河南省2025-2026学年高一下学期数学期末考前自测卷

**基本信息** 2025-2026学年河南省高一下学期数学期末自测卷，以神舟发射、五项管理等时代情境为载体，融合复数、立体几何、统计等核心知识，通过问题链设计培养数学眼光、思维与语言，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数运算、立体几何中点线面关系、斜二测画法、分层抽样|第4题以社区驾驶员调查考分层抽样，体现数据意识| |多选题|3题|频率分布直方图、向量运算、直三棱柱性质|第9题结合企业考核频率分布直方图，考查统计推断| |填空题|3题|向量模长、圆台体积、三棱锥外接球截面|第14题以外接球截面考空间几何，培养空间观念| |解答题|5题|四棱锥证明与线面角、解三角形、统计与概率|第19题以神舟发射关联天文知识比赛，考频率分布直方图与概率，体现应用意识；15题通过四棱锥证明与线面角计算，发展推理能力|

2025-2026学年河南省高一下学期数学期末考前自测卷 一、单选题 1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B．2 C． D．10 【答案】C 【分析】首先根据复数的四则运算求出复数的代数形式，进而求解. 【详解】因为，所以， 整理得，则， 所以. 2．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解. 【详解】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 3．如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法画出原四边形ABCD求解即可. 【详解】如图1，根据斜二测画法的性质可得，作，垂足为， 作，垂足为，则和是两个全等的等腰直角三角形， 从而，故． 画出原四边形，如图2，则，且， 故． 故选：C. 4．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区的驾驶员做分层抽样调查．假设这四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则N为（    ） A．101 B．808 C．909 D．1010 【答案】B 【分析】利用分层抽样的运算方法，列出方程，即可求解. 【详解】由分层抽样的运算方法知，，即，所以. 故选：B 5．已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理表示出，进行数量积运算即可. 【详解】在中，取为基底，则. 因为点、分别为的中点， ， ， 故选：A 6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 7．在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作交于，连接，可证得，得是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得，从而得与所成的角. 【详解】 作交于，如图，连接，则， 又，所以，所以， 所以是与所成的角或其补角， 由，， 所以，，，所以， 在中，， 所以与所成角的余弦值为. 8．的内角的对边分别为，已知，且，边上的中线相交于点P，且，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理边化角可求角，再利用余弦定理可求得，最后利用面积关系来计算四边形面积即可. 【详解】由，结合正弦定理边化角得：， 因为，所以上式化为，再由内角和为可化为， 利用三角恒等变形得：，因为，所以， 即上式变形为，又因为，所以， 再由余弦定理得： 即，解得， 可得或，因为，所以， 则的面积为， 因为边上的中线相交于点P，所以点P是的重心， 即，， 由，所以， 即四边形的面积为， 故选：D. 二、多选题 9．某企业是一所大学的社会实践基地，实践结束后学校对学生进行考核评分，其得分的频率分布直方图如图所示，该学校规定，把成绩位于后的学生划定为不及格，把成绩位于前的学生划定为优秀，则下列结论正确的是（    ） A．本次测试及格分数线的估计值为60分 B．本次测试优秀分数线的估计值为75分 C．本次测试分数中位数的估计值为70分 D．本次测试分数的平均数小于中位数 【答案】CD 【分析】根据百分位数的定义可判断AB，根据中位数的定义可判断，根据频率分布直方图左拖尾可判断D． 【详解】A．由频率分布直方图可知，分数小于60分的概率为，分数小于50分的概率为， 所以分数的分位数在区间内，故A错误； B．由频率分布直方图可知，分数大于80分的概率为0.2，分数大于70分的概率为0.5， 所以优秀分数线的估计值在区间内，设其为， 则， 解得，故B错误； C．因为分数大于70分的概率为0.5，所以本次测试分数中位数的估计值为70分，故C正确； D．因为频率分布直方图左拖尾，所以平均数小于中位数，故D正确． 故选：CD． 10．已知向量，，则（   ） A． B．与向量平行的一个单位向量为 C．若与所成角为锐角，则 D．在上的投影向量是 【答案】ABD 【分析】对A ，先计算与的坐标，再分别求模长，通过模长相等验证结论；对B，先求的模长，再根据单位向量公式计算与平行的单位向量，验证选项给出的向量是否符合；对C，先写出与的坐标，利用向量夹角为锐角的充要条件，列不等式求解的取值范围，验证选项结论；对D，根据投影向量公式，代入数量积与模长计算，验证投影向量是否为. 【详解】对于A：，； ，， 故，A正确； 对于B：， 与平行的单位向量为或， 选项给出的是其中一个，B正确； 对于C：，，因为两向量夹角为锐角， 所以，由得，得； 由，得，解得，所以，C错误； 对于D：在上的投影向量为， 因为，， 因此投影向量为，D正确. 11．如图，在直三棱柱中，，则（    ） A．平面平面 B．的长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．直三棱柱的外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】对于A，由平面平面，推出矛盾即可判断，对于B，由直角三角形，勾股定理即可判断，对于C，由异面直线夹角的定义即可判断，对于D，结合直棱柱结构特点，求得外接球半径即可. 【详解】 对于选项A，若平面平面，过点作交于点， 由面面垂直的性质定理已知：，又因为直三棱柱， 平面，在平面内，得到， 为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面，所以，这显然不成立，故选项A错误； 在中，由余弦定理得. 在直三棱柱中，平面，在平面内，从而，所以，选项B正确； 因为，所以(或其补角)即为直线与直线所成角， 如图，连接，易知，则为等腰三角形，因为，所以，选项C正确； 设的外接圆的半径为，三棱柱的外接球的半径为， 易知则， 所以直三棱柱的外接球的表面积为，选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则_____. 【答案】 【分析】利用即可求解. 【详解】平面向量，满足，，且与的夹角为， 则 13．圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为________. 【答案】 【分析】首先求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆台上、下底面的圆心分别为，轴截面为梯形，如图，   ，过作的垂线，垂足为，则， 由勾股定理知，即圆台的高为3， 所以圆台的体积为， 故答案为：. 14．已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 【答案】 【分析】取线段的中点，根据长度关系求出点为三棱锥的外接球球心，再根据的关系求出的最小值即可. 【详解】取线段的中点，连接， 因，，， 则由勾股定理可知，，，则， 则点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为 因，则由勾股定理可知，， 因为的中点，则， 设球心到过点的三棱锥外接球的截面的距离为，截面圆的半径为， 则， 欲使截面面积最小，即最小，则要求最大， 当垂直截面时，最大，最大值为， 则的最小值为，则截面面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题 15．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面,为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，由三角形中位线定理推得，由线线平行即可证明线面平行； (2)由平面即得为直线与平面所成的角，借助于直角三角形即可求得. 【详解】（1） 如图，连接，交于点，连接， 因四边形是正方形，故，又为的中点， 故，因平面，平面，故平面. （2）因平面，则为直线与平面所成的角， 也即直线与平面所成的角，在中，因，故. 即直线与平面所成的角为. 16．记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. (1)求； (2)若点在线段上，且满足，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用正弦定理，再由三角恒等变形得，结合角的范围即可求解； （2）先应用数量积运算律及定义化简，再结合三角形面积公式及余弦定理计算求值. 【详解】（1）根据题意， 则由正弦定理得，， 因为，所以， 所以， ，则， ，； （2）令，，则. 又，则四边形为菱形，为的角平分线. ， ， ，即， 由余弦定理可得：， 即，所以， 所以. 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. (1)证明：； (2)求点到平面BDE的距离； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定以及等腰三角形的性质，可得线线垂直，再根据线面垂直的判定，可得答案. （2）利用等体积法，根据三棱锥的体积计算，结合线面垂直的性质与判定，可得答案. 【详解】（1）证明：因为底面底面ABCD，所以， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为，所以平面PCD， 因为平面PCD，所以. 在中，是PC的中点，则， 因为，所以平面PBC， 因为平面PBC，所以， 因为， 所以平面DEF，因为平面DEF， 所以. （2）连接AC交BD于点，如图所示： 则，又底面平面ABCD，得， 而，则平面PDB， 所以点到平面PDB的距离为， 因为是PC的中点，所以， ， 所以，所以， 因为，四边形ABCD为正方形， 所以， 因为，所以，则， 设点到平面BDE的距离为，则，所以，解得. 18．2021年8月，国务院教育督导委员会办公室 印发《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》，通知指出，加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理（简称“五项管理”），是深入推进学生健康成长的重要举措．宿州市要对全市中小学生“体能达标”情况进行摸底，采用普查与抽样相结合的方式进行．现从某样本校中随机抽取20名学生参加体能测试，将这20名学生随机分为甲、乙两组，其中甲、乙两组学生人数之比为3：2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组学生的平均成绩为75分，方差为16；乙组学生的平均成绩为80分，方差为25． (1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩； (2)求这20名学生测试成绩的标准差．（结果保留整数） 【答案】(1)77 (2) 【分析】（1）由已知可得甲、乙两组学生的人数分别为12、8，求得总分进而可得平均成绩. （2）方法一：由变形得，设甲组学生的测试成绩分别为，，，乙组学生的测试成绩分别为，，．根据方差公式计算可得，．计算求得20人的方差，进而得出标准差.方法二：直接使用权重公式计算即可得出结果. 【详解】（1）由题知，甲、乙两组学生的人数分别为12、8，则这20名学生测试成绩的平均数，故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为77． （2）方法一：由变形得，设甲组学生的测试成绩分别为，，，乙组学生的测试成绩分别为，，． 由甲组学生的测试成绩的方差，得 ． 由乙组学生的测试成绩的方差，得． 故这20名学生的测试成绩的方差 所以． （方法二）直接使用权重公式 所以. 19．2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】(1) 平均年龄为岁，众数为岁； (2) . 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用组中值乘以对应频率之和估算平均数，最高矩形底边的中点即为众数； （2）根据分层抽样比例计算第四、五组抽取的人数，确定样本空间，利用古典概型概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 第五组：. 则平均年龄约为：（岁）. 众数的估计值为最高矩形底边的中点，即（岁）. 故估计这人的平均年龄为岁，众数为岁. （2）第四组的人数为人，第五组的人数为人. 因为采用分层随机抽样抽取人，抽样比为. 所以第四组应抽取人，第五组应抽取人. 第四组和第五组共抽取人. 由题意知，甲在第四组被抽取的人中，乙在第五组被抽取的人中. 记第四组除甲外的人为，第五组除乙外的人为. 则这人构成的集合为甲，，乙，. 从中随机抽取名作为组长， 结果有：甲，，甲，，甲，，甲，乙，甲，，，， ，乙，，，，乙，，，乙，，乙，共15种. 设事件为“甲、乙两人至少有一人被选上”，则其对立事件为“甲、乙两人都没有被选上”. 事件包含的结果是从这人中抽取人，结果有：，，， ，，共6种，则. 故，即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高一下学期数学期末考前自测卷 一、单选题 1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B．2 C． D．10 2．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（ ） A．6 B． C． D． 4．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区的驾驶员做分层抽样调查．假设这四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则N为（    ） A．101 B．808 C．909 D．1010 5．已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（    ） A．1 B． C． D． 6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．的内角的对边分别为，已知，且，边上的中线相交于点P，且，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题 9．某企业是一所大学的社会实践基地，实践结束后学校对学生进行考核评分，其得分的频率分布直方图如图所示，该学校规定，把成绩位于后的学生划定为不及格，把成绩位于前的学生划定为优秀，则下列结论正确的是（    ） A．本次测试及格分数线的估计值为60分 B．本次测试优秀分数线的估计值为75分 C．本次测试分数中位数的估计值为70分 D．本次测试分数的平均数小于中位数 10．已知向量，，则（   ） A． B．与向量平行的一个单位向量为 C．若与所成角为锐角，则 D．在上的投影向量是 11．如图，在直三棱柱中，，则（    ） A．平面平面 B．的长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．直三棱柱的外接球的表面积为 三、填空题 12．已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则_____. 13．圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为________. 14．已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 四、解答题 15．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面,为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角. 16．记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. (1)求； (2)若点在线段上，且满足，求的面积. 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. (1)证明：； (2)求点到平面BDE的距离； 18．2021年8月，国务院教育督导委员会办公室 印发《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》，通知指出，加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理（简称“五项管理”），是深入推进学生健康成长的重要举措．宿州市要对全市中小学生“体能达标”情况进行摸底，采用普查与抽样相结合的方式进行．现从某样本校中随机抽取20名学生参加体能测试，将这20名学生随机分为甲、乙两组，其中甲、乙两组学生人数之比为3：2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组学生的平均成绩为75分，方差为16；乙组学生的平均成绩为80分，方差为25． (1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩； (2)求这20名学生测试成绩的标准差．（结果保留整数） 19．2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $