第06讲 代数式（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第06讲 代数式（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 列代数式 典型例题二 代数式书写方法 典型例题三 单项式的系数、次数 典型例题四 多项式的项、项数或次数 典型例题五 单项式与多项式的判断 典型例题六 整式的判断 典型例题七 已知字母的值 ，求代数式的值 典型例题八 已知式子的值，求代数式的值 典型例题九 写出满足某些特征的单项式 典型例题十 多项式系数、指数中字母求值 典型例题十一 单项式规律问题 知识点01 用字母表示数 定义： 认识到字母可以代表一个具体的、但暂时未知的数，或者代表一个可以变化的数（变量）。这是从具体算术思维迈向抽象代数思维的关键一步。 概括数量关系： 用简洁的式子表达普遍规律或公式。 例如： 路程 = 速度 × 时间 → s = v * t 长方形面积 = 长 × 宽 → S = a * b 单价 × 数量 = 总价 → c = p * n 表示运算律： 加法交换律：a + b = b + a 乘法分配律：(a + b) * c = a*c + b*c 表示数学结论/公式： 圆的周长：C = 2πr (其中 π 是常数) 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 【即时训练】 1．（23-24七年级上·安徽池州·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； B．符合代数式的书写要求，故此选项符合题意； C．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； D．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； 故选：B． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·安徽宣城·阶段练习）一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是 【答案】/ 【分析】一个两位数，十位上数字是5，表示5个十，即50，个位上的数字是a，所以此数为． 【详解】解：一个两位数，十位上数字是5，个位上的数字是a，此数为． 故答案为：． 【点睛】此题考查用字母表示数，解答关键是明确十位上的数字表示几个十． 知识点02 代数式 代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。 注意：1、代数式不能有等号和不等号，有就不是代数式，而是等式或者不等式。 2、单独一个数字或者字母也是代数式。 3、代数式可以包含绝对值。 4、注意π并不是字母，而是一个数字。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的定义，代数式是指把数或表示数的字母用等运算符号连接起来的式子，而对于带有等数量关系的式子则不是代数式，据此可得答案． 【详解】解：由代数式的定义可知四个选项中，只有C选项中的式子不是代数式， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽六安·课前预习）用 将 和 连接而成的式子，叫做代数式． 【答案】 运算符号 数字 字母 【分析】根据代数式的概念求解即可． 【详解】解：用运算符号将数字和字母连接而成的式子，叫做代数式． 故答案为：运算符号；数字；字母． 【点睛】此题考查了代数式的概念，解题的关键是熟练掌握代数式的概念． 知识点03 代数式的值 定义： 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做这个代数式的值。 求代数式值的步骤： 写： 写出代数式。 代： 用具体的数值代替代数式里的字母。 注意： 如果字母取值是负数或分数，代入时必须加上括号。 如果字母取值是多个数，要一一对应代入。 算： 按照代数式指明的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），计算出结果。 【即时训练】 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知，，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，把，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【即时训练】 2．（2025·安徽滁州·模拟预测）若单项式的系数是m，次数是n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式、代数式求值，熟知单项式的系数、次数是解题的关键．数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，单独的一个数或字母也是单项式，据此求得m，n值即可求解． 【详解】解：由题意，单项式的系数，次数是， ∴， 知识点04 单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）单项式的系数、次数分别是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，根据单项式的系数、次数的定义解答即可，掌握定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的系数，次数为， 故选：． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）单项式的系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键：单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，注：单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面，当一个单项式的系数是或时通常省略数字不写而只写符号，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表示这个字母的指数是，不是“没有”． 根据单项式的系数、次数的定义即可直接得出答案． 【详解】解：单项式的系数为， 故答案为：． 知识点05 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）多项式的次数是（    ） A． B．1 C．6 D．3 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式的次数，正确把握多项式次数确定方法是解题关键．根据最高次项为，从而可得答案． 【详解】解：多项式的次数是次， 故选：C 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）多项式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，根据多项式的次数的定义解答即可，能熟记多项式的次数是多项式中次数最高项的次数是解决此题的关键． 【详解】解：多项式次数为最高项的次数是， 故答案为：3． 知识点06 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）下列代数式不是整式的是（     ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的概念，整式为单项式和多项式的统称，单项式是只有一个项的整式，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式． 判断一个代数式是否为整式，关键看分母是否含有字母，如果分母含有字母则不是整式．据此逐选项判断即可． 【详解】解：A、，其分母含有字母x，根据整式的定义，它不是整式． B、是由单项式与单项式组成的多项式，属于整式． C数字8是单独的一个数，属于单项式，所以是整式． D、是整式， 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）在代数式中，整式有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了整式的定义，整式是单项式和多项式的统称，据此求解即可． 【详解】解：在代数式中，整式有，共4个， 故答案为：4． 【典型例题一 列代数式】 【例1】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）某商品每件以盈利率出售，后产品滞销又在实际售价的基础上降价，则现在每卖出一件该商品（    ） A．赚钱 B．亏钱 C．不赚不亏 D．缺少条件无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，设该商品的成本价为元，先按盈利率定价，再降价，计算最终售价并与成本价比较即可判断盈亏． 【详解】解：设该商品的成本价为元， 第一次定价：盈利率，即售价为成本价的倍，故售价为元． 第二次降价：在实际售价基础上降价，即新售价为元． 再比较成本与售价：新售价元高于成本价元，每件盈利元，即盈利． 因此，现在每卖出一件该商品赚钱， 故选A． 【例2】（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，分解析图中五种情况，分别列式求出L的面积即可得到答案． 【详解】解：①如图， 的面积左边竖着的长方形的面积下面横着的长方形的面积，故错误； 如图， 的面积上边竖着的长方形的面积下面横着的长方形的面积，故正确； 如图， 的面积两个长方形的面积小正方形面积， 故正确； 如图， 的面积竖着的长方形的面积横着的长方形的面积重叠部分的正方形的面积，故错误； 如图， 的面积长方形的面积由辅助线构成的小长方形的面积，故正确， 综上可得：正确， 故选：B． 【例3】（2025·安徽安庆·模拟预测）学校有足球m个，篮球的数量比足球的2倍多18个，则篮球的数量为 个（用含m的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式．根据学校有足球m个，篮球的数量是足球的2倍还多18个，可得篮球的数量个． 【详解】解：∵学校有足球m个，篮球的数量比足球的2倍多18个， ∴篮球的数量个， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若每条棱上的小球数为，则正方体上小球总数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，根据正方体有12条棱，抛去顶点，每条棱上有个小球，乘以棱数后，再加上8个顶点处的小球数，列出代数式即可． 【详解】解：由图可知，正方体上小球总数为：； 故答案为：． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图、、、分别是长方形的四个顶点长，宽，以点为圆心为半径画圆弧，再以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为和，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，利用扇形的面积（长方形的面积半圆的面积）计算即可求解，正确识图是解题的关键 【详解】解：∵扇形的面积，半圆的面积，长方形的面积， ∴扇形的面积（长方形的面积半圆的面积） ， 故选：． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）某一齿轮组合需要由齿轮齿数；齿轮齿数，拟定齿轮与齿轮的转速比要达到，先需要增加两个齿轮（如图所示），若设齿轮齿数；齿轮齿数，则与的比值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例的应用，解题关键是结合‌齿轮传动过程中齿数与转速成反比关系解题．设齿轮与齿轮的转速分别为，齿轮和齿轮的转速为，根据“齿轮传动过程中齿数与转速成反比关系”求得的值，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，拟定齿轮与齿轮的转速比要达到， 可设齿轮与齿轮的转速分别为，齿轮和齿轮的转速为， 则有，， 整理可得，， 所以，． 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）金秋十月，又到了食蟹的好季节啦！某经销商去水产批发市场采购太湖蟹，他看中了A、B两家的某种品质相近的太湖蟹．零售价都为60元/千克，批发价各不相同．A家规定：批发数量不超过100千克，按零售价的优惠；批发数量超过100千克但不超过200千克，按零售价的优惠；超过200千克的按零售价的优惠．B家的规定如表： 数量范围 （千克） 部分 （含） 50以上部分 （含150，不含） 150以上部分 （含250，不含） 250以上部分 （不含） 价格（元） 零售价的 零售价的 零售价的 零售价的 (1)如果他批发80千克太湖蟹，则他在A家批发需要 元，在B家批发需要 元； (2)如果他批发x千克太湖蟹（），则他在A家批发需要 元，在B家批发需要 元用含x的代数式表示 (3)现在他要批发180千克太湖蟹，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由． 【答案】(1)；4380 (2)； (3)家优惠，见解析 【分析】本题考查代数式问题，关键是根据列代数式和求代数式的值以及数学实际问题中的方案设计及实惠问题解答． 根据A、B两家的优惠办法分别求出两家购买需要的费用就可以了． 根据题意列出式子分别表示出购买x千克太湖蟹所相应的费用就可以了． 当分别代入的表示A、B两家费用的两个式子，然后再比较其大小就可以． 【详解】（1）解：由题意，得： A：（元）， B：（元）． 故答案为：， （2）解：由题意，得 A：元， B：元 故答案为：， （3）解：当时， A：（元）， B：（元）， ， 家优惠． 【典型例题二 代数式书写方法】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各式中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D．（不等于0） 【答案】B 【分析】本题考查代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求．代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“⋅”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写； （4）带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：A、应为，故不符合题意； B、书写正确，符合题意； C、应为，故不符合题意； D、应为，故不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，根据代数式书写要求判断即可． 【详解】解： ①，不符合要求； ②应为，不符合要求； ③，符合要求； ④，不符合要求； ⑤，符合要求； ⑥应写成，不符合要求， 符合代数式书写要求的有2个， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）用代数式表示：“的倍减去的差”是 ． 【答案】 【分析】此题考查了列代数式，以及代数式的书写规范；根据题意先求倍数后求差，列出代数式，将带分数写成假分数的形式即可求解． 【详解】解：根据：的倍减去的差 ∴ 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式，下列四个代数式：①a﹣b﹣c；②﹣a﹣b﹣c+2；③ab+bc+ca；④a2b+b2c+c2a，其中是完全对称式的是 ． 【答案】②③ 【分析】若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵把a、b两个字母交换，b﹣a﹣c不一定等于a﹣b﹣c，a2b+b2c+c2a不一定等于b2b+a2c+c2a， ∴①④不符合题意． ∵若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变， ∴②③符合题意． 故答案为：②③． 【点睛】此题主要考查了完全对称式的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式． 1．（24-25七年级上·广西防城港·期末）下列各式书写规范的是（    ） A． B．1xy C． D．x3 【答案】A 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A.书写规范； B. 在代数式前系数为1时，系数可省略不写，此项应为，故此项错误； C. 在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，此项应为，故此项错误； D.数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，此项应为x3，故此项错误； 故选A． 【点睛】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式；（3）在代数式前系数为1时，系数可省略不写． 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成 ；     （2）S÷t应写成 ； （3），应写成 ； （4）, 应写成 . 【答案】 5a 【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果． （2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果． （3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果． （4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果． 【详解】解：（1）a×5=5a， 故答案为∶5a； （2）S÷t=， 故答案为∶； （3）， 故答案为∶； （4） 故答案为∶． 【点睛】本题考查代数式书写规范，熟知代数式的书写规范要求是解题关键． 3．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 【答案】(1)小时 (2)小时，小时 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题中的等量关系来列代数式进行解答． （1）根据路程、速度和时间三个量之间具有关系：时间路程速度，用代数式表示出汽车从甲地到乙地需要行驶的时间； （2）早到的时间原来需要行驶的时间一加快速度后需要行驶的时间，用代数式进行表示即可． 【详解】（1）解：（小时）， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时． （2）解：（小时）， 小时， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时，汽车加快速度后可以早到小时． 【典型例题三 单项式的系数、次数】 【例1】（24-25七年级上·吉林·阶段练习）单项式的次数是（   ） A．2 B．6 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的次数，解题的关键是熟练运用单项式的次数定义． 所有字母指数的和称为单项式的次数，根据单项式次数的定义即可求得结果． 【详解】单项式的次数是． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（   ） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是4 C．系数是，次数是3 D．系数是，次数是4 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数的知识，理解并掌握单项式的系数和次数的定义是解题关键．数与字母的积叫做单项式，其中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．据此即可获得答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是4， 所以选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 【例3】（23-24七年级上·四川广元·期中）单项式的次数是 ，系数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查的是单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．根据单项式的系数和次数的定义解答即可． 【详解】解：的次数是，系数是． 故答案为：，． 【例4】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若代数式是关于字母、的四次单项式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式的次数和系数，根据单项式为四次单项式且系数不为0得到且，即可得到． 【详解】解：∵代数式是关于字母、的四次单项式， ∴且 解得， 故答案为： 1．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）下列表格填写完全正确的一列选项是（   ） 单项式（或多项式） 单项式的系数（或多项式最高次项系数） 2 0 次数 0 2 3 2 选项 A B C D A．A选项 B．B选项 C．C选项 D．D选项 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式、多项式等知识点，熟练掌握单项式、多项式的意义是解题的关键． 根据单项式和多项式的意义逐项判断即可． 【详解】A．的系数是2，次数是1，即A选项错误，不符合题意； B．的系数是，次数是2，即B选项错误，不符合题意； C．的系数是，次数是2，即C选项错误，不符合题意； D． 的最高次项系数，次数为2，即D选项正确，符合题意． 故选D． 2．（2024七年级上·安徽六安·专题练习）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第个单项式是 ；第个单项式为 （为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究问题，根据题意掌握系数的规律是解题的关键； 根据已有单项式，得到第个单项式是，进而求出第个单项式即可． 【详解】解：系数的规律：第个单项式对应的系数是， 指数的规律：第个单项式对应的指数是， 则第个单项式是，则第个单项式是． 故答案为：； 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 【典型例题四 多项式的项、项数或次数】 【例1】（24-25七年级上·广东·期中）关于多项式，下列说法正确的是 （    ） A．次数是3 B．次数是5 C．常数项是1 D．二次项是 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的次数与项，熟练掌握多项式的次数与项是解题的关键．根据多项式的次数、项可进行求解． 【详解】解：多项式的次数是3，常数项是，二次项是； 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．多项式是二次三项式 B．的系数是 C．单项式的次数为三次 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的项数和次数，单项式的系数和次数的定义，多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；单项式中的数字因式是单项式的系数，所有字母的次数之和是单项式的次数．根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A、多项式是三次三项式，故此选项不符合题意； B、的系数是，故此选项符合题意； C、单项式的次数为二次，故此选项不符合题意； D、多项式，故此选项不符合题意； 故选B． 【例3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）多项式的次数是 ． 【答案】5 【分析】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式次数的定义求解． 【详解】解：多项式中最高次项是，次数是5． 故答案为：5． 【例4】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）单项式的系数是 ，次数是 ，多项式的次数是 ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查了单项式和多项式，熟记“单项式中的数字因数加单项式的系数，单项式中所有字母指数之和加单项式的次数，多项式中次数最高的项是多项式的次数”是解题关键．根据多项式次数和单项式的系数的定义求解．多项式的次数是多项式中最高次项的次数． 【详解】解：单项式的次数是4，系数是； 多项式中最高次项是，次数是5． 故答案为：，4，5． 1．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）王小能同学做了以下8道题，请你帮他检查一下，他做对了几道题？（   ） ①万是精确到百分位；②单项式的系数是；③若a是正数，则不一定是负数；④三角形的面积一定，它的底边与底边上的高成反比例；⑤多项式是四次四项式，常数项是；⑥零是最小的整数；⑦代数式的意义是a与b的倒数的和；⑧与的次数相同． A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】B 【分析】本题考查了单项式和多项式的定义，正数和负数，倒数的定义等知识，根据近似数的定义可判断①，根据单项式的定义可判断②⑧，根据正数和负数的定义可判断③，根据反比例的定义可判断④，根据多项式的定义可判断⑤，根据整数的定义可判断⑥，根据倒数的定义可判断⑦，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①万是精确到百位，故①不符合题意； ②单项式的系数是，故②不符合题意； ③若a是正数，则一定是负数，故③不符合题意； ④三角形的面积一定，它的底边与底边上的高成反比例，故④符合题意； ⑤多项式是四次四项式，常数项是，故⑤不符合题意； ⑥零不是最小的整数，故⑥不符合题意； ⑦代数式的意义是a与b的和的倒数，故⑦不符合题意； ⑧与的次数都是，相同，故⑧符合题意； ∴符合题意的有个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）下列说法中：①是五次单项式；②单项式的系数是，次数5；③是四次三项式；④是二次二项式；⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式最多有六项．其中正确的序号为 ． 【答案】③⑤ 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．根据定义求解即可。 【详解】解：①是三次单项式；故不符合题意； ②单项式的系数是，次数6；故不符合题意； ③是四次三项式；故符合题意； ④不是多项式；故不符合题意； ⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式项数最多时为：；有六项．故符合题意； ∴正确的有：③⑤， 故答案为：③⑤ 3．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），请回答下列问题： (1)用含的式子表示这所住宅的建筑面积（结果化成最简形式）． (2)上面的式子是多项式吗？如果是，它是几次几项式？它的二次项系数，一次项分别是什么？ (3)当时，求此时这所住宅的建筑面积是多少？ 【答案】(1) (2)是多项式，是二次三项式，二次项系数是1，一次项是 (3) 【分析】本题考查代数式求值、列代数式、多项式，掌握正方形和长方形面积计算公式、多项式的定义是解题的关键． （1）利用正方形和长方形面积公式，将四部分图形的面积加起来即可； （2）根据多项式的定义作答即可； （3）将代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：是多项式，是二次三项式，二次项系数是1，一次项是； （3）解：当时， ． 答：当时，此时这所住宅的建筑面积是． 【典型例题五 单项式与多项式的判断】 【例1】（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）下列各代数式中，是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，直接利用了单项式的定义逐个判断即可．掌握单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式成为解题的关键． 【详解】解：是多项式，故本选项不符合题意； B、是单项式，故本选项符合题意； C、是多项式，故本选项不符合题意； D、不是整式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）在代数式，下列结论正确的是（   ） A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式 C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式 【答案】A 【分析】根据多项式和单项式概念，逐个分析判断即可．本题考查了多项式和单项式的概念，看清两个分式是关键． 【详解】解：在代数式中， 多项式有：，，共计个， 单项式有：，，，共计个， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·河南漯河·期中）式子，，，，，，中，多项式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，根据多项式的定义逐个判断即可，正确理解几个单项式的和叫作多项式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，，，是多项式，共个， 故答案为：． 【例4】（2024七年级上·安徽六安·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有 ；（请填写序号） （2）属于多项式的有 ；（请填写序号） （3）属于整式的有 ．（请填写序号） 【答案】 ③⑤⑥ ①④ ①③④⑤⑥ 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式．根据单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式． 【详解】解：（1）属于单项式的有③；⑤0；⑥n； 故答案为：③⑤⑥； （2）属于多项式的有①；④； 故答案为：①④； （3）属于整式的有①；③；④；⑤0；⑥n． 故答案为：①③④⑤⑥． 1．（23-24七年级上·吉林·期中）（1）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤2；⑥；⑦． 单项式有_________，多项式有____________； （2）利用上面的部分代数式写出一个三次四项式． 【答案】（1）③⑤⑦；①②；（2）是三次四项式．（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，三次五项式的定义． （1）根据单项式，多项式的定义即可求解． （2）根据三次四项式的定义即可求解 【详解】解：（1）单项式有：③；⑤2；⑦； 多项式有：①；②； 故答案为：③⑤⑦；①②； （2）选①⑤， 则是三次四项式．（答案不唯一）． 2．（23-24七年级上·陕西汉中·期中）有以下代数式：，，，，，． (1)的系数是______，次数是______；的次数是______； (2)将上面的代数式分别填入所属的圈中． 【答案】(1)，， (2)见详解 【分析】（1）单项式中数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数；多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；据此即可求解． （2）都是数字与字母的乘积的式子叫做单项式，单独的一个数字或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；据此即可求解． 本题考查了单项式的定义，单项式次数、系数的定义，多项式的定义，多项式的次数的定义，理解各个定义是解题的关键． 【详解】（1）解：的系数是，次数是；的次数是； 故答案：，，； （2）单项式：， ，， 多项式：，，． 3．（23-24七年级上·北京西城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见详解 【分析】本题考查了多项式的新定义， （1）分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数陪，即可求出答案； （2）根据题意可知，是7的整数倍，推出，根据要求推一下是否是7的整数倍即可． 【详解】（1）解：（1）①因为，是整式，所以这个多项式是“7倍系数多项式”； ②因为，不是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式”； ③因为，2是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式； 故答案选：①③； （2）是，理由如下： 多项式是关于，的“7倍系数多项式”， 是7的整数倍， 设为整数，且， 则， 多项式的系数之和为：， ， ， 为7的倍数，即为7的倍数， 当多项式是关于，的“7倍系数多项式”，多项式也是关于，的“7倍系数多项式”． 【典型例题六 整式的判断】 【例1】（24-25七年级上·吉林·期末）下列各式中不是整式的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了整式的概念．根据单项式与多项式统称为整式，对各个选项逐个分析，即可完成解答． 【详解】解：A、是单项式，是整式，故本选项不符合题意； B、中分母含有字母，不是整式，故本选项符合题意； C、是单项式，是整式，故本选项不符合题意； D、0是单项式，是整式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）观察下列各式：x，，，，，其中整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的判断，根据定义逐项判断即可．单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：x，，都是单项式， ，都是多项式， ∴整式有5个， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了整式，整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 根据单项式和多项式统称整式，可得答案． 【详解】解：① ；②；④；⑤；⑥．是整式，共有5个， 故答案为：5． 【例4】（2024七年级上·吉林·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是整式的有 （只填序号）． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式．根据整式的定义求解． 【详解】解：式子，，符合整式的定义，是整式； 式子，，是等式，不是整式； 式子，，分母中含有字母，不是整式． 故整式有，． 故答案为：④⑤． 1．（2024七年级上·安徽六安·专题练习）代数式，，，，，，中，整式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了整式，熟记整式的定义是解题关键． 根据整式的定义：整式包括单项式和多项式，只含有数与字母的积的式子叫做单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是由几个单项式的和组成的代数式，即可求解． 【详解】解：代数式，，，，，，中，整式有，，，，共5个． 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期末）在式子2025，，，，中，整式的个数是 个． 【答案】4 【分析】此题考查了整式的概念，掌握整式的概念是解题的关键，单项式和多项式统称为整式．根据整式的概念，对每个式子逐个进行判断，即可求解． 【详解】解：2025是单项式，为整式； 是单项式，为整式； 是多项式，为整式； 分母含有未知数，不是整式； 是多项式，为整式； 所以整式个数为4， 故答案为：4． 3．（2024七年级上·安徽六安·专题练习）根据题意列出代数式，并指出是不是整式，如果是整式，指明是多项式还是单项式． (1)已知正方形的边长为，若边长增加，则面积增加多少？ (2)七年级（2）班有x名女生，男生比女生多5名，则全班共有多少名学生？ (3)钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，小明买了三支钢笔和一支圆珠笔，共花多少钱？如果他拿一张100元面值的人民币购买，售货员应找回多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查列代数式，整式定义，判断单项式，多项式等． （1）先求出则之前面积，再求出增加后面积，再作减法即可列出代数式，继而再判断整式； （2）先表示出男生人数，再和女生的人数相加即可，继而再判断整式； （3）先表示出三支钢笔钱数，再加上一支圆珠笔钱数，再用100元减去花掉的钱即为结果，继而再判断整式． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为， ∴面积为：， ∵边长增加， ∴增加后面积为：， ∴面积增加：， ∴是整式也是多项式； （2）解：∵七年级（2）班有x名女生，男生比女生多5名， ∴男生人数：名， ∴全班共有名学生， ∴是整式也是多项式； （3）解：∵钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，小明买了三支钢笔和一支圆珠笔， ∴三支钢笔花费的钱：， ∴小明共花元，售货员应找回元， ∴是整式也是多项式，是整式也是多项式． 【典型例题七 已知字母的值 ，求代数式的值】 【例1】（2025·海南·模拟预测）当时，代数式的值是（    ） A．7 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，直接把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：当时，代数式的值是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）如图，将按某种方式填入下图的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则a，b所在位置的两个数字之和是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，代数式求值，解题的关键是得出横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都是2．根据八个数的和是4，得出横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都是2，再依次求出，，即可求解． 【详解】解：设小圈上的空白处为，大圈上的空白处为， ，且横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等， 横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都是2， ， 解得：， ， 解得：， 当时，， 当时，， 综上可知，a，b所在位置的两个数字之和是或， 故选：B 【例3】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，把三个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则，当时，U的值为 ． 【答案】220 【分析】本题考查了求代数式的值；把数值直接代入即可求解． 【详解】解：当时， ； 故答案为：220． 【例4】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）对于有理数a，b（a、b均不为0），定义运算如下：，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，代数式求值，理解新定义规则是解题的关键．根据新定义列出算式即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：7． 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）人在运动时心跳速率通常和人的年龄有关，若用表示一个人的年龄，则这个人运动时能承受的每分钟心跳的最高次数为次．正常情况下，一个岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，正确计算是解答本题的关键． 将代入中，计算出结果即可． 【详解】解：当时，（次）， 一个岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是次， 故答案为：A． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，某学校操场跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，每条跑道的宽度是相等的．活动小组先测得最内侧跑道线的长度后，计算得到弯道半圆弧的半径R约为36米（取）；又测得外侧跑道线的周长c随其距最内侧跑道线的距离d的变化而变化，具体数据如下表所示： 距最内侧跑道线的距离d（米） 0 1 2 3 …… 6 跑道线的周长c（米） 400 …… c 则表中第6条跑道外侧跑道线的周长c的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式和代数式求值，解题关键是用代数式表示数量关系．根据周长的意义，直道长度加上弯道长度，用表示出来即可． 【详解】解：直道长度为：， 最外侧跑道长度为：最外侧圆周长+直道长度 ； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江西景德镇·期中）景德镇御窑厂始于宋朝，是元、明、清三代专造宫廷用瓷的皇家窑厂，成为外来游客必打卡景点之一．如图是御窑厂某处特色建筑及其平面图形，该建筑从正面看可近似看做一个半圆环．（计算结果保留） (1)请你用含，的代数式表示该半圆环的面积； (2)若，，请你求出该半圆环的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据半圆环大半圆面积小半圆面积，即可求解； （2）将，代入（1）中的代数式计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2），， ． 【典型例题八 已知式子的值，求代数式的值】 【例1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求代数式的值，解题的关键是将已知转化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·河北邯郸·期中）当时，代数式的值为2022，则当时，代数式的值为（    ） A．2021 B． C．2020 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，掌握整体代入的思想方法是解决本题的关键． 先把代入中，根据代数式的值为2022求出，再把代入中，利用整体代入的思想得结论． 【详解】解：∵时，代数式的值为2022， ，即 ∴当时，代数式． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值．把所求式子进行变形，再将整体代入即可求解． 【详解】解：由， 则． 故答案为：1． 【例4】（24-25七年级上·安徽六安·假期作业）△、□各代表一个数，如果，，那么 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是等量代换问题，将整体代入求出的值，再求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴， 解得， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知，．则代数式的值为（　　　） A． B．3 C．或3 D．或1或3 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，理解当时，，当时，是正确解答的前提．根据当时，，当时，，再由，分情况讨论得出答案． 【详解】解：当时，，当时，， ， ，，， ， 由于，，因此有， ①，，，原式； ②，，，原式； ③，，，原式； 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知、互为相反数，、互为倒数，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数与倒数的定义与运用，代数式求值，准确计算是本题的解题关键．根据相反数与倒数的定义即可得到，，进而代入即可得解． 【详解】∵、互为相反数，、互为倒数，， ∴，，， ∴， 故答案为：. 3．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如： 若，求代数式的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，利用整体代入思想求解是解题的关键． （1）根据材料提示，，代入计算即可； （2）根据题意可得，再代入计算即可； （3）根据题意可得，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：，且， ∴原式； （3）解：，且， ∴原式． 【典型例题九 写出满足某些特征的单项式】 【例1】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）在下列代数式中，次数为4的单项式是（　　） A．xy3 B．x4+y4 C．x2y D．4xy 【答案】A 【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案． 【详解】A、xy3，是次数为4的单项式，故此选项符合题意； B、x4+y4，是多项式，不合题意； C、x2y，是次数为3的单项式，故此选项不合题意； D、4xy，是次数为2的单项式，故此选项不合题意； 故选A． 【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握其定义. 【例2】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A、系数是2，次数是3，故本选项符合题意； B、系数是3，次数是3，故本选项不符合题意； C、系数是2，次数是4，故本选项不符合题意； D、系数是-2，次数是3，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 【例3】（2025·河南安阳·模拟预测）请写出一个只含字母，的五次单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：写出一个只含字母，的五次单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25七年级上·河南信阳·期末）写出一个单项式，使它与多项式的和为单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式加减的运算，结合单项式的定义，即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 运算结果为单项式， 写出的这个单项式为， 故答案为：． 1．（23-24七年级上·安徽六安·课后作业）若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 【答案】，，， 【分析】根据单项式的次数为五，可得到，再分别写出符合要求的单项式即可． 【详解】是含有字母和的五次单项式， ，，， ，或，或，或，， 符合条件的单项式有：，，，． 【点睛】本题考查了单项式的次数概念，熟练掌握单项式的相关概念是解答本题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽六安·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）阅读材料，解答问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值保持不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中两个字母交换位置，可得到，因为，所以是对称式．而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)①；②；③，其中是对称式的是______；（填序号） (2)写出一个只含有字母，且次数为3的多项式，使该多项式是对称式：______； (3)已知，，求，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①③； (2)； (3)，是对称式． 【分析】本题是新定义问题，考查了整式的加法运算，灵活运用的能力，关键是读懂材料． （1）根据对称式的含义即可作出判断； （2）根据对称式的含义及题目的要求即可完成； （3）去括号合并同类项即可求得A+2B，根据对称式的含义判断是否是对称式即可． 【详解】（1）解：根据加法交换律知，，故它是对称式；同理，，故也是对称式；但中字母a、b交换后变为，； 故它不是对称式； 故答案为：①③； （2）解：由题意得：所要求的对称式为； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴ ； 它是对称式． 【典型例题十 多项式系数、指数中字母求值】 【例1】（24-25七年级上·四川德阳·期中）已知是关于x，y的三次二项式，那么的值是(    ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查了多项式．利用多项式的次数与项数得到，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的三次二项式 ∴ ∴． 故选：A． 【例2】（2024七年级上·安徽六安·专题练习）关于的多项式是五次二项式，则的倒数等于（   ） A． B． C． D．64 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的次数，项的概念，立方的计算，倒数的计算，掌握多项式的次数，项的概念是解题的关键． 根据五次二项式可得多项式最高次数为五次，则项的次数为五次，所以，由二项式可得，可求出m的值，再根据立方的计算，倒数的计算即可求解． 【详解】解：关于的多项式是五次二项式， ∴，且， 解得，， ∴， ∴的倒数等于． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若多项式是关于a的二次二项式，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式的相关定义．根据多项式的次数和项数的定义解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式， ，， ，， ． 故答案为：6． 【例4】（2025·江西抚州·模拟预测）若关于的多项式的各项系数之和是1，则“●”代表的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式，根据题意直接列式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：2． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知是关于的一次式，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，多项式中次数最高的项的次数为多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一次式， ∴， ∴． 2．（24-25七年级上·甘肃嘉峪关·期中）已知关于的多项式不含三次项和一次项． (1)求、的值 (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值．熟练掌握整式加减中的无关型问题，代数式求值是解题的关键． （1）由题意知，，计算求出； （2）把、的值代入求解即可． 【详解】（1）解：关于的多项式不含三次项和一次项， ∴， 解得：， （2）解：∵， ∴， ∴的值为． 3．（24-25七年级上·安徽六安·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 【答案】(1)4 ； (2)11 (3)0 (4)或 【分析】本题主要考查了多项式的定义和化简求值，也考查了新定义齐次多项式． （1）将代入多项式，再根据多项式相关的定义解答即可； （2）将代入（1）的条件下的多项式求值即可； （3）根据齐次多项式的定义，由多项式是齐次四项式得，，得出a、b的值代入计算即可； （4）分两种情况讨论：①当为六次项，时；②当为六次项，时；分别求出a、b的值，再代入原多项式，并把该多项式按x的升幂排列即可． 【详解】（1）解：当时，该多项式为，此时该多项式是一个四次三项式，所以该多项式的次数为4，一次项为， 故答案为：4，； （2）解：当时，该多项式为， 将代入，得： 原式； （3）解：由题意可知该多项式的所有项的次数为4， ∴， ∴或， ∵该多项式有四项， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：因为该多项式是一个六次三项式，而和的次数不定，所以需分以下两种情况讨论： ①当为六次项，时，此时多项式为， 即， 所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为； ②当为六次项，时， 此时多项式为， 即，所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为． 【典型例题十一 单项式规律问题】 【例1】（2025·云南楚雄·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知第n个单项式的系数的绝对值为，次数为，当n为奇数时，系数的符号为负，当n为偶数时，系数的符号为正，据此规律可得答案． 【详解】解：第1个单项式的系数的绝对值为2，次数为1，系数符号为负， 第2个单项式的系数的绝对值为3，次数为2，系数符号为正， 第3个单项式的系数的绝对值为4，次数为3，系数符号为负， 第4个单项式的系数的绝对值为5，次数为4，系数符号为正， 第5个单项式的系数的绝对值为6，次数为5，系数符号为负， ……， 以此类推可知，第n个单项式的系数的绝对值为，次数为，当n为奇数时，系数的符号为负，当n为偶数时，系数的符号为正，则第n个代数式是， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，则第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知单项式的系数的绝对值是序号的平方，其中奇数项符号为负，偶数项符号为正，指数是从1开始的连线的奇数，据此可得答案． 【详解】解：∵该列代数式为， ∴以此类推可知，第n个代数式是， 故选：D． 【例3】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）按照一定规律排列的式子：，，，，第n个式子是 【答案】 【分析】本题考查单项式有规律排列问题，观察可知，这一列单项式的分子的底数为x，指数是从2开始的连续的偶数，分母是从3开始的连续的奇数，据此即可求解． 【详解】解：按照一定规律排列的式子：，，，， 以此类推可得，第n个式子是， 故答案为：． 【例4】（2025·江西抚州·模拟预测）按一定规律排列的单项式：据此规律，第12个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式的规律探索，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键．根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断． 【详解】解：根据题意可知，按一定规律排列的单项式：， 系数的排列规律为：，，，，，， 指数的排列规律为：，，，，，， ∴第个单项式为：， ∴第12个单项式为：． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）观察以下一系列单项式的特点：，，，，…，写出第6个单项式，并指出它的系数和次数． 【答案】第6个单项式，系数是，次数是8． 【分析】本题考查了整式的规律探索题、单项式的系数及次数，准确找出规律是解题的关键．根据整式的规律、单项式的系数及次数进行求解即可． 【详解】解：按此规律得第6个单项式，系数是，次数是8． 2．（2024七年级上·安徽六安·专题练习）观察下列排列的单项式的规律： ，，，，⋯ (1)请按照此规律写出第10个单项式； (2)试猜想写出第个单项式，并写出其系数和次数． 【答案】(1) (2)第个单项式为：，系数为：，次数为： 【分析】本题考查了单项式规律探究，解题的关键是根据已知单项式得出规律． （1）根据已知单项式可得符号的规律：为奇数时，单项式为正号，为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是．字母都是，的指数都是2，的指数是从1开始的连续的整数，据此即可得出第10个单项式； （2）根据解析（1）得出的规律，写出第个单项式即可． 【详解】（1）解：第10个单项式为：； （2）解：第个单项式为：，系数为：，次数为：． 3．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查单项式规律的探索，对每个单项式的系数和字母部分分别找到规律是解题的关键． （1）根据第①行的数字的规律，从第一个单项式开始，后面的单项式系数每次乘以，指数每次加1，可得第8个单项式； （2）比较第①行和第②行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数加上1，字母部分和第①行相同，即可得到第9个单项式； （3）比较第①行和第③行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数的2倍，字母部分的指数是第①行对应的单项式的字母指数加上1，即可得到第n个单项式； （4）取每行的第8个单项式，则可得，把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，…； ∴第8个单项式为； 故答案为：； （2）解：∵第①行的第9个单项式为， ∴比较第①行和第②行可得，第②行的第9个单项式为； 故答案为：； （3）解：∵第①行的第n个单项式为， ∴比较第①行和第③行可得，第③行的第n个单项式为； 故答案为：； （4）解：每行的第8个分别为，，， ∴， 当时，． 1．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）下列式子中，符合代数式书写的是（　　） A． B． C． D．元 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的书写规范，解题的关键是熟悉代数式书写的各项规则，如除法写成分数形式、带分数化为假分数、单位标注要求等． 依据代数式书写规范，对每个选项逐一分析判断． 【详解】A、在代数式中，除法运算应写成分数形式，正确的书写应该是，而不是使用“÷”符号，所以该选项不符合题意． B、代数式中带分数要转化为假分数，正确的书写应该是，避免带分数与变量产生混淆，所以该选项不符合题意． C、将除法以分数形式表示，分子是多项式时书写正确，所以该选项符合题意． D、当代数式包含单位时，单位应标注在整个表达式后面，且表达式是多项式时，要用括号括起，元正确的书写应该是元，所以该选项不符合题意． 故选：C． 2．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式系数和问题，令代入计算即可． 【详解】解：令， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·安徽滁州·模拟预测）某省2024年上半年的总值为a万亿元人民币，2024年下半年的总值比2024年上半年增长，预计2025年上半年的总值比2024年下半年增长．若2025年上半年该省的总值为b万亿元人民币，则a，b之间的关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是理解增长率的含义进行推导．先利用2024年上半年的总值将2024年下半年的总值表示出来，再表示出2025年上半年的总值即可得到与的关系式． 【详解】解：年上半年的总值为万亿元人民币，2024年下半年的总值比2024年上半年增长， 年下半年的总值为万亿元人民币， 预计2025年上半年的总值比2024年下半年增长， 预计2025年上半年的总值为万亿元人民币， 年上半年该省的总值为万亿元人民币， ． 故选：． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，其中有两个数和2，则与的乘积为（   ） A． B． C．9 D．256 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可得每个三角形各顶点上数字之和相等，则，据此可得，由此可得答案． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（2025·广东东莞·模拟预测）多项式的次数是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了多项式的次数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．运用多项式次数的定义进行求解． 【详解】解：∵的次数是3，的次数是2， ∴多项式的次数是3， 故答案为：3． 7．（2025·河南郑州·模拟预测）请写出一个只含字母x，y的五次单项式 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的有关概念即可得出答案，确定单项式的系数和次数的关键． 【详解】解：依题意，这个只含字母x，y的五次单项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（2025·江西抚州·模拟预测）有一组单项式：，，，，，请你观察它们的排列规律，用你发现的规律写出第（n为正整数）个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的构成规律，通过观察分别发现分子、分母和符号的规律，可得结果． 【详解】解：由题意可得：分子部分为，分母部分为n，奇数项为正，偶数项为负， ∴第个单项式为：， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）三只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相等的三份，多了一个自己吃掉，并把自己一份藏起来；第二只猴子把剩下的两份桃再次分成数量相等的三份，多了一个也自己吃掉，并把自己一份藏起来；第三只猴子也完成了同样的操作，则桃子至少有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，找出正确的等量关系是解题的关键．首先设第三只猴子分过后每份桃子有个，再根据题意分别表示出第二只猴子所分的桃子，第一只猴子所分的桃子，最后根据桃子的数量为正整数取值即可． 【详解】设第三只猴子分过后每份桃子有个，则第三只猴子所分的桃子有个， 第二只猴子所分的桃子有个，即个， 第一只猴子所分的桃子有个，即个， ， 且和均为正整数， 为正整数， 是的倍数， 的最小值为， 当时，， 桃子至少有个， 故答案为：． 10．（2025·辽宁大连·模拟预测）一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位：），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，则这所住宅的建筑面积为 （用含x的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式．分别把Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域的面积表示出来，相加即可． 【详解】解：这所住宅的建筑面积为： ． 故答案为：． 11．（2024七年级上·安徽六安·专题练习）下列各式中，哪些是代数式？哪些不是代数式？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 【答案】①，③，⑤是代数式；②，④，⑥不是代数式． 【分析】本题考查代数式的判断，根据用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫作代数式，进行判断即可． 【详解】解：①，③，⑤是代数式，②，④，⑥不是代数式． 12．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知多项式，m是该多项式的次数，n是四次项系数的倒数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的相关概念，倒数，求代数式的值，根据多项式的次数与各项的系数，倒数求出m，n的值，代入即可求解． 【详解】解：多项式的次数是6，四次项系数是， 因为m是该多项式的次数，n是四次项系数的倒数， 所以，，             所以． 13．（2024七年级上·江苏·专题练习）说出下列代数式的意义： (1)圆珠笔每支售价a元，练习簿每本售价b元，那么表示什么？ (2)长方形的长、宽分别为a，b，那么表示什么？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了代数式． （1）根据题意解释代数式的意义即可； （2）根据题意解释代数式的意义即可． 【详解】（1）表示3支圆珠笔与4本练习簿的总价格； （2）表示长为a，宽为的长方形的面积． 14．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，． 解决下列问题： (1)这组单项式中的第个单项式是什么？第个单项式是什么？ (2)请你根据中的结论，写出第个、第个单项式． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了探索单项式的变化规律，解决本题的关键是根据所给出的单项式的变化规律列出代数式． 根据前三个单项式可知：单项式的符号是正、负间隔出现，第个单项式的系数是，字母的指数是，按照规律写出第个和第个单项式； 由中得到的单项式的符号、系数、指数的变化规律可得结果． 【详解】（1）解：根据前三个单项式的系数和指数的变化规律可得： 第个单项式是， 第个单项式是； （2）由可知： 第个单项式是， 第个单项式是． 15．（24-25七年级上·四川南充·期中）汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： (1)用x、y的代数式表示地面总面积； (2)已知铺1平方米地砖的平均费用为240元，当时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)21600元 【分析】（1）首先求得各部分的面积，然后再相加即可； （2）将x、y的值代入所得代数式计算即可． 本题主要考查的是求代数式的值和列代数式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：客厅面积为，卧室面积为，厨房面积为，卫生间面积为． 故总面积． （2）解：当时， 总费用为（元）． 所以总费用为21600（元）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 代数式（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 列代数式 典型例题二 代数式书写方法 典型例题三 单项式的系数、次数 典型例题四 多项式的项、项数或次数 典型例题五 单项式与多项式的判断 典型例题六 整式的判断 典型例题七 已知字母的值 ，求代数式的值 典型例题八 已知式子的值，求代数式的值 典型例题九 写出满足某些特征的单项式 典型例题十 多项式系数、指数中字母求值 典型例题十一 单项式规律问题 知识点01 用字母表示数 定义： 认识到字母可以代表一个具体的、但暂时未知的数，或者代表一个可以变化的数（变量）。这是从具体算术思维迈向抽象代数思维的关键一步。 概括数量关系： 用简洁的式子表达普遍规律或公式。 例如： 路程 = 速度 × 时间 → s = v * t 长方形面积 = 长 × 宽 → S = a * b 单价 × 数量 = 总价 → c = p * n 表示运算律： 加法交换律：a + b = b + a 乘法分配律：(a + b) * c = a*c + b*c 表示数学结论/公式： 圆的周长：C = 2πr (其中 π 是常数) 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 【即时训练】 1．（23-24七年级上·安徽池州·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·安徽宣城·阶段练习）一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是 知识点02 代数式 代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。 注意：1、代数式不能有等号和不等号，有就不是代数式，而是等式或者不等式。 2、单独一个数字或者字母也是代数式。 3、代数式可以包含绝对值。 4、注意π并不是字母，而是一个数字。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽六安·课前预习）用 将 和 连接而成的式子，叫做代数式． 知识点03 代数式的值 定义： 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做这个代数式的值。 求代数式值的步骤： 写： 写出代数式。 代： 用具体的数值代替代数式里的字母。 注意： 如果字母取值是负数或分数，代入时必须加上括号。 如果字母取值是多个数，要一一对应代入。 算： 按照代数式指明的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），计算出结果。 【即时训练】 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知，，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【即时训练】 2．（2025·安徽滁州·模拟预测）若单项式的系数是m，次数是n，则 ． 知识点04 单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）单项式的系数、次数分别是（    ） A． B．， C．， D．， 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）单项式的系数为 ． 知识点05 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）多项式的次数是（    ） A． B．1 C．6 D．3 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）多项式的次数是 ． 知识点06 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）下列代数式不是整式的是（     ） A． B． C．8 D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）在代数式中，整式有 个． 【典型例题一 列代数式】 【例1】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）某商品每件以盈利率出售，后产品滞销又在实际售价的基础上降价，则现在每卖出一件该商品（    ） A．赚钱 B．亏钱 C．不赚不亏 D．缺少条件无法计算 【例2】（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤ 【例3】（2025·安徽安庆·模拟预测）学校有足球m个，篮球的数量比足球的2倍多18个，则篮球的数量为 个（用含m的代数式表示）． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若每条棱上的小球数为，则正方体上小球总数是 ．（用含的代数式表示） 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图、、、分别是长方形的四个顶点长，宽，以点为圆心为半径画圆弧，再以为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为和，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）某一齿轮组合需要由齿轮齿数；齿轮齿数，拟定齿轮与齿轮的转速比要达到，先需要增加两个齿轮（如图所示），若设齿轮齿数；齿轮齿数，则与的比值为 ． ‌ 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）金秋十月，又到了食蟹的好季节啦！某经销商去水产批发市场采购太湖蟹，他看中了A、B两家的某种品质相近的太湖蟹．零售价都为60元/千克，批发价各不相同．A家规定：批发数量不超过100千克，按零售价的优惠；批发数量超过100千克但不超过200千克，按零售价的优惠；超过200千克的按零售价的优惠．B家的规定如表： 数量范围 （千克） 部分 （含） 50以上部分 （含150，不含） 150以上部分 （含250，不含） 250以上部分 （不含） 价格（元） 零售价的 零售价的 零售价的 零售价的 (1)如果他批发80千克太湖蟹，则他在A家批发需要 元，在B家批发需要 元； (2)如果他批发x千克太湖蟹（），则他在A家批发需要 元，在B家批发需要 元用含x的代数式表示 (3)现在他要批发180千克太湖蟹，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由． 【典型例题二 代数式书写方法】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各式中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D．（不等于0） 【例2】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【例3】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）用代数式表示：“的倍减去的差”是 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式，下列四个代数式：①a﹣b﹣c；②﹣a﹣b﹣c+2；③ab+bc+ca；④a2b+b2c+c2a，其中是完全对称式的是 ． 1．（24-25七年级上·广西防城港·期末）下列各式书写规范的是（    ） A． B．1xy C． D．x3 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成 ；     （2）S÷t应写成 ； （3），应写成 ； （4）, 应写成 . 3．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 【典型例题三 单项式的系数、次数】 【例1】（24-25七年级上·吉林·阶段练习）单项式的次数是（   ） A．2 B．6 C．4 D．5 【例2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（   ） A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是4 C．系数是，次数是3 D．系数是，次数是4 【例3】（23-24七年级上·四川广元·期中）单项式的次数是 ，系数是 ． 【例4】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若代数式是关于字母、的四次单项式，则 ． 1．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）下列表格填写完全正确的一列选项是（   ） 单项式（或多项式） 单项式的系数（或多项式最高次项系数） 2 0 次数 0 2 3 2 选项 A B C D A．A选项 B．B选项 C．C选项 D．D选项 2．（2024七年级上·安徽六安·专题练习）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第个单项式是 ；第个单项式为 （为正整数）． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【典型例题四 多项式的项、项数或次数】 【例1】（24-25七年级上·广东·期中）关于多项式，下列说法正确的是 （    ） A．次数是3 B．次数是5 C．常数项是1 D．二次项是 【例2】（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．多项式是二次三项式 B．的系数是 C．单项式的次数为三次 D．是单项式 【例3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）多项式的次数是 ． 【例4】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）单项式的系数是 ，次数是 ，多项式的次数是 ． 1．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）王小能同学做了以下8道题，请你帮他检查一下，他做对了几道题？（   ） ①万是精确到百分位；②单项式的系数是；③若a是正数，则不一定是负数；④三角形的面积一定，它的底边与底边上的高成反比例；⑤多项式是四次四项式，常数项是；⑥零是最小的整数；⑦代数式的意义是a与b的倒数的和；⑧与的次数相同． A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 2．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）下列说法中：①是五次单项式；②单项式的系数是，次数5；③是四次三项式；④是二次二项式；⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式最多有六项．其中正确的序号为 ． 3．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），请回答下列问题： (1)用含的式子表示这所住宅的建筑面积（结果化成最简形式）． (2)上面的式子是多项式吗？如果是，它是几次几项式？它的二次项系数，一次项分别是什么？ (3)当时，求此时这所住宅的建筑面积是多少？ 【典型例题五 单项式与多项式的判断】 【例1】（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）下列各代数式中，是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）在代数式，下列结论正确的是（   ） A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式 C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式 【例3】（24-25七年级上·河南漯河·期中）式子，，，，，，中，多项式有 个． 【例4】（2024七年级上·安徽六安·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有 ；（请填写序号） （2）属于多项式的有 ；（请填写序号） （3）属于整式的有 ．（请填写序号） 1．（23-24七年级上·吉林·期中）（1）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤2；⑥；⑦． 单项式有_________，多项式有____________； （2）利用上面的部分代数式写出一个三次四项式． 2．（23-24七年级上·陕西汉中·期中）有以下代数式：，，，，，． (1)的系数是______，次数是______；的次数是______； (2)将上面的代数式分别填入所属的圈中． 3．（23-24七年级上·北京西城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【典型例题六 整式的判断】 【例1】（24-25七年级上·吉林·期末）下列各式中不是整式的是（   ） A． B． C． D．0 【例2】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）观察下列各式：x，，，，，其中整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【例3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知：① ；②；③；④；⑤；⑥．其中整式有 个． 【例4】（2024七年级上·吉林·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是整式的有 （只填序号）． 1．（2024七年级上·安徽六安·专题练习）代数式，，，，，，中，整式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·山东淄博·期末）在式子2025，，，，中，整式的个数是 个． 3．（2024七年级上·安徽六安·专题练习）根据题意列出代数式，并指出是不是整式，如果是整式，指明是多项式还是单项式． (1)已知正方形的边长为，若边长增加，则面积增加多少？ (2)七年级（2）班有x名女生，男生比女生多5名，则全班共有多少名学生？ (3)钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，小明买了三支钢笔和一支圆珠笔，共花多少钱？如果他拿一张100元面值的人民币购买，售货员应找回多少元？ 【典型例题七 已知字母的值 ，求代数式的值】 【例1】（2025·海南·模拟预测）当时，代数式的值是（    ） A．7 B． C．5 D． 【例2】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）如图，将按某种方式填入下图的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则a，b所在位置的两个数字之和是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例3】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，把三个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则，当时，U的值为 ． 【例4】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）对于有理数a，b（a、b均不为0），定义运算如下：，则 ． 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）人在运动时心跳速率通常和人的年龄有关，若用表示一个人的年龄，则这个人运动时能承受的每分钟心跳的最高次数为次．正常情况下，一个岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，某学校操场跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，每条跑道的宽度是相等的．活动小组先测得最内侧跑道线的长度后，计算得到弯道半圆弧的半径R约为36米（取）；又测得外侧跑道线的周长c随其距最内侧跑道线的距离d的变化而变化，具体数据如下表所示： 距最内侧跑道线的距离d（米） 0 1 2 3 …… 6 跑道线的周长c（米） 400 …… c 则表中第6条跑道外侧跑道线的周长c的值为 ． 3．（24-25七年级上·江西景德镇·期中）景德镇御窑厂始于宋朝，是元、明、清三代专造宫廷用瓷的皇家窑厂，成为外来游客必打卡景点之一．如图是御窑厂某处特色建筑及其平面图形，该建筑从正面看可近似看做一个半圆环．（计算结果保留） (1)请你用含，的代数式表示该半圆环的面积； (2)若，，请你求出该半圆环的面积． 【典型例题八 已知式子的值，求代数式的值】 【例1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·河北邯郸·期中）当时，代数式的值为2022，则当时，代数式的值为（    ） A．2021 B． C．2020 D． 【例3】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，则 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽六安·假期作业）△、□各代表一个数，如果，，那么 ． 1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知，．则代数式的值为（　　　） A． B．3 C．或3 D．或1或3 2．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知、互为相反数，、互为倒数，，则 ． 3．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如： 若，求代数式的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 【典型例题九 写出满足某些特征的单项式】 【例1】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）在下列代数式中，次数为4的单项式是（　　） A．xy3 B．x4+y4 C．x2y D．4xy 【例2】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025·河南安阳·模拟预测）请写出一个只含字母，的五次单项式 ． 【例4】（24-25七年级上·河南信阳·期末）写出一个单项式，使它与多项式的和为单项式： ． 1．（23-24七年级上·安徽六安·课后作业）若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 2．（24-25七年级上·安徽六安·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）阅读材料，解答问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值保持不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中两个字母交换位置，可得到，因为，所以是对称式．而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)①；②；③，其中是对称式的是______；（填序号） (2)写出一个只含有字母，且次数为3的多项式，使该多项式是对称式：______； (3)已知，，求，并判断所得结果是否是对称式． 【典型例题十 多项式系数、指数中字母求值】 【例1】（24-25七年级上·四川德阳·期中）已知是关于x，y的三次二项式，那么的值是(    ) A． B．0 C．1 D．2 【例2】（2024七年级上·安徽六安·专题练习）关于的多项式是五次二项式，则的倒数等于（   ） A． B． C． D．64 【例3】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若多项式是关于a的二次二项式，则的值是 ． 【例4】（2025·江西抚州·模拟预测）若关于的多项式的各项系数之和是1，则“●”代表的数是 ． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知是关于的一次式，求的值． 2．（24-25七年级上·甘肃嘉峪关·期中）已知关于的多项式不含三次项和一次项． (1)求、的值 (2)求的值． 3．（24-25七年级上·安徽六安·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 【典型例题十一 单项式规律问题】 【例1】（2025·云南楚雄·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，则第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）按照一定规律排列的式子：，，，，第n个式子是 【例4】（2025·江西抚州·模拟预测）按一定规律排列的单项式：据此规律，第12个单项式为 ． 1．（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）观察以下一系列单项式的特点：，，，，…，写出第6个单项式，并指出它的系数和次数． 2．（2024七年级上·安徽六安·专题练习）观察下列排列的单项式的规律： ，，，，⋯ (1)请按照此规律写出第10个单项式； (2)试猜想写出第个单项式，并写出其系数和次数． 3．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 1．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）下列式子中，符合代数式书写的是（　　） A． B． C． D．元 2．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 4．（2025·安徽滁州·模拟预测）某省2024年上半年的总值为a万亿元人民币，2024年下半年的总值比2024年上半年增长，预计2025年上半年的总值比2024年下半年增长．若2025年上半年该省的总值为b万亿元人民币，则a，b之间的关系是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，其中有两个数和2，则与的乘积为（   ） A． B． C．9 D．256 6．（2025·广东东莞·模拟预测）多项式的次数是 ． 7．（2025·河南郑州·模拟预测）请写出一个只含字母x，y的五次单项式 8．（2025·江西抚州·模拟预测）有一组单项式：，，，，，请你观察它们的排列规律，用你发现的规律写出第（n为正整数）个单项式为 ． 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）三只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相等的三份，多了一个自己吃掉，并把自己一份藏起来；第二只猴子把剩下的两份桃再次分成数量相等的三份，多了一个也自己吃掉，并把自己一份藏起来；第三只猴子也完成了同样的操作，则桃子至少有 个． 10．（2025·辽宁大连·模拟预测）一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位：），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，则这所住宅的建筑面积为 （用含x的代数式表示）． 11．（2024七年级上·安徽六安·专题练习）下列各式中，哪些是代数式？哪些不是代数式？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 12． （24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知多项式，m是该多项式的次数，n是四次项系数的倒数，求的值． 13．（2024七年级上·江苏·专题练习）说出下列代数式的意义： (1)圆珠笔每支售价a元，练习簿每本售价b元，那么表示什么？ (2)长方形的长、宽分别为a，b，那么表示什么？ 14．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，． 解决下列问题： (1)这组单项式中的第个单项式是什么？第个单项式是什么？ (2)请你根据中的结论，写出第个、第个单项式． 15．（24-25七年级上·四川南充·期中）汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： (1)用x、y的代数式表示地面总面积； (2)已知铺1平方米地砖的平均费用为240元，当时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$