精品解析：云南省红河州、文山州2024-2025学年高二下学期学业质量监测数学试题

红河州、文山州2025年高中学业质量监测 高二数学 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的运算规则运算即可. 【详解】因为，，所以. 故选：D. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行求出的值，再根据模的定义求解即可. 【详解】因为，所以，解得，所以， 故选：A. 4. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行. 故选：A. 5. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求得，再利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】因为点在上，所以，解得. 由抛物线的方程可知，准线方程为,焦点， 则点到准线的距离为, 由抛物线的定义得. 故选：B. 6. 已知的展开式的各二项式系数的和为64，则展开式中常数项为（ ） A. B. C. 60 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】由展开式的各二项式系数的和为，可得，解出，再利用二项式展开式的通项公式展开化简，即可得常数项. 【详解】因为的展开式的各二项式系数的和为，所以，即. 展开式的通项为. 令，解得，所以. 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，求出，根据二倍角公式及变形化简所求式子，即可求解. 【详解】因为，即，所以， 所以. 故选：A. 8. 已知定义在上的函数满足：为偶函数，，且，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称中心及对称轴的定义得出周期，进而单调性结合对称性即可比较. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 因为，所以的图象关于对称， 所以的周期为. 又因为，都有， 所以在上单调递增，所以在上单调递减. 而，，所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市一周的空气质量指数为：58，53，66，40，14，16，40，则下列对这组数据的叙述，正确的是（ ） A. 众数是40 B. 极差是52 C. 第30百分位数是16 D. 平均数是41 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数、极差、百分位数、平均数定义逐项分析计算即可判断求解. 【详解】把样本数据按从小到大排序，可得：，，，，，， 对于A，众数是，故A正确； 对于B，极差是，故B正确； 对于C，因为，所以第百分位数是，故C错误； 对于D，平均数是，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知为函数的一个零点，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 方程有3个不同的实数解 D. ，使得成立 【答案】AC 【解析】 【分析】由为函数的一个零点，可判断A；通过分析函数的单调性，可知是函数的极大值点，从而判断B；把方程转化为曲线与直线的交点个数，可判断C；通过数形结合，分析与图象的变化关系，即可判断D. 【详解】对于A，因为为函数的一个零点， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在和上单调递增，故是函数的极大值点，故B错误； 对于C，如图所示，曲线与直线有个不同的交点，所以方程有个不同的实数解，故C正确； 对于D，如图，当时，， ，， 所以当时，，故D错误. 故选:AC. 11. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为的中点，为上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点，使得 C. 的最大值为6 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由离心率计算公式即可判断，对于B，求出椭圆上的点对两焦点张角的最大值，即可判断，对于C，由两点间距离公式结合二次函数即可判断，对于D，，再结合C即可判断. 【详解】 对于A，由题知，，所以椭圆的离心率为，故A正确； 对于B，设上顶点为，，即，所以， 所以不存在点，使得，故B错误； 对于C，设，由题知，，所以， 所以， 所以当时，，故C正确； 对于D，， 由C选项得， 所以当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等差数列的前项和，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列求和结合等差数列通项公式计算求解. 【详解】因为，即， 所以，所以. 故答案为：. 13. 已知圆的圆心坐标为，则的半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式 ，求出、，进而计算出半径即可. 【详解】由，有， 因为圆心坐标公式为，所以，， 所以的半径为. 故答案为： 14. 在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设为三棱锥外接球半径，为球心，，分别为与的外心，连接并延长交于点，由条件可得为中点，且，，，，是二面角的平面角，由余弦定理得，由题知，在以为直径的圆上，由正弦定理得，在中求出，即，然后利用球的表面积公式求出答案. 【详解】如图所示，设为三棱锥外接球半径，为球心，，分别为与的外心， 则平面，平面. 因为是边长为6的正三角形， 所以的外心为的重心， 连接并延长交于点， 则为中点，且，， 因为为直角三角形，， 所以为中点，且，，， 因为，， 所以是二面角的平面角，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 由题知， 所以，在以为直径的圆上， 由正弦定理得. 在中，， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及最大值； （2）记的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，求角，及边长. 【答案】（1），1 （2），， 【解析】 【分析】（1）逆用两角和的正弦公式化简，根据最小正周期公式和三角函数的最值求解即可；（2）依题意，求出角，根据正弦定理，求出角，根据三角形内角和为，求出角，再次利用正弦定理求出边长. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期为，最大值为1. 【小问2详解】 因为且，所以， 在中，由正弦定理，解得， 因为，所以， 所以，， 由正弦定理，解得. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以，同理得， 在中，， 在中，，，，有，故， 又因为，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）得，直线，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为，则 所以，令，则， 所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据焦点在轴上的双曲线的渐近线方程以及顶点坐标和点到直线的距离公式列出方程组，解方程组后代入双曲线标准方程即可； （2）设出直线，联立直线和双曲线的方程，根据弦长公式得到三角形的底，再根据点到直线的距离公式得到三角形的高，列出关于面积的方程，求解后代入直线即可. 【小问1详解】 因为一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. 所以，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立方程，消得， ， 所以，， 设到的距离为，则， ， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 18. 2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. （1）若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； （2）若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； （3）若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 【答案】（1）分布列见解析，期望为9 （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 根据超几何分布计算概率及分布列进而得出数学期望； （2）应用独立重复实验概率公式计算求解； （3）应用独立事件概率乘积公式计算结合二项分布数学期望计算求解. 【小问1详解】 由题知，的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 所以； 【小问2详解】 记“该同学仅答对道题”为事件， 则， 所以该同学在这次竞赛中仅答对道题的概率为； 【小问3详解】 设为该同学在类试题中只抽取道作答的总得分， 则的可能取值为，，，，，， 则， ， ， ， ， ， 所以， 设为该同学在类试题中抽取道作答答对的题数，为总得分， 则， 所以，， 因为，所以，解得， 所以的取值范围是. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）令函数，当时，，求的取值范围； （3）设，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）可知当时，在恒成立， 所以（当且仅当时，等号成立）， 当时，， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）对求导，将代入导数得到斜率，代入原函数得到切点坐标，根据直线的点斜式方程即可得到切线方程；（2）写出的表达式，对的取值分类讨论，通过构造新的函数判断的单调性，分析的取值，从而找到符合题意的的取值；（3）通过构造法和（2）中的不等式关系建立联系，利用放缩法即可证明. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则， 所以，， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 ，， 则， 当时，在恒成立，则在上单调递增， 所以，不满足条件； 当时，令，，， 当，即时，， 时，，所以在上单调递减， 所以，满足条件； 当，即时，令，解得， 时，，则，所以在上单调递增， 时，，则，所以在上单调递减， 所以当时，有，不满足条件； 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红河州、文山州2025年高中学业质量监测 高二数学 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 4. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的展开式的各二项式系数的和为64，则展开式中常数项为（ ） A. B. C. 60 D. 30 7. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：为偶函数，，且，都有，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市一周的空气质量指数为：58，53，66，40，14，16，40，则下列对这组数据的叙述，正确的是（ ） A. 众数是40 B. 极差是52 C. 第30百分位数是16 D. 平均数是41 10. 已知为函数的一个零点，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 方程有3个不同的实数解 D. ，使得成立 11. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为的中点，为上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点，使得 C. 的最大值为6 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等差数列的前项和，，，则______. 13. 已知圆的圆心坐标为，则的半径为______. 14. 在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及最大值； （2）记的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，求角，及边长. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程. 18. 2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. （1）若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； （2）若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； （3）若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）令函数，当时，，求的取值范围； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $