精品解析： 江西省南昌市青山湖区江西科技学院附属中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年江西科技学院附中八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 函数的自变量取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，都在直线上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 如图，在中，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 铈元素属于稀土元素，稀土元素被称为“21世纪黄金”，广泛应用于电子、军事、石油化工等领域，如图是硫酸铈和硝酸钾两种固体物质在不同温度时的溶解度曲线图象，下列说法正确的是（ ） A. 时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐增大 B. 硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度 C. 时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度 D. 当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同 5. 如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 一次函数的图象与y轴的交点坐标________________. 8. 点在正比例函数上， 则m为____________． 9. 点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 10. 如图，在中，，点P是边上的动点，连接，E是的中点，F是的中点，则的最小值是______． 11. 如图①，《蝶几图》是明朝的戈汕分割正方形的一种方式，将大正方形分割为长斜（等腰梯形）、右半斜和左半斜（直角梯形）、闺、小三斜和大三斜（等腰直角三角形）．现取长斜一张、大三斜两张、小三斜四张拼成如图②所示的图形．若设长斜的最长边为y，小三斜的直角边为x，则y与x的关系可以表示为_____． 12. 在平面直角坐标系中，直线和直线分别交轴于、两点，两直线交点是点，在内部作矩形，使得矩形的四个顶点都落在的边上，且矩形的长是宽的倍，则矩形的宽的长度是___________． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 已知和成正比例，当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若点是该函数图象上的一点，求a的值． 14. 如图，的对角线与相交于点O，，，的周长是20． （1）求的度数； （2）求的长． 15. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点与点，求： （1）直线的解析式； （2）若点E是线段上一点，且的面积为5，求点E的坐标． 16. 中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，利用上述结论求的面积． 17. 如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹） （1）在图1中，作出中边上的高； （2）在图2中，作出一个菱形． 四、解答题（每小题8分、共24分） 18. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 19. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 20. 如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． （1）求m的值及的解析式； （2）求三角形的面积； （3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 五、解答题（每小题9分，共18分） 21. 如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） （1）图中______，______，小球的速度为______． （2）求图2中直线的函数解析式． （3）若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 22. 【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质． 如图1，菱形的边长为，，则______，______． 【操作发现】（2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点P（点P不与点B重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点P位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 六、解答题（每小题12分，共12分） 23. 【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边放到x轴上，若，，过线段的中点Q，作直线垂直线段交x轴于点H，直线垂直线段交x轴于点F，求线段的长． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A，轴于点C，点P是线段上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江西科技学院附中八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 函数的自变量取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的自变量取值范围．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选：C． 2. 已知点，都在直线上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，分别把点，代入直线，求出，的值，再比较大小即可．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：点，都在直线上， ，． ， ． 故选：B． 3. 如图，在中，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据平行四边形的性质结合直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 4. 铈元素属于稀土元素，稀土元素被称为“21世纪黄金”，广泛应用于电子、军事、石油化工等领域，如图是硫酸铈和硝酸钾两种固体物质在不同温度时的溶解度曲线图象，下列说法正确的是（ ） A. 时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐增大 B. 硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度 C. 时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度 D. 当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解纵横坐标表示的意义，然后分析两种物质的溶解度曲线的走势，再结合交点的位置进行分析，即可作答． 【详解】解：A、时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐减小，故该选项不符合题意； B、时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度，故该选项不符合题意； C、时，硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度，故该选项不符合题意； D、当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求得，根据作图过程可得，由四边形是平行四边形，可得，从而得出，进一步得到，由等腰三角形判定可得，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题中作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握坐标与图形的性质． 6. 如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理；延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，由折叠的性质得到，通过，于是得到．由等腰三角形的性质得到，由余角的性质得到，于是求得，得，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， 点关于直线的对称点为， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， 正方形的边长为， ， 设， ， 即， 解得：． 故答案为：． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 一次函数的图象与y轴的交点坐标________________. 【答案】(0，-2) 【解析】 【分析】根据一次函数与y轴的交点得横坐标等于0，将x=0代入y=x-2，可得y的值，从而可以得到一次函数y=x-2的图象与y轴的交点坐标． 【详解】将x=0代入y=x−2，可得y=−2， 故一次函数y=x−2的图象与y轴的交点坐标是(0,−2). 故答案为（0，-2） 【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于一次函数与y轴的交点得横坐标等于0 8. 点在正比例函数上， 则m为____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正比例的性质，把点的坐标代入即可求出答案． 【详解】解：∵点在正比例函数上， ∴ 解得， 故答案为： 9. 点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，进一步证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在中，，点P是边上的动点，连接，E是的中点，F是的中点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，垂线短最短，含30度角的直角三级形，易得是的中位线，得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 11. 如图①，《蝶几图》是明朝的戈汕分割正方形的一种方式，将大正方形分割为长斜（等腰梯形）、右半斜和左半斜（直角梯形）、闺、小三斜和大三斜（等腰直角三角形）．现取长斜一张、大三斜两张、小三斜四张拼成如图②所示的图形．若设长斜的最长边为y，小三斜的直角边为x，则y与x的关系可以表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、求函数关系式，根据题意结合等腰直角三角形的性质求解即可得解，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，直线和直线分别交轴于、两点，两直线交点是点，在内部作矩形，使得矩形的四个顶点都落在的边上，且矩形的长是宽的倍，则矩形的宽的长度是___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，①当矩形的长在上时，②当矩形的宽在上时，③当矩形的宽在上时，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】∵直线和直线分别交轴于、两点，两直线交点是点， 当时，，当时，,， 则，，， ∴ 设矩形的宽为，则矩形的长为, ①当矩形的长在上时，如图所示， ∴，又， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得：； ②当矩形的宽在上时， 同理可得， 则， 解得：； ③当矩形的宽在上时，如图所示， 依题意，，又， ∴， 解得：， ④当矩形的长在上时，同③的情形一样，可得， 综上所述，矩形的宽的长度是或或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 已知和成正比例，当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若点是该函数图象上的一点，求a的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由（1）中所求表达式，将代入解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：和成正比例， 设， 代入得，解得， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， 点是该函数图象上的一点， 把点代入，得，解得． 14. 如图，的对角线与相交于点O，，，的周长是20． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键： （1）直接根据平行四边形的对角相等，即可得出结果； （2）根据平行四边形的对角线互相平分，结合三角形的周长进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的周长， ∴． 15. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点与点，求： （1）直线的解析式； （2）若点E是线段上一点，且的面积为5，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点E的坐标为，根据的面积为5列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将点与点代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 设点E的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 16. 中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，利用上述结论求的面积． 【答案】（1） 证明：点D，E分别是的中点， ． ， ， ． 同理可得：，， ， 四边形为矩形． （2）44 【解析】 【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息． （1）证明得．同理可得：，，进而可证明四边形为矩形； （2）证明是的中位线可求出，然后求出矩形的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点D，E分别是的中点， 是的中位线， ， 由（1）可知，， ， ． 17. 如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹） （1）在图1中，作出中边上的高； （2）在图2中，作出一个菱形． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接即可； （2）延长交于点，令交于点，连接，，则四边形为所求． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即是中边上的高； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握等腰三角形的性质，菱形的判定是解题的关键． 四、解答题（每小题8分、共24分） 18. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，证明，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长交于， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，， 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即：椅子最高点到地面的距离为． 19. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】（1）购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元 （2）最少要花3210元钱 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， 【小问2详解】 解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且． 20. 如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． （1）求m的值及的解析式； （2）求三角形的面积； （3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 【答案】（1），直线的解析式为 （2）21 （3）k的值为或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、正比例函数，熟练掌握一次函数和正比例函数的图象与性质是解题关键． （1）将代入直线的解析式即可得的值；再利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）分三种情况：①当经过点时，②当时，③当时，根据一次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数得：， 解得； ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为． 【小问2详解】 解：对于一次函数， 当时，， 即，， 由（1）已得：， ∴三角形的面积； 【小问3详解】 解：∵一次函数的图象为，且不能围成三角形， ∴①当经过点时，则，解得； ②当时，则； ③当时，则； 综上，的值为或或． 五、解答题（每小题9分，共18分） 21. 如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） （1）图中______，______，小球的速度为______． （2）求图2中直线的函数解析式． （3）若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 【答案】（1）24，120，10； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题的关键． （1）根据函数图象可知，小球到达时，进而可求出m和小球的速度； （2）用待定系数法求解即可； （3）根据中点的定义列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，小球到达时， ∴小球的速度为． ∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板， ∴． 故答案为：24，120，10； 【小问2详解】 解：直线的函数解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：设挡板运动后的位置为，由题意，得 ， ∵小球恰好位于这两个挡板中点， ∴， 解得， ∴t的值为． 22. 【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质． 如图1，菱形的边长为，，则______，______． 【操作发现】（2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点P（点P不与点B重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点P位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1），12； （2）证明：四边形，是菱形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （3）不变，，理由如下： 四边形是菱形，， ， ， ， ， ． 故的大小不变，且； 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练以上知识点是解题的关键． （1）根据菱形的对角线平分对角，计算，利用菱形的对角线互相垂直且平分，勾股定理计算即可． （2）根据菱形的性质，结合，，得到，继而得到，证明即可． （3）根据菱形的性质，得到，根据，得到，计算得． 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： 菱形的边长为，， ，，，， ， ， ， 故答案为：，； （2）略 （3）略 六、解答题（每小题12分，共12分） 23. 【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边放到x轴上，若，，过线段的中点Q，作直线垂直线段交x轴于点H，直线垂直线段交x轴于点F，求线段的长． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A，轴于点C，点P是线段上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标． 【答案】 （1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）； （3）； （4）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等可证，从而利用可证； （2）过点作，交于，过作轴于，则是等腰直角三角形，由（1）同理可得，则，利用待定系数法即可求得函数解析式； （3）由（1）得，得，再根据中点坐标公式求出，待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，根据直线平移，求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出，，最后求出结果即可； （4）分点为直角顶点或点为直角顶点时或点为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中型全等可得点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）过点作，交于，过作轴于，如图所示： 则， 根据旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）同理可证， ，， 把代入得：，把代入得：， 解得：， ，， ，， ，， ， 设的函数解析式为， 将点，的坐标代入得， 解得：，， 直线的函数解析式为； （3）由（1）得， ，， ∴， ，， ∵Q为的中点， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理得：直线的解析式为， ∵， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为， 把分别代入得：，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 把分别代入得：，， 解得：，， ∴，， ∴． （4）①若点为直角顶点时，如图， 设点的坐标为，则的长为， ，，， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， 点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：， 即点的坐标为； ②若点为直角顶点时，如图， 设点的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ，， 点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：， 此时点与点重合，点与点重合， 即点的坐标为； ③若点为直角顶点时，如图， 设点的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ，， ， 又点在直线上， ， 解得：， 即点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，作辅助线构造模型，运用分类思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $