精品解析：安徽省淮北市五校联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷共8大题，23小题，满分为150分．考试时间为120分钟． 2本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共4页． 3．请务必在“答题卷”上答题．在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结来后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式一定属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，逐一分析各选项被开方数的取值范围，判断是否恒成立。 【详解】解： A、的被开方数为，此式必为二次根式； B、当时成立，但若（如），则被开方数为负数，根式无意义，因此不满足“一定属于”； C、被开方数为，显然为负数，在实数范围内无意义，直接排除； D、被开方数为，当（即）时成立，但若（如），则，根式无意义，因此不满足“一定属于”； 故选：A 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用二次根式的加法，乘除法运算法则进行判断即可． 【详解】A、与不是同类二次根式，无法合并，故A错误，不符合题意； B、整数与二次根式无法直接合并，故B错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意 故选：D． 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．本题计算出，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， 关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：C． 4. 电影《哪吒》中哪吒说“我命由我不由天！”他不屈不挠，勇敢抗争，逆天改命．在学习和生活中，我们都会遇到各种困难和挑战，我们要用行动去改变自己的“命运”，书写属于自己的精彩人生！哪吒脚踏风火轮在空中飞行，从地面起飞，先向正东飞行，再向正北飞行，最后直线返回起点．问哪吒最后返回时的直线距离是（ ）． A. 5 B. 12 C. 13 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，以及方位角．哪吒飞行路线正好构成直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：根据题意，这哪吒飞行路线可以构成一个直角三角形， 此时两直角边的长分别是和， ， 故哪吒最后返回时的直线距离是． 故选：C． 5. 如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． 6. 如图，正五边形的顶点B、D分别在一把直尺的两边上（直尺为长方形），若，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，正多边形的内角，三角形的内角和定理，根据平行线的性质求出的度数，根据正多边形的内角和公式以及每一个内角都相等，求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵直尺的对边平行， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴； 故选B． 7. 如图是埃舍尔镶嵌画，在正三角形、平行四边形、梯形、正五边形、正六边形、圆六种平面图形中，选择一种图形通过平移、旋转等方式实现不留空隙、不重叠的密铺的有（ ）种图形． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，正边形的内角和公式，平行四边形以及梯形等知识内容，理解题意，得出实现不留空隙、不重叠的密铺，与这些图形的内角或者内角和能不能被整除有关，圆是无法不留空隙，也是不满意题意的，据此即可作答． 【详解】解：依题意，正三角形即为等边三角形，每个内角为， 则，可以密铺，满足题意； 平行四边形：对边平行且相等，内角和为，可平移旋转拼接，满足题意； 梯形：一组长边平行，内角和为，可调整角度拼接，满足题意； 正五边形：每个内角为，无法被整除，不可以密铺，不满足题意； 正六边形：每个内角为， ，可以密铺，满足题意； 圆：无法不留空隙，不满足题意； 故选：B 8. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中6名同学的成绩（单位：分）分别为：9.6，9.，9.6，9.7，9.4，9.8．其中一个分数的小数部分被墨水污染，只知道被污染的数字为中的一个整数，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被污染的数字无关的是（　　） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查众数，中位数，平均数和方差，根据众数，中位数，平均数和方差的意义进行判断即可． 【详解】解：∵一个分数的小数部分被墨水污染，只知道被污染的数字为中的一个整数， ∴当被墨水污染的数字是4时，众数是9.4和9.6，故选项A不符合题意； ∵被污染的数字为中的一个整数， ∴中位数是9.6，与被污染的数字无关，故选项B符合题意； ∵被污染的数字为中的一个整数， ∴影响平均数和方差，故选项C，D不符合题意； 故选：B． 9. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A. 只有①② B. 只有①②④ C. 只有②③④ D. 只有②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 10. 如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据这两个条件得，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为：． 12. 已知、是方程的两根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键；由一元二次方程根的意义，得，即；由一元二次方程根与系数的关系，得，最后整体代入即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，即；； ∴ ． 13. 顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是___________（填序号）． 【答案】③⑥##⑥③ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定是解题的关键；根据平行四边形的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形知，①②组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，③④组合可判定四边形是平行四边形； 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，①③组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对角相等的四边形是平行四边形知，⑤⑥组合可判定四边形是平行四边形； 一组对边相等，一组对角相等的四边形不能判定为平行四边形，即③⑥组合不能得出四边形是平行四边形； 故答案为：③⑥． 14. 如图，已知正方形的边长为4，点为边上一点，，在的右侧，以为边作正方形． （Ⅰ）的面积为___________； （Ⅱ）若为的中点，则的长等于___________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先利用正方形的性质得出，从而可利用证明，再根据全等三角形的性质求出，，然后利用三角形面积求解即可； （Ⅱ）先借助中位线定理与线段的差求得，再利用勾股定理求得，然后利用中位线定理求得． 【详解】（Ⅰ）解：过点作，交延长线于点， 则． 四边形和四边形为正方形， ． ． ， ． ． ． 故答案为：8； （Ⅱ）延长到使，连接， ， 是的中位线． ． ， ． 在中， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出相关线段． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的性质，立方根及零指数幂的计算，正确进行计算是关键；利用二次根式的性质，计算零指数幂及立方根，最后进行加减即可． 【详解】解： ． 16. 用两种方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取一元二次方程的解法是解题的关键；分别利用配方法与公式法求解即可． 【详解】解：配方法：原方程变形为， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴，； 公式法：原方程可化为， 则，， ∴， ∴，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 图，图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要写出画法，保留作图痕迹． （1）在图中的边上找到一点，连接，使平分的面积． （2）在图中的边上找到一点，连接，使平分． 【答案】（1） 如图， （2） 如图， 【解析】 【分析】本题考查了无刻度作图，矩形的性质，正方形的性质，三角形中线的性质等知识，掌握矩形与正方形的性质是解题的关键． （1）找到格点E，连接即可； （2）找到格点D，连接即可． 【小问1详解】 解：如图，找到格点E，连接交于点D， 由于四边形是矩形，是其对角线， 则点D是的中点，从而是斜边上的中线， ∴平分的面积． 【小问2详解】 解：如图，找到格点D，连接， 由于四边形是正方形， ∴， ∴平分． 18. 钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？ 【答案】黑键36个，白键52个 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键；设黑键个，则白键个，根据等量关系：黑键数和白键数的乘积是1872，列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设黑键个，则白键个， 由题意得：， 整理得：， 解得或52； 由于黑键比白键少，故x取36． 所以黑键36个，白键52个． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为14.5尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，作适当辅助线得到直角三角形是解题的关键；过点作于点．设秋千绳索的长度为尺，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 设秋千绳索的长度为尺． 由题可知，尺，（尺），尺， ∴尺． 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 20. 某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________； （2）观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________； （3）应用运算规律：计算：的值． 【答案】（1） （2） （3）22 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，二次根式的加减运算，分母有理化等知识，得到规律是解题的关键． （1）根据前面3个等式的规律，可写出第4个等式； （2）根据规律即可得出第n个等式； （3）根据规律，利用二次根式的加减计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由前面规律得：； 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 六、（本题满分12分） 21. 2025年3月22日-28日是第三十八届“中国水周”，主题为“推动水利高质量发展，保障我国水安全”．为增强学生节约用水意识，某校举办了以“节水护水”为主题的活动．结合该主题活动，二中八年级数学课外活动小组随机抽取部分城镇居民家庭统计其3月份用水量，并将居民家庭的用水量（单位：）分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．再对收集到的数据进行统计、整理后，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图，扇形统计图中圆心角__________； （2）抽取的家庭用水量的中位数落在________组； （3）若平均用水量小于7，则体现城镇居民节水意识较强，节水率达到评选文明城镇的标准．若分别用4，6，8，10，12作为A，B，C，D，E这五组用水量的平均数，估计该城镇3月份用水量的节水率是否达到评选要求，并对城镇家庭提出一条节水建议． 【答案】（1）图见解析；54 （2） （3）不达标，建议见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，画条形统计图，求扇形统计图的圆心角，求中位数，求平均数等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先利用A组的数据求出总户数，再求出D组户数，补全条形图；利用D组所占比例求圆心角大小； （2）根据中位数的定义求解； （3）先求平均数，得出平均数未达评选要求，再建议用洗澡水冲厕所． 【小问1详解】 解：(户)， 组人数为：， 补全条形图如下： ． 【小问2详解】 由（1）知共有200户，由题知，A、B、C、D、E这5组的用户用水量是逐渐上升的， 又A组和B组的用户总数为；A组、B组和C组的用户总数为； 抽取的家庭用水量的中位数落在C组． 【小问3详解】 ()， ， 不达标． 建议：用洗澡水冲厕所(合理即可)． 七、（本题满分12分） 22. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 八、（本题满分14分） 23. 【发现】如图，将正方形的对角线绕点顺时针旋转后落在点位置，连接并延长交的延长线于点，平分交于点．求证：； 【探究】如图，在矩形中，，，将对角线绕点顺时针旋转后落在点位置，连接并延长交的延长线于点，平分交于点，连接，若，求的长； 【拓展】如图，在菱形中，，，以点为旋转中心，将边顺时针旋转一周与菱形的边交于点（不含与顶点的交点），请直接写出的长（不用说理）． 【答案】 [发现]证明：延长交于点，如图， 由旋转知， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形为正方形 ， ∴，， ∴， ∴ ， ∴； [探究] ； [拓展] 的长为或． 【解析】 【分析】[发现]延长交于点，由旋转性质可知，求得，根据四边形为正方形 ，得，，故有，则 ，最后由全等三角形的判定方法即可求证； [探究]延长交于点，由旋转性质可知，求得，根据四边形为正方形 ，得，，故有，则 ，证明，即，最后通过勾股定理和等面积法即可求解； [拓展]分当点在边上时，点在边上两种情况，由全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】[发现]略 [探究]解：延长交于点，如图， 由旋转知， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形为矩形 ， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； [拓展]解：当点在边上时，连接，过点作于点，如图， 由旋转知， ∴， ∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 点在边上，过点作于点，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由上， ∴， ∴为中点， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形、菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷共8大题，23小题，满分为150分．考试时间为120分钟． 2本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共4页． 3．请务必在“答题卷”上答题．在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结来后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式一定属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 电影《哪吒》中哪吒说“我命由我不由天！”他不屈不挠，勇敢抗争，逆天改命．在学习和生活中，我们都会遇到各种困难和挑战，我们要用行动去改变自己的“命运”，书写属于自己的精彩人生！哪吒脚踏风火轮在空中飞行，从地面起飞，先向正东飞行，再向正北飞行，最后直线返回起点．问哪吒最后返回时的直线距离是（ ）． A. 5 B. 12 C. 13 D. 17 5. 如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 6. 如图，正五边形的顶点B、D分别在一把直尺的两边上（直尺为长方形），若，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是埃舍尔镶嵌画，在正三角形、平行四边形、梯形、正五边形、正六边形、圆六种平面图形中，选择一种图形通过平移、旋转等方式实现不留空隙、不重叠的密铺的有（ ）种图形． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中6名同学的成绩（单位：分）分别为：9.6，9.，9.6，9.7，9.4，9.8．其中一个分数的小数部分被墨水污染，只知道被污染的数字为中的一个整数，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被污染的数字无关的是（　　） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 9. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A. 只有①② B. 只有①②④ C. 只有②③④ D. 只有②③ 10. 如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 12. 已知、是方程的两根，则的值为_________． 13. 顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是___________（填序号）． 14. 如图，已知正方形的边长为4，点为边上一点，，在的右侧，以为边作正方形． （Ⅰ）的面积为___________； （Ⅱ）若为的中点，则的长等于___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 用两种方法解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 图，图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要写出画法，保留作图痕迹． （1）在图中的边上找到一点，连接，使平分的面积． （2）在图中的边上找到一点，连接，使平分． 18. 钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 20. 某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________； （2）观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________； （3）应用运算规律：计算：的值． 六、（本题满分12分） 21. 2025年3月22日-28日是第三十八届“中国水周”，主题为“推动水利高质量发展，保障我国水安全”．为增强学生节约用水意识，某校举办了以“节水护水”为主题的活动．结合该主题活动，二中八年级数学课外活动小组随机抽取部分城镇居民家庭统计其3月份用水量，并将居民家庭的用水量（单位：）分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．再对收集到的数据进行统计、整理后，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图，扇形统计图中圆心角__________； （2）抽取的家庭用水量的中位数落在________组； （3）若平均用水量小于7，则体现城镇居民节水意识较强，节水率达到评选文明城镇的标准．若分别用4，6，8，10，12作为A，B，C，D，E这五组用水量的平均数，估计该城镇3月份用水量的节水率是否达到评选要求，并对城镇家庭提出一条节水建议． 七、（本题满分12分） 22. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 八、（本题满分14分） 23. 【发现】如图，将正方形的对角线绕点顺时针旋转后落在点位置，连接并延长交的延长线于点，平分交于点．求证：； 【探究】如图，在矩形中，，，将对角线绕点顺时针旋转后落在点位置，连接并延长交的延长线于点，平分交于点，连接，若，求的长； 【拓展】如图，在菱形中，，，以点为旋转中心，将边顺时针旋转一周与菱形的边交于点（不含与顶点的交点），请直接写出的长（不用说理）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $