专题12：函数关系的建立 讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题12 函数关系的建立 知识点一、常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)． (3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． (4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)． (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)． 知识点二、三种函数模型之间增长速度的比较 　　函数 性质　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 知识点三、解函数应用问题的步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 知识点四、建模的基本原则 (1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解． (2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决． (3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．　　　　　　 考点一 用函数图象刻画变化过程 题型01：用函数图象刻画变化过程 【名师点拨】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法： 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. 验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 【例1】（2025闵行区高三校级阶段练习）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（    ） A．B．C． D． 【跟踪训练】 1．（2023上海高三课时练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是(    ) A．B．C．D． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为的函数，则的图象大致为（    ） A．B．C． D． 考点二 用所给函数模型解决实际问题 题型02：已知函数模型解决实际问题 【名师点拨】求解所给函数模型解决实际问题的关注点： 1认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. 2根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 3利用该模型求解实际问题. 易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围. 【例2】（2025控江中学高三阶段练习）某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，约1小时后培养真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　) A．640　　　　　　 B．1 280 C．2 560 D．5 120 【例3】（2024行知中学高三阶段练习）声强级（单位：）与声强x（单位：）满足．一般噪音的声强级约为80，正常交谈的声强级约为50，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【跟踪训练】 1．（2025七宝中学高三阶段练习）已知电磁波在空间中自由传播时的损耗公式为，其中D为传输距离（单位：km），F为载波频率（单位：MHz），L为传输损耗（单位：dB）．若载波频率变为原来的200倍，传输损耗增加90dB，则传输距离约为原来的（    ）参考数据：． A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．（2024奉贤区高三校联考阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（    ） A．17周 B．24周 C．28周 D．26周 3．（2024延安中学高三阶段练习）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点三 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 题型03根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【例4】（2025上师附中高三阶段练习）下列函数中，随着的增大，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： 3 9 27 81 2 以下函数中最符合变量与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·高三单元测试）下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（    ） x -2 -1 0 1 2 3 y 0.26 1.11 3.96 16.05 63.98 A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．对数函数模型 D．指数函数模型 3．（2025上海高三阶段练习）有一组实验数据如下表所示： t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 考点四 指数、对数、幂函数模型的增长差异 题型04：指数、对数、幂函数模型的增长差异 【名师点拨】对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分： 与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． 直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长． 【例5】（2022·上海崇明·二模）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是(    ) A． B． C． D． 2．（2025上海高三阶段练习）函数，，，在区间上（    ） A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢 C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度 考点五 构建函数模型解决实际问题 题型05：构造一次函数、二次函数模型 【例6】（2025上海高三阶段练习）某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg. 【例7】（2023·全国·高三专题练习）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·全国·高三专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示． (1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？ 3．（2025上海高三阶段练习）新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．该公司每年产生此药品不超过300千件，此药品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为（万元）．每千件药品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完． （Ⅰ）当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？利润最大是多少？ （Ⅱ）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润． 题型06：利用幂函数模型解决实际问题 【例8】（2023·全国·高三专题练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）2023年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2023年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 2．（2025·天津宝坻区·一模）国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示药品的治愈效果，系数越大表示效果越好.某研究机构元旦时在实验用小白鼠体内注射某种实验药品，二月底测得普姆克系数为24 pmk，三月底测得普姆克系数为36 pmk，已知该药品在当年第x月月底测得的普姆克系数y与月份x（单位：月）的关系是.则普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是（    ）（参考数据：，.） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2021·上海松江·一模）以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽､零碳排放等优点.近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》. 年份 传统能源发电 新能源发电 总装机容量 火力 发电 水力 发电 核能 发电 太阳能 发电 风能 发电 2015 10.06 3.20 0.27 0.43 1.31 15.27 2016 10.60 3.32 0.34 0.76 1.47 16.49 2017 11.10 3.44 0.36 1.30 1.64 17.84 2018 11.44 3.53 0.45 1.74 1.84 19.00 2019 11.90 3.56 0.49 2.10 2.05 20.10 2020 12.45 3.70 0.50 2.53 2.82 22.00 请根据上表提供的数据，解决课题小组的两个问题： (1)2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？ (2)假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的？ 题型07：构建指数函数、对数函数模型 【名师点拨】指数、对数函数模型的求解策略 (1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示． (2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型． (3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 【例9】（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【跟踪训练】 1．（2023春·江西赣州·高三校联考期中）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区.假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为（    ）（参考数据：取） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，那么他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒驾？（参考数据：，）（    ） A．8点 B．9点 C．10点 D．11点 3．（2023·全国·高三专题练习）某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到（    ） A．300只 B．400只 C．600只 D．720只 4．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的核心零件是多层式结构的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层棉滤芯可以过滤掉的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，则棉滤芯层数最少为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 题型08：构建函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)模型 【例10】（2024·上海宝山·一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 【跟踪训练】 1.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________． 2．（2022·上海市育才中学高三期中）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：） (1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数） (2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润. 3．（2023·全国·高三专题练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润） 4．（2023·上海·高三专题练习）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用． (1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到小时） (2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到0.1） 题型09：构建分段函数模型 【名师点拨】在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)． 【例11】（2023上·上海松江·高三统考期末）为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下： 第一档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米. (1)请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）； (2)已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求的值. 月份 1 2 3 4 5 9 10 12 当月燃气用量（立方米） 56 80 66 58 60 53 55 63 当月燃气费（元） 168 240 198 174 183 174.9 186 264.6 【跟踪训练】 1.已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝ (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式； (2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润． 2．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润. 题型10：构建其他函数模型 【例12】（2024·上海杨浦·一模）小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t（单） 7831 8225 8338 油费s（元） 107150 110264 110376 平均每单里程k（公里） 15 15 15 平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则 （精确到0.01） 2．（2022·上海中学高三期中）1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和． (1)若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值； (2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题12 函数关系的建立 知识点一、常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)． (3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． (4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)． (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)． 知识点二、三种函数模型之间增长速度的比较 　　函数 性质　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 知识点三、解函数应用问题的步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 知识点四、建模的基本原则 (1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解． (2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决． (3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．　　　　　　 考点一 用函数图象刻画变化过程 题型01：用函数图象刻画变化过程 【名师点拨】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法： 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. 验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 【例1】（2025闵行区高三校级阶段练习）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出． 【详解】在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D， 停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除B． 能反映血液中药物含量随时间变化的图象是C． 故选：C． 【跟踪训练】 1．（2023上海高三课时练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是(    ) A．B．C．D． 【答案】D 【分析】数形结合，分P点在BC、CD、DA三种情况，依次求出S＝f(x)的解析式，根据解析式即可作出图像﹒【详解】由题意： P点在BC上时，0≤x＜4，S＝＝2x； P点在CD上时，4≤x≤8，S＝＝8； P点在DA上时，8＜x≤12，S＝24－2x． 故选：D﹒ 2．（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为的函数，则的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】取线段的中点，连接、，证明出平面，分析可知平面与平面平行或重合，分、、三种情况讨论，计算出的面积，利用三角形相似可得出的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】取线段的中点，连接、， 因为、为等边三角形，为的中点，则，， ，、平面，平面， 因为平面，所以，平面与平面平行或重合， 且， 取的中点，连接，则， 且，故. ①当时，平面平面，平面平面， 平面平面，，同理可知，，， 所以，，故， 如下图所示： 则，则； ②当时，； ③当时，平面平面，平面平面， 平面平面，，同理可知，，， 所以，，故， 如下图所示： 则，则. 综上所述，，故函数的图象如C选项中的图象. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的识别，解题的关键对分类讨论，求出函数的解析式，进而辨别出函数的图象. 考点二 用所给函数模型解决实际问题 题型02：已知函数模型解决实际问题 【名师点拨】求解所给函数模型解决实际问题的关注点： 1认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. 2根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 3利用该模型求解实际问题. 易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围. 【例2】（2025控江中学高三阶段练习）某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，约1小时后培养真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　) A．640　　　　　　 B．1 280 C．2 560 D．5 120 C　[原来的细菌数为10， 由题意可得，在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20， ∴20＝10eλ，即eλ＝2，y＝10eλt＝10·2t. 若t＝8，则可得此时的细菌数为y＝10×28＝2 560，故选C.] 【例3】（2024行知中学高三阶段练习）声强级（单位：）与声强x（单位：）满足．一般噪音的声强级约为80，正常交谈的声强级约为50，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【分析】根据题中公式，分别求出一般噪音的声强和正常交谈的声强，从而可得出答案. 【详解】当时，即，解得， 即一般噪音的声强约， 当时，即，解得， 即正常交谈的声强约， 所以一般噪音的声强约为正常交谈的声强的倍. 故选：A. 【跟踪训练】 1．（2025七宝中学高三阶段练习）已知电磁波在空间中自由传播时的损耗公式为，其中D为传输距离（单位：km），F为载波频率（单位：MHz），L为传输损耗（单位：dB）．若载波频率变为原来的200倍，传输损耗增加90dB，则传输距离约为原来的（    ）参考数据：． A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】设出变化前后的相关量，再结合已知列式，借助对数运算求解作答. 【详解】设原来的传输损耗、载波频率、传输距离分别为， 变化后的传输损耗、载波频率、传输距离分别为， 则，， 因此， 于是，解得 所以传输距离约为原来的倍. 故选：B 2．（2024奉贤区高三校联考阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（    ） A．17周 B．24周 C．28周 D．26周 【答案】D 【分析】由已知数据求得参数，然后解不等式即可得． 【详解】，由，，得，， 两式相减得，则，所以，. 该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则， 则，即，解得， 故至少需要通风26周. 故选：D． 3．（2024延安中学高三阶段练习）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据已知的浓度解析式，代入变量，结合对数的运算，化简求值. 【详解】由题意，， 所以）， 即．又，所以． 因为，所以． 故选：B． 考点三 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 题型03根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【例4】（2025上师附中高三阶段练习）下列函数中，随着的增大，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不同函数增长的差异直接判断即可. 【详解】A选项是常数函数，B选项是一次函数，C、D选项都是指数型函数， C选项的指数型函数的底数是2，D选项的指数型函数的底数是，且， 所以随着的增大，增长速度最快的是D. 故选：D. 【跟踪训练】 1．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： 3 9 27 81 2 以下函数中最符合变量与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢，再依次判断每个选项函数的增长速度得到答案. 【详解】根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢， 对选项A：增长速度不变，不满足； 对选项B：时，增长速度越来越大，不满足； 对选项C：时，增长速度越来越大，不满足； 对选项D：函数的增长速度越来越慢，满足. 故选：D 2．（2023·高三单元测试）下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（    ） x -2 -1 0 1 2 3 y 0.26 1.11 3.96 16.05 63.98 A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．对数函数模型 D．指数函数模型 【答案】D 【分析】利用各类型函数的特点，取点，设出函数解析式，代入其他对应值验证即可求解. 【详解】由变量可取负数，故函数模型暂排除对数函数模型；故C错误； 取点， 设一次函数，则 ，解得，即， 而当时，，所以不是一次函数模型；故A错误； 设二次函数，则   解得 ，即. 当时，，故不满足题意；故B错误； 设指数函数，则 ，解得，即， 代入其他值，验证：接近；接近；接近；接近，故D正确. 故选：D . 3．（2025上海高三阶段练习）有一组实验数据如下表所示： t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示， 数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D最能反映之间的函数关系. 故选：D. 考点四 指数、对数、幂函数模型的增长差异 题型04：指数、对数、幂函数模型的增长差异 【名师点拨】对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分： 与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． 直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长． 【例5】（2022·上海崇明·二模）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)符合， (2)当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh 【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可； （2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可 (1) 因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数 与不可能是符合表格中所列数据的函数模型， 故是可能符合表格中所列数据的函数模型. 由，得：，所以 (2) 由题意，高速路上的耗电量 任取，当时， 所以函数在区间上是增函数，所以Wh     国道上的耗电量 所以Wh                          所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对幂函数的增长速度即可判断. 【详解】当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数的增长速度最快． 故选：D. 2．（2025上海高三阶段练习）函数，，，在区间上（    ） A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢 C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度 【答案】ABC 【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得. 【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间上， 递减速度越来越慢，故A正确； 递减速度越来越慢，故B正确； 递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度慢于递减速度，故D错误. 故选：ABC. 考点五 构建函数模型解决实际问题 题型05：构造一次函数、二次函数模型 【例6】（2025上海高三阶段练习）某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg. 答案　19 解析　由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19. 【例7】（2023·全国·高三专题练习）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元. 【答案】 200 7.94 【分析】将利润表示为关于的一个二次函数，求出该函数的最值即可. 【详解】由题意易得日利润， 故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元， 故答案为：200，7.94. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意求得利润函数，然后解不等式即可得． 【详解】由题意日销量x件时，利润是， ，，． 故选：B． 2．（2023·全国·高三专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示． (1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？ 【答案】(1)，； (2)当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润约为4万元． 【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果； （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，则有，再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解． 【详解】（1）设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元， 由题设，， 由图可知（1），所以，又（4），所以， 所以，； （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元， ，， 令，则，， 所以当时，，此时， 所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，约为4万元． 3．（2025上海高三阶段练习）新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．该公司每年产生此药品不超过300千件，此药品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为（万元）．每千件药品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完． （Ⅰ）当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？利润最大是多少？ （Ⅱ）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润． 【答案】（Ⅰ）当年产量为200千件时，所获利润最大为3750万元；（Ⅱ）当年产量为50千件时，每千件药品的平均利润最大为30万元． 【解析】（Ⅰ）根据题意可得利润，根据二次函数性质即可求出最大值； （Ⅱ）利用基本不等式可求出最大值. 【详解】（Ⅰ）设所获利润为万元， 则由题可得（）， 当时，， 所以当年产量为200千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为3750万元； （Ⅱ）可知平均利润为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当年产量为50千件时，每千件药品的平均利润最大为30万元． 题型06：利用幂函数模型解决实际问题 【例8】（2023·全国·高三专题练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出年通过理财业务的收入为亿元，根据题意可得出关于的不等式，解出的范围即可得解. 【详解】因为该公司年总收入为亿元，预计每年总收入比前一年增加 亿元，所以年的总收入为亿元， 因为要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍， 所以年通过理财业务的收入为亿元，所以，解得.故的值至少为， 故选：A. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）2023年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2023年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可. 【详解】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B 2．（2025·天津宝坻区·一模）国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示药品的治愈效果，系数越大表示效果越好.某研究机构元旦时在实验用小白鼠体内注射某种实验药品，二月底测得普姆克系数为24 pmk，三月底测得普姆克系数为36 pmk，已知该药品在当年第x月月底测得的普姆克系数y与月份x（单位：月）的关系是.则普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是（    ）（参考数据：，.） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据题意可知时，；时，， ∴，解得． 故该函数模型的解析式为一月底，，； 当时，，一月底普姆克系数是， 令，得， 所以， 所以普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是5月. 故选：C 3．（2021·上海松江·一模）以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽､零碳排放等优点.近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》. 年份 传统能源发电 新能源发电 总装机容量 火力 发电 水力 发电 核能 发电 太阳能 发电 风能 发电 2015 10.06 3.20 0.27 0.43 1.31 15.27 2016 10.60 3.32 0.34 0.76 1.47 16.49 2017 11.10 3.44 0.36 1.30 1.64 17.84 2018 11.44 3.53 0.45 1.74 1.84 19.00 2019 11.90 3.56 0.49 2.10 2.05 20.10 2020 12.45 3.70 0.50 2.53 2.82 22.00 请根据上表提供的数据，解决课题小组的两个问题： (1)2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？ (2)假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的？ 【答案】(1)1.35， (2)2028 【分析】（1）由表中数据：分别得到2015年和2020年我国发电总装机容量，由平均增量等于末量减去初量除以增加年次求解；分别得到2015年和2020年我国新能源发电装机容量，设新能源发电装机容量的年平均增长率为x，由求解； （2）设第n年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的，由求解. （1） 解：由表中数据知：2015年我国发电总装机容量为15.27万万千瓦， 2020年我国发电总装机容量为22.00万万千瓦， 所以2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加万万千瓦； 2015年我国新能源发电装机容量1.74万万千瓦， 2020年我国新能源发电装机容量5.35万万千瓦， 设2015年至2020年期间，我国新能源发电装机容量的年平均增长率为x， 则，即， 解得， 所以2015年至2020年期间，我国新能源发电装机容量的年平均增长率为； （2） 以2021年为第一年，设第n年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的， 所以， 当时，， 当时，， 所以，即从年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的. 题型07：构建指数函数、对数函数模型 【名师点拨】指数、对数函数模型的求解策略 在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． (1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示． (2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型． (3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 【例9】（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】分析可知，小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为， 根据题意可得，即，解得. 因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时. 故选：B. 【跟踪训练】 1．（2023春·江西赣州·高三校联考期中）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区.假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为（    ）（参考数据：取） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】先根据条件建立对数不等式，从而得到，再利用换底公式即可求出的值，进而求出的范围得到结果. 【详解】假设当前该种植区的脐橙产量为1，经过年该种植区的脐橙产量为， 由题意得，得到， 又因为， 所以，故至少需要经过的年数为10. 故选：B. 2．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，那么他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒驾？（参考数据：，）（    ） A．8点 B．9点 C．10点 D．11点 【答案】C 【分析】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，则，由对数的运算性质解不等式即可得出答案. 【详解】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾， 则，即，， 则， ，次日上午最早点，该驾驶员开车才不构成酒驾. 故选：C. 3．（2023·全国·高三专题练习）某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到（    ） A．300只 B．400只 C．600只 D．720只 【答案】D 【分析】根据题意求得，当时即可求解. 【详解】由题知，该动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为， 当代入得，，得， 所以， 所以当时，， 所以15年后它们发展到720只. 故选：D 4．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的核心零件是多层式结构的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层棉滤芯可以过滤掉的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，则棉滤芯层数最少为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数与对数的运算直接求解. 【详解】由题意得，经层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为，， 则，得，所以， 即，所以， 解得，， 所以的最小值为， 故选：C. 题型08：构建函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)模型 【例10】（2024·上海宝山·一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得甲工程队整体报价，由题意可得，孤立参数根据对勾函数的性质确定函数单调性从而得最小值即可得实数的取值范围. 【详解】若仓库前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程整体报价为， 若乙队要确保竞标成功则， 所以，则， 因为，所以函数， 当且仅当时，即时，函数有最小值， 所以函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________． 答案　5 解析　根据图象求得y＝－(x－6)2＋11， ∴年平均利润＝12－， ∵x＋≥10，当且仅当x＝5时等号成立． ∴要使平均利润最大，客车营运年数为5. 2．（2022·上海市育才中学高三期中）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：） (1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数） (2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润. 【答案】(1)13分钟 (2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元. 【分析】（1）由题意列方程求解 （2）由题意得出利润与的函数关系，结合基本不等式求解最值 【解析】（1）由题意可得，解得. 设经过分钟，这杯茶水降温至，则， 解得（分钟）. 故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟. （2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为， 当时，， 当时，取得最大值3400万元； 当时，， 因为，当且仅当时，等号成立， 则当时，取得最大值3380万元. 因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元. 3．（2023·全国·高三专题练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润） 【答案】(1) (2)当月产量为时, 最大利润为元. 【分析】（1）利用利润=总收益固定成本投入成本，即可求解利润关于月产量x的函数； （2）分段求解利润关于月产量的最大值并比较即可. 【详解】（1） 当时，， 当时，， ； （2）当时， 当时，； 当时，在定义域内单调递减， ， 当时，； 当月产量为台时，公司所获利润最大，最大利润为元. 4．（2023·上海·高三专题练习）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用． (1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到小时） (2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到0.1） 【答案】(1)小时 (2)6.5 【分析】（1）由求出，分、，解不等式可得答案； （2）当时，令，，再令，面积由基本不等式求得最值； 当时，，利用单调性可得的最大值，再比较可得答案． （1） 由于，则， 当时，， 解得， 当时，， 即产生有效作用的时间段为， 故产生有效作用的时间为小时． （2） 当时，令，则， 同时， 再令，则， 面积， 由基本不等式，， 当且仅当时等号成立， 则在上的最大值为， 当时，， 则此时在是单调递减的， 则最大值在时取到，， 综上所述，在上的最大值为6.5． 题型09：构建分段函数模型 【名师点拨】在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)． 【例11】（2023上·上海松江·高三统考期末）为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下： 第一档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米. (1)请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）； (2)已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求的值. 月份 1 2 3 4 5 9 10 12 当月燃气用量（立方米） 56 80 66 58 60 53 55 63 当月燃气费（元） 168 240 198 174 183 174.9 186 264.6 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据燃气收费标准求得解析式. （2）根据表格提供数据以及函数解析式求得. 【详解】（1）依题意，函数解析式为： （2）解法一： 由一月份数据可得：， 通过计算前5个月用量：， 前5个月燃气总费用：， 由（1）中函数解析式，计算可得：， 所以， 又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同， 所以12月份为第三档，. 解法二： 1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同． 所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同， 则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档． 从而得到，. 【跟踪训练】 1.已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝ (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式； (2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润． 解　(1)当0<x≤40时， W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40， 当x>40时， W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360. 所以W＝ (2)①当0<x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6 104， 所以Wmax＝W(32)＝6 104； ②当x>40时，W＝－－16x＋7 360， 由于＋16x≥2＝1 600， 当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以W取最大值5 760. 综合①②，当年产量为32万只时，W取最大值6 104万美元． 2．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元 【分析】（1）分和两种情况，由利润 = 销售收入—成本，知，再代入的解析式，进行化简整理即可， （2）当时，利用配方法求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可 （1） 当时， ， 当时， ， 所以年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式为 （2） 当时，， 所以函数在上单调递增，所以当时， 取得最大值1450， 当时， ， 当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1490， 因为， 所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元 题型10：构建其他函数模型 【例12】（2024·上海杨浦·一模）小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法可以比较两人淋雨量判断①，结合函数的单调性可判断②③. 【详解】①若两人结伴迎风行走，设体型较高大魁梧的人身高为，宽度为，厚度为，另一人身高为，宽度为，厚度为， 则， 又，，， 则，， 即， 即体型较高大魁梧的人淋雨是较大，①正确； ②若某人迎风行走，则， 则随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小； 若某人逆风行走，则， 当时，随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小， 当时，，随的增大而减小，即走得越慢淋雨量越小， 当时，淋雨量与无关，②错误； ③若某人迎风行走了秒，则为定值，且 ， 则， 所以随的增大而增大，即行走距离越长淋雨量越大，③正确； 综上所述合理的解释有个， 故选：C. 【跟踪训练】 1．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t（单） 7831 8225 8338 油费s（元） 107150 110264 110376 平均每单里程k（公里） 15 15 15 平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则 （精确到0.01） 【答案】 【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解. 【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车有载客时行驶的里程为， 所以出租车空驶率， 对于甲，，满足题意； 对于乙，，满足题意； 所以上述模型满足要求， 则丙的空驶率为，即. 故答案为：. 2．（2022·上海中学高三期中）1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和． (1)若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值； (2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围． 【答案】(1)当时血液中药物的浓度最高，最大值为6 (2) 【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案； （2）讨论和两种情况， 【解析】（1）当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为 ①当时，． ②当时，因为（当且仅当时，等号成立）， 所以． 故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6． （2）由题意得 ①当时，， 设，则，，则，故； ②当时，， 由，得， 令，则，，则，故． 综上，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$