， 答：礼盒A买了3盒，礼盒B买了4盒． （2）解：设礼盒C买了a盒，则礼盒A买了盒．根据题意，得 ， 解得， 答：礼盒C最少购买9盒． （3）解：设礼盒B买了m盒，礼盒C买了n盒．根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n均为正整数， ∴或． ∴共有两种购买方案： ①礼盒B买了1盒，礼盒C买了18盒； ②礼盒B买了5盒，礼盒C买了9盒． 11．(1)型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元 (2)该停车场有3种购买方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元，根据购买4台A型充电桩费用与购买3台B型充电桩的费用相等．列出一元一次方程，求解即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过26万元且且型充电桩的购买数量不少于型充电桩购买数量的，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 解得，则． 答：型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元； （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 根据题意，得：， 解得：． ∵为整数， ， ∴该停车场有3种购买方案． 12．(1)每副象棋的单价是30元，每副围棋的单价是25元； (2)最多能购买40副象棋． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式是解答的关键． （1）设每副象棋的单价是元，每副围棋的单价是元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买副象棋，则购买副围棋，根据题意列出不等式，然后解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每副象棋的单价是元，每副围棋的单价是元，根据题意得， ， 解得， 经检验，符合题意 答：每副象棋的单价是30元，每副围棋的单价是25元； （2）解：设购买副象棋，则购买副围棋， 根据题意得：， 解得：． 最大整数解为40， 答：最多能购买40副象棋． 13．(1)种型号充电桩的单价为万元，种型号充电桩的单价为万元 (2)共有 种方案，费用最少的是购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用 万元 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，整式的乘法无关类型的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键； （1）设种型号充电桩的单价为万元，则种型号充电桩的单价为万元 根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解； （3）根据题意，购买方案与无关，即可得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号充电桩的单价为万元，则种型号充电桩的单价为万元 根据题意得， 解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴种型号充电桩的单价为万元 答：种型号充电桩的单价为万元，种型号充电桩的单价为万元； （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据题意得， 解得： ∵为正整数，则 对应方案：购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用：万元 购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用： 万元 购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用： 万元 共有 种方案，费用最少的是购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用 万元； （3）解：依题意， ∵购买方案所需费用均相同 ∴ 解得： 14．(1)选手的综合成绩86分 (2)选手展示效果成绩至少83分 【分析】本题考查求加权平均数，一元一次不等式的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据加权平均数的计算公式进行计算即可； （2）根据加权平均数的计算公式，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：选手的综合成绩：（分） 选手的综合成绩86分． （2）由， 解得：． 得分为整数， ， 若选手要在综合成绩上超过选手，则选手展示效果成绩至少83分． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$