精品解析：云南省建水第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

云南省红河州建水一中2023-2024学年高二下学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则的最大值与最小值的和为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对进行化简，判断其中心对称，并求出对称中心，则其最大值和最小值也关于对称中心对称，得到结果. 【详解】对整理得， 而易知都是奇函数， 则可设，可得为奇函数，即关于点对称 所以可知关于点对称， 所以的最大值和最小值也关于点，因此它们的和为2. 故选C项. 【点睛】本题考查奇函数的推广即中心对称，是中档题. 2. 若，且，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据同角三角函数基本关系，将原式化为，根据题意得到且，进而可得出结果. 【详解】， 且. 又，. 故选B. 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系的运用，熟记公式即可，属于常考题型. 3. 若两条直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先联立方程组求出点坐标，再利用点与圆的位置关系得出的取值范围. 【详解】由，解得，即， 因点在圆的内部， 则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A 4. 已知函数f(x)=,下列结论中错误的是 A. , f()=0 B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形 C. 若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减 D. 若是f（x）的极值点，则 ()=0 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确. 考点：函数的零点、对称性、单调性、极值． 5. 在长方体中，，，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，则为异面直线与所成的角，再在三角形中利用三角函数求出角的大小即可. 【详解】解：如图，连接，因为，所以为异面直线与所成的角. 因为，所以， 故选： 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于中档题. 6. 双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，根据双曲线定义表示各线段的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 则①，②， 等边中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 故选：C. 7. 设直线l：，圆C：，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把问题转化成点到直线的距离的范围问题求解. 【详解】圆：，所以，圆的半径为：. “在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使”可转化为“圆心到直线的距离不大于2”. 由. 故选：B 【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法. 8. 已知函数，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间为 B. 当有3个零点时， C. 当时，的所有零点之和为 D. 当时，有1个零点 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象，数形结合判断函数单调区间和零点个数. 【详解】函数，结合二次函数和对数函数的图像和性质，作函数的图象如图所示， 由图象可知，函数的增区间为和，A选项错误； 的零点，是函数和图象交点的横坐标， 由图象可知，当有3个零点时，，B选项错误； 解方程可知，当时，有两个零点，和，所有零点之和为，C选项错误； 当时，函数和的图象有1个交点，即有1个零点，D选项正确. 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，且，则下列选项正确的是（ ） A. 能作为平面内所有向量的一组基底 B. 是与夹角是锐角的充要条件 C. 向量与向量的夹角是 D. 向量在向量上的投影向量坐标是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求得向量，由不共线，可判定A正确；根据向量平行时，求得，可判定B错误；由向量的夹角公式，可判定C正确；根据投影向量的计算方法，可判定D错误. 【详解】因为，所以， 则，解得，所以， 可得不共线，故A正确； 因为向量，，由，解得； 又由当平行时，可得，解得，所以B错误； 由， 因为，故向量与向量的夹角是，所以C正确； 有向量在向量上的投影向量为，所以D错误. 故选：AC. 10. 定义在上的函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. C. 函数在x＝5处取得极小值 D. 函数存在最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助导数图像的正负性即可分析原函数的单调性. 【详解】在恒成立，则在上单调递减，故A正确； 在恒成立，则在上单调递增， 则，故B错误； 上，上, 则函数在x＝5处取得极小值，故C正确; 由导数图可知在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增， 故在两个极小值和中产生，故存在最小值，故D正确; 故选：ACD. 11. 设直线：，：，下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线与不重合 B. 当时，直线与相交 C. 当时， D 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例判断A；联立，结合是否为0，讨论方程组解的情况，判断直线的位置关系，判断，讨论是否为0，结合可判断两直线是否垂直，判断D. 【详解】对于A，时，若,,且时， 两直线：，：重合，A错误； 对于B，联立 ，可得, 当时，，此时方程组有唯一一组解， 故直线与相交，B正确； 对于C，时，若，则无解， 此时； 若，则有无数多组解， 此时重合，故C错误； 对于D，若，则由可得， 即两直线斜率之积等于，故； 若,则可得，此时满足， 直线：，：， 此时， 故当时，，D正确， 故选： 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是椭圆上的两点.且直线恰好平分圆，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，则.由已知可推得，根据，可得出，然后即可求出离心率. 【详解】设，. 依题意有，两式相减得，所以. 因直线恰好平分圆，则， 则，. 由已知，， 所以，，即. 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 13. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________ . 【答案】 【解析】 【分析】通过参变分离将不等式变形为，进而将恒成立问题转化为函数的最值问题，然后结合函数的单调性得，故而得解. 【详解】因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 令， 因为， 所以， 所以函数在时单调递减， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，，定义．若，则当时，的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求得当时，的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】当时，， 则 ∵，，，∴，当且仅当时，等号成立． 所以，，， ∴，即的最大值为． 答案： 四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若在上为增函数，求实数的取值范围； （2）若在上最小值为4，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复合函数的性质得在上是增函数，由此可得的范围； （2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论． 【小问1详解】 令，由于是增函数，若在为增函数， 则在上是增函数， 则，所以 【小问2详解】 令 即最小值为4 若则时最小，得. 若则时最小，得无解. 若时则时最小，得舍去. . 16. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位） （2）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率. 【答案】（1）众数75；中位数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用众数与中位数的定义结合频率分步直方图即可得到这100名学生得分的众数、中位数估计值； （2）利用平均数定义结合频率分步直方图即可得到这100名学生得分的平均数估计值. （3）利用古典概型概率求法即可求得从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会且至少有一人在的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，第4组频率最大，估计众数为：75； 在内频率之和为， 设中位数为，由图可知中位数在， 由，得中位数 【小问2详解】 由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数： 【小问3详解】 在和两组中的人数分别为： 人和人， 所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c， 在分组中抽取的人数为2人，记为1，2， 所以这5人中随机抽取2人的情况有： ， 共10种取法，至少有一人得分在的情况有7种， 所以所求概率为. 17. 如图，，，，,为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到的距离. 【答案】（1）证明见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）先证明平面，结合等体积法即可求解 【小问1详解】 由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故. 又平面，所以平面， 易知. 在中，， 所以. 设点到平面的距离为，由， 得，得， 故点到平面的距离为. 18. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. （1）当点的横坐标为2时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可求得圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求得切线方程； （2）由题意可得，又，故求得的最小值即可. 【小问1详解】 由圆，可得圆心，半径， 点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为， ①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，； ②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为， 即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：， ， 此时，切线方程为， 化简，得， 切线方程为或； 小问2详解】 为公共边，， ， 又当最小时，最小， 由题意可知，当时，最小， 此时，， ， 四边形面积的最小值为. 19. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. （1）若数列具有性质P，且，，求的值； （2）若，求证：数列具有性质P； （3）设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 【答案】（1） （2）见解析 （3）且 【解析】 【分析】（1）由题意建立等比数列，根据等比中项的性质，可得答案； （2）由题意结合等比数列的定义，可得答案； （3）根据求和公式求得数列的通项公式，结合等比数列的定义，可得数列的递推公式，利用辅助数法，可得其通项公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知成等比数列. 则 即，，解得. 【小问2详解】 证明：； . ，， 数列是以6为首项，以2为公比的等比数列故数列具有性质. 【小问3详解】 设数列的前项和为，则 当时，； 当时，； 经检验，. 由，解得， 则 由数列具有性质，则为等比数列， ，故数列为以2为首项以2为公比的等比数列， 则，于是， 即,由. 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，则. ，化简可得. ①若为偶数，则，即； ②若为奇数，则，即； 综上可得，的取值范围是且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省红河州建水一中2023-2024学年高二下学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则的最大值与最小值的和为 A. B. C. D. 2. 若，且，则取值范围是 A. B. C. D. 3. 若两条直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数f(x)=,下列结论中错误的是 A. , f()=0 B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形 C. 若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减 D. 若是f（x）的极值点，则 ()=0 5. 在长方体中，，，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 设直线l：，圆C：，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，令，则下列说法正确是（ ） A. 函数的增区间为 B. 当有3个零点时， C. 当时，的所有零点之和为 D. 当时，有1个零点 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，且，则下列选项正确的是（ ） A. 能作为平面内所有向量的一组基底 B. 是与夹角是锐角的充要条件 C. 向量与向量的夹角是 D. 向量在向量上的投影向量坐标是 10. 定义在上的函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数上单调递减 B. C. 函数x＝5处取得极小值 D. 函数存最小值 11. 设直线：，：，下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线与不重合 B. 当时，直线与相交 C. 当时， D. 当时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是椭圆上的两点.且直线恰好平分圆，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为__________. 13. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________ . 14. 设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，，定义．若，则当时，的最大值为________． 四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若在上为增函数，求实数的取值范围； （2）若在上最小值为4，求实数的值； 16. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位） （2）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率. 17. 如图，，，，,为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到的距离. 18. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. （1）当点的横坐标为2时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 19. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. （1）若数列具有性质P，且，，求的值； （2）若，求证：数列具有性质P； （3）设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$