精品解析：山西省晋中市榆社县等3地2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

2024-2025学年度高二数学期末试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数的虚部为（　　） A. B. C. 2 D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 过三个点有且只有一个平面 B. 四边形可以确定一个平面 C. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行 D. 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点 5. 若，则x，y的关系式是（ ） A. B. C. D. 或 6. 给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 216种 B. 192种 C. 180种 D. 168种 7. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X服从正态分布，且，则 B. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为18 C. 若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱 D. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为 10. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 直线是函数图象的对称轴 C. 在上单调递增 D. 函数的图象可由函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 11. 已知过点的直线l与动圆相切，切点为M，记点M的轨迹为曲线Γ，则（ ） A. 曲线Γ经过原点 B. 曲线Γ是轴对称图形 C. 点在曲线Γ上 D. 曲线Γ在第二象限的点的纵坐标有最大值 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，那么该模具的体积为______． 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为________. 14. 已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则_______. 四、解答题 15. 记为正项等比数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，在长方体中，点分别在棱上，，. （1）证明：. （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. （1）若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. （2）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 18. 已知函数，为的导函数， （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点， （i）求的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 19. 已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. （1）求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； （2）若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为. （i）求曲线的方程； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二数学期末试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A，B，根据交集运算即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C 2. 已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数的虚部为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，可得，结合题设，根据复数相等及模的公式的求解即可. 【详解】设，则， 由，则， 所以，解得， 则，即的虚部为2. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出的等价条件，即可判断得出答案. 【详解】因为，. 所以. 综上所述，“”是“”的充分必要条件． 故选：C． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 过三个点有且只有一个平面 B. 四边形可以确定一个平面 C. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行 D. 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】由平面的确定及线面平行的性质逐个判断即可. 【详解】对于A，当三点共线时，有无数个平面，错误； 对于B，空间四边形可确定4个平面，错误； 对于C，若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内，错误； 对于D, 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点,正确， 故选：D 5. 若，则x，y的关系式是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由题设得，即，即，所以或．由对数定义知，所以只能是． 6. 给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 216种 B. 192种 C. 180种 D. 168种 【答案】D 【解析】 【分析】按照一定的顺序对五个区域进行染色，依次考虑每个区域的染色选择，根据相邻区域颜色不同的要求来确定每种情况下的染色方法数. 【详解】先对染色，有种方法，若2和3同色，则不同的染色方法有72种； 若2和3不同色，则不同的染色方法有种． 综上所述，不同的染色方法有种． 故选：D. 7. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由椭圆、双曲线的定义得到，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】根据椭圆、双曲线的对称性，不妨设焦点分别为左、右焦点，点在第一象限， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义，得，， ∴，， 设，在中，∵， 由余弦定理，得， 化简得，两边同除以，得. 又∵，∴，解得，当且仅当， 即时等号成立， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为， 故选：B. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得，再根据，，计算即可求解. 【详解】因为 ， 由题意可知，，所以， 因为，，， 所以，， 所以，， 因为， ， 所以. 故选：C. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X服从正态分布，且，则 B. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为18 C. 若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱 D. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A：利用正态分布的对称性求解即可，选项B：结合下四分位数的概念求解即可，选项C：利用线性相关的系数与线性相关性强弱的联系进行求解即可，（4）对二项式中的赋值为1，再利用展开式的通项求解系数即可. 【详解】选项A：因为，所以，故A正确； 选项B：由题意，所以该10个数据的下四分位数为第3个数11，故错误； 选项C：若两个变量的线性相关系数越接近于1，则这两个变量的线性相关性越强，所以C错误； 选项D：∵展开式的二项式系数之和为，∴，故，通项为， 则含项的系数为.故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 直线是函数图象的对称轴 C. 在上单调递增 D. 函数的图象可由函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图像求出相应的参数，进而求出函数的解析式，对于A，代入求值即可，对于B：求出其对称轴即可判断， 对于C：利用余弦函数的单调性即可判断；对于D：利用函数“左加右减，上加下减”即可求出判断. 【详解】由函数的图像即可得到函数的最大值为2，最小值为， ,故,且，由， 故，当时，，故， 又因为，故，所以， 对于A：，故A错误； 对于B：因为函数图象的对称轴为， 当时，得到，故B正确； 对于C：因为，因为余弦函数在区间单调递增，故在上单调递增，故C正确； 对于D：因为函数先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数， 则， 故，故D正确； 故选：BCD 11. 已知过点的直线l与动圆相切，切点为M，记点M的轨迹为曲线Γ，则（ ） A. 曲线Γ经过原点 B. 曲线Γ是轴对称图形 C. 点在曲线Γ上 D. 曲线Γ在第二象限的点的纵坐标有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准方程，找到圆心和半径。根据直线与圆相切的性质，得到相关等式，进而求出点的轨迹方程，再根据轨迹方程的性质逐一分析选项. 【详解】圆化为，圆心，半径为， 设点，，， 由题意可知，，则， 整理得①. 又因为， 所以，展开化简得②. 由①②消去，化简得，显然， 又由圆C的圆心在y轴左侧，且与y轴相切，所以， 其图象为： 对于A选项，曲线Γ不经过原点，所以A错误. 对于B选项，若为曲线上任意点，根据方程知也在曲线上，即曲线关于轴对称，所以B正确. 对于C选项，将点代入曲线方程中，等式成立，C正确. 对于D选项，根据，当时，显然第二象限的点的纵坐标无最大值，所以D错误， 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，那么该模具的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱及圆锥的体积计算公式即可得出结果. 【详解】由题可知，， ∴该模具的体积为， 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14. 已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，在中利用正弦定理，再结合双曲线的定义可得到的关系式，即可求出. 【详解】 由题意可知，与渐近线垂直，则直线的斜率为， 设，则，所以，， ，，， 在中利用正弦定理得， ， ， 由双曲线定义知，， 即，化简得， . 故答案为：. 四、解答题 15. 记为正项等比数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设正项等比数列的公比为，根据可构造方程求得，根据求得，进而求得的通项公式； （2）由（1）可得，采用错位相减法即可求得结果. 【小问1详解】 设正项等比数列的公比为， 因为，所以，所以． 又， 解得． 所以． 【小问2详解】 由题知， 所以， ， 两式相减得． 所以． 16. 如图，在长方体中，点分别在棱上，，. （1）证明：. （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 证明：因为， 所以 （2） 【解析】 【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，根据线段长度将点的坐标表示出来，从而得到向量的坐标，最后求出两向量的数量积是否为0即可证明是否垂直. （2）根据建立的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量坐标，然后利用向量夹角的余弦公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则即 取，则. 易得平面的一个法向量为. 因为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. （1）若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. （2）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【答案】（1）5 （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意随机变量服从二项分布，应用二项分布期望计算公式可解. （2）由题可知随机变量X可能取值为，分别计算相关概率，写出分布列计算期望即可. 【小问1详解】 由，可得， 即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，该学生笔试成绩高于76.5的概率为 所以随机变量服从二项分布，故. 【小问2详解】 X的可能取值为， ， ， ， ， ，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以. 18. 已知函数，为的导函数， （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点， （i）求的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】（1）在上单调递减，在单调递增； （2）（i）； （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增. 所以，故原不等式成立. 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性； （2）（i）先讨论单调性，根据有两个零点得出最小值，即可得的取值范围；（ii）结合（i）知，要证，即证，即，分和进行证明. 【小问1详解】 当时，，函数的定义域为， ， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 （i）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴当时，取得最小值，最小值为. 因为函数有两个零点，且时，，时，， 所以. 设，易知函数在单调递增. 因为，所以的解集为. 综上所述，实数的取值范围是. （ii）略 19. 已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. （1）求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； （2）若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为. （i）求曲线的方程； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）（i）将曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线，设为曲线上点旋转后的对应点，设，进而可求出的坐标，再代入曲线的方程，即可求出求出曲线的方程；（ⅱ）由弦长公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 （1）因为，即， 绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点， 则，所以； 【小问2详解】 （i）将曲线绕着原点沿逆时针方向旋转得到曲线， 设为曲线E上点旋转后的对应点， 设，则， 又因为， 所以，整理得， （ii） 由（i）直线过定点与曲线:交于，直线过定点与曲线:交于，且， AB与CD交点满足，且在椭圆内部， 当AB与重合时；· 当AB与不重合时，设直线， 联立，整理得， 则， 所以， 同理可得， ， 当且仅当，即时取等号， 因为，即四点构成的四边形面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $