精品解析：重庆市（康德卷）2024-2025学年高二下学期期末联合检测数学试题

2025年春高二（下）期末联合检测试卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图的特征得到答案. 【详解】A中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性； B中呈正相关关系，C中两个变量具有负相关关系； D中两个变量具有相关性，但不是正相关，也不是负相关. 故选：C． 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得： 全称量词命题“”的否定为“”. 故选：B． 3. 函数在点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得切线斜率，结合切点坐标写出切线方程，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 又，所以函数在点处的切线方程为. 故选：A． 4. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式求得集合元素，根据Vnne图以及集合的交并补，可得答案. 【详解】由题意，由解得，所以集合， 因为函数的值域为，所以， 图中阴影部分所表示的集合是. 故选：C． 5. 设某品种芒果单果质量为ξ（单位：g）近似服从正态分布，现有该品种芒果20000个，估计单果质量在320g到360g之间的芒果个数约为（ ） 附：若，则，，． A. 1574 B. 3148 C. 5436 D. 6296 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质求解概率，即可得解. 【详解】单果质量，单果质量在之间的概率为，所以其个数为， 故选：B． 6. 将个类节目和个类节目编制成节目单，则前个有类节目的不同排列方式有（ ） A. 144种 B. 432种 C. 576种 D. 720种 【答案】C 【解析】 【分析】分成前个节目有类节目分为有一个类节目和有两个类节目两种情况，先排前三个节目，再排后三个节目，两种情况相加即可求解. 【详解】前个节目有类节目分为有一个类节目和有两个类节目两种情况， 则共有：， 所以前个有类节目的不同排列方式有种. 故选：C． 7. 若正实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】整理等式，根据基本不等式，可得答案. 【详解】由有，则，当且仅当时，等号成立. 故选：D． 8. 若不等式恒成立，其中，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，构造函数，利用导数求出函数的单调性，利用单调性可得，两边取对数可得，即恒成立，继而即可求解. 【详解】由不等式有，，即， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即，即恒成立， 又，所以a的最小值为. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知关于x的方程有三个解，则的值可以是（ ） A. B. C. 5 D. 15 【答案】BCD 【解析】 【分析】由三次函数的单调性得到，解出的取值范围. 【详解】设，则， 令得或，令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 关于方程有三个解，则需满足，即， 解得， 故选：BCD． 10. 关于函数，以下结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 若，则 D. 若，则单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】对函数求导，分析函数的单调性，结合函数解析式即可判断A；通过分析函数解析式结合函数单调性，令趋于正无穷即可判断B，根据导函数，求得时函数的单调性，求出函数的最大值，即可判断C，求求导，根据导函数求得的单调性，即可判断D. 【详解】因为， 令，即，解得或， 当时，，所以在是增函数； 当时，，所以在上是减函数； 当时，，所以在上是增函数， 因为，，且，所以， 所以的最小值为，A正确； ，的极大值为， 当趋于正无穷时，也趋于正无穷， 所以函数无最大值，B错误； 当时，根据导函数有： 当时，，所以在是增函数； 当时，，所以在上是减函数； 所以，C正确； 令，则， 令，即，解得， 当，，单调递增， 当，，单调递减，D错误. 故选：AC． 11. 将（，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（ ） A. 在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B. 在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都为黑色圆 D. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式系数之和的公式即可求解A，根据组合数的运算性质即可求解BC,由杨辉三角的性质即可求解D. 【详解】第n行的所有数字之和为，A正确； ，所以，B错误； 通过观察规律归纳可知：第行数字都是奇数，因此可以归纳出第（，2，…）行全行都是奇数，故都为黑色圆，C正确； 由D可知第127行全行为奇数，则由奇数偶数奇数，结合， 则第126行的127个数是奇偶相间，且两端都是奇数，所以黑色圆比白色圆多一个，D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将一枚骰子抛掷2次，记事件“第一次抛出的点数是4点”，“两次抛掷的点数之和大于7”，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】应用条件概率计算求解. 【详解】事件“第一次抛出的点数是4点”，“两次抛掷的点数之和大于7”， 则第一次抛出的点数是4的有6种，所以， 第一次抛出的点数是4且两次抛掷的点数之和大于7有3种，所以， . 故答案为：. 13. 某校的艺术节活动中，高二年级有4个参加歌唱展示的名额和5个参加书画展示的名额，将这些名额分配给高二年级的1，2，3三个班，则每个班都能够获得歌唱展示名额和书画展示名额的分配方案有________种． 【答案】18 【解析】 【分析】先分好指标，由于指标是相同元素，所以在分配时，相同数量的指标分配就是组合问题，也可以先分配指标数单类的给一个班，以此计数即可. 【详解】每个班都要分到名额，则4个参加歌唱展示的名额可分为， 5个参加书画展示的名额可分为或， 所以分配方案为种． 故答案为：18 14. 设且，对于一组数据，，…，，若的最大值为，则________． 【答案】N 【解析】 【分析】根据导数与最值之间的关系可得，即可根据是否为0，分类讨论求解. 【详解】，由题意，即， 当时，所以有，即有， 当，． 因此 故答案为：N 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，我国青少年面临日益沉重的学业压力，加之电子设备的普及和户外活动时间的缩减，这些因素共同作用导致了青少年近视和脊柱侧弯问题的日益凸显．在近视率居高不下的背景下，中小学生中脊柱侧弯患者数量每年以约三十万例的速度递增．某机构为了研究青少年脊柱侧弯与近视之间是否存在相关性，随机选取了200名青少年进行统计，已知近视率为，脊柱侧弯率为． （1）根据上述信息完成下列列联表； 视力正常 近视 合计 脊柱正常 115 脊柱侧弯 5 合计 200 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为脊柱侧弯与近视有关联？并解释得到的结论． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：，其中． 【答案】（1）列联表见解析 （2）认为脊柱侧弯与近视有关联，解释见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率即可求解， （2）计算卡方，即可与临界值比较作答. 【小问1详解】 由于近视率为，脊柱侧弯率为，故近视人数为，脊柱侧弯人数为， 列联表 视力正常 近视 合计 脊柱正常 35 115 150 脊柱侧弯 5 45 50 合计 40 160 200 【小问2详解】 零假设为： ：脊柱侧弯与近视之间无关联 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为脊柱侧弯与近视有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 16. 已知函数． （1）求的最小值； （2）证明：． 【答案】（1）0 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据正负得出单调性，最后得出最值即可； （2）先应用（1）得出，再变形结合不等式性质证明即可. 【小问1详解】 由，得． 当时，，单调递减． 当时，，单调递增． 所以的最小值为． 【小问2详解】 由（1）知，，即，从而，即①． 又由，得，从而，，，②． 由①，②得． 17. 近年来，中国的新能源汽车产业展现出迅猛的发展势头，已然跃升为全球最大的新能源汽车市场．该产业涵盖了电动汽车、插电式混合动力汽车以及燃料电池汽车等多种类型．在电池技术、电机和电控系统等领域，中国的新能源汽车产业取得了引人瞩目的成就．现有一汽车测评栏目为了评估某品牌纯电动汽车的实际续航能力，进行了一系列试验，并收集了相应的数据，详见下表． 速度 6 7 8 9 10 续航里程 4.4 4.2 4 3.9 3.5 （1）根据最小二乘法，计算y关于x的回归方程； （2）根据你得到的一元线性回归模型，预测速度为时，该电动汽车的续航里程； （3）计算5组数据的残差，并计算残差之和． 参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为，． 参考数据：，． 【答案】（1） （2） （3）残差，，0，0.11，，残差和为0 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解， （2）代入回归方程中即可求解， （3）根据残差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，， ， ， 故y关于x的线性回归方程为； 【小问2详解】 根据（1）所求的回归方程，当时，， 所以电动汽车的续航里程为； 【小问3详解】 由（1）可列表 速度 6 7 8 9 10 续航里程 4.4 4.2 4 3.9 3.5 预测值 4.42 4.21 4 3.79 3.58 残差 0 0.11 残差之和为． 18. 某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍． （1）其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？ （2）若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望； （3）为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求他获奖的概率． 【答案】（1）1个或4个 （2）分布列见解析，数学期望为 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个，由古典概率概率计算公式构造等式求解即可； （2）设三位观众中二等奖的人数为X，由题意确定，即可求解； （3）分有1个“哪”和4个“吒”，或有4个“哪”和1个“吒”，两类情况讨论求解. 【小问1详解】 设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个， 一位观众获一等奖为事件A，获二等奖为事件B， 则由题意得，， 所以， 因为或2；解得或4．所以标有“哪”字样的小球可能有1个或4个． 【小问2详解】 由（1）知，某一位观众中二等奖的概率为，设三位观众中二等奖的人数为， 则，， ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． 【小问3详解】 ①若有1个“哪”和4个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是至少1个“吒”， 此时获奖的概率为． ②若有4个“哪”和1个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是有1个“吒”， 此时获奖的概率为． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数在的单调性； （2）当时，证明：不等式在恒成立； （3）若函数的最大值为0，求a的值． 【答案】（1）在是增函数 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数判断即可； （2）二次求导，根据导数与单调性、最值的关系计算即可证明； （3）设最大值点为，则，，结合得，分，，根据题意讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，因为，， 所以，所以在是增函数； 【小问2详解】 因为，则， 由，所以，即在是减函数， 则，即在是减函数， 所以，即不等式在恒成立; 【小问3详解】 因为函数的定义域为R，， 设最大值点为，则由题意， 则， 由得， 易知，所以是的一个解，当时，则， 当时，显然存在x，使得， 即不能使函数的最大值为0， 当时，由（1）知在是增函数，而当时，， 所以，即在是减函数，所以函数的最大值为， 当时，存在接近于0时，使得，即存在， 即此时存在x，使得，从而不能使函数的最大值为0， 当时，存在接近于0时，使得，即存在， 即此时存在x，使得，从而不能使函数的最大值为0， 所以综上所述有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春高二（下）期末联合检测试卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数在点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 设某品种芒果单果质量为ξ（单位：g）近似服从正态分布，现有该品种芒果20000个，估计单果质量在320g到360g之间的芒果个数约为（ ） 附：若，则，，． A. 1574 B. 3148 C. 5436 D. 6296 6. 将个类节目和个类节目编制成节目单，则前个有类节目的不同排列方式有（ ） A. 144种 B. 432种 C. 576种 D. 720种 7. 若正实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 若不等式恒成立，其中，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知关于x的方程有三个解，则的值可以是（ ） A. B. C. 5 D. 15 10. 关于函数，以下结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 若，则 D. 若，则单调递增 11. 将（，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（ ） A. 在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B. 在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都为黑色圆 D. 在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将一枚骰子抛掷2次，记事件“第一次抛出的点数是4点”，“两次抛掷的点数之和大于7”，则________． 13. 某校的艺术节活动中，高二年级有4个参加歌唱展示的名额和5个参加书画展示的名额，将这些名额分配给高二年级的1，2，3三个班，则每个班都能够获得歌唱展示名额和书画展示名额的分配方案有________种． 14. 设且，对于一组数据，，…，，若的最大值为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近年来，我国青少年面临日益沉重的学业压力，加之电子设备的普及和户外活动时间的缩减，这些因素共同作用导致了青少年近视和脊柱侧弯问题的日益凸显．在近视率居高不下的背景下，中小学生中脊柱侧弯患者数量每年以约三十万例的速度递增．某机构为了研究青少年脊柱侧弯与近视之间是否存在相关性，随机选取了200名青少年进行统计，已知近视率为，脊柱侧弯率为． （1）根据上述信息完成下列列联表； 视力正常 近视 合计 脊柱正常 115 脊柱侧弯 5 合计 200 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为脊柱侧弯与近视有关联？并解释得到的结论． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：，其中． 16. 已知函数． （1）求的最小值； （2）证明：． 17. 近年来，中国的新能源汽车产业展现出迅猛的发展势头，已然跃升为全球最大的新能源汽车市场．该产业涵盖了电动汽车、插电式混合动力汽车以及燃料电池汽车等多种类型．在电池技术、电机和电控系统等领域，中国的新能源汽车产业取得了引人瞩目的成就．现有一汽车测评栏目为了评估某品牌纯电动汽车的实际续航能力，进行了一系列试验，并收集了相应的数据，详见下表． 速度 6 7 8 9 10 续航里程 4.4 4.2 4 3.9 3.5 （1）根据最小二乘法，计算y关于x的回归方程； （2）根据你得到的一元线性回归模型，预测速度为时，该电动汽车的续航里程； （3）计算5组数据的残差，并计算残差之和． 参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为，． 参考数据：，． 18. 某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍． （1）其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？ （2）若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望； （3）为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求他获奖的概率． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数在的单调性； （2）当时，证明：不等式在恒成立； （3）若函数的最大值为0，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $