第07讲 整式加减（4大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第07讲 整式加减（4大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 同类项的判断 典型例题二 合并同类项 典型例题三 去括号与添括号 典型例题四 整式的加减运算 典型例题五 已知同类项求指数中字母或代数式的值 典型例题六 整式的加减中的化简求值 典型例题七 整式加减中的无关型问题 典型例题八 带有字母的绝对值化简问题 典型例题九 整式加减的应用 典型例题十 数字类规律探索 典型例题十一 图形类规律探索 知识点01 合并同类项 1. 同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2. 合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 【即时训练】 1．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）的结果是（   ） A．1 B． C．a D． 【即时训练】 2．（2025·安徽池州·模拟预测）写一个可以与合并的单项式 ． 知识点02 去括号 一、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 要点诠释： (1) 去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘。 (2) 去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号。 (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号。 （4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。 二、添括号法则 （1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。 要点诠释： (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的。 (2)去括号和添括号的关系如下： 如：， 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）将代数式：去括号后，得到的正确结果 ． 知识点03 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【即时训练】 1．（2025·安徽宣城·模拟预测）墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为（　　） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2024七年级上·安徽宣城·专题练习）的化简结果为 ． 知识点04 数字序列规律 重点题型： 给出看似无规律或规律不明显的数列，要求学生找出通项公式（第 n 项）。 观察相邻项关系： 计算相邻项的差（看是否等差）、比（看是否等比）。差或比本身也可能有规律（如二级等差）。 拆项法： 将每一项拆分成几部分（如符号、整数部分、分子分母）分别找规律。北师大版特别强调符号规律（正负交替）的处理。 与序号 n 建立联系： 列出表格，写出序号 n 和对应项 aₙ，寻找 aₙ 关于 n 的表达式（可能是 n 的一次式、二次式、乘方等）。这是最关键的一步。 特殊值验证： 将得到的代数式 aₙ = f(n) 代入 n=1, 2, 3 等小值，看结果是否与已知项匹配。 【即时训练】 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）观察下列代数式：，，，，，…，按照上述规律，第个代数式是 ，第n个代数式是 ． 【典型例题一 同类项的判断】 【例1】（2025·安徽六安·模拟预测）下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 【例2】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）写出一个与是同类项的单项式： ． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于的项称为“准同类项”． 例如：与是“准同类项”，则下列单项式 ①；②；③ 中， 与是“准同类项”的是 ． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）下列各组是同类项的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）请写出一个与为同类项的整式： ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）若与是同类项，试求的值． 【典型例题二 合并同类项】 【例1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）单项式与的和是，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）计算 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽六安·期中）单项式与 的和是单项式，则 ， ． 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）计算： 【典型例题三 去括号与添括号】 【例1】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）下列运算结果正确的是（   ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）化简的结果是 ． 【例4】（2024七年级上·安徽宣城·专题练习）去括号： （1） ； （2） ； （3） ． 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化简： (1)； (2)． 2．（2024七年级上·安徽宣城·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25七年级·安徽宣城·假期作业）将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来，你得到两个怎样的等式？ （1）比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？ （2）根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2的值，把它的后两项放在： ①前面带有“＋”号的括号里； ②前面带有“﹣”号的括号里． ③说出它是几次几项式，并按x的降幂排列． 【典型例题四 整式的加减运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽宣城·假期作业）小明把错写成，所得的结果与正确答案相比（　　） A．多 B．多 C．少 D．少 【例2】（24-25七年级上·安徽宣城·假期作业）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图中，图（　　）能正确地表示出“”的数量关系． A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）如果，那么 ． 【例4】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球9个、33个、9个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋子中球的个数都相同，则的值为 1．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的整式共有12个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，记： ， ． 同学们，通过以上材料的阅读，请回答下列问题： 若对于任意x都存在，则代数式的值为 ． 3．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题五 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例1】（24-25七年级上·四川南充·期中）若关于x，y的单项式与的和是单项式，则（   ） A． B．81 C． D．64 【例2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）若与相加后，结果仍是单项式，则的值是（    ） A．6 B．16 C．9 D． 【例3】（24-25七年级上·北京·期中）若与是同类项，则的值为 ． 【例4】 （24-25七年级上·重庆南川·期末）已知是常数，单项式和单项式是同类项，则的值是 ． 1．（2024七年级上·安徽宣城·专题练习）已知是绝对值最小的有理数，且与是同类项，试求多项式的值． 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）先化简，再求值 (1)，其中． (2)已知与是同类项，求代数式的值． 3．（24-25七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）数学课上老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： (1)求所捂的多项式； (2)若x、y的值能使单项式是同类项，求所捂多项式的值： 【典型例题六 整式的加减中的化简求值】 【例1】（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）已知，则的值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【例2】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，两个正方形的边长分别为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·北京通州·期中）如果代数式的值是0，那么代数式的值是 ． 【例4】（23-24七年级上·广东深圳·期末）在做整式加减法运算时，李老师在黑板上写出一个正确的运算过程，用手遮住一个代数式后形为：，当时，手遮住的代数式的值为 ． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中，． 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【简单应用】 ①已知，则_____； ②已知，求的值； (2)【拓展提高】 已知，，求式子的值． 【典型例题七 整式加减中的无关型问题】 【例1】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）若关于，的多项式不含项，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·广东广州·期末）在学习了整式的加减后，老师出了一道课堂练习题： 选择一个值，求：的值 甲说：“当时，原式” 乙说：“当时，原式” 丙说：“只选择一个值，没有选择的值，不能求出代数式的准确值” 丁说：“当a为任何一个有理数时，原式”这四位同学中，谁的说法是错误的？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例3】（24-25七年级上·云南临沧·期末）若关于、的多项式不含项，则k的值为 ． 【例4】（24-25七年级上·四川达州·期末）已知关于x的整式A、B，其中，．若当中不含x的二次项和一次项时，则的值是 ． 1．（24-25七年级上·北京·期中）已知两个多项式：，． (1)求：； (2)若（1）中式子的值与m的取值无关，求n的值． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中，试求．这位同学把误看成了，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当x取任意有理数时，的值是一个定值，求y的值． 【典型例题八 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（24-25七年级上·山东济南·期末）若，，且异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．3 D．7 【例2】（24-25七年级上·重庆开州·期末）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：． ①对2，4，6，8进行“绝对运算”的结果是20； ②对，，5进行“绝对运算”的结果为，则的最小值是16； ③对，，，进行“绝对运算”，化简的结果共存在6种不同的代数式． 以上说法中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3】（24-25七年级上·北京·阶段练习）已知表示正数，表示负数，化简 ． 【例4】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 1．（24-25七年级上·四川广安·期末）已知有理数理数在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：_____0，_____0； (2)化简：． 2．（23-24七年级上·福建莆田·期中）已知，，在数轴上的位置如下图，且． (1) ， ， (请用“”，“”填空)； (2)化简：． 3．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示1与3两点之间的距离是_____， (2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则_____， (3)数轴上表示x与5两点之间的距离可以表示为____， (4)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，若x表示一个有理数，则的最小值为______． 【典型例题九 整式加减的应用】 【例1】（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）飞机无风时的速度是，风速为，飞机顺风飞行小时比无风飞行小时多飞的航程为（       ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）将如图的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为、则的值是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·重庆·自主招生）一个三位数，个位数字是，十位数字是，百位数字是，将这个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，新数减原数的差是 ． 【例4】（2025·吉林·模拟预测）某停车场为24小时营业，其收费方式如下表所示．已知某辆车某日进入该停车场，停了小时（为正整数），若该辆车于当日间离场，则此次停车的费用为 元．（用含有的式子表示） 停车时长 收费标准 不超过3小时的部分 5元/小时 超过3小时的部分 3元/小时 1．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）对任意有理数，试判断整式与的值哪个更大，并说明理由． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 3．（24-25七年级上·山东威海·期末）A市、B市和C市分别有某种机器20台、20台、16台，现在决定把这些机器支援给D市36台，E市20台．已知调运机器的费用如表所示： A市 B市 C市 D市 200元/台 300元/台 400元/台 E市 800元/台 700元/台 500元/台 设从A市、B市各调x台到D市（） (1)C市调运到D市的机器为__________台，A市调运到E市的机器为__________台，B市调运到E市的机器为__________台，C市调运到E市的机器为__________台，（用含x的代数式表示）； (2)B市调运到E市的机器的费用为__________元（用含x的代数式表示，并化简）； (3)求调运完毕后的总运费（用含x的代数式表示，并化简），并求出当时调运完毕后的总运费． 【典型例题十 数字类规律探索】 【例1】（24-25七年级上·安徽宣城·假期作业）循环小数的小数部分第十六位数字是（　　） A．6 B．8 C．9 【例2】（24-25七年级上·福建三明·期中）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙……”等十个符号叫天干，“子、丑、寅……”等十二个符号叫地支，把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅……）正好六十为一周期，周而复始，循环纪律．有人总结出纪年算法的辅助表如下： 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表还很快算出1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2025年是（   ） A．丁酉 B．甲辰 C．乙已 D．丙午 【例3】（24-25七年级上·重庆·自主招生）等差数列：2、5、8、11、……，其中92是这个数串中的第 个数． 【例4】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）正整数按如下图的规律排列，请写出第6行，第6列的数字是 ；第n行，第n列的数字是 ．(用含n的代数式表示)． 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）在等差数列中，已知，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 2．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)用含（其中为正整数）的代数式表达上式规律为：______． (2)利用规律计算：． (3)探究并计算：． 3．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 【典型例题十一 图形类规律探索】 【例1】（24-25七年级上·重庆·期中）如图，用相同幸运星图案“＋”按一定规律排列成如下图形，其中图形①有1个幸运星，图形②有5个幸运星，图形③有9个幸运星…按此规律排列，则图形⑥中幸运星图案个数为    （   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【例2】（24-25七年级上·四川雅安·期中）如图是一个装饰连续旋转闪烁所形成的4个图案，照此规律闪烁，第2025次闪烁呈现出来的图案是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·江西九江·模拟预测）某景点的夜景灯图案是按一定规律连线组成的，如图，第①个图案一共有4个夜景灯，第②个图案一共有7个夜景灯，第③个图案一共有10个夜景灯…按此规律排列下去，第ⓝ个图案中夜景灯的个数为 ． 【例4】（2025·江西·模拟预测）图1是轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示．小王按照图2所示的方式玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2025个图1中的图形拼出来的图形的总长度是 （结果用含，的式子表示）． 1．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）把边长是1厘米的正方形纸片，按照下面规律拼成长方形： (1)用5个这样的正方形拼成的长方形的周长是___________厘米． (2)用n个这样的正方形拼成的长方形的周长是___________厘米． (3)用1000个这样的正方形拼成的长方形的周长是___________厘米． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形： 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第5个图形中共有 根火柴，第7个图形中共有 根火柴． (2)第n个图形中共有 根火柴（用含n的式子表示）． (3)若，如．规定，如．求的值（请给出你的计算过程）． 3．（2025·安徽芜湖·模拟预测）【观察思考】 如图某公园围栏是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“”或“第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个． 【规律发现】 （1）请求出第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）现有个“”，按此规律制作围栏，要求“”剩余最少，需要购买多少个“”？ 1．（2025·河北唐山·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江台州·模拟预测）如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（   ） A．2 B． C．8 D． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·假期作业）如果有2019名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1…的规律报数，那么第2019名学生所报的数是（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 4．（24-25七年级上·安徽宣城·假期作业）用小棒搭房子，搭一间用根，搭三间用根，如图，照这样子搭间房子要用（　　）根小棒． A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·重庆·期中）已知整式M：，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，其中n，为自然数，，为正整数，且．例如，当，时，整式，则，，下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有4个； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025·河南·模拟预测）若与是同类项，则m的值是 ． 7．（24-25七年级上·山东济南·期末）如果，那么代数式的值为 ． 8．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知多项式A、B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为，则多顶式A为 ． 9．（24-25七年级上·重庆黔江·阶段练习）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．已知多项式（a为常数），，M是N的“雅常式”，则M关于N的“雅常值”为 ． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在求的值时，发现：，从而得到．按此方法可解决下面问题．图①有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图②，有5个三角形，记作；再分别连接图②中间的小三角形三边中点得到图③，有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 11．（24-25七年级上·山东东营·期中）合并同类项 (1)； (2)． (3)； (4) 12．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值 (1)其中 (2)已知，求代数式的值 13．（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）按要求完成下列各小题． ……① ……② (1)如图是嘉嘉计算的过程． ①步骤①的依据是：_______ 在合并同类项时，________； ②步骤②依据的运算律是：________； (2)合并同类项，将结果按a的指数从大到小的顺序排列： ． 14．（2025·广东·模拟预测）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 15．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）数学中的逻辑推理主要包括归纳推理、类比推理和演绎推理．小明尝试探索能被8整除的整数的规律． 观察： ，，； ，，； ，，； ，，． 猜想： （1）请你判断3265160__________被8整除（填“能”或“不能”）； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于1000的整数能否被8整除，只需要看这个数的后__________位数能否被8整除．请说说你的判断方法． 应用： （3）如果一个整数能被25整除，那么这个整数的特征是__________． （4）某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，已知：①这个数能被8整除；②十位数字比个位数字大2；③百位数字是十位数字的一半；④千位数字是最小的正整数．这个房间号是多少？说说你的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 整式加减（4大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 同类项的判断 典型例题二 合并同类项 典型例题三 去括号与添括号 典型例题四 整式的加减运算 典型例题五 已知同类项求指数中字母或代数式的值 典型例题六 整式的加减中的化简求值 典型例题七 整式加减中的无关型问题 典型例题八 带有字母的绝对值化简问题 典型例题九 整式加减的应用 典型例题十 数字类规律探索 典型例题十一 图形类规律探索 知识点01 合并同类项 1. 同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2. 合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 【即时训练】 1．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）的结果是（   ） A．1 B． C．a D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的减法，解题的关键是掌握相应的运算法则，利用合并同类项的法则来求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【即时训练】 2．（2025·安徽池州·模拟预测）写一个可以与合并的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：可以与合并的单项式为， 故答案为：． 知识点02 去括号 一、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 要点诠释： (1) 去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘。 (2) 去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号。 (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号。 （4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。 二、添括号法则 （1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。 要点诠释： (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的。 (2)去括号和添括号的关系如下： 如：， 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号法则，解题的关键是掌握法则，括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号． 去括号即可求解． 【详解】解： 故选：B 【即时训练】 2．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）将代数式：去括号后，得到的正确结果 ． 【答案】 【分析】本题主要考查去括号法则，掌握括号前面是“”时，去掉括号，括号里的每一项都变号，是解题的关键．本题按照去括号的法则去括号即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点03 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【即时训练】 1．（2025·安徽宣城·模拟预测）墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减计算， 根据加法与减法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ∴覆盖的多项式为， 故选D． 【即时训练】 2．（2024七年级上·安徽宣城·专题练习）的化简结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号再合并同类项即可． 【详解】 故答案为：． 知识点04 数字序列规律 重点题型： 给出看似无规律或规律不明显的数列，要求学生找出通项公式（第 n 项）。 观察相邻项关系： 计算相邻项的差（看是否等差）、比（看是否等比）。差或比本身也可能有规律（如二级等差）。 拆项法： 将每一项拆分成几部分（如符号、整数部分、分子分母）分别找规律。北师大版特别强调符号规律（正负交替）的处理。 与序号 n 建立联系： 列出表格，写出序号 n 和对应项 aₙ，寻找 aₙ 关于 n 的表达式（可能是 n 的一次式、二次式、乘方等）。这是最关键的一步。 特殊值验证： 将得到的代数式 aₙ = f(n) 代入 n=1, 2, 3 等小值，看结果是否与已知项匹配。 【即时训练】 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的规律探索．根据所给多项式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给多项式可知， 的次数依次为，，，…， 所以第个多项式中的次数为； 的系数依次为，，，…， 所以第个多项式为． 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）观察下列代数式：，，，，，…，按照上述规律，第个代数式是 ，第n个代数式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知，单项式的系数依次为：，，，，，， 所以第个单项式的系数可表示为：， 单项式的次数依次为：，，，，，， 所以第个单项式的次数可表示为：， 所以第个单项式可表示为：， 当时，第个代数式是：． 故答案为：①，②． 【典型例题一 同类项的判断】 【例1】（2025·安徽六安·模拟预测）下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可． 【详解】解：A．和，字母相同，相同字母的次数不相同，不是同类项，此选项符合题意； B．和，字母相同，相同字母的次数相同是同类项，此选项符合题意； C．和，字母相同，但相同字母b的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D．和，字母相同，但相同字母的次数均不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）写出一个与是同类项的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的知识，同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项的定义书写即可，答案不唯一． 【详解】解：例如：（答案不唯一） 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于的项称为“准同类项”． 例如：与是“准同类项”，则下列单项式 ①；②；③ 中， 与是“准同类项”的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，根据题意判断即可． 【详解】解：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于的项称为“准同类项”， 与是“准同类项”的要求是所含字母为且单项式中的指数与中的指数之差均小于或等于， 与是“准同类项”的是和； 故答案为：． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）下列各组是同类项的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．根据同类项的定义逐项分析即可，同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 【详解】解：A、与相同字母指数不一样，不符合题意； B、与相同字母指数不一样，不符合题意； C、与所含字母不同，不符合题意； D、与是同类项； 故选：D. 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）请写出一个与为同类项的整式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的知识．熟练掌握同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，是解题的关键． 根据同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，书写即可，注意同类项与字母的顺序无关． 【详解】解：如，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）若与是同类项，试求的值． 【答案】 【分析】根据同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得x，y的值，再将整式化简代入即可得到答案． 【详解】解：由与是同类项，知， 可得， 所以当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查同类项的定义和整式的化简，利用相同字母指数相同来求解是解题的关键． 【典型例题二 合并同类项】 【例1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减．如果两个单项式所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同，那么这两个单项式为同类项，可以进行合并，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）单项式与的和是，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，根据两个单项式的和为单项式，得到两个单项式为同类项，根据同类项的定义，以及合并同类项的法则，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故选D． 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项计算法则求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·安徽六安·期中）单项式与 的和是单项式，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】本题考查合并同类项，根据题意，易得两个单项式为同类项，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵单项式与 的和是单项式， ∴单项式与为同类项， ∴， ∴； 故答案为：2，3 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键．根据运算法则进行判断即可． 【详解】解：，选项A正确； 和不是同类项，无法计算，选项B错误； 和不是同类项，无法计算，选项C错误； 和不是同类项，无法计算，选项D错误； 故选A． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】根据阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆面积列代数式，再化简即可． 本题主要考查了列代数式，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为： 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，正确进行计算是解题关键． 原式去括号，合并同类项即可． 【详解】解： ． 【典型例题三 去括号与添括号】 【例1】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）下列运算结果正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，根据合并同类项和去括号法则计算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意； 、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号和添括号，根据去括号和添括号法则运算即可判断求解，掌握去括号和添括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形正确，符合题意； 故选：． 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 根据去括号法则和合并同类项法则逐步化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例4】（2024七年级上·安徽宣城·专题练习）去括号： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减去括号，根据去括号法则计算即可得解，熟练掌握去括号法则是解此题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直接合并同类项即可解答； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，掌握合并同类项、去括号、添括号是解答本题的关键． 2．（2024七年级上·安徽宣城·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，掌握去括号法则成为解题的关键． （1）直接合并同类项即可解答； （2）先去括号，然后合并同类项，即可得到答案; （3）先去括号，然后按照整式加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 3．（24-25七年级·安徽宣城·假期作业）将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来，你得到两个怎样的等式？ （1）比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？ （2）根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2的值，把它的后两项放在： ①前面带有“＋”号的括号里； ②前面带有“﹣”号的括号里． ③说出它是几次几项式，并按x的降幂排列． 【答案】（1）添括号的法则见解析；（2）①﹣3x3﹣4x2＋（3x3﹣2）；②﹣3x3﹣4x2﹣（﹣3x3＋2）；③五次四项式，﹣3x5＋3x3﹣4x2﹣2 【分析】（1）将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来，得到4x＋3x﹣x＝4x＋（3x﹣x），4x﹣3x＋x＝4x﹣（3x﹣x），比较即可得到添括号法则； （2）①②利用添括号法则即可求解； ③利用多项式的定义，以及降幂排列的顺序求解即可． 【详解】解：（1）将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来， 得到4x＋3x﹣x＝4x＋（3x﹣x），4x﹣3x＋x＝4x﹣（3x﹣x）， 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号； （2）①﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2＝﹣3x3﹣4x2＋（3x3﹣2）； ②﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2＝﹣3x3﹣4x2﹣（﹣3x3＋2）； ③它是五次四项式，按x的降幂排列是﹣3x5＋3x3﹣4x2﹣2． 【点睛】本题考查了整式的加减，添括号，注意：（1）添括号是添上括号和括号前面的符号．也就是说，添括号时，括号前面的＋或﹣也是新添的不是原来多项式的某一项的符号移出来的．（2）添括号的添括号与去括号互为逆变形，添括号是否正确，可以用去括号进行检验． 【典型例题四 整式的加减运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽宣城·假期作业）小明把错写成，所得的结果与正确答案相比（　　） A．多 B．多 C．少 D．少 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减，计算错误写法与正确写法的差值，即可得到两者的差异． 【详解】解：正确算式为：， 错误算式为：， 计算两者的差值： ， 错误结果比正确答案多， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·安徽宣城·假期作业）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图中，图（　　）能正确地表示出“”的数量关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，根据各个选项列示表示出来即可得出答案． 【详解】解：根据加法的意义，表示的是，故该选项不符合题意； ．根据加法的意义，表示的是，故该选项符合题意； ．根据长方形的周长：，故该选项不符合题意； ．大长方形的面积： ，故该选项不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的化简，先去括号，再移项合并同类项，得，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【例4】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球9个、33个、9个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋子中球的个数都相同，则的值为 【答案】128 【分析】本题考查了整式的加减计算，先分别表示出经过取走和取出后，甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为，，，再由题意可得最后三个袋子中的球都是17个，由此得到，，即，，最后整体代入计算求解即可． 【详解】解：经过取走和取出后，甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为，，， ∵一共有个球，且最后三个袋子中的球的数量相同， ∴最后三个袋子中的球都是17个， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：128． 1．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的整式共有12个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握根据条件对取值分类讨论并计算满足条件的整式个数是解题的关键．根据已知条件（为自然数，为正整数 ），对的可能取值进行分类讨论，分别计算不同值下满足条件的整式的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】解：当时， ，为正整数，，此时整式为单项式（，整式只有常数项 ），则，，有个单项式． 当时，，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为；共个整式． 当时，，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，整式为； ，，整式为； ，，整式为； 时，： ，，整式为； ，，整式为； 时，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，，整式为； ，，，整式为； ，，，整式为； 时，，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 则，，整式为，共个整式． 对于说法①，满足条件的单项式有时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ），共个单项式，说法①正确． 对于说法②，当时，满足条件的整式有个，所以“不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个”说法②错误． 对于说法③，满足条件的整式个数为，说法③错误． 综上，只有说法①正确， 故选：． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，记： ， ． 同学们，通过以上材料的阅读，请回答下列问题： 若对于任意x都存在，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，根据定义进行计算，根据多项式相等得出的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解：∵=， 根据二次项系数可得， ∴， 整理得：， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减法则是解答此题的关键． （1）合并同类项即可求解； （2）先去括号，再合并同类项即可求解； （3）先去括号，再合并同类项即可求解； （4）先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典型例题五 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例1】（24-25七年级上·四川南充·期中）若关于x，y的单项式与的和是单项式，则（   ） A． B．81 C． D．64 【答案】B 【分析】本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此可得a，b的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：关于x，y的单项式与的和是单项式， ， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）若与相加后，结果仍是单项式，则的值是（    ） A．6 B．16 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．根据题意求出m,n的值，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得， ， ∴． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·北京·期中）若与是同类项，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，已知字母的值求代数式的值，先根据与是同类项，得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【例4】 （24-25七年级上·重庆南川·期末）已知是常数，单项式和单项式是同类项，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式和单项式是同类项， ∴，， ∴， 故答案为：8． 1．（2024七年级上·安徽宣城·专题练习）已知是绝对值最小的有理数，且与是同类项，试求多项式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，绝对值，同类项的定义；根据题意得出，，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是绝对值最小的有理数， ∴， ∵与是同类项， ∴，， ∴． ∵ ∴原式． 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）先化简，再求值 (1)，其中． (2)已知与是同类项，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、同类项、代数式求值等知识点，掌握整式的加减混合运算法则成为解题的关键． （1）先根据整式的加减混合运算法则化简，然后将代入计算即可． （2）先根据同类项的定义确定a、b的值，然后再运用整式的加减运算法则化简，最后将a、b的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解：∵与是同类项， ∴， ； 当时，原式． 3．（24-25七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）数学课上老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： (1)求所捂的多项式； (2)若x、y的值能使单项式是同类项，求所捂多项式的值： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，同类项的定义： （1）根据题意只需要根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到答案； （2）所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得，则，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∴所捂的多项式为 （2）解：∵单项式是同类项， ∴， ∴， ∴． 【典型例题六 整式的加减中的化简求值】 【例1】（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）已知，则的值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选A． 【例2】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，两个正方形的边长分别为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分的面积两个正方形的面积两个三角形的面积，然后列代数式化简即可． 【详解】解：由图形得， 阴影部分的面积为： ， 故选：A． 【点睛】题目主要考查图形面积与整式的加减应用，结合图形列代数式求解是解题关键． 【例3】（24-25七年级上·北京通州·期中）如果代数式的值是0，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据题意得到，再把所求式子去括号后合并同类项得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是0， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级上·广东深圳·期末）在做整式加减法运算时，李老师在黑板上写出一个正确的运算过程，用手遮住一个代数式后形为：，当时，手遮住的代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是整式的加减，代数式求值，解题的关键是根据题意求出手遮住的代数式，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 【详解】解：所捂住的代数式是： ， 把代入得： 原式． 故答案为：3． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中，． 【答案】，8 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用整式加减的运算法则化简，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 代入，，原式． 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值； （2）由（1）可得，该多项式为，再整体代入计算求值即可． 【详解】（1）解：， 该多项式不含三次项， ， ； （2）解：由（1）可得，该多项式为， 当，时， ． 3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【简单应用】 ①已知，则_____； ②已知，求的值； (2)【拓展提高】 已知，，求式子的值． 【答案】(1)①2025；② (2) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，代数式求值，掌握整式的加减-化简求值的运算法则以及整体代入思想是关键． （1）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （2）将代数式变形为，再化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ， 故答案为： 2025； ②， ． （2）解：∵， ． 【典型例题七 整式加减中的无关型问题】 【例1】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）若关于，的多项式不含项，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不含项即含项的系数为0，据此求解即可， 本题考查了整式加减中的无关型问题，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值． 【详解】解：依题意， ∵关于，的多项式不含项， ∴， ∴， 故选B． 【例2】（24-25七年级上·广东广州·期末）在学习了整式的加减后，老师出了一道课堂练习题： 选择一个值，求：的值 甲说：“当时，原式” 乙说：“当时，原式” 丙说：“只选择一个值，没有选择的值，不能求出代数式的准确值” 丁说：“当a为任何一个有理数时，原式”这四位同学中，谁的说法是错误的？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，合并同类项求出的化简结果为2035，即该多项式的结果与a，b的取值无关，据此可得结论． 【详解】解： ， ∴多项式的结果恒等于2035，与a，b的取值无关， ∴丙同学的说法是错误． 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·云南临沧·期末）若关于、的多项式不含项，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，掌握合并同类项法则是解题关键．原式利用合并同类项法则计算，根据结果不含项，确定出k的值即可． 【详解】解：， 多项式不含项， ， ， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·四川达州·期末）已知关于x的整式A、B，其中，．若当中不含x的二次项和一次项时，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解．将已知整式代入中，去括号，合并同类项进行化简，然后分别令二次项和一次项系数为零，列方程求得m和n的值，从而代入求值． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵中不含x的二次项和一次项， ∴，， 解得：， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·北京·期中）已知两个多项式：，． (1)求：； (2)若（1）中式子的值与m的取值无关，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的化简求值以及与字母取值无关的问题，解题的关键是熟练运用去括号，合并同类项法则进行化简． （1）利用整式加减运算法则，先去括号，再合并即可； （2）再根据（1）中化简的式子的值与取值无关求出的值． 【详解】（1）解：， 已知，将其代入可得： ； （2）解：由（1）得到式子， 因为该式子的值与的取值无关，这意味着含有的项的系数为0， 即， 解得． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负性的性质求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案； （2）先把原多项式合并同类项，再根据不含二次项，即二次项的系数为0求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴原式； （2） ， ∵关于、的多项式不含二次项， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中，试求．这位同学把误看成了，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当x取任意有理数时，的值是一个定值，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据，结合整式的加减计算法则求解即可； （2）根据，结合整式的加减计算法则求出的结果，再根据题意的值与x的取值无关，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴          ； （2）解： ，      ∵当x取任意有理数，的值是一个定值， ∴的值与x的取值无关， ∵， ∴， ∴． 【典型例题八 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（24-25七年级上·山东济南·期末）若，，且异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．3 D．7 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的减法运算，先根据题意，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵m，n异号， ∴，，或，， ∴或； 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·重庆开州·期末）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：． ①对2，4，6，8进行“绝对运算”的结果是20； ②对，，5进行“绝对运算”的结果为，则的最小值是16； ③对，，，进行“绝对运算”，化简的结果共存在6种不同的代数式． 以上说法中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值化简，“绝对运算”，熟练掌握“绝对运算”的定义是解题的关键． 根据“绝对运算”的定义，分别对各说法进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴①正确； ∵， 表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故②正确； ， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 化简结果存在种不同的表达式， 故③正确, 故选：D ． 【例3】（24-25七年级上·北京·阶段练习）已知表示正数，表示负数，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，整式的加减，根据a为正数、b为负数可得出，，进而可化简绝对值，再进行整式的加减运算即可． 【详解】解：∵a为正数、b为负数 ∴，， ∴ 故答案为：． 【例4】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查数轴上两点间距离的表示方法、绝对值的意义等知识点，将代数问题转化为几何问题也是解题的关键． 分、、三种情况分别求值，然后比较即可解答． 【详解】解：当时，； 当时，，当时，有最大值5； 当时，． 综上， 的最大值为5． 故答案为5． 1．（24-25七年级上·四川广安·期末）已知有理数理数在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算,解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据数轴可知，据此根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据（1）所求化简绝对值求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴， 故答案为：>；； （2）解：∵， ∴ ． 2．（23-24七年级上·福建莆田·期中）已知，，在数轴上的位置如下图，且． (1) ， ， (请用“”，“”填空)； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查数轴、化简绝对值，整式的加减运算； （1）观察数轴可知，，，根据有理数的加减法运算法则即可解答； （2）根据绝对值的非负性，结合数轴即可化简绝对值，再根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由数轴得：，， ，， （2）由（1）知， ， ，， 原式 ． 3．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示1与3两点之间的距离是_____， (2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则_____， (3)数轴上表示x与5两点之间的距离可以表示为____， (4)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，若x表示一个有理数，则的最小值为______． 【答案】(1)2 (2)或 (3) (4)4 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上两点距离公式即可解答； （2）根据数轴上两点距离公式建立方程即可解答； （3）根据数轴上两点间的距离列式表示； （4）分，和，三种去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示1与3两点之间的距离是， 故答案为：2； （2）解：由题意得，， ∴或 解得：或， 故答案为：或； （3）解：数轴上表示x与5两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （4）解：当时， ， 当时， ， 当时， ； 综上所述，若x表示一个有理数，则的最小值为4， 故答案为：4． 【典型例题九 整式加减的应用】 【例1】（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）飞机无风时的速度是，风速为，飞机顺风飞行小时比无风飞行小时多飞的航程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意可得顺风飞行的速度为，根据路程等于速度乘以时间，分别计算出顺风飞行的路程和无风飞行的路程，二者相减即可得到答案． 【详解】解：， ∴飞机顺风飞行小时比无风飞行小时多飞的航程为， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）将如图的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为、则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，首先设，则有，，根据矩形的面积公式可以用含的代数式分别表示出、，再利用整式的加减法求出即可． 【详解】解：如下图所示， 设， 则，， ，， ． 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·重庆·自主招生）一个三位数，个位数字是，十位数字是，百位数字是，将这个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，新数减原数的差是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位值原则的应用，原三位数可表示为，交换后的新三位数为，作差即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，原三位数可表示为， 交换后的新三位数为， ∴新数减原数的差是， 故答案为：． 【例4】（2025·吉林·模拟预测）某停车场为24小时营业，其收费方式如下表所示．已知某辆车某日进入该停车场，停了小时（为正整数），若该辆车于当日间离场，则此次停车的费用为 元．（用含有的式子表示） 停车时长 收费标准 不超过3小时的部分 5元/小时 超过3小时的部分 3元/小时 【答案】 【分析】先计算停车的时间x的取值范围，后根据收费标准，列代数式即可． 本题考查了分段收费问题，正确理解分段收费的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，停车时长x的范围是（小时），（小时），停了小时，超过了3小时， 故收费为元， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）对任意有理数，试判断整式与的值哪个更大，并说明理由． 【答案】值更大，理由见解析 【分析】本题考查的知识点是作差比较两个整式的大小关系、整式的加减运算、平方的非负性，解题关键是掌握作差法比较整式大小． 先作差，再根据平方的非负性判断作差后得到的整式与的大小关系，大于则被减整式大． 【详解】解： 对任意有理数都有， ， ， ， 故整式值更大． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，即可作答． （2）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，得，最后结合为正整数，则为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解：能，理由如下： 依题意， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴能被6整除， 即当和为正整数时，减去的差能被6整除． 3．（24-25七年级上·山东威海·期末）A市、B市和C市分别有某种机器20台、20台、16台，现在决定把这些机器支援给D市36台，E市20台．已知调运机器的费用如表所示： A市 B市 C市 D市 200元/台 300元/台 400元/台 E市 800元/台 700元/台 500元/台 设从A市、B市各调x台到D市（） (1)C市调运到D市的机器为__________台，A市调运到E市的机器为__________台，B市调运到E市的机器为__________台，C市调运到E市的机器为__________台，（用含x的代数式表示）； (2)B市调运到E市的机器的费用为__________元（用含x的代数式表示，并化简）； (3)求调运完毕后的总运费（用含x的代数式表示，并化简），并求出当时调运完毕后的总运费． 【答案】(1)，，， (2) (3)，26000元 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算的应用，正确利用基本数量关系，列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，求解即可； （2）先表示出市调运到市的机器台数，再根据单价求解即可； （3）求得调往各市的机器台数，再根据单价求解即可． 【详解】（1）设从A市、B市各调x台到D市（），则D市现有机器台，还需C市调运到D市的机器为台，A市调运到E市的机器为台，B市调运到E市的机器为，C市调运到E市的机器为台 故答案为：，，， （2）∵B市调运到E市的机器为， ∴B市调运到E市的机器的费用为元 故答案为： （3）由题可知：总费用为，当时，， 则调运完毕后的总运费为元 【典型例题十 数字类规律探索】 【例1】（24-25七年级上·安徽宣城·假期作业）循环小数的小数部分第十六位数字是（　　） A．6 B．8 C．9 【答案】A 【分析】本题考查循环小数循环节的应用，解题关键是确定循环节位数，通过除法运算的商和余数判断对应位置数字． 先确定循环节的位数，再用16除以循环节位数，根据余数判断第十六位数字． 【详解】解：循环小数的循环节是689，循环节的位数是3． ，其中商表示循环节完整出现5次，余数1表示第16位是下一个循环节的第1位数字． ∵循环节689的第1位数字是6， ∴小数部分第十六位数字是6， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·福建三明·期中）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙……”等十个符号叫天干，“子、丑、寅……”等十二个符号叫地支，把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅……）正好六十为一周期，周而复始，循环纪律．有人总结出纪年算法的辅助表如下： 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表还很快算出1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2025年是（   ） A．丁酉 B．甲辰 C．乙已 D．丙午 【答案】C 【分析】本题考查了规律问题的探索与运用，读懂题目介绍的中国传统纪年方法是解题的关键．天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，2000年是庚辰年，从2000年算起，用25分别除以10和12，根据余数结合天干地支表即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，2000年是庚辰年，那么2000年的天干对应的数字是0，地支对应的数字是8，从2000年开始算起，2025年为第25年， 天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期， ，， 那么2025年的天干从0开始数，第5个是乙，2025年的地支与2001年的地支一样，都是数字是9， 2025年对应的天干为乙，地支为巳， 故2025年为乙巳年， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·重庆·自主招生）等差数列：2、5、8、11、……，其中92是这个数串中的第 个数． 【答案】 【分析】本题考查了等差数列，根据第项首项公差列式计算即可得解，熟练掌握等差数列的公式计算即可得解． 【详解】解：（个）， 故其中92是这个数串中的第个， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）正整数按如下图的规律排列，请写出第6行，第6列的数字是 ；第n行，第n列的数字是 ．(用含n的代数式表示)． 【答案】 31 【分析】本题考查数字规律探索，用代数式表示规律，代数式的值，仔细观察各行各列数规律，抓住第一列规律，与第一行规律是解题关键． 先找出第一列每一行的规律，再找出第一行每一列规律，观察然后再找出第行，第列是第 1 行，第列与第行，第 1 列两数和的一半，然后求第6行，第6列的数字即可． 【详解】解：第一列各行数为， 第一行各数为， 第 1 行，第列的数字为，第行，第 1 列的数字为， 第行，第列的数字为． ∴第6行，第6列的数字为， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）在等差数列中，已知，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合是等差数列，，得，再结合，则，即； （2）先得出，再整理得以及，计算化简得，即可作答． 【详解】（1）解：∵是等差数列，， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴． 依题意，，，…… 以此类推得， ∴； （2）解：∵，且由（1）得， ∴， 当时，则； 当时，则； 当时，则； ……， ∴， 则 ， 则 ， 即． 2．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）观察下列式子： ；；；；… (1)用含（其中为正整数）的代数式表达上式规律为：______． (2)利用规律计算：． (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字规律，有理数的混合运算，理解数字规律的计算，掌握有理数的混合运算法则是关键． （1）根据材料提示的计算方法即可求解； （2）根据材料提示方法展开，再根据有理数的混合运算法则计算即可； （3）根据材料提示方法展开，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：；；；；… ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 3．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 【答案】(1)，，，， (2)，过程见解析 【分析】本题考查了规律探究和乘方的应用，正确理解题意是关键； （1）根据题意提供的方法找到规律解答即可； （2）仿照题目中给的方法解答即可. 【详解】（1）解：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则， 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则； 同种操作，如图3，； 如图4，； ……， 若同种地操作n次，则． 于是归纳得到：； 故答案为：，，，，； （2）解：设①， 则②， ，得， 即. 【典型例题十一 图形类规律探索】 【例1】（24-25七年级上·重庆·期中）如图，用相同幸运星图案“＋”按一定规律排列成如下图形，其中图形①有1个幸运星，图形②有5个幸运星，图形③有9个幸运星…按此规律排列，则图形⑥中幸运星图案个数为    （   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中幸运星个数，找出第个幸运星个数为是解题的关键．仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解． 【详解】解：∵第①个图案幸运星个数为， 第②个图案幸运星个数为， 第③个图案幸运星个数， 第④个图案幸运星个数， …， 则第⑥个图案三角形个数为， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·四川雅安·期中）如图是一个装饰连续旋转闪烁所形成的4个图案，照此规律闪烁，第2025次闪烁呈现出来的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了图形的变换规律问题，解题的关键是找到图形旋转的规律周期．观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项． 【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周， ∵， 即第2025次与第1次的图案相同． 故选：A． 【例3】（2025·江西九江·模拟预测）某景点的夜景灯图案是按一定规律连线组成的，如图，第①个图案一共有4个夜景灯，第②个图案一共有7个夜景灯，第③个图案一共有10个夜景灯…按此规律排列下去，第ⓝ个图案中夜景灯的个数为 ． 【答案】 【分析】第①个图案中夜景灯的个数为；第②个图案中夜景灯的个数为；第③个图案中夜景灯的个数为所以第n个图案中夜景灯的个数为． 本题考查了整式的规律探解，掌握发现规律并表示规律是解题的关键 【详解】解： 第①个图案中夜景灯的个数为；第②个图案中夜景灯的个数为；第③个图案中夜景灯的个数为 所以第n个图案中夜景灯的个数为． 故答案为：． 【例4】（2025·江西·模拟预测）图1是轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示．小王按照图2所示的方式玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2025个图1中的图形拼出来的图形的总长度是 （结果用含，的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了整式与图形的规律型问题．先分别求出用1、2、3、4个这样的图形拼出来的图形的总长度，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，用1个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用2个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用3个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用4个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 归纳类推得：用个这样的图形拼出来的图形的总长度为（其中，为正整数）， 则用2025个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）把边长是1厘米的正方形纸片，按照下面规律拼成长方形： (1)用5个这样的正方形拼成的长方形的周长是___________厘米． (2)用n个这样的正方形拼成的长方形的周长是___________厘米． (3)用1000个这样的正方形拼成的长方形的周长是___________厘米． 【答案】(1)12 (2) (3)2002 【分析】本题主要考查图形规律． （1）一个正方形的周长是4厘米，两个正方形拼成长方形后的周长是6厘米，三个正方形拼成长方形后的周长是8厘米，四个正方形拼成的长方形的周长是10厘米，可求五个正方形拼成的长方形的周长； （2）由（1）知，每增加1个正方形周长就会增加2厘米，由此可求解； （3）当时，代入计算即可得到结论． 【详解】（1）解：5个正方形拼成的长方形的周长是（厘米）， 故答案为：12； （2）解：n个正方形拼成的长方形的周长是：， 故答案为：； （3）解：当时，（厘米）， 故答案为：2002． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形： 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第5个图形中共有 根火柴，第7个图形中共有 根火柴． (2)第n个图形中共有 根火柴（用含n的式子表示）． (3)若，如．规定，如．求的值（请给出你的计算过程）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查图形的规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）观察发现每增加一个图案增加三根火柴，从而得到规律，代入求解即可求得总数． （2）根据（1）中规律即可得出结论． （3）根据题意，代入，计算即可． 【详解】（1）观察图形可知，第一个图形有根， 第二个图形有根， 第三个图形有根， 第四个图形有根， 第五个图形有根， 第六个图形有根， 第七个图形有根， 第五个图形有根，第七个图形有根． （2）第n个图形有根， 第n个图形中共有根火柴． （3） ． 3．（2025·安徽芜湖·模拟预测）【观察思考】 如图某公园围栏是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“”或“第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个． 【规律发现】 （1）请求出第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）现有个“”，按此规律制作围栏，要求“”剩余最少，需要购买多少个“”？ 【答案】（1），，（2）需要购买个“” 【分析】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键． （1）根据题中的规律进行解答即可； （2）利用（1）中的规律即可得到答案． 【详解】（1）由所给图形可知， 第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：； 第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：； 第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：； ， 所以第个图案中“”的个数为个，“”的个数为个． 故答案为：，． （2）由得， ， 所以制作成第个图案“”剩余最少， 此时需要购买的“”的个数为：个， 故需要购买个“”． 1．（2025·河北唐山·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键． 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可． 【详解】解：A、，写法正确，符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·浙江台州·模拟预测）如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可得，则． 【详解】解：∵代数式的值为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·假期作业）如果有2019名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1…的规律报数，那么第2019名学生所报的数是（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察数列规律，每6个数（1、2、3、4、3、2）为一个周期循环．计算2019除以6的余数，即可确定第2019名学生对应的数． 【详解】解：∵有2019名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1…的规律报数， ∴每6次报数为一个循环，所报的数依次为1，2，3，4，3，2， ∵， ∴第2019名学生所报的数是3， 故选：C． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·假期作业）用小棒搭房子，搭一间用根，搭三间用根，如图，照这样子搭间房子要用（　　）根小棒． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了探索数字与图形的规律，解决本题的关键是写出前个图形房间的数量与火柴棒的根数之间的规律，根据规律计算间房子需要的小木棒的根数． 【详解】解：搭间房子用根小棒，即， 搭间房子用根小棒，即， 搭间房子用根小棒，即， ， 搭间房子用的小棒数为：， （根）， 故答案为：C． 5．（24-25七年级上·重庆·期中）已知整式M：，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，其中n，为自然数，，为正整数，且．例如，当，时，整式，则，，下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有4个； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论，依次判断得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的整式M共有4个，故①正确； 当时，当时，，不符合题意； 当时，， ∴， ∴， 满足条件的整式有：， 当时，， ∴， ∴，， 满足条件的整式有：，， ∴满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 由①得当时，满足条件的整式M共有4个； 当时，则， ∴ ∴，，，满足条件的整式M共有6个； 当时，则， ∴ ∴，，，满足条件的整式M共有4个； 当时，则， ∴ ∴，满足条件的整式M共有1个； 当时，则，（不符合题意，舍去） ∴满足条件的整式共有个．故③错误； 故选B 6．（2025·河南·模拟预测）若与是同类项，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的概念是解题的关键． 根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，得出m的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴ ． 故答案为：2． 7．（24-25七年级上·山东济南·期末）如果，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减与化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将原式去括号，合并同类项并整理后代入数值计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知多项式A、B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为，则多顶式A为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据题意可得，然后将代入并求解即可． 【详解】解：根据题意，， 即， ∴； 故答案为：． 9．（24-25七年级上·重庆黔江·阶段练习）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．已知多项式（a为常数），，M是N的“雅常式”，则M关于N的“雅常值”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可．计算，令含未知数的项的系数为零即可求解． 【详解】解： ， M是N的“雅常式”， ， ， ， ∴M是N的“雅常式”是4． 故答案为：4． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在求的值时，发现：，从而得到．按此方法可解决下面问题．图①有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图②，有5个三角形，记作；再分别连接图②中间的小三角形三边中点得到图③，有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意得到，即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：图①有1个三角形，记作， 图②，有5个三角形，记作， 图③，有9个三角形，记作， ， ∴第个图中三角形的个数为：， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·山东东营·期中）合并同类项 (1)； (2)． (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题关键． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可； （3）根据合并同类项法则计算即可； （4）根据合并同类项法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解： 12．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值 (1)其中 (2)已知，求代数式的值 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式加减运算中的化简求值： （1）去括号，合并同类项后，代值计算即可； （2）根据非负性求出的值，将代数式去括号，合并同类项后，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； 当时，原式； （2）∵ ∴， ∴， ∴ ． 13．（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）按要求完成下列各小题． ……① ……② (1)如图是嘉嘉计算的过程． ①步骤①的依据是：_______ 在合并同类项时，________； ②步骤②依据的运算律是：________； (2)合并同类项，将结果按a的指数从大到小的顺序排列： ． 【答案】(1)①合并同类项法则；把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变；②加法结合律； (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，添括号，多项式升（降）幂排列，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则和添括号法则． （1）根据添括号法则和合并同类项法则进行解答即可； （2）根据合并同类项法则进行计算，再将结果按a的指数从大到小的顺序排列即可． 【详解】（1）解：①合并同类项法则；把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变；②加法结合律； （2）解：原式 ． 14．（2025·广东·模拟预测）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 15．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）数学中的逻辑推理主要包括归纳推理、类比推理和演绎推理．小明尝试探索能被8整除的整数的规律． 观察： ，，； ，，； ，，； ，，． 猜想： （1）请你判断3265160__________被8整除（填“能”或“不能”）； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于1000的整数能否被8整除，只需要看这个数的后__________位数能否被8整除．请说说你的判断方法． 应用： （3）如果一个整数能被25整除，那么这个整数的特征是__________． （4）某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，已知：①这个数能被8整除；②十位数字比个位数字大2；③百位数字是十位数字的一半；④千位数字是最小的正整数．这个房间号是多少？说说你的理由． 【答案】（1）能；（2）三，见解析；（3）末两位必须是00或25或50或75；（4）1120，理由见解析 【分析】此题考查了整式的加减运算的应用，数字类规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）通过计算判断即可； （2）观察题干中的数据总结规律即可，然后根据整除的性质求解即可； （3）同（2）的方法求解即可； （4）根据题意设设这个四位数的百位数字是x，则十位数字是，个位数字是，表示出这个四位数，然后求出，得到或2或3或4，然后分别代入求解判断即可． 【详解】（1） ∴3265160能被8整除； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于1000的整数能否被8整除，只需要看这个数的后三位数能否被8整除； ∵ ∴1000能被8整除 ∴个位，十位，百位都是0的大于1000的数都能被8整除 ∴如果一个大于1000的整数的后三位能被8整除 ∴这个大于1000的整数就能被8整除； （3）∵ ∴100能被25整除 ∴个位，十位都是0的大于100的数都能被25整除 ∴如果一个大于100的整数的末两位能被25整除 ∴这个大于100的整数就能被25整除 ∵，，， ∴如果一个整数能被25整除，那么这个整数的特征是末两位必须是00或25或50或75； （4）这个房间号是1120，理由如下： ∵某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，十位数字比个位数字大2；百位数字是十位数字的一半； ∴设这个四位数的百位数字是x，则十位数字是，个位数字是 ∵千位数字是最小的正整数1 ∴这个四位数可以表示为 ∵这个数能被8整除 ∴能被8整除 根据题意得，， ∴解得 ∵x是正整数 ∴或2或3或4 当时，，能被8整除，符合题意． ∴当时，，不能被8整除，不符合题意； 当时，，不能被8整除，不符合题意； 当时，，不能被8整除，不符合题意； ∴，， ∴这个房间号是1120． 学科网（北京）股份有限公司 $$